SEBA Class 9 Mathematics Chapter 7 ত্ৰিভুজ Solutions, SEBA Class 9 Maths Textbook Notes in Assamese Medium, SEBA Class 9 Mathematics Chapter 7 ত্ৰিভুজ Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 9 Mathematics Chapter 7 ত্ৰিভুজ Notes and select needs one.
SEBA Class 9 Mathematics Chapter 7 ত্ৰিভুজ
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 9 Mathematics Chapter 7 ত্ৰিভুজ Question Answer. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 9 Mathematics Chapter 7 ত্ৰিভুজ Solutions for All Subject, You can practice these here.
ত্ৰিভুজ
Chapter – 7
| অনুশীলনীঃ 7.1 |
1. চতুর্ভুজৰ ABCD ত AC = AD আৰু AB – যে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডত কৰিছে। দেখুওৱা যে, ∆ABC ≅ ∆ARD। BC আৰু BD সম্পর্কে তুমি কি ক’বা?
উত্তৰঃ
ABCD এটা চতুর্ভুজ।
AC = AD আৰু AB, ∠A – ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে ∆ABC ≅ AABD
প্রমাণঃ ∆ABC আৰু ∆ABD – ত
AC = AD (প্রদত্ত)
∠BAC = ∠BAD [∴ AB, ∠A – ক সমদ্বিখণ্ডত কৰে]
AB = AB [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABC ≅ ∆ABD [SAS স্বীকার্য্য]
এতিয়া AC = AD আৰু AB সাধাৰণ বাহু
∴ BC = BD হ’ব।
2. ABCD এটা চতুর্ভুজ য’ত AD = BC আৰু ∠DAB = ∠CBA। প্রমাণ কৰা যে-
(i) ΔΑΒD ≅ ΔВАС
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC
উত্তৰঃ ∆ABD আৰু ∆ABC – ত
AD = BC [প্রদত্ত]
∠DAB = ∠CBA [প্রদত্ত]
আৰু AB = AB [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABD ≅ ∆BAC [SAS স্বীকার্য্য]
∴ BD = AC আৰু ∠ABD = ∠BAC.
3. এডাল ৰেখাখণ্ড AB লৈ টনা AD আৰু BC দুডাল সমান লম্ব (চিত্র 7.18 চোৱা)। দেখুওৱা যে CD য়ে AB ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ ∆BOC আৰু ∆AOD – ত
∠OBC = ∠OAD [সমকোণ (প্রদত্ত)]
∠BOC = ∠AOD [বিপ্রতীপ কোণ]
আৰু BC = DA (প্রদত্ত)
∴ ∆BOC ≅ ∆AOD [AAS স্বীকার্য্য]
∴ OB = OA আৰু OC = OD
∴ O, AB আৰু CD – ৰ মধ্যবিন্দু।
∴ CD, AB – ৰ সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)
4. l আৰু m দুডাল সমান্তৰাল ৰেখাক আন এযোৰ সমান্তৰাল ৰেখা p আৰু q য়ে ছেদ কৰিছে (চিত্র 7.19 চোৱা)। দেখুওৱা যে ∆ABC ≅ ∆CDA
উত্তৰঃ
∴ ∠DAC = ∠ACB [একান্তৰ কোণ]
আকৌ, p II q, AC ছেদক।
∠BAC = ∠ACD [একান্তৰ কোণ]
এতিয়া, ∆ABC আৰু ∆ADC – ত
∠ACB = ∠DAC
∠BAC = ∠ACD
আৰু AC = AC [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABC ≅ ∆CDA. [A.A.S. স্বীকার্য্য] (প্ৰমাণিত)
5. l ৰেখাডাল ∠A ৰ সমদ্বিখণ্ডক আৰু B, l ৰ ওপৰত যিকোনো বিন্দু। B ৰ পৰা ∠A ৰ বাহু দুটালৈ BP আৰু BQ দুডাল লম্ব (চিত্র 7.20 চোৱা)। দেখুওৱা যে-
(i) ΔΑΡΒ ≅ ∆AQB
(ii) BP = BQ বা B, ∠A ৰ দুই বাহুৰ পৰা সমদূৰত্বত অৱস্থিত।
উত্তৰঃ ∴ l ৰেখাডাল, ∠A – ৰ সমদ্বিখণ্ডক কৰিছে।
∴ ∠ABP = ∠BAQ
এতিয়া, ∆ABP আৰু ∆ANQ ত
∠BAP = ∠BAQ [প্রদত্ত]
∠BPA = ∠BQA [সমকোণ (প্রদত্ত)]
AB = AB (সাধাৰণ বাহু)
∴ ΔΑΡΒ ≅ ∆AQB [AAS স্বীকার্য্য]
∴ BP = BQ অর্থাৎ B বিন্দু, ∠A – ক বাহু দুটাৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী।
