SEBA Class 9 Mathematics Chapter 8 চতুৰ্ভুজ Solutions, SEBA Class 9 Maths Textbook Notes in Assamese Medium, SEBA Class 9 Mathematics Chapter 8 চতুৰ্ভুজ Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 9 Mathematics Chapter 8 চতুৰ্ভুজ Notes and select needs one.
SEBA Class 9 Mathematics Chapter 8 চতুৰ্ভুজ
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 9 Mathematics Chapter 8 চতুৰ্ভুজ Question Answer. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 9 Mathematics Chapter 8 চতুৰ্ভুজ Solutions for All Subject, You can practice these here.
চতুৰ্ভুজ
Chapter – 8
| অনুশীলনীঃ 8.1 |
1. এটা চতুর্ভুজৰ কোণকেইটাৰ অনুপাত 3 : 5 : 9 : 13। চতুর্ভুজটোৰ অটাইকেইটা কোণ নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ABCD এটা চতুর্ভুজ।
∴ ∠A = 3x
∴ ∠B = 5x
∴ C = 9x
আৰু ∠D = 13x, য’ত x এটা ধনাত্মক ধ্ৰুৱক।
∴ চতুর্ভুজৰ চাৰিটা কোণৰ পৰিমাণ হ’লঃ 36°, 60°, 108° আৰু 156°।
2. যদি এটা সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুডাল সমান, তেন্তে দেখুওৱা যে ই এটা আয়ত।
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্রঃ ABCD এটা সামান্তৰিক।
ইয়াৰ কৰ্ণ AC = কৰ্ণ BD
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যেঃ ABCD এটা আয়তক্ষেত্র।
প্রমাণঃ ∆ABC আৰু ∆ABD – ৰ পৰা পাওঁ-
AB = AB [সাধাৰণ বাহু]
AC = BD [প্রদত্ত]
আৰু AD = BC [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু]
∴ ∆ABC ≅ ∆ABD [S – S – S স্বীকার্য্য মতে]
⇒ ∠DAB = ∠CBA…………. (i)
কিন্তু ∠DAB + ∠CBA = 180°……..(ii)
[∴ AD ll BC আৰু AB ছেদক। ছেদকৰ একেফালে অৱস্থিত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ৰ সমষ্টি = 180°]
∴ (i) আৰু (ii) – ৰ পৰা পাওঁ-
∠DAB = ∠CBA = 90° বা এক সমকোণ।
[∴ যি সামান্তৰিকৰ এটা কোণৰ পৰিমাণ 90° হ’লে সামান্তৰিকটো আয়তক্ষেত্র হ’ব]
∴ ABCD এটা আয়তক্ষেত্র।
3. যদি এটা চতুর্ভুজৰ কৰ্ণ দুডাল সমকোণত সমদ্বিখণ্ডিত হয়, তেন্তে দেখুওৱা যে ই এটা ৰম্বাচ।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ABCD এটা চতুর্ভুজ। ইয়াৰ কৰ্ণ AC আৰু কৰ্ণ DB পৰস্পৰ O বিন্দুত সমকোণে দ্বিখণ্ডিত হৈছে।
∴ OA = OC, OB = OD
আৰু ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে, ABCD এটা ৰম্বাছ।
প্রমাণঃ ∆AOD আৰু ∆BOC – ৰ
∠OA = OC [প্রদত্ত]
∴ ∠AOD = ∠BOC = 90°
OD = OB
∴ ∆ACD ≅ ∆COB [SAS স্বীকাৰ্য্য মতে]
∴ AD = CB………(i)
আকৌ, ∆AOB আৰু ∆COD – ৰ
OA = OC [প্রদত্ত]
∠∆AOB ≅ ∆COD [SAS স্বীকার্য্য মতে]
এতিয়া, ∆AOB আৰু ∆BOC – ৰ
AO = OC [প্রদত্ত]
∠AOB = ∠BOC = 90°
OB = OB [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∠∆AOB ≅ ∆BOC [SAS স্বীকার্য্য মতে]
∴ AB = BC………….(iii)
(i), (ii) আৰু (ⅲ) – ৰ পৰা আমি পাওঁ-
AD = BC = CD = AB আৰু চতুর্ভুজটোৰ কৰ্ণ দুটা পৰস্পৰ সমকোণে দ্বিখণ্ডিত হৈছে। সুতৰাং এই চতুর্ভুজটো ৰম্বাছৰ সকলো ধৰ্ম সিদ্ধ কৰিছে। অর্থাৎ প্রদত্ত চতুর্ভুজটো এটা ৰম্বাছ।
4. দেখুওৱা যে, বৰ্গ এটাৰ কৰ্ণ দুডাল সমান আৰু ইহঁত পৰস্পৰ লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
উত্তৰঃ
(i) বিশেষ সূত্রঃ ABCD এটা বর্গক্ষেত্র। AC আৰু BD কর্ণদ্বয় পৰস্পৰ O বিন্দুত দ্বিখণ্ডিত হৈছে।
(ii) প্রমাণ কৰিব লাগে যে, (1) AC = BD আৰু (2) AC⏊BD.
