SEBA Class 9 Mathematics Chapter 6 ৰেখা আৰু কোণ Solutions, SEBA Class 9 Maths Textbook Notes in Assamese Medium, SEBA Class 9 Mathematics Chapter 6 ৰেখা আৰু কোণ Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 9 Mathematics Chapter 6 ৰেখা আৰু কোণ Notes and select needs one.
SEBA Class 9 Mathematics Chapter 6 ৰেখা আৰু কোণ
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 9 Mathematics Chapter 6 ৰেখা আৰু কোণ Question Answer. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 9 Mathematics Chapter 6 ৰেখা আৰু কোণ Solutions for All Subject, You can practice these here.
ৰেখা আৰু কোণ
Chapter – 6
অনুশীলনীঃ 6.1 |
1. চিত্ৰ 6.13ত AB আৰু CD ৰেখাই O বিন্দুত কটাকটি কৰিছে। যদি ∠AOC + ∠BOE = 70° আৰু ∠BOD = 40°, তেন্তে ∠BOE আৰু প্ৰত্যাৱৰ্ত্তী ∠COE নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ∴ ∠AOC = ∠BOD [বিপ্রতীপ কোণ]
⇒ ∠AOC = 40° [∠BOD = 40° প্রদত্ত]
∴ ∠AOC + ∠BOE = 70° [প্রদত্ত]
⇒ 40°+ ∠BOE = 70°
⇒ ∠BOE = 70° – 40° = 30°
আকৌ, ∠AOC + ∠COE + ∠BOE = 180° [সৰলৰৈখিক কোণ]
⇒ 40° + ∠COE + 30° = 180°
⇒ ∠OE = 180° – (40° + 30°) = 180° – 70° = 110°
∴ প্ৰত্যাৱৰ্তী ∠COE = 360° – 110° = 250°
∴ ∠BOE = 30°
আৰু প্ৰত্যাৱৰ্তী ∠COE = 250°।
2. চিত্র 6.14 -ত XY আৰু MN ৰেখাই O বিন্দুত কটাকটি কৰিছে। যদি ∠POY = 90° আৰু a: b = 2:3, তেন্তে C নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ∠POX + ∠POY = 180° [সৰলৰৈখিক কোণ]
⇒ ∠POX + ∠90° = 180°
⇒ ∠POX = 90°
এতিয়া, ধৰা হ’ল a = 2k আৰু b = 3k, য’ত k ধ্ৰুৱক আৰু k > 0
∴ ∠POX = 90°
⇒ 2k + 3k = 90°
∴ a = 2k = 2 × 18º = 36°, b = 3k = 3 × 18º = 54°
এতিয়া, ∠MOX + ∠NOX = 180° [সৰলৰৈখিক কোণ]
⇒ b + c = 180°
⇒ 54° + c = 180°
⇒ c = 180° – 54° = 126°
∴ নির্ণেয় C – ৰ মান = 126°।
3. চিত্র 6.15 – ত ∠PQR = ∠PRQ, তেন্তে প্রমাণ কৰা যে ∠PQS = ∠PRT.