6. চিত্র 7.21 ত AC = AE, AB = AD আৰু ∠BAD = ∠EAC। দেখুওৱা যে BC = DE
উত্তৰঃ ∠BAD = ∠EAC
উভয়পক্ষে ∠DAC যোগ কৰি পাওঁ-
∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC
⇒ ∠BAC = ∠EAD………. (i)
এতিয়া, ∆ABC আৰু ∆AED – ৰ পৰা –
AB = AD (প্রদত্ত)
AC = AE (প্রদত্ত)
∠BAC = ∠DAE [(i) – ৰ পৰা]
∴ ∆ABC ≅ ∆ADE [AAS স্বীকার্য্য]
⇒ BC = DE [প্রমাণিত]
7. AB এডাল ৰেখাখণ্ড আৰু ইয়াৰ মধ্যবিন্দু। AB ৰ একেফালে থকা D আৰু E দুটা এনে বিন্দু যাতে ∠BAD = ∠ABE আৰু ∠EPA = ∠DPB। দেখুওৱা যে-
(i) ∆DAP ≅ ∆ΕΒΡ
(ii) AD = BE
উত্তৰঃ দিয়া আছে,
∠EPA = ∠DPB দুয়োফালে ∠EPD যোগ কৰিলে আমি পাওঁ-
∠EPA + ∠EPD = ∠DPB + ∠EPD
⇒ ∠APD = ∠BPE ………… (i)
এতিয়া, ∆APD আৰু ∆BPE – ৰ পৰা
∠PAD = ∠PBE [∴ ∠BAD = ∠ABE (প্রদত্ত)]
∠APD = ∠BPE [(i) – ৰ পৰা]
আৰু AP = PB [∴ P, AB – ৰ মধ্যবিন্দু (প্রদত্ত)]
∴ ∆DAP ≅ ∆ECP [AAS স্বীকার্য্য]
∴ AD = BE (প্রমাণিত)
8. C বিন্দুত সমকোণ সহ ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ আৰু M, অতিভুজ AB ৰ মধ্যবিন্দু। C ক M ৰ সৈতে ৰেখাৰে সংলগ্ন কৰা হ’ল আৰু D বিন্দুলৈ এনেভাৱে বঢ়াই দিয়া হ’ল যাতে DM = CM। D বিন্দুক B ৰ সৈতে ৰেখাৰে সংলগ্ন কৰা হ’ল (চিত্র 7.23 চোৱা)। দেখুওৱা যে-
(i) ∆AMC ≅ ΔBMD
উত্তৰঃ ∆AMC আৰু ∆BMD – ৰ পৰা-
AM = BM [∴ M, AB অতিভূজৰ মধ্যবিন্দু]
∠AMC = ∠BMD [বিপ্রতীপ কোণ]
আকৌ, CM = DM
∴ ∆AMC ≅ ∆BMD [SAS স্বাকার্য্য]
∴ ∠ACM = ∠BDM ……..(a)
∠CAM = ∠DBM আৰু AC = BD
(ii) ∠DBC এটা সমকোণ।
উত্তৰঃ ∴ AC ll BD, DC ছেদক।
∴ ∠ACD = ∠BDC [একান্তৰ কোণ]
[∴ ∠ACM = ∠BDM…….. (a) ব্যৱহাৰ কৰি]
∴ ∠ACD = ∠BDC
∴ AC ll DB
এতিয়া, AC ll BD, DC ছেদক।
∴ ∠DBC = ∠ACB [একান্তৰ কোণ)…………….(b)
কিন্তু ∆ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ, য’ত ∠C = 90°
∴ ACB = 90°…….. (c)
(iii) ∆DBC ≅ ΔАСВ
উত্তৰঃ এতিয়া, ∆DBC আৰু ∆ABC – ত
DB = AC
∠DBC = ∠ACB = 90°
আৰু BC = BC [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆DBC ≅ ∆ACB [SAS স্বীকার্য্য মতে]
(iv) CM = 1/2AB
উত্তৰঃ ∴ ∆DBC ≅ ∆АСВ
∴ DC = AB
⇒ DM + CM = AB
⇒ CM + CM = AB [ ∴ DM = CM (প্রদত্ত)]
⇒ 2CM = AB
⇒ CM = 1/2AB (প্রমাণিত)।
| অনুশীলনী – 7.2 |
1. এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC ত AB = AC আৰু ∠B আৰু ∠C ৰ সমদ্বিখণ্ডক দুডালে বিন্দুত পৰস্পৰ কটাকটি কৰে। A ক O সৈতে ৰেখাৰে সংলগ্ন কৰা। দেখুওৱা যে-
(i) OB = OC
উত্তৰঃ ∆АВС – ৰ AB = AC
∴ ∠C = ∠B
∠OCA + ∠OCB = ∠OBA + ∠OBC
⇒ ∠OCB + ∠OCB = ∠OBC + ∠OBC
[∴ OB, ∠B – ৰ সমদ্বিখণ্ডক আৰু OC, ∠C – ৰ সমদ্বিখণ্ডক]
⇒ 2∠OCB = 2∠OBC
⇒ ∠OCB = ∠OBC
এতিয়া, ∆OBC – ত
∠OCB = ∠OBC [প্রমাণিত হৈছে]
(ii) AO য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ এতিয়া, ∆AOB আৰু ∆AOC – ৰ
AB = AC [প্রদত্ত]
∴ ∠OBA = ∠OCA ⇒∠B = ∠C
∴ BO, ∠B আৰু CO∠C – ৰ সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়।
⇒ ∠OBA = ∠OCA
AO = AO [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ΑΟΒ ≅ ∆AOC [SAS স্বীকার্য্য মতে]
⇒ ∠OAB = ∠OAC
∴ AO, ∠A – ৰ সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)।