(iii) প্রমাণঃ ∆ABC আৰু ∆BAD – ৰ
AB = AB [সাধাৰণ বাহু]
∠ABC = ∠BAD = 90°
আৰু BC = AD [বৰ্গৰ বাহু]
∴ ABC = ABAD [SAS স্বীকার্য্য মতে]
⇒ AC = BD [প্রমাণিত]
আকৌ, ΔΑΟΒ আৰু ∆AOD – ৰ
AO = AO [সাধাৰণ বাহু]
AB = AD [বৰ্গৰ কৰ্ণদ্বয় পৰস্পৰ দ্বিখণ্ডিত হয়]
∴ ∆AOB ≅ ∆AOD [S – S – S স্বীকার্য্য মতে]
∴ ∠AOB = ∠AOD
কিন্তু ∠AOB + ∠AOD = 180° [সৰলৰৈখিক যুগ্মকোণ]
∴ ∠AOB = 180°- ∠AOD = 90°
অনুৰূপভাবে ∠AOD = 90°
∴ ∠AOB = ∠AOD = 90°
অর্থাৎ OABD, অথবা ACBD [প্রমাণিত]
5. দেখুওৱা যে যদি এটা চতুর্ভুজৰ কৰ্ণ দুডাল সমান আৰু ইহঁত পৰস্পৰ লম্বভাৱে সমদ্বিখণ্ডিত হয়, তেন্তে চতুর্ভুজটো এটা বর্গ।
উত্তৰঃ
ABCD এটা চতুর্ভুজ। ইয়াৰ AC = BD আৰু কর্ণদ্বয় সংকোণত সমদ্বিখণ্ডিত হয়। অর্থাৎ OA = OC আৰু OB = OD
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে, ABCD এটা বর্গ।
প্রমাণঃ AC = BD (প্রদত্ত)
OA = OC…………(i)
আৰু OB = OD………… (ii)
∴ AC = BD
⇒ OA + OC = OB + OD
⇒ OC + OC = OB + OB
20C = 20B [(i) আৰু (ii) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ OC = OB…….. (iii)
এতিয়া, (i), (ii) আৰু (ⅲ) – ৰ পৰা পাওঁ-
OA = OB = OC = OD………. (iv)
∴ ∆AOB আৰু ∆COD – ৰ পৰা-
OA = OD
∠AOB = ∠COD [বিপ্রতীপ কোণ]
আৰু OB = OC
∴ ∆AOB ≅ ∆AOD [SAS স্বীকার্য্য মতে]
∴ AB = DC……….. (v)
অনুৰূপভাবে, ∆BOC ≅ ∆AOD [SAS স্বীকাৰ্য্য মতে]
∴ BC = AD………. (iv)
∴ (v) আৰু (vi) ৰ পৰা পোৱা যায় যে, ABCD চতুর্ভুজৰ বিপৰীত বাহুযোৰ সমান।
∴ ABCD এটা সামান্তৰিক।
এতিয়া, ∆ABC আৰু ∆BAD – ৰ
AB = BA [সাধাৰণ বাহু]
BC = AD
আৰু AC = BD
∴ ∆ABC ≅ ∆BAD [S – S – S স্বীকার্য্য মতে]
∴ ∠ABC = ∠BAD…….. (vii)
কিন্তু ∠ABC + ∠BAD = 180° ………. (viii)
[∴ ABCD এটা সামান্তৰিক]
∴ AD ll BC আৰু AB ছেদক।
⇒ ∠ABC + ∠ABC = 180° [(vii) আৰু (viii) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ 2∠ABC = 180°
⇒ ∠ABC = 90°
∴ ∠ABC = ∠BAD = 90° …….. (ix)
∴ সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান।
কিন্তু ∠ABC = 90° আৰু ∠BAD = 90°
∴ ∠ABC = ∠ADC = 90°……… (x)
আৰু ∠BAD = ∠BCD = 90°…………(xi)
∴ আমি পাইছোঁ যে,
∠ABC = ∠ADC = ∠BAD = ∠BCD = 90°………….. (xii)
আকৌ ΔΑΟΒ আৰু ∆BOC – ৰ
OA = OC [প্রদত্ত]
∠AOB = ∠BOC = 90°
আৰু OB = OB [সাধাৰণ বাহু]
∴ ΔΑΟΒ ≅ ΔCΟΒ [SAS স্বীকার্য্য মতে]
∴ AB = BC……..(xiii)
এতিয়া, (v), (vi) আৰু (xiii) – ৰ পৰা পাওঁ-
AB = BC = CD = DA…………(xiv)
[(xii) আৰু (xiv) ব্যৱহাৰ কৰি]
∴ আমি পালোঁ যে সমান কর্ণদ্বয় পৰস্পৰ সমকোণত দ্বিখণ্ডিত হৈছে আৰু চতুর্ভুজৰ প্ৰতিটো কোণ 90° পোৱা গৈছে।
∴ ABCD চতুর্ভুজটো এটা বর্গক্ষেত্র। (প্রমাণিত)
