SEBA Class 9 Mathematics Chapter 9 সামান্তৰিক আৰু ত্রিভুজৰ কালি Solutions, SEBA Class 9 Maths Textbook Notes in Assamese Medium, SEBA Class 9 Mathematics Chapter 9 সামান্তৰিক আৰু ত্রিভুজৰ কালি Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 9 Mathematics Chapter 9 সামান্তৰিক আৰু ত্রিভুজৰ কালি Notes and select needs one.
SEBA Class 9 Mathematics Chapter 9 সামান্তৰিক আৰু ত্রিভুজৰ কালি
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 9 Mathematics Chapter 9 সামান্তৰিক আৰু ত্রিভুজৰ কালি Question Answer. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 9 Mathematics Chapter 9 সামান্তৰিক আৰু ত্রিভুজৰ কালি Solutions for All Subject, You can practice these here.
সামান্তৰিক আৰু ত্রিভুজৰ কালি
Chapter – 9
| অনুশীলনীঃ 9.1 |
1. তলৰ চিত্ৰবোৰৰ কোনবোৰ একে ভূমি আৰু একে সমান্তৰালৰ মাজত অৱস্থিত? এনেক্ষেত্রত সাধাৰণ ভূমিটো আৰু সমান্তৰাল ৰেখা দুটা উল্লেখ কৰা।
উত্তৰঃ (i) নং চিত্রত ABCD চতুর্ভুজ আৰু ∆PDC একে ভূমি DC আৰু একে সমান্তৰাল AB II DC – ৰ মাজত অৱস্থিত।
সাধাৰণ ভূমি, DC, আৰু ইয়াত AB ll DC.
(ii) নং চিত্রত PQRS চতুর্ভুজ আৰু ∆TOR একে ভূমি আৰু সমান্তৰালৰ মাজত অৱস্থিত।
সাধাৰণ ভূমি OR আৰু ইয়াত PS II QR.
(v) নং চিত্র চতুর্ভুজ ABCD, চতুর্ভুজ APQD আৰু চতুর্ভুজ APCD একে ভূমি আৰু সমান্তৰালৰ মাজত অৱস্থিত।
সাধাৰণ ভূমি AD আৰু ইয়াত AD ।। BQ.
| অনুশীলনী – 9.2 |
1. চিত্র 9.15 – ত ABCD এটা সামান্তৰিক, AE⏊DC আৰু CF⏊ AD। যদি AB = 16 ছে.মি., AE – ৪ ছে.মি. আৰু CF – 10 ছে.মি. হয়, তেন্তে AD উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিয়া আছেঃ AB = 16 ছে.মি, AE = 8 ছে.মি., CF = 10 ছে.মি. আৰু AE⏊DC, CF ⏊AD. আৰু AD নির্ণয় কৰিব লাগে।
AE – ক উন্নতি হিচাপে ধৰিলে, ABCD সামান্তৰিকৰ
কালি = ভূমি × উন্নতি
= DC × AE
= AB × AE [∴ AB = DC]
= 16 ছে.মি. × ৪ ছে.মি. 128 ছে মি²………..(1)
CF – ক উচ্চতা হিচাপে ধৰিলে, ABCD সামান্তৰিকৰ
কালি = AD × CF = AD × 10 ছে.মি……… (2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা পাওঁ-
AD × 10 = 128
AD – ৰ নির্ণেয় দৈর্ঘ্য 12.8 ছে.মি.।
2. ABCD সামান্তৰিক এটাৰ বাহুবোৰৰ মধ্যবিন্দুকেইটা যদি যথাক্রমে E, F, G আৰু H, দেখুওৱা যে, কালি (EFGH) = 1/2 কালি (ABCD)।