2. ত্রিভুজ ABC ত AD, BC ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। দেখুওৱা যে ∆ABC টো সমদ্বিবাহু ত্রিবুজ, য’ত AB = AC।
উত্তৰঃ
দিয়া আছে – ∆ABC – ৰ AD, BC বাহুৰ সদ্বিখণ্ডক।
দেখুৱাব লাগে যে- AB = AC
প্রমাণঃ ∆ABD আৰু ∆ACD – ৰ
BD = CD
[∴ AD, BC বাহুৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক]
∠ADB = ∠ADC = 90° [∴ AD⏊BC (প্রদত্ত)]
আৰু AD = AD [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD (SAS স্বীকাৰ্য্য মতে]
⇒ AB = AC
∴ ∆ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
3. ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আৰু ইয়াৰ সমান বাহু AC আৰু AB লৈ ক্ৰমে BE আৰু CF উন্নতি অঁকা হৈছে (চিত্র 7.31)। দেখুওৱা যে এই উন্নতি দুডাল পৰস্পৰ সমান।
উত্তৰঃ বিশেষ সূত্রঃ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ সমান বাহুদ্বয়ৰ (AB আৰু AC) ওপৰত যথাক্রমে BE আৰু CF দুটা উন্নতি কোণ অংকন কৰা হৈছে।
দেখুৱাব লাগে যে – BE = CF.
প্রমাণঃ ∆ABE আৰু ∆ACF – ৰ
∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]
∠ABE = ∠AFC = 90° [প্রদত্ত]
AB = AC [প্রদত্ত]
∴ ∆ABE ≅ ∆ACF [AAS স্বীকাৰ্য্য মতে]
⇒ BE = CF [প্রমাণিত]
4. ABC ত্রিভুজৰ AC আৰু AB বাহুলৈ টনা উন্নতি ক্রমে BE আৰু CF পৰস্পৰ সমান (চিত্র 7.32)। দেখুওৱা যে-
(i) ΔΑΒΕ ≅ ΔΑCF
(ii) AB = AC, অর্থাৎ ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
উত্তৰঃ ∆ABE আৰু ∆ACF – ৰ
∠A = ∠A [সধাৰণ কোণ]
∠AEB = ∠AFC = 90° [প্রদত্ত]
[∴ BE⏊AC আৰু CF⏊AB]
BE = CF [প্রদত্ত]
(i) ∴ ∆ABE ≅ ∆ACF [AAS স্বীকার্য্য মতে]
(ii) ∴ AB = AC
∴ ∆ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
5. একেডাল ভূমি BC ৰ ওপৰত ABC আৰু DBC দুটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আঁকা হৈছে। (চিত্র 7.33 চোৱা)। দেখুওৱা যে- ∠ABD = ∠ACD
উত্তৰঃ ∆ABC – ত AB = AC [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ]
∴ ∠ABC = ∠ACB [∴ AB = AC]
আকৌ, ∆BDC – ত BD = CD [∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ]
∴ ∠DBC = ∠DCB
[∴ BD = CD]
∆ABC আৰু ∆BDC – ৰ BC সাধাৰণ বাহু
∴ ∠DCB + ∠ACB = ∠DBC + ∠ABC
∴ ∠ABD = ∠ACD [প্রমাণিত]
6. ∆ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, য’ত AB = AC। বাহু BA ক D বিন্দুলৈ এনেভাৱে বর্ধিত কৰা হৈছে যাতে AD = AB (চিত্র 7.34 চোৱা)। দেখুওৱা যে, ∠BCD সমকোণ।
উত্তৰঃ ∆ABC – ত
∠ABC = ∠ACB ………. (i)
এতিয়া ∆ADC – ত
AD = AC [∴ AB = AC আৰু AB = AD]
⇒ ∠ADC = ∠ACD…………..(ii)
চিত্ৰৰ পৰা আমি পাওঁ…………
∠BAC + ∠CAD =180° [সৰলৰৈখিক যুগ্ম কোণ]………..(iii)
আমি জানো যে, এটা ত্রিভুজৰ বহিঃকোণ, বিপৰীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ৰ সমষ্টিৰ সমান।
∴ ABC – ত
∠CAD = ∠ABC + ∠ACB
= ∠ACB + ∠ACB [(i) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒∠CAD = 2∠ACB……… (iv)
অনিৰূপভাৱে, ∆ADC – ৰ পৰা-
∠BAC = ∠ACD + ∠ADC
= ∠ACD + ∠ACD [(ii) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒∠BAC = 2∠ACD…………..(v)
∴ (iii), (iv) আৰু (v) – ৰ পৰা আমি পাঁও-
2∠ACB + 2∠ACD = 180°