6. ABCD সামান্তৰিকৰ AC কৰ্ণই ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। দেখুওৱা যে,
(i) কর্ণডালে, ∠C কোণকো সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(ii) ABCD এটা ৰম্বাচ।
উত্তৰঃ (i) বিশেষ সূত্রঃ AC কর্ণ, ABCD সামান্তৰিকৰ ∠A-ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিছে।
(ii) প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে, (1) AC কর্ণ ∠C – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিছে আৰু (2) ABCD এটা ৰম্বাছ।
(iii) প্রমাণঃ ∴ AB II DC, AC ছেদক।
∴ ∠1 = ∠3 [একান্তৰ কোণ]…………(a)
অনুৰূপভাবে, ∠2 = ∠4…………(b)
কিন্তু ∠1 = ∠2
[∴ AC, ∠A – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিছে]…….(c)
∴ ∠3 = ∠4
[(a), (b) আৰু (c) ব্যৱহাৰ কৰি]
∴ AC কর্ণ ∠C – ক
সমদ্বিখণ্ডিত কৰে [প্রমাণিত]
আকৌ, ∴ ∠1 = ∠2
∴ ∠BC = DC……(d)
[সমান কোণৰ বিপৰীত বাহু সমান মাপৰ হয়]
আমি জানোঁ যে সামান্তৰিকৰ বাহুবোৰ সমান হ’লে ই এটা ৰম্বাছ হয়।
∴ BC = AD……..(e), AB = DC…….(f)
∴ (d), (e) আৰু (f) – ৰ পৰা পাওঁ-
∴ AB = BC = CD = DA
আমি জানোঁ যে সামান্তৰিকৰ বাহুবোৰ সমান হ’লে ই এটা ৰম্বাছ হয়। অর্থাৎ ইয়াত ABCD সামান্তৰিকৰ AB = BC = DA পাৱা গ’ল।
∴ ABCD এটা ৰম্বাছ (প্ৰমাণিত)।
7. ABCD এটা ৰম্বাছ। দেখুওৱা যে AC কৰ্ণই ∠A আৰু ∠C কোণ দুটাক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে আৰু BD কণই ∠B আৰু ∠D কোণ দুটাক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ
বিশেষ সূত্রঃ ABCD এটা ৰম্বাছ। AC আৰু BD দুটা কৰ্ণ। প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে, AC কর্ণ ∠B, ∠D – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
প্রমাণঃ ABCD এটা ৰম্বাছ।
∴ AB = BC = CD = AD
∴ AC আৰু BD কর্ণদ্বয় O
বিন্দুত সমকোণত সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
∴ OA = OC আৰু OB = OD
এতিয়া, ΔΑΟĘ আৰু ∆AOD – ৰ
OA = OA [সাধাৰণ বাহু)
AB = AD [ৰম্বাছৰ দুটা বাহু]
আৰু OB = OD
∴ ∆AOB ≅ ∆AOD [S – S – S স্বীকার্য্য মতে]
∴ ∠OAD = ∠OAB
⇒ OA, ∠A – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।………(i)
অনুৰূপভাবে, ∆BOC ≅ ∆DOC [S – S – S স্বীকার্য্য মতে]
∴ ∠OCB = ∠OCD
⇒ OC, ∠C – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। ……….(ii)
∴ (i) আৰু (ⅱ) – ৰ পৰা দেখা যায় যে, AC কর্ণ, ∠A আৰু ∠C – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
আকৌ ΔΑΟΒ আৰু ∆BOC – ৰ
OB = OB [সাধাৰণ বাহু]
AB = BC [ৰম্বাছৰ দুটা বাহু]
আৰু OA = OC
∴ ∆AOB ≅ ∆BOC [S – S – S স্বীকার্য্য মতে]
∴ ∠OBA = ∠OBC
⇒ OB, ∠B – ৰ সমদ্বিখণ্ডক………(ⅲ)