উত্তৰঃ
∴ ∠PQS + ∠PQR = 180°…….. (1)
∴ ∠PRT + ∠PRS = 180° ……. (2)
∴ (1) আৰু (2) – ৰ পৰা পাওঁ-
4. চিত্র 6.16 – ত যদি x + y = w + z তেন্তে প্রমাণ কৰা যে, AOB এডাল সৰলৰেখা।
উত্তৰঃ চিত্রমতে,
∠AOC + ∠BOC + DOB + ∠AOD = 360°
⇒ x + y + w + z = 360°
⇒ x + y + w + z = 360° (∴ x + y = w + z]
⇒ 2x + 2y = 360°
⇒ 2(x + y) = 360°
⇒ ∠BOC + ∠AOC = 180°
∴ AOB এটা সৰলৰেখা। [প্রমাণিত]
5. চিত্র 6.17 – ত, POQ এডাল ৰেখা। OR ৰশ্মি, PQ ৰেখাৰ ওপৰত লম্ব। OP আৰু OR ৰশ্মিৰ মাজত থকা আন এডাল ৰশ্মি হ’ল OS। প্রমাণ কৰা যে, ∠ROS = 1/2(∠QOS – ∠POS)।
উত্তৰঃ
প্রদত্ত চিত্রমতে,
∠QOR + ∠POR = 180° [সৰলকৈখিক কোণ]
⇒ 90°+ ∠POR = 180°
⇒ ∠POR = 180°- 90° = 90°
⇒ ∠ROS + ∠POS = 90°
⇒ ∠ROS = 90° – ∠POS ………. (1)
⇒ ∠QOS + POS = 180° [সৰলৰৈখিক কোণ]……..(ii)
এতিয়া, (ⅱ) ৰ উভয় পক্ষৰ পৰা 2∠POS বিয়োগ কৰা হ’ল-
∠QOS + ∠POS – 2∠POS = 180° – 2∠POS
⇒ ∠QOS – ∠POS = 2(90° – ∠POS)
⇒ 1/2(∠QOS – ∠POS) = 90° − ∠POS ………. (iii)
এতিয়া, (1) আৰু (iii) ৰ পৰা আমি পাওঁ-
∠ROS = 1/2 (∠QOS – POS) [প্রমাণিত]
6. দিয়া আছে যে ∠XYZ = 64° আৰু XYক P বিন্দুলৈ বঢ়াই দিয়া হৈছে। এই তথ্যৰ
সহায়ত এটা চিত্র অংকন কৰা। যদি YQ ৰশ্মিয়ে ∠ZYP – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে তেন্তে ∠XYQ আৰু প্রত্যাৱর্তী ∠QYP নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
XY ৰেখা বিন্দু লৈ বর্ধিত কৰা হ’ল।
∴ XP এটা সৰলৰেখা।
∴ ∠XYX + ∠ZYP = 180° (সৰলৰৈখিক কোণ)
⇒ 64° + ∠ZYP = 180°
⇒ ∠ZYP = 180° – 64°
⇒ ∠ZYP = 116° ………..(i)
দিয়া আছে ∠ZYP – ৰ সমদ্বিখণ্ডক YQ।
∠ZYQ = ∠QYP = 1/2 ∠ZYP
⇒ ∠ZYP = ∠QYP = 1/2 × 116° [(i) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ ∠ZYQ = ∠QYP = 58º ……..(ii)
⇒ ∠QPY = 58°
এতিয়া, ∠XYQ = ∠XYZ + ∠ZYQ
⇒ ∠XYQ = 64° + 58°
∴ ∠XYZ = 64° (প্রদত্ত) আৰু ∠ZYQ = 580°
⇒ ∠XYQ = 122°
(ii) ৰ পৰা, ∠QYP = 58°
⇒ প্রত্যাৱর্তী ∠QYP = 360° – ∠QYP
⇒ প্রত্যাৱর্তী ∠QYP = 360° – 58°
⇒ প্ৰত্যাৱৰ্তী ∠QYP = 302°
∴ ∠XYQ = 122°
প্রত্যাৱর্তী ∠QYP = 302°।
অনুশীলনী – 6.2 |
1. চিত্র 6.28 – ত x আৰু y – ৰ মান উলিওৱা আৰু তাৰ পাছত দেখুওৱা যে AB ll CD।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ছেদক LM, AB আৰু CD – ক P আৰু Q বিন্দুত ছেদ কৰিছে।
এতিয়া, চিত্ৰৰ পৰা পাওঁ-
50° + x = 180° [সৰল ৰৈখিক কোণ]
⇒ x = 180° – 50° = 130°……….. (i)
∴ y = 130° (বিপ্রতীপ কোণ)………. (ii)
∴ (i) আৰু (ii) – ৰ পৰা আমি পাওঁ x =বy
∴ দেখা যায় যে, অন্তঃস্থ একান্তৰ দুটা সমমানৰ।
∴ AB II CD (প্রমাণিত)
2. চিত্র 6.29 – ত, যদি AB ll CD, CD Il EF আৰু y : z = 3 : 7, তেন্তে x নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ∴ AB II CD
∴ x + y = 180°………. (i)