⇒ 2(∠ACB + ∠ACD) = 180°
⇒ ∠ACB + ∠ACD = 180/2 = 90°
⇒ ∠BCD = 90° [প্রমাণিত]
7. ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ, য’ত ∠A = 90° আৰু AB = AC। ∠B আৰু ∠C নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজত,
∠A = 90°
আৰু AB = AC
⇒ ∠C = ∠B…….. (i)
এতিয়া, ∆ABC – ত
∠A + ∠B + ∠C = 180°
[∴ A = 90° (প্রদত্ত) আৰু ∠B = ∠C [(i) – ৰ পৰা]
⇒ 2∠B = 180° – 90°
⇒ 2∠B = 90°
আকৌ, ∠C = ∠B
⇒ ∠C = 45°
∴ ∠B = 45°
∠C = 45°
8. দেখুওৱা যে সমবাহু ত্রিভুজ এটাৰ প্ৰতিটো কোণেই 60°ৰ সমান।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ABC এটা সমবাহু ত্রিভুজ
∴ AB = BC = AC
⇒ AB = BC
⇒ ∠C = ∠A…………… (i)
অনুৰুপভাৱে, AB = AC
⇒ ∠C = ∠B………. (ii)
(i) আৰু (ii) – ৰ পৰা-
∠A = ∠B = ∠C…….. (iii)
এতিয়া, ∆ABC – ৰ পৰা-
∠A + ∠B + ∠C = 180°…………… (iv)
⇒ ∠A + ∠A + ∠A = 180°
⇒ 3∠A = 180°
⇒ ∠A = 180°/3 = 60°
∴ (iii) – ৰ পৰা আমি পাওঁ-
∠A = ∠B = ∠C
⇒ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ সমবাহু ত্রিভুজৰপ্ৰতিটো কোণৰ পৰিমাণ = 60° [প্রমাণিত]
| অনুশীলনী – 7.3 |
1. একে ভূমি BC ৰ ওপৰত ∆ABC আৰু ∆DBC দুটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এনেকৈ অঁকা হৈছে যাতে শীৰ্ষবিন্দু A আৰু D BC ৰ একেফালে থাকে (চিত্র 7.39 চোৱা)। যদি AD ক বর্দ্ধিত কৰিলে BC – ক P বিন্দুত কাটে তেন্তে দেখুওৱা যে,
(i) ∆ABD ≅ ∆ADC
উত্তৰঃ ∆ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ AB = AC
আকৌ, ∆DBC আৰু ∆ACD – ৰ পৰা-
AB = AC (প্রদত্ত)
BD = CD (প্ৰদত্ত)
AD = AD (সাধাৰণ বাহু)
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD [S – S – S স্বীকার্য্য মতে]
(ii) ∆АВР ≅ ∆АСP
উত্তৰঃ ∴ ΔΑΒD ≅ ΔACD
∴ ∠BAD = ∠CAD……..(a)
এতিয়া, ∆ABP আৰু ∆ACP – ত
AB = AC (প্রদত্ত)
∠BAD = ∠CAD [(a) ব্যৱহাৰ কৰি]
AP = AP [সাধাৰণ বাহ]
∴ ΔΑΒΡ ≅ ∆ACP [SAS স্বীকার্য্য মতে]
(iii) AP য়ে ∠A আৰু ∠D উভয়কে সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ ∴ ΔΑΒΡ ≅ ∆АСР
∴ ∠BAP = ∠CAP
[∴ AP, ∠A – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে]
আকৌ, ∴ ∆ADB ≅ ∆ACD
∴ ∠ADB = ADC………..(b)
∴ ∠ADB + ∠BDP = 180° [সৰলৰৈখিক যুগ্মকোণ]…….. (c)
আৰু ∠ADC + ∠CDP = 180° [সৰলৰৈখিক যুগ্মকোণ]………. (d)
এতিয়া (c) আৰু (d) – ৰ পৰা পাওঁ-
∠ADB + ∠BDP = ∠ADC + ∠CDP
⇒ ∠ADB + ∠BDP = ∠ADB + ∠CDP [(b) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ ∠BDP = ∠CDP
∴ DP, ∠D – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। অর্থাৎ, AP, ∠D – ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
(iv) AP, BC – ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।
উত্তৰঃ ∴ ∆ABP ≅ ∆АСР
∴ BP = PC………(e)
আৰু ∠APB = ∠APC………….. (f)
এতিয়া, ∠APB + ∠APC = 180° [সৰলৰৈখিক যুগ্ম কোণ]
⇒ ∠APB + ∠APB = 180° [(f) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ 2∠APB = 180°
⇒ ∠APB = 180°/2
⇒ ∠APB = 90°
AP⏊BC…….. (g)
∴ (e) – ৰ পৰা BP = PC আৰু (g) – ৰ পৰা AP⏊BC পাইছোঁ। অর্থাৎ AP, BC – ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডিক।
2. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটোৰ AD এডাল উন্নতি য’ত AB = AC। দেখুওৱা যে-
(i) AD য়ে BC ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(ii) AD যে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ
∆ABD আৰু ∆ACD – ৰ পৰা পাওঁ-
AB = AC (প্রদত্ত)
∠ADB = ∠ADC = 90° [∴ AD⏊BC]
আৰু AD = AD [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD [SAS স্বীকার্য্য মতে]
∴ BD = DC
∴ AD, BC – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
আকৌ, ∠BAD = ∠CAD
∴ AD – য়ে ∠A – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
3. এটা ত্রিভুজ ABC ৰ দুই বাহু AB আৰু BC আৰু মধ্যমা AM যথাক্রমে আন এটা ত্রিভুজ PQR ৰ দুই বাহু PQ আৰু QR আৰু মধ্যমা PN ৰ সমান (চিত্র 7.40 চোৱা)। দেখুওৱা যে –
(i) ΔΑΒΜ ≅ ∆PQN
(ii) ΔΑΒC ≅ ∆PQR
উত্তৰঃ ∴ AM, ∆ABC – ৰ মধ্যমা।
∴ BM = MC = 1/2BC ……. (a)
আকৌ, PN, ∆PQR – ৰ মধ্যমা।
∴ QN = NR = 1/2QR……..(b)
এতিয়া, BC = QR (প্রদত্ত)
⇒ BM = QN [(a) আৰু (b) ব্যৱহাৰ কৰি]……… (c)
(i) এতিয়া ∆ABM আৰু APQN – ৰ পৰা পাওঁ-
AB = PQ [প্রদত্ত]
AM = PN [প্রদত্ত]
BM = QN [(c) – ৰ পৰা]
∴ ΔΑΒΜ ≅ ΔΡQΝ [SSS স্বীকাৰ্য্য মতে]
∴ ∠B = ∠Q…….(b)
(ii) ∆ABC আৰু ∆PQR – ৰ
AB = PQ [প্রদত্ত]
∠B =∠Q [(d) – ৰ পৰা]
BC = QR [প্রদত্ত]
∴ ∆ABC ≅ ∆PQR [SAS স্বীকার্য্য মতে] (প্রমাণিত)
4. BE আৰু CF এটা ত্রিভুজ ABC ৰ দুডাল সমান উন্নতি। সর্বসমতাৰ স-অ-বা বিধি ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰমাণ কৰা যে ABC ত্রিভুজটো সমদ্বিবাহু।
উত্তৰঃ
∆BEC আৰু ∆CFB – ৰ
∴ ∠BEC = ∠CFB [প্রতিটো কোণ = 90°]
BE⏊AC আৰু CF⏊AB
BC = BC [সাধাৰণ বাহু]
BE = CF [প্রদত্ত]
∴ ∆BEC ≅ ∆CFB [ASS স্বীকার্য্য]
∴ EC = FB … … (i)
এতিয়া, ∆ΑΕΒ আৰু ∆AFC – ৰ
∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]
∠AEB = ∠AFC [প্রদত্ত]
আৰু EB = FC [প্রদত্ত]
∴ ΔΑΕΒ ≅ ∆AFC. [AAS স্বীকাৰ্য্য মতে]
∴ AE = AF……… (ii)
এতিয়া, (i) + (ii) ⇒ EC + AE = FB + AF
⇒ AC = AB
এতিয়া, ∆ABC – ৰ পৰা পাওঁ-
AB = AC
∴ ∆ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (প্রমাণিত)
5. ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ য’ত AB = AC। AP⏊ BC আঁকি দেখুওৱা যে ∠B = ∠C
উত্তৰঃ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ AB = AC
প্ৰমাণ কৰিব লাগেঃ ∠B = ∠C
অংকনঃ AP⏊BC অংকন কৰা হ’ল।
প্রমাণঃ ΔΑΒΡ আৰু ∆ACP – ৰ পৰা পাওঁ-
∴ APB = ∠APC = 90°
AB = AC প্রদত্ত।
আৰু AP = AP [সাধাৰণ বাহু]
∴ ΔΑΒΡ ≅ ΔACΡ [RHS স্বীকার্য্য মতে]
∴ ∠B = ∠C [প্রমাণিত]
| অনুশীলনী – 7.4 |
1. দেখুওৱা যে সমকোণী ত্রিভুজৰ ক্ষেত্ৰত অতিভুজেই হ’ল দীর্ঘতম বাহু।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ। ইয়াৰ কোণ B সমকোণ।
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে, AC কর্ণ বা অতিভুজই দীর্ঘতম বাহু।
প্রমাণঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজ,
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∠A + 90° + ∠C = 180°
∠A + ∠C = 180° – 90°
∠A + ∠C = 90° আৰু ∠B = 90°
∠B ∠C আৰু ∠B >∠A.