অনুৰূপভাবে, ∆AOD ≅ ∆COD [S – S – S স্বীকার্য্য মতে]
∴ ∠ODA = ∠ODC
⇒ OD, ∠D – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
∴ (iii) আৰু (iv) – ৰ পৰা দেখা যায় যে – BD কর্ণ, ∠B আৰু ∠D – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(প্রমাণিত)
8. ABCD এটা আয়ত আৰু ইয়াৰ AC কৰ্ণই ∠A আৰু ∠C কোণক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। দেখুওৱা যে-
(i) ABCD এটা বর্গ।
(ii) BD কৰ্ণই ∠B আৰু ∠D কোণক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ
ABCD এটা আয়ত।
∴ AB = DC
আৰু BC = AD………..(a)
∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°
[∴ ABCD এটা আয়ত]
(i) ∆ABC আৰু ∆ADC – ৰ
∠1 = ∠2
আৰু ∠3 = ∠4 [∴ AC কর্ণ ∠A আৰু ∠C – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে]
AC = AC [সমাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABC ≅ ∆ADC [ASA স্বীকার্য্য মতে]
∴ AB = AD……………..(b)
∴ (a) আৰু (b) – ৰ পৰা আমি পাওঁ-
AB = BC = AD = DC.
∴ ABCD আয়তটোৰ সবকেইটা বাহু পৰস্পৰ সমান।
∴ ABCD এটা বর্গ।
(ii) ∆ABD আৰু ∆BDC – ৰ
AB = BC
AD = DC
আৰু BD = BD [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABD ≅ ∆BDC [S – S – S স্বীকার্য্য মতে।
∴ ∠ABD = ∠CBD………(c)
আৰু ∠ADB = ∠CDB ………..(d)
∴ (c) আৰু (d) – ৰ পৰা পোৱা যায় যে, BD কর্ণ ∠B আৰু ∠D – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। (প্রমাণিত)।
9. ABCD সামান্তৰিকৰ BD কৰ্ণৰ ওপৰত P আৰু Q বিন্দু দুটা এনেভাৱে লোৱা হ’ল যে- DP = BQ (চিত্র 8.20 চোৱা। দেখুওৱা যে-
(i) ∆APD ≅ ∆CQB
উত্তৰঃ ∆APD আৰু ∆CQB – ৰ
DP = BQ [প্রদত্ত]
∠ADP = ∠QBC [∴ AD II BC, BD ছেদক]
∴ ∠ADB = ∠DBC [একান্ত]
আৰু AD = CB [ABCD সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু]
∴ ∆APD ≅ ∆CQB [S – A – S স্বীকার্য্য মতে]
(ii) AP = CQ
উত্তৰঃ ∴ AP = CQ [সর্বাংগসম ত্রিভুজৰ অনুৰূপ বাহু]
(iii) ∆AQB ≅ ∆CPD
উত্তৰঃ ∆AQB আৰু ∆CPD – ৰ
BQ = DP (প্রদত্ত)
∠ABQ = ∠PDC [∴ AB II CD, BD ছেদক]
∴ ∠ABD = ∠BDC [একান্তৰ কোণ]
∴ ∠ABQ = ∠PDC
AB = CD [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু]
∴ ∆AQB ≅ ∆CPD [S – A – S স্বীকার্য্য মতে]
(iv) AQ = CP
উত্তৰঃ AQ = CP [সর্বাংগসম ত্রিভুজৰ অনুৰূপ বাহু]
(v) APCQ এটা সামান্তৰিক।
উত্তৰঃ APCQ চতুর্ভুজৰ
AQ = CP
আমি আনো যে সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু সমান)
∴ APCQ এটা সামান্তৰিক। (প্রমাণিত)।
10. ABCD এটা সামান্তৰিক। BD কৰ্ণৰ ওপৰত A আৰু C শীর্ষবিন্দুৰ পৰা ক্ৰমে AP আৰু CQ দুটা লম্ব টনা হ’ল (চিত্র ৪.21 চোৱা। দেখুওষ্ঠরা যে-
(i) ΔΑΡΒ ≅ ∆CQD
(ii) AP = CQ.