উত্তৰঃ
ABCD সামান্তৰিকৰ EG অঙ্কন কৰা হ’ল।
∆EHG আৰু ADGE সামান্তৰিক একে ভূমি আৰু সমান্তৰালৰ মাজত অৱস্থিত।
গতিকে [∴ আমি জানো একে ভূমি আৰু সমান্তৰালৰ মাজত অৱস্থিত ত্রিভুজৰ কালি সামান্তৰিকৰ কালিৰ দ্বিগুণ।]
1 আৰু 2 যোগ কৰি পাওঁ-
∆EHG – ৰ কালি + ∆EFG – ৰ কালি
= [AEGD – কালি + BCGE-ৰ কালি]
3. ABCD এটা সামান্তৰিকৰ DC আৰু AD বাহুত অৱস্থিত যথাক্রমে P আৰু Q যিকোনো দুটা বিন্দু। দেখুওৱা যে কালি (APB) = কালি (BQC)।
উত্তৰঃ
∆ABP আৰু ABCD সমান্তৰিক একে ভূমি AB আৰু একে সমান্তৰাল AB আৰু DC – ৰ মাজত অবস্থিত।
∴ ΔΑΒΡ – ৰ কালি
= 1/2 ABCD – ৰ কালি………. (1)
একেদৰে ∆BQC আৰু ABCD সমান্তৰিকৰ ভূমি BC আৰু ইহঁত BC আৰু AD সমান্তৰালৰ মাজত অৱস্থিত।
∴ ABOC – ৰ কালি = 1/2ABCD – ৰ কালি……….(2)
(1) আৰু (2) ৰ পৰা পাওঁ-
∆ABP – ৰ কালি = 1/2ABCD – ৰ কালি
⇒ ∆ABP – ৰ কালি = ΔBQC – ৰ কালি (প্রমাণিত)।
4. চিত্র 9.16 অত ABCD সামান্তৰিকটোৰ ভিতৰত P এটা বিন্দু। দেখুওৱা যে-
(i) কালি (APB) + কালি (PCD) = 1/2 কালি (ABCD)
উত্তৰঃ
P বিন্দুৰ মাজেৰে, AB – ৰ সমান্তৰালকৈ EF ৰেখা টনা হ’ল। যিহেতু একে ভূমি আৰু সমান্তৰালৰ মাজত অৱস্থিত ত্রিভুজৰ কালি, সামান্তৰিকৰ কালিৰ আধা, সেয়ে
∆APB – ৰ কালি 1/2 × ABEF – ৰ কালি………(1)
একেদৰে, ∆PCD – ৰ কালি = 1/2 × EFDC – ৰ কালি………….(2)
(1) আৰু (2) যোগ কৰিলে-
ΔΑΡΒ – ৰ কালি + ∆PCD – ৰ কালি
(ii) কালি (APD) + কালি (PBC) = কালি (APB) + কালি (PCD) [ইংগিতঃ P – ৰ মাজেৰে AB – ৰ সমান্তৰালকৈ এটা ৰেখা টানা]
উত্তৰঃ P বিন্দুৰ মাজেৰে, AD – ৰ সমান্তৰালকৈ GH – ৰেখা টনা হ’ল।
যিহেতু একে ভূমি আৰু সমান্তৰালৰ মাজত অৱস্থিত ত্ৰিভুত্তৰ কালি, সমান্তৰিকৰ কালিৰ আধা,
(1) আৰু (2) যোগ কৰি পাওঁ-
∆APD – ৰ কালি ∆PBC – ৰ কালি
P বিন্দুৰ মাজেৰে, AB – ৰ সমান্তৰালকৈ এডাল ৰেখা টানি প্রমাণ কৰিব পাৰি যে-
ΔΑΡΒ – ৰ কালি + ∆PCD – ৰ কালি
= 1/2 × ABCD – ৰ কালি…………(4)
(3) আৰু (4) – ৰ পৰা প্ৰমাণিত হয় যে-
∆APD – ৰ কালি + ∆PBC – ৰ কালি
= ∆APB – ৰ কালি + ∆PCD – ৰ কালি (প্রমাণিত)।
5. চিত্র 9.17 অত PQRS আৰু ABRS দুটা সামান্তৰিক। ভিতৰত BR বাহুৰ ওপৰত X এটা যিকোনো বিন্দু। দেখুওৱা যে-
(i) কালি (PQRS) কালি (ABRS)
(ii) কালি (AXS) = 1/2 কালি (PQRS)
উত্তৰঃ
RZ⏊AB অকাঁ হ’ল।
এতিয়া-
সামান্তৰিক ABRS – ৰ কালি
= AB × RZ
= SR × RZ ∴ AB = SR