দিয়া আছে,
AB II CD, CD II EF
∴ AB II EF
∴ x = z [একান্তৰ কোণ]
এতিয়া, (i) আৰু (ii) ৰ পৰা পাওঁ
z + y = 180°…………… (iii)
আকৌ, দিয়া আছে, y : z = 3 : 7
ধৰা হ’ল, y = 3k, z = 7k, য’ত k > 0
এতিয়া, (iii) নং সমীকৰণত k – ৰ মান বহুৱাই পাওঁ-
7k + 3k = 180°
⇒ 10k = 180°
∴ y = 3k = 3 × 18° = 54°
আৰু z = 7k = 7 × 18° = 126°
আমি (ii) – ৰ পৰা পাঁও-
x = z
∴ x = 126°।
3. চিত্র 6.30 – ত, AB Il CD, EF⏊CD আৰু ∠GED = 126° তেন্তে ∠AGE, ∠GEF আৰু ∠FGE উলিওৱা।
উত্তৰঃ AB II CD আৰু GE এটা ভেদক।
∴ ∠AGE = ∠GED [একান্তৰ কোণ)
⇒ ∠AGE = 126°
∴ ∠GED = 126° (প্রদত্ত)
⇒ ∠GED + 90° = 126°
[∴ EF⏊CD (প্রদত্ত)
∴ ∠FED = 90°]
⇒ ∠GEF = 126° – 90°
⇒ ∠GEF = 36°
এতিয়া, ∠AGE + ∠FGE = 180° [সৰল ৰৈখিক কোণ]
⇒ ∠126° + ∠FGE = 180°
⇒ ∠FGE = 180° – 126° = 54°
4. চিত্র 6.31 – ত, যদি PQ ll ST, ∠PQR = 110° আৰু ∠RST = 130°, তেন্তে ∠QRS নিৰ্ণয় কৰা। [ইংগিত: R বিন্দুৰে যোৱাকৈ ST ৰ সমান্তৰালভাৱে থকাকৈ এডাল ৰেখা অংকন কৰা]
উত্তৰঃ
R বিন্দুৰ মাজেৰে ST – ৰ সমান্তৰাল কৰি RN ৰেখা অংকন কৰা হ’ল।
এতিয়া, ST ॥ RN
⇒ ∠RST + ∠SRN = 180°
[ছেদকৰ একেফালৰ অন্তঃকোণ দুটাৰ পৰিমাণৰ সমষ্টি দুই সমকোণৰ সমান]
⇒ 130° + ∠SRN = 180°
⇒ ∠SRN = 180° – 130°
⇒ ∠SRN = 50°……….(i)
এতিয়া, PQ ll ST (প্রদত্ত)
আৰু RN ll ST [অংকন মতে]
∴ PQ II RN.
এতিয়া, ∴ PQ II RN, QR এটা ভেদক]
∴ ∠QRN = ∠PQR (একান্তৰ কোণ]
⇒ ∠QRN = 110° [∴ PQR = 110° (প্রদত্ত)]
⇒ ∠QRS + ∠SRN = 110°
⇒ ∠QRS = 110° – 50°
⇒ ∠QRS = 60°
5. চিত্র 6.32 – ত AB ll CD, ∠APQ = 50° আৰু ∠PRD = 127° হয়, তেন্তে x আৰু y – ৰ মান নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ∴ AB II CD, PQ এটা ভেদক।
∴ ∠APQ = ∠POR
∴ x = ∠APO [একান্তৰ কোণ]
⇒ x = 50° [∴ ∠APQ = 50° (প্রদত্ত)]
∴ AB II CD, PR এটা ভেদক।
∴ ∠APQ + ∠QPR = ∠PED
⇒ 50° + y = 127°
⇒ y = 127° – 50°
⇒ y = 77°
∴ x = 50°; y = 77°
6. চিত্র 6.33 ত, PQ আৰু RS দাপোণ দুখনক পৰস্পৰ সমান্তৰালকৈ ৰখা হৈছে। AB আপতিত ৰশ্মি PQ দাপোণৰ B বিন্দুত পৰিছে আৰু প্ৰতিফলিত হৈ BC পথেৰে গৈ RS দাপোণৰ C বিন্দুত পৰিছে। এই ৰশ্মি আকৌ CD দিশেৰে বিপৰীতক্ৰমত প্রতিফলিত হৈছে। প্রমাণ কৰা যে AB ll CD।
উত্তৰঃ চিত্রমতে, PQ আৰু RS দুটা সমতল দর্পণ পৰস্পৰ সমান্তৰাল। আপতিত ৰশ্মি AB দৰ্পণ PQ – ত B বিন্দুত আপতিত হৈছে। CD ৰশ্মি RS দৰ্পণৰ পৰা প্ৰতিফলিত হ’ল।
প্রমাণ কৰিব লাগে যে- AB ll CD
প্রমাণঃ আমি জানো যে-
আপাতন কোণ = প্রতিফলন কোণ
∴ ∠1 = ∠2 আৰু ∠3 = ∠4……….(i)
∠1, আপতিত ৰশ্মি AB আৰু অভিলম্ব BL – ৰ মধ্যৱর্তী কোণ।
∠2, প্ৰতিফলিত ৰশ্মি BC আৰু অভিলম্ব BL – ৰ মধ্যাৱতী কোণ।
∴ ∠2 হ’ল প্রতিফলিত কোণ।
একেদৰে ∠3 আৰু ∠4 যথাক্রমে আপাতন কোণ আৰু প্রতিফলন কোণ।
∴ PQ ll RS আৰু BL⏊PQ,
∴ CM ⏊ RS
∴ BL II CM.