উত্তৰঃ
ABCD এটা সামান্তৰিক।
∴ AB II DC, DB ছেদক।
∴ ∠1 = ∠2 [একান্তৰ কোণ]
(i) ΔΑΡΒ আৰু ∆CQD – ৰ
∠APB = ∠CQD = 90° [প্রদত্ত]
∠1 = ∠2 (একান্তৰ কোণ]
আৰু AB = CD [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু]
∴ ∆APB ≅ ∆CQD [AAS স্বীকার্য্য মতে]
(ii) AP = CQ [সর্বাংগস ত্রিভুজদ্বয়ৰ অনুৰূপ বাহু] (প্রমাণিত)।
11. ∆ABC আৰু ∆DEF ৰ AB = DE, AB ll DE, BC = EF আৰু BC ll EF। A, B আৰু C শীর্ষ বিন্দুকেইটা ক্রমে D, E আৰু F শীর্ষ বিন্দুকেইটাৰ লগত সংযোগ কৰা হ’ল (চিত্র 8.22 চোৱা)। দেখুওৱা যে–
(i) ABED চতুর্ভুজটো এটা সামান্তৰিক।
(ii) BEFC চতুর্ভুজটো এটা সামান্তৰিক।
(iii) AD ll CF আৰু AD = CF।
(iv) ACFD চতুর্ভুজটো এটা সামান্তৰিক।
(v) AC = DF
(vi) ∆ABC ≅ ∆DEF.
উত্তৰঃ ∆ABC ≅ ∆DEF – ৰ
AB = DE আৰু AB II DE; BC = EF আৰু BC II EF
(i) ABED চতুর্ভুজৰ AB = DE আৰু AB II DE
∴ ABED এটা সামান্তৰিক।
∴ AD = BE আৰু AD II BE…………(i)
(ii) আকৌ, BEFC চতুর্ভুজত
BE = CF আৰু BE ॥ CF.
∴ BEFC এটা সামান্তৰিক।
(iii) ∴ CF = BE
আৰু CF II BE……… (2)
∴ (1) আৰু (2) – ৰ পৰা-
AD = CF আৰু AD II CF
(iv) ∴ ACFD এটা সামান্তৰিক। [∴ এটা চতুর্ভুজৰ এযোৰ বিপৰীত বাহু সমান আৰু সমান্তৰাল হ’লে চতুর্ভুজটো সামান্তৰিক হয়]
(v) ∴ ACFD এটা সামান্তৰিক
∴ AC = DF (সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু)
(vi) ∆ABC আৰু ∆DEF – ৰ
AB = DE (প্রদত্ত)
BC = EF (প্ৰদত্ত)
আৰু AC = DF
∆ABC ≅ ∆DEF [S – S – S স্বীকার্য্য মতে) (প্রমাণিত)
12. ABCD এটা ট্ৰেপজিয়াম। ইয়াৰ AB ll CD আৰু AD = BC (চিত্র ৪.23 (চোৱা)। দেখুওৱা যে-
(i) ∠A = ∠B
(ii) ∠C = ∠D
(iii) ∆ABC ≅ ∆BAD
(iv) কর্ণ AC = কর্ণ BD
[ইংগিতঃ AB ক বঢ়াই দিয়া আৰু C বিন্দুৱেদি DA ৰ সমান্তৰালকৈ এডাল ৰেখা অংকন কৰা যাতে এইডালে AB ৰ বর্ধিত অংশত E বিন্দুত ছেদ কৰে।
উত্তৰঃ
AB বাহুক বর্ধিত কৰি E বিন্দুত CE II AD টনা হ’ল।
∴ ∠A + ∠E = 180°
⇒ ∠A = 180° – ∠E……. (1)
∴ AB ll CD আৰু AD II CE
∴ AECD এটা সামান্তৰিক।
⇒ AD = CE
⇒ BC = CE [∴ AD = BC (প্রদত্ত)]
∴ ∆BCE – ৰ পৰা পাওঁ-
BC = CE
⇒ ∠CBE = ∠CEB [সমান কোণৰ বিপৰীত বাহু সমান হয়]
⇒ 180° – ∠E = ∠B
∴ (1) আৰু (2) – ৰ পৰা পাওঁ-
∠A = ∠B
(ii) ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB II DC
∠A + D = 180°…………..(a)
আৰু ∠B + ∠C = 180°………..(b)