একেদৰে, সামান্তৰিক PQRS – ৰ কালি = PQ × RZ
= SR × RZ
∴ ABRS সামান্তৰিকৰ কালি = PQRS সামান্তৰিকৰ কালি।
অর্থাৎ, PQRS – ৰ কালি ABRS – ৰ কালি।
(ii) ∆AXS আৰু সামান্তৰিক ABRS – ৰ ভূমি একে, AS আৰু ইহঁত AS, BR সামান্তৰাল ৰেখাদ্বয়ৰ মাজত অৱস্থিত। গতিকে –
∆AXS – ৰ কালি = 1/2ABRS – ৰ কালি …………. (1)
যিহেতু, PQRS – ৰ কালি = ABRS – ৰ কালি, সেয়ে –
⇒ ∆AXS – ৰ কালি = 1/2 × PQRS – ৰ কালি। (প্রমাণিত)
6. এজন খেতিয়কৰ PQRS সামান্তৰিক এটাৰ আকৃতিৰ এখন খেতিপথাৰ আছিল। তেওঁ RS ৰ ওপৰত যিকোনো এটা বিন্দু ল’লে আৰু ইয়াক P আৰু Q বিন্দু দুটাৰ লগত সংযুক্ত কৰিলে। পথাৰখন কেইটা অংশত বিভক্ত হ’ল? এই অংশকেইটাৰ আকৃতিবোৰ কি কি? খেতিয়কজনে পথাৰখনৰ সমান সমান অংশত বেলেগ বেলেগ ঘেঁহ আৰু মাহৰ গুটি সিচিব খুজিলে। তেওঁ এইটো কিদৰে কৰিব?
উত্তৰঃ A – বিন্দুৰ সৈতে P আৰু Q বি দুটাক সংযুক্ত কৰাত, ক্ষেত্ৰটো তিনিটা ভাগত বিভক্ত হ’ল এই ভাগবোৰ –
∆PAS, ∆PAQ আৰু ∆ARQ [ভাগবোৰৰ প্ৰতিটো ত্রিভুজ আকৃতিৰ]
এতিয়া, ∆PAQ – ৰ ভূমি PQ আৰু ই PQ আৰু SR সামান্তৰাল ৰেখা দুডালৰ মাজত অৱস্থিত।
গতিকে –
স্পষ্টতঃ ∆PAS – ৰ কালি + ∆PAQ – ৰ কালি + ∆ARQ – ৰ কালি = PQRS সামান্তৰিকৰ কালি।
⇒ ∆PAS – ৰ কালি + ∆ARQ – ৰ কালি
⇒ PQRS সামান্তৰিকৰ কালি – ∆PAQ – ৰ কালি
⇒ PQRS – ৰ কালি = 1/2 × PQRS – ৰ কালি
⇒ 1/2PQRS – ৰ কালি I
গতিকে, ∆PAS – ৰ কালি + ∆ARQ – ৰ কালি।
= ∆PAQ – ৰ কালি
সেয়ে খেতিয়ক গৰাকীয়ে-
হয়, PAQ অংশত ঘেঁহৰ আৰু (PAS + ARQ) অংশত মাহ জাতীয় খেতি কৰিব [একেদৰে ওলোটাও কৰিব পাৰে]
| অনুশীলনী – 9.3 |
1. চিত্র 9.23 ত কোনো ত্ৰিভুজ ABC ৰ AD মধ্যমাৰ ওপৰত E এটা যিকোনো বিন্দু। দেখুওৱা যে, কালি (ABE) = কালি (ACE)।
উত্তৰঃ প্রশ্নমতে, AD, ∆ABC – ৰ এডাল মধ্যমা।
গতিকে, BD = CD
তদুপৰি, ∆ABD আৰু ∆ACD – ৰ ভূমি সমান আৰু A সাধাৰণ শীর্ষ বিন্দু। সে
∆ABD – ৰ কালি = ∆ACD – ৰ কালি ………..(1)
একেদৰে, ∆EBD – ৰ কালি = ∆ECD – ৰ কালি……… (2)
বিয়োগ কৰি, (1) আৰু (2) – ৰ পৰা পাওঁ –
∆ABD – ৰ কালি – ΔEBD – ৰ কালি = ∆ACD – ৰ কালি – ∆ECD – ৰ কালি
⇒ ΔΑΒΕ – ৰ কালি = ∆ACE – ৰ কালি (প্রমাণিত)
2. ABC ত্ৰিভুজৰ AD মধ্যমাৰ E মধ্যবিন্দু। দেখুওৱা যে, কালি (BED) = ¼ কালি (ABC)।
উত্তৰঃ
দিয়ামতে, AD মধ্যমা।
গতিকে BD = CD
E, AD – ৰ মধ্যবিন্দু
∴ AE = DE
∆ABD আৰু ∆ACD ভূমি সমান
আৰু সাধাৰণ শীর্ষবিন্দু A.