আমি জানো যে বৃহত্তম কোণৰ বিপৰীত বাহু দীর্ঘতম হয়। ইয়াত ∠B বৃহত্তম কোণ আৰু ইয়াৰ
বিপৰীত বাহু হ’ল AC। অর্থাৎ অতিভুজই সমকোণী ত্রিভুজৰ দীর্ঘতম বাহু।
2. চিত্র 7.48 ত ∆ABC – ৰ AB আৰু AC বাহুক ক্রমে P আৰু Q বিন্দুলৈ বঢ়াই দিয়া হৈছে। তদুপৰি, ∠PBC < ∠QCB। দেখুওৱা যে, AC > AB.
উত্তৰঃ ∠ABC + ∠PBC = 180° (সৰল ৰৈখিক যুগ্ম কোণ)………..(i)
আৰু ∠ACB + ∠QCB = 180° (সৰল ৰৈখিক যুগ্ম (কাণ)………..(ii)
এতিয়া (i) আৰু (ⅱ) পৰা আমি পাঁও-
∠ABC + ∠PBC = ∠ACB + ∠QCB…….(iii)
কিন্তু ∠PBC < ∠QCB (প্রদত্ত)
∴ (iv) আৰু (iii) ব্যৱহাৰ কৰি-
∠ABC > ∠ACB
এতিয়া, ∆ABC – ত
∠ABC > ∠ACB
∴ AC > AB [প্রমাণিত]
3. চিত্র 7.49 – ত ∠B < ∠A আৰু ∠C < ∠D দেখুওৱা যে, AD < BC.
উত্তৰঃ ΔΑΟB – ত
∠B < ∠A (প্রদত্ত)
⇒ ∠A > <A
∴ OB > OA
[বৃহত্তৰ কোণৰ বিপৰীত বাহু বৃহত্তৰ] ………..(i)
∆COD – ত ∠C < ∠D (প্রদত্ত)।
⇒ ∠D > ∠C
∴ OC > OD [বৃহত্তৰ কোণৰ বিপৰীত বাহু বৃহত্তৰ]………..(ii)
∴ (i) + (ii) ⇒ OB + OC > OA + OD
⇒ BC > AD
⇒ AD < BC [প্রমাণিত]
4. ABCD চতুর্ভুজৰ AB আৰু CD যথাক্রমে হ্রস্বতম আৰু দীর্ঘতম বাহু (চিত্র 7.50)। দেখুওৱা যে ∠A > ∠C আৰু ∠B > ∠D।
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্রঃ ABCD এটা চতুর্ভুজ। ইয়াৰ AB ক্ষুদ্ৰতৰ বাহু আৰু DC বৃহত্তৰ বাহু।
প্রমাণ কৰিব লাগে যে, ∠A > ∠C আৰু ∠B > ∠DI
অংকনঃ A, C আৰু D, B সংযোগ কৰা হ’ল।
প্রমাণঃ ∆ABC – ত AB বাহু ক্ষুদ্রতৰ >
∴ <1> <2……..(i)
∆ADC – ত CD বাহু বৃহত্তৰ।
∴ CD > AD
∠3 >∠4…….. (ii)
∴ (i) + (ii) কৰি পাওঁ-
∠1 + ∠3 > ∠2 + ∠4
⇒ ∠A > ∠C
আকৌ, ∆ADB – ত AB বাহু ক্ষুদ্রতৰ
∴ AD > AB
⇒ ∠5 > ∠6…… (iii)
আৰু ∆ACD – ত CD বাহু বৃহত্তৰ।