এতিয়া, BL II CM, BC ছেদক।
∴ ∠2 = 23 [একান্ত কোণ] ……… (ii)
∴ ∠ABC = ∠1 + ∠2
⇒ ∠ABC = ∠2 + ∠2 [ ∴ ∠1 = ∠2]
⇒ ∠ABC = 2∠2
আৰু ∠BCD = ∠3 + ∠4
⇒ ∠BCD = ∠3 + ∠3 [ ∴ ∠3 = ∠4]
⇒ ∠BCD = 2∠3
কিন্তু (ii) – ৰ পৰা আমি পাঁও-
∠2 = ∠3
⇒ 2∠2 = 2∠3
⇒ ∠ABC = ∠BCD, সিহঁত একান্ত কোণ।
∴ AB II CD [প্রমাণিত]
অনুশীলন – 6.3 |
1. চিত্র 6.39 – ত, ∆PQR – ৰ QP আৰু RQ বাহু দুটাক ক্রমে S আৰু T বিন্দুলৈ বঢ়াই দিয়া হ’ল। যদি ∠SPR = 135° আৰু ∠PQT = 110°, তেন্তে ∠PRQ নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
∠SPR + ∠QPR = 180° [সৰল ৰৈখিক কোণ]
∴ 135° + ∠QPR = 180°
⇒ QPR 180° – 135° = 45°
আমি জানো যে, ত্রিভুজৰ এটা বহিঃকোণ দূৰৱৰ্তী অন্তঃকোণ দুটাৰ সমষ্টিৰ সমান।
∴ ∆PQR – ৰ পৰা
বহিঃকোণ ∠PQT = ∠QPR + ∠PRQ
⇒ 110° = 45° + ∠PRQ
⇒ 110° – 45° = ∠PRQ
⇒ ∠PRQ = 65°
2. চিত্র 6.40 – ত ∠X = 62°, ∠XYZ = 54°। যদি, ∆XYZ – ৰ YO আৰু ZO ক্রমে ∠XYZ আৰু ∠XZY – ৰ সমদ্বিখণ্ডক, তেন্তে ∠OZY আৰু ∠YOZ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
∆XYZ – ত
∠X + ∠XYZ + ∠XZY = 180°
⇒ 62° + 54° + ∠XZY = 180°
⇒ ∠XZY = 180° – 116° = 64°
এতিয়া, ZO, ∠XZY – ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
⇒ ∠OZY = ∠OZX = 32°
⇒ ∠OZY = 32°
আকৌ, YO, XYZ∠ – ত সমদ্বিখণ্ডত।
⇒ ∠OZY = 27°
এতিয়া, ΔΟΥΖ – ত
∠OZY = ∠OYZ + ∠OZY = 180°
⇒ ∠YOZ + 27° + 32° = 180°
⇒ ∠YOZ = 180° – 59° = 121°
3. চিত্র 6.41 – ত, যদি AB II DE, ∠BAC = 35° আৰু ∠CDE = 53°, তেন্তে ∠DCE উলিওৱা।
উত্তৰঃ
∴ AB II DE, AE ছেদক।
∴ ∠BAE = ∠AED [একান্তৰ কোণ]
⇒ ∠BAC = ∠AED
⇒ AED = 35°
⇒ CED = 35°
এতিয়া, ∆CDE – ত
∠DCE + ∠CDE + ∠CED = 180°
⇒ ∠DCE + 53° + 35° = 180°
⇒ ∠DCE + 88° = 180°
⇒ ∠DCE = 180° – 88°
⇒ ∠DCE = 92°
4. চিত্র 6.42 – ত যদি PQ আৰু RS ৰেখাই T বিন্দুত কটাকটি কৰে যাতে ∠PRT = 40°, ∠RPT = 95° আৰু ∠TSQ = 75°, তেন্তে ∠SQT উলিওৱা।
উত্তৰঃ
∆PRT – ত ∠PRT + ∠RPT + ∠PTR = 180°
⇒ 95° + 40° + ∠PTR = 180°