∴ ∆ABD – ৰ কালি = ∆ACD – ৰ কালি………….(i)
একেদৰে, ∆EBD – ৰ কালি = ∆ECD – ৰ কালি………..(ii)
ΔΑΒΕ আৰু ∆DBE – ৰ ভূমি সমান আৰু B সাধাৰণ শীর্ষবিন্দু।
∴ ΔΑΒΕ – ৰ কালি = ∆DBE – ৰ কালি………….. (ⅲ)
∆ACE – ৰ কালি ∆DCE – ৰ ভূমি সমান আৰু C – সাধাৰণ শীর্ষবিন্দু।
∴ ∆ACE – ৰ কালি = ADCE – ৰ কালি………… (iv)
(i), (ii), (iii) আৰু (iv) – ৰ পৰা পাওঁ-
∆EBD – ৰ কালি = ΔΑΒΕ – ৰ কালি = ∆ACE – ৰ কালি = ∆DCE – ৰ কালি
⇒ 4 × ∆EBD – ৰ কালি = ∆EBD – ৰ কালি + ∆ECD – ৰ কালি + ΔΑΒΕ – ৰ কালি + ∆ACE – ৰ কালি = ∠ABC – ৰ কালি
⇒ ∆BED – ৰ কালি = 1/4 × ∆ABC – ৰ কালি। (প্রমাণিত)
3. দেখুওৱা যে এটা সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুটাই সামান্তৰিকটোক চাৰিটা সমান কালিৰ ত্রিভুজত ভাগ কৰে।
উত্তৰঃ
ABCD এটা সামান্তৰিক। ইয়াৰ AC আৰু BD দুডাল কৰ্ণই পৰস্পৰক O বিন্দুত ছেদ কৰিছে।
প্রমাণ কৰিব লাগে যেঃ
ΔΑΟΒ = ΔΑOD
= ∆BOC = ∆COD
প্রমাণঃ ∆ABC আৰু ∆ADC – ৰ পৰা পাওঁ-
AB = DC; BC = AD [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু সমান]
আৰু AC = AC [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABC ≅ ∆ADC [S – S – S স্বীকার্য্য মতে]
আমি জানোঁ যে সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
∴ চিত্রত ‘O’ কর্ণ AC আৰু কৰ্ণ BD ৰ মধ্যবিন্দু।
এতিয়া, ∆ADC – ত DO এটা মধ্যমা।
∴ কালি (∆AOD) = কালি (∆COD)……….(i)
একেদৰে, OB এটা মধ্যমা।
∴ কালি (∆AOB) = কালি (∆BOC)………….(ii)
আকৌ, AO এটা মধ্যমা।
∴ কালি (∆AOB) = কালি (∆AOD)…………(iii)
∴ (i), (ii) আৰু (ⅲ) – ৰ পৰা
কালি (∆AOB) = কালি (∆AOD) = কালি (∆BOC) = কালি (∆COD)
∴ সামান্তৰিকৰ কৰ্ণ দুডাল সামান্তৰিকটোক চাৰিটা সমান কালিৰ ত্রিভুজত ভাগ কৰে। (প্রমাণিত)
4. চিত্র 9.24 ত একে ভূমি AB ৰ ওপৰত ABC আৰু ABD দুটা ত্ৰিভুজ। যদি AB ৰেখাই CD ৰেখাখণ্ডটোক O বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত কৰে, তেন্তে দেখুওৱা যে, কালি (ABC) = কালি (ABD)।
উত্তৰঃ
∴ DO = CO আৰু A সাধাৰণ শীর্ষ বিন্দু, সেয়ে ∆ADO – ৰ কালি ∆ACO – ৰ কালি…………(i)
একেদৰে- ∆CBO – ৰ কালি = ∆DBO – ৰ কালি……… (ii)
(i) আৰু (ⅱ) পৰা পাওঁ-
∆ADO – ৰ কালি + ∆DBO – ৰ কালি = ∆ACO – ৰ কালি + ∆CBO – ৰ কালি