[∴ দুটা সমান্তৰাল ৰেখাৰ ছেদকৰ একেফালৰ অন্তঃস্থ দুটা কোণৰ সমষ্টি 180°]
∴ (a) আৰু (b) – ৰ পৰা পাওঁ-
∠A + ∠D = ∠B + ∠C
কিন্তু ∠A = ∠D প্রমাণিত হৈছে।
∠A + ∠D = ∠A + ∠C
⇒ ∠C = ∠D [প্রমাণিত]
(iii) ∆ABC আৰু ∆BAD – ৰ
AB = AB [সাধাৰণ বাহু]
∠A = ∠B
আৰু BC = AD (প্রদত্ত)
∴ ∆ABC ≅ ∆BAD [SAS স্বীকার্য্য মতে]
(iv) ∴ AC = BD [সর্বাংগসম ত্রিভুজৰ অনুৰূপ বাহু অর্থাৎ, ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ কৰ্ণ AC = কর্ণ BD। (প্রমাণিত)
| অনুশীলনী – 8.2 |
1. ABCD এটা চতুর্ভুজ। ইয়াত AB, BC, CD আৰু DA – ৰ মধ্যবিন্দু ক্রমে P, Q, R, আৰু S (চিত্র 8.29 চোৱা। AC ইয়াৰ কৰ্ণ। দেখুওৱা যে-
(i) SR ll AC আৰু SR = ½ AC
(ii) PQ = SR
(iii) PQRS এটা সামান্তৰিক।
উত্তৰঃ ∆ABC-ৰ P, AB বাহুৰ মধ্যবিন্দু
∆ABC – ৰ P, AB বাহুৰ মধ্যবিন্দু
আৰু PQ = ½ AC
(i) ∆ACD – ৰ পৰা-
R,S যথাক্রমে DC আৰু DA – ৰ মধ্যবিন্দু।
∴ SR ll AC আৰু SR = ½ AC
(ii) আমি পূর্বে প্রমাণ কৰিছোঁ যে,
PQ = 1/2 AC আৰু SR = ½ AC
∴ PQ = 1/2 AC = SR
⇒ PQ = SR
(iii) পূর্বে প্ৰমাণ কৰা হৈছে-
PQ ll AC
আৰু SR ll AC
⇒ PQ II SR
∴ আমি পাইছোঁ যে
PQ = SR
আৰু PQ ll SR
∴ PQRS এটা সামান্তৰিক। (প্রমাণিত)
2. ABCD এটা ৰম্বাছ। AB, BC, CD আৰু DA ৰ মধ্যবিন্দু ক্রমে P, Q, R আৰু S দেখুওৱা যে PQRS এটা আয়ত।
উত্তৰঃ
ABCD ৰম্বাচৰ AB, BC, CD আৰু DA – ৰ মধ্যবিন্দু P, Q, R আৰু S একাদিক্রমে যোগ কৰি PQRS এটা চতুর্ভুজ পোৱা গ’ল।
প্রমাণ কৰিব লাগে যে PQRS এটা আয়ত।
অংকনঃ AC আৰু BD সংযোগ কৰা হ’ল।
প্রমাণঃ ∴ P, AB – ৰ আৰু S, AD – ৰ মধ্যবিন্দু।
∴ PS ll BD আৰু PS ½BD
আকৌ, ∴ Q, BC – ৰ
আৰু R, CD – ৰ মধ্যবিন্দু।
∴ QR ll BD আৰু QR = 1/2 BD
∴ PS ll QR আৰু PS = QR
∴ PQRS এটা সামান্তৰিক।
এতিয়া, PS II BD
∴ EP II FO
আকৌ, PQ II AC (∴ P, AB – ৰ মধ্যবিন্দু; Q, BC – ৰ মধ্যবিন্দু)
∴ PF II OE
∴ OEPF এটা সামান্তৰিক।
ABCD ৰম্বাছৰ AC আৰু BD কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ লম্বভাৱে দ্বিখণ্ডিত হৈছে।
∴ ∠EOF = 90°
∴ m∠EPF = 90° অর্থাৎ m∠SPQ = 90°
∴ PQRS সামান্তৰিকৰ m∠SPQ = 90°
∴ PQRS এটা আয়ত। (প্রমাণিত)।
3. ABCD এটা আয়ত। P,Q,R আৰু S ক্রমে AB, BC, CD আৰু DA – ৰ মধ্যবিন্দু। দেখুওৱা যে PQRS চতুর্ভুজটো এটা ৰম্বাছ।
উত্তৰঃ