∴ CD > BC
⇒ ∠7 > ∠8………………. (iv)
এতিয়া, (iii) + (iv) কৰি পাওঁ-
∠5 + ∠7 > ∠6 + ∠8
⇒ ∠B > ∠D
∴ ∠A > ∠C আৰু ∠B > ∠D [প্রমাণিত]
5. চিত্র 7.51 ত PR > PQ আৰু PS য়ে ∠QPR ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। প্ৰমাণ কৰা যে ∠PSR > ∠PSQ।
উত্তৰঃ ∆PQR – ত PR > PQ [প্রদত্ত]
∴ PQR> <PRQ
[∴ বৃহত্তৰ Q বাহুৰ বিপৰীত কোণ বৃহত্তৰ]……(i)
আকৌ, ∠1 = ∠2
[∴ PS, ∠P – ৰ সমদ্বিখণ্ডক]……..(ii)
এতিয়া, (iii) আৰু (iv) – ৰ আমি পাওঁ-
∠PSQ < ∠PSR
∠PSR > ∠PSQ [প্রমাণিত]
6. দেখুওৱা যে এডাল ৰেখাত নথকা কোনো বিন্দুৰপৰা ৰেখাখণ্ডলৈ টনা আটাইবোৰ ৰেখাখণ্ডৰ ভিতৰত লম্ব ৰেখাখণ্ডডালেই হ’ল হ্রস্বতম।
উত্তৰঃ
প্রমাণঃ ∆PMN – ত ∠M সমকোণ।
সুতৰাং N এটা সূক্ষ্মকোণ।
∴ ∠M > ∠N
⇒ ∠PN > ∠PM
[বৃহত্তৰ কোণৰ বিপৰীত বাহু বৃহত্তৰ]
⇒ PM<PN.
∴ যি কোন বহিঃস্ব বিন্দুৰ পৰা অংকিত ৰেখাখও সমূহৰ মাজত লম্বৰ দৈৰ্ঘ্যই আটাইতকৈ সৰু।
| অনুশীলনী – 7.5 |
1. ABC এটা ত্রিভুজ। ∆ABC – ৰ অন্তর্ভাগত এটা বিন্দু নিৰ্ণয় কৰা যাতে ই ত্রিভুজটোৰ সকলো শীর্ষবিন্দুৰ পৰা সমদূৰত্বত অৱস্থান কৰে।
উত্তৰঃ ABC এটা ত্রিভুজ। এটা ত্রিভুজৰ দুটা বাহু AB আৰু BC – ৰ দুটা লম্ব সমদ্বিখণ্ডক PQ আৰু RS অংকন কৰা হ’ল। ধৰা হ’ল PQ, AB ক M বিন্দুত আৰু RS, BC – ক, N বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত কৰিছে। লম্ব সমদ্বিখণ্ডক দুটা O বিন্দুত ছেদ কৰিছে।
এতিয়া, OA, OB আৰু OC সংযোগ কৰা হ’ল।
∴ ΔΑΟΜ আৰু ΔΒΟΜ – ৰ পৰা
AM = MB (অংকন মতে)
∠AMO = ∠BMO = 90°
আৰু MO = MO [সাধাৰণ বাহু]
∴ ΔΑΟΜ ≅ ΔΒOM
[SAS স্বীকার্য্য মতে]
∴ ΟΑ = ΟΒ…………(i)
অনুৰূপভাবে, ΔΒΟΝ ≅ ΔCΟΝ
OB = OC……….. (ii)
∴ (i) আৰু (ii) – ৰ পৰা পাওঁ–
OA = OB = ОС.