⇒ ∠PTR = 180° – 135°
⇒ ∠PTR = 45° ……….(i)
PQ আৰু RS ৰেখাদ্বয় পৰস্পৰ T বিন্দুত ছেদ কৰিছে।
∴ ∠STQ = ∠PTR [বিপ্রতীপ কোণ]
⇒ ∠STQ = 54° [(i)-ব্যৱহাৰ কৰি]
এতিয়া, ∆STQ – ত
∠SQT + STQ + ∠TSQ = 180°
⇒ ∠SQT + 45° + 75° = 180°
⇒ ∠SQT = 180° – 120° = 60°
⇒ ∠SQT = 60°
5. চিত্র 6.43 – ত যদি PQ⏊PS, PQ II SR, ∠SQR = 28° আৰু ∠QRT = 65°, তেন্তে x আৰু y – ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ
∴ এটা ত্রিভুজৰ এটা বহিঃকোণ দূৰৱৰ্তী বিপৰীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ৰ সমষ্টিৰ সমান
∴ ∆QSR – ত
বহিঃ ∠QRT = ∠QSR + ∠SQR
⇒ 65° = ∠QSR +28°
⇒ ∠QSR = 65° – 28° = 37°
⇒ ∠QSR = 37°……….(i)
আকৌ, PQ II SR, SQ ছেদক।
∴ x = ∠QSR (একান্তৰ কোণ)
⇒ x = 37° [(i) – ব্যৱহাৰ কৰি]…….. (ii)
∴ PQ II RS
সমকোণী ত্রিভুজ PQS – ত
∠QPS + x + y = 180°
⇒ 90° + 37° + y = 180°
⇒ 127° + y = 180°
⇒ y = 180° – 127°
⇒ y = 53°
∴ ∠y = 53°।
6. চিত্র 6.44, ∆PQR – ৰ QR বাহুক S বিন্দুলৈ বঢ়াই দিয়া হ’ল। যদি ∠PQR আৰু ∠PRS কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক দুডাল T বিন্দুত মিলিত হয়, তেন্তে প্রমাণ কৰা যে- ∠QTR = 1/2 ∠QPR.
উত্তৰঃ QT, ∠PQR – ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
∴ ∠PQT = ∠RQT ………(i)
RT, ∠PRS – ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
∴ ∠PRT = ∠TRS………..(ii)
∴ ত্রিভুজৰ এটা বহিঃকোণ দূৰৱৰ্তী অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ৰ সমষ্টিৰ সমান।
∴ ∆PQR – ত
বহিঃকোণ ∠PRS = ∠QPR + ∠PQR
⇒ (∠PRT + ∠TRS) = ∠QPR + (∠PQT + ∠RQT)
⇒ ∠TRS + ∠TRS = ∠QPR + (∠RQT + ∠RQT) [(i) আৰু (ii) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ 2∠TRS = ∠QPR + 2∠RQT.
⇒ 2(∠TRS – ∠RQT) = ∠QPR
⇒ ∠TRS – ∠RQT = 1/2∠QPR……..(iii)
এতিয়া, ∆QTR – ত
বহিঃকোণ ∠TRS = ∠QTR + ∠RQT…….. (iv)
(iii) আৰু (iv) ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ-
∠QTR + ∠RQT – ∠RQT = 1/2∠QPR
⇒ ∠QTR = 1/2∠QPR [প্রমাণিত]