ABCD এটা আয়ত। P, Q, R আৰু S যথাক্রমে AB, BC, CD আৰু DA – ৰ চাৰিটা মধ্যবিন্দু।
দেখুওৱাব লাগে যে PQRS চতুর্ভুজটো এটা ৰম্বাছ।
অংকনঃ A আৰু C সংযোগ কৰা হ’ল।
প্ৰমাণঃ ∆ABC – ৰ AB আৰু BC – ৰ মধ্যবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে P আৰু Q।
∴ PQ Il AC
আৰু PQ = 1/2 AC……….(i)
আকৌ, ∆ADC – ৰ CD আৰু AD – ৰ মধ্যবিন্দুদ্বয় যথাক্রমে R আৰু S।
∴ SR ll AC আৰু SR = 1/2AC……….(ii)
∴ (i) আৰু (ⅱ) -ৰ পৰা-
PQ II SR আৰু PQ = SR……….. (ⅲ)
⇒ PQRS এটা সামান্তৰিক।
এতিয়া, ABCD এটা আয়ত (প্রদত্ত)।
⇒ AD = BC
⇒ AS = BQ………. (iv)
∴ ∆APS আৰু ∆BPQ – ৰ পৰা আমি পাওঁ-
AP = BP [∴ P, AB – ৰ মধ্যবিন্দু]
∠PAS = ∠PBQ = 90°
আৰু AS = BQ [(iv) – ৰ পৰা]
∴ ∆APS ≅ ∆BPQ [S – A – S স্বীকার্য্য মতে]
⇒ PS = PQ [সর্বাংগসম ত্রিভুজৰ অনুৰূপ বাহু]
এতিয়া (iii) আৰু (v) – ৰ আমি পাওঁ যে, PQRS এটা সামান্তৰিক য’ত PS= PQ, অর্থাৎ সন্নিহিত বাহুদ্বয় পৰস্পৰ সমান।
∴ PQRS এটা ৰম্বাচ। (প্রমাণিত)
4. ABCD এটা ট্রেপিজিয়াম। ইয়াৰ AB ll DC, BD এডাল কর্ণ আৰু E বিন্দুটো AD ৰ মধ্যবিন্দু। E বিন্দুৰে যোৱা AB – ৰ সমান্তৰালকৈ অঁকা ৰেখাডালে BC ক F বিন্দুত ছেদ কৰিছে (চিত্র 8.30 চোৱা)। দেখুওৱা যে, F বিন্দুটো BC – ৰ মধ্যবিন্দু।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল, ABCD ট্ৰেপিজিয়ামৰ BD কর্ণ, EF ৰেখাত P বিন্দুত ছেদ কৰিছে।
∴ ∆DAB – ৰ
E, AD – ৰ মধ্যবিন্দু আৰু EP ll AB
[∴ EF II AB (প্রদত্ত) আৰু EP, EF – ৰ এটা অংশ]
∴ P, BD – ৰ মধ্যবিন্দু।
এতিয়া, ∆BCD – ৰ
P, BD – ৰ মধ্যবিন্দু
আৰু PF II DC [ ∴ EF II AB আৰু AB II DC (প্রদত্ত)]
∴ EF II DC আৰু PF, EF – ৰ এটা অংশ।
F, BC – ৰ মধ্যবিন্দু। (প্রমাণিত)
5. ACBD সামান্তৰিকৰ E আৰু F বিন্দু দুটা ক্রমে AB আৰু CD বাহুৰ মধ্যবিন্দু (চিত্র 8.31 চোৱা)। দেখুওৱা যে AF আৰু EC ৰেখা খণ্ড BD কর্ণক ত্রিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ
∴ E আৰু F যথাক্রমে AB আৰু CD মধ্যবিন্দুদ্বয়।
∴ AE = 1/2AB আৰু CF = 1/2CD…..……(i)
কিন্তু ABCD এটা সামান্তৰিক।
⇒ AB = CD আৰু AB II CD
⇒ 1/2 AB = 1/2 CD আৰু AB II CD
⇒ AE = FC আৰু AE ll FC [(i) – ৰ পৰা]
⇒ AECF এটা সামান্তৰিক।
⇒ FA II CE
⇒ FP II CQ [∴ FP, FA – ৰ এটা অংশ আৰু CQ, CE – ৰ এটা অংশ।]
∴ ∆DCQ – ৰ পৰা
F, CD – ৰ মধ্যবিন্দু আৰু FP ll CQ [(ii) – ৰ পৰা]
∴ P, DQ – ৰ মধ্যবিন্দু