∴ ত্রিভুজৰ যিকোনো দুটা বাহুৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডকৰ ছেদ বিন্দুটো হ’ল শীর্ষবিন্দুবোৰৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী বিন্দু। চিত্ৰত বিন্দুটো হ’ল ‘O’।
2. এটা ত্রিভুজৰ অন্তৰ্ভাগত এটা বিন্দু নির্ণয় কৰা যাতে ই ত্রিভুজটোৰ আটাইবোৰ বাহুৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকে।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল ABC এটা ত্রিভুজ। ∠B আৰু ∠C – ৰ দুটা সমদ্বিখণ্ডক BL অংকন কৰা হ’ল। এই সমদ্বিখণ্ডক দুটা পৰস্পৰ। বিন্দুত ছেদ কৰিছে।
এতিয়া, IK⏊BC, IJ⏊AB আৰু IL⏊AC টনা হ’ল।
∴ ∆BIK আৰু ∆BIJ – ৰ
∠IKB = ∠IJB = 90°
∠IBK = ∠IBJ [ ∴ BI, ∠B – ৰ সমদ্বিখণ্ডক]
আৰু BI = BI [সাধাৰণ বাহু]
∴ ΔΒΙΚ ≅ ∆BIJ [AAS স্বীকার্য্য মতে]
∴ IK = IJ………. (i)
অনুৰূপভাবে ∴ ∆CIK ≅ ∆CIL
∴ IK = IL……. (ii)
∴ (i) আৰু (ⅱ) – ৰ পৰা-
IJ = IK = IL
∴ l বিন্দু, ∆ABC – ৰ যিকোনো দুটা কোণৰ সমদ্বিখণ্ডকৰ ছেদ বিন্দু।
3. এখন বিশাল প্রমোদ কাননত প্রৱেশ কৰা লোকসকল তিনিটা স্থানত থুপ খাই থাকে (চিত্র 7.52)।
(A) য’ত শিশুসকলৰ বাবে ভিন্ন তৰহৰ চোঁচৰা খেলনা (Slide) আৰু দোলনা (Swing) আছে।
(B) যি স্থানৰ কাষত এটা কৃত্রিম হ্রদ অৱস্থিত।
(C) যি স্থান এটা বৃহৎ গাড়ীৰ যোৱা স্থান (Parking) আৰু ও প্রস্থান পথৰ (Exit) ওচৰত অৱস্থিত।
থুপ খাই থকা লোকৰ বৃহত্তম সংখ্যকৰ ওচৰতে হোৱাকৈ এখন আইচক্রীমৰ বিপণী কেনে স্থানত বহুৱাব লাগিব? (ইংগিতঃ দোকানখন A, B, C ৰ পৰা সমদূৰত্বত থাকিব লাগিব।)
উত্তৰঃ আইচক্ৰীমৰ দোকানটো A,B আৰু C – ৰ পৰা সমান দূৰত্বত থাকিব লাগিব। ইয়াৰ বাবে প্ৰথমতে B আৰু C সংযোগকাৰী ৰেখাৰ লম্বসমদ্বিখণ্ডক l, A আৰু C সংযোকাৰী ৰেখাৰ লম্বসমদ্বিখণ্ডক m অংকন কৰিব লাগিব। ধৰা l আৰু m পৰস্পৰ O বিন্দুত ছেদ কৰিলে। O বিন্দুটো A, B আৰু C বিন্দুত্ৰয়ৰ পৰা সমান দূৰত্বত আছে।
OA, OB আৰু OC সংযোগ কৰা হ’ল।
প্রমাণঃ ∆BOP আৰু ∆COP – ৰ পৰা
OP = OP (সাধাৰণ বাহু)
∠OPB = ∠OPC = 90°
আৰু BP = PC [∴ P, BC – ৰ মধ্যবিন্দু]
∴ ∆BOP ≅ ∆COP [SAS স্বীকার্য্য মতে]
∴ OB = OC………(i)
অনুৰূপভাবে, ΔΑOQ ≅ ∆COQ
∴ OA = OC………. (ⅲ)
∴ (i) আৰু (ii) – ৰ পৰা
OA = OB = OC
∴ আইচক্ৰীমৰ দোকানটো O বিন্দুত স্থাপন কৰিব লাগিব।
4. ষড়ভুজ আৰু তৰা আকৃতিৰ ৰংগোলি দুটা [চিত্র 74.53 (i) আৰু (ii)] যিমান সম্ভৱ সিমানটা 1 চে.মি. জোখৰ বাহু বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজেৰে সম্পূৰ্ণ কৰা। উভয় ক্ষেত্ৰতে ত্রিভুজৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা। ত্রিভুজৰ সংখ্যা ক’ত অধিক?
উত্তৰঃ ষড়ভুজ ক্ষেত্ৰাকাৰ ৰংগোলিত সমবাহু ত্রিভুজৰ সংখ্যা = 6 আৰু প্ৰতিটো বাহুৰ দৈর্ঘ্য = 5 চে.মি.।
∴ 5 চে.মি. বাহু বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল
∴ ষড়ভুজাকাৰ ৰংগোলিৰ ক্ষেত্রফল = 6 × এটা সমবাহু ত্রিভুজৰ ক্ষেত্ৰফল
∴ 1 চে.মি. বাহু বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজৰ ক্ষেত্রফল
∴ ষড়ভূজকাৰ ৰংগোলিত 1 চে.মি. বাহু বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজৰ সংখ্যা।
এতিয়া তৰা ৰংগোলিৰ 5 চে.মি. বাহু বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজৰ সংখ্যা = 12
∴ তৰা ৰংগোলিত ক্ষেত্রফল = 12 × 5 চে.মি. বাহু বিশিষ্ট এটা ত্রিভুজৰ ক্ষেত্রফল
∴ (iii) আৰু (v) – ৰ পৰা দেখা যায় যে তৰা ৰংগোলিত সমবাহু ত্রিভুজৰ সংখ্যা অধিক।