⇒ DP = PQ …………(iii)
অনুৰূপভাবে, ΔΑΒΡ – ৰ E, AB – ৰ মধ্যবিন্দু আৰু EQ ll AP
∴ Q, BP – ৰ মধ্যবিন্দু।
⇒ BQ = PQ………….. (iv)
∴ (iii) আৰু (iv) – ৰ পৰা আমি পাওঁ –
DP = PQ = BQ………… (v)
এতিয়া, BD = BQ + PQ + DP
= BQ + BQ + BQ
⇒ BD = 3 BQ
⇒ BQ = 1/3BD……….(vi)
∴ (v) আৰু (vi) – ৰ পৰা পাওঁ-
DP = PQ = BQ = 1/3BD
∴ AF আৰু EC ৰেখাখণ্ডদ্বয় BD কর্ণক সমানে ত্রিখণ্ডিত কৰে। (প্রমাণিত)
6. দেখুওৱা যে এটা চতুর্ভুজৰ বিপৰীত বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ড দুডাল পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
উত্তৰঃ
1. বিশেষ সূত্রঃ ABCD চতুর্ভুজৰ বিপৰীত বাহুসমূহৰ মধ্যবিন্দুসমূহৰ সংযোগকাৰী ৰেখাখণ্ড দুটা হ’ল EG আৰু FH।
2. দেখুৱাব লাগে যে EG আৰু FH ৰেখাখণ্ড দুটা পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
3. অংকনঃ AC, EF, FG, GH আৰু HE সংযোগ কৰা হ’ল।
4. প্রমাণঃ ∆ABC – ৰ AB আৰু BC – ৰ মধ্যবিন্দু যথাক্রমে E আৰু F।
∴ EF ll AC আৰু EF = 1/2AC……….(1)
অনুৰূপভাবে, ∆ADC – ৰ AB আৰু BC – ৰ মধ্যবিন্দু যথাক্রমে G আৰু H।
∴ HG ll AC আৰু HG = 1/2 AC…………..(ii)
∴ (i) আৰু (ii) – ৰ পৰা আমি পাওঁ-
EF II HG আৰু EF = HG.
∴ EFGH এটা সামান্তৰিক।
[∴ এটা চতুর্ভুজৰ একযোৰ বিপৰীত বাহু সমান আৰু সমান্তৰাল হয়।]
আমি জানো যে সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়। অর্থাৎ EG আৰু FH ৰেখাখণ্ডদ্বয় (কর্ণদ্বয়) পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হৈছে। (প্রমাণিত)
7. ABC ত্রিভুজৰ C কোণটো সমকোণ। AB অতিভুজৰ মধ্যবিন্দু M ৰে যোৱাকৈ আৰু BC ৰ সমান্তৰালকৈ অঁকা ৰেখাই AC ক D বিন্দুত ছেদ কৰে। দেখুওৱা যে
(i) D বিন্দুটো AC – ৰ মধ্যবিন্দু।
(ii) MD ⏊ AC.
(iii) CM = MA = 1/2AB।
উত্তৰঃ
(i) ∆АВС – ৰ M, AB – ৰ মধ্যবিন্দু (প্ৰদত্ত)।
∴ MD II BC
∴ AD = DC
∴ ∠D, AC – ৰ মধ্যবিন্দু।
∴ ∠1 = ∠C [অনুৰূপ কোণ]
⇒ ∠1 = 90° [∴ ∠C = 90° (প্রদত্ত)]
∴ MD ⏊ AC.
(iii) ∆AMD আৰু ∆CMD – ৰ
AD = CD [প্রমাণিত হৈছে]
∠1 = ∠2 = 90°
আৰু MD = MD [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆AMD ≅ ∆CMD [SAS স্বীকার্য্য মতে]
∴ AM = CM……….. (a)
∴ M, AB – ৰ মধ্যবিন্দু।
∴ AM = 1/2AB…………(b)
∴ (a) আৰু (b) ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ-
CM = MA = 1/2AB (প্রমাণিত)।