⇒ ∆ADB – ৰ কালি = ∆ABD – ৰ কালি
অর্থাৎ, ∆ABC – ৰ কালি = ∆ABD – ৰ কালি (প্রমাণিত)
5. এটা ত্রিভুজ ABC ৰ BC, CA আৰু AB বাহুকেইটাৰ মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E আৰু F।
দেখুওৱা যে,
(i) BDEF এটা সামান্তৰিক।
(ii) কালি (DEF) 1/4 কালি (ABC)।
(iii) কালি (BDEF) = 1/4 কালি (ABC)।
উত্তৰঃ
ত্রিভুজৰ যিকোনো দুটা বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ড তৃতীয় বাহুটোৰ আধা আৰু D, E, F ক্রমে BC, AC আৰু AB ৰ মধ্যবিন্দু। সেযে-
(i) EF = BD = DC
ED = AF = B
FD = CE = AE
গতিকে, BF = DE আৰু
EF = BD
∴ BDEF এটা সামান্তৰিক।
(ii) সামান্তৰিক কর্ণই সামান্তৰিকটোক দুটা সর্বসম ত্রিভুজত বিভক্ত কৰে।
BDEF এটা সামান্তৰিক আৰু DF এডাল কর্ণ
∴ ∆BDF ≅ ∆DEF
⇒ ∆BDF – ৰ কালি = DEF – ৰ কালি…….. (i)
একেদৰে, ∆DCE – ৰ কালি = ∆DEF – ৰ কালি……….(ii)
∆AEF – ৰ কালি = ∆DEF – ৰ কালি……… (ⅲ)
(i), (ii) আৰু (ⅲ) – ৰ পৰা-
∆BDF – ৰ কালি = ∆CE – ৰ কালি = ∆AEF – ৰ কালি
= ∆DEF – ৰ কালি……….. (iv)
(iv) নং – ত দেখুওৱা মতে,
চাৰিটা ত্ৰিভুজৰ কালিৰ সমষ্টি = ∆ABC – ৰ কালি
∴ 4 × ∆DEF – ৰ কালি = ∆ABC – ৰ কালি
⇒ ∆DEF – ৰ কালি = 1/4 × ∆ABC – ৰ কালি।
বিকল্প ৰূপতঃ সামান্তৰিকৰ কৰ্ণই সামান্তৰিকটোক দুটা সর্বসম ত্রিভুজ বিভক্ত কৰে।
গতিকে, ∆DEF ≅ ∆BDF
⇒ ∆DEF – ৰ কালি = ∆BDF – ৰ কালি…………. (i)
একেদৰে, ∆DEF – ৰ কালি = ∆DCE – ৰ কালি……….. (ii)
আৰু ∆DEF – ৰ কালি = ∆AEF – ৰ কালি…….. (iii)
(i) + (ⅱ) + (ⅲ) ⇒ 3∆DEF – ৰ কালি = ∆BDF, ∆DCE, ∆AEF ত্রিভুজবোৰৰ কালিৰ সমষ্টি …………(iv)
উভয় পক্ষত ADEF – ৰ কালি যোগ কৰি পাওঁ,
4∆DEF – ৰ কালি = ∆ABC – ৰ কালি
⇒ ∆DEF – ৰ কালি = 1/4∆ABC – ৰ কালি।
(iii) ∆BDF ≅ ∆DCE ≅ ∆AEF ≅ ∆DEF
⇒ 4∆BDF – ৰ কালি = ∆ABC – ৰ কালি
⇒ 2∆BDF – ৰ কালি + 2∆DEF – ৰ কালি
∆ABC – ৰ কালি
⇒ 2(∆BDF – ৰ কালি + ∆DEF – ৰ কালি = ∆ABC – ৰ কালি
⇒ 2 × BDEF – ৰ কালি = ∆ABC – ৰ কালি
∴ BDEF – ৰ কালি = 1/2 ∆ABC – ৰ কালি (প্রমাণিত)
6. চিত্র 9.25 ত ABCD চতুর্ভুজৰ কৰ্ণ AC আৰু BD য়ে O বিন্দুত ছেদ কৰিছে যাতে OB = OD। যদি AB = CD, তেন্তে দেখুওৱা যে,
(i) কালি (DOC) কালি = (AOB)
(ii) কালি (DCB) = কালি (ACB)
(iii) DA ll CB অর্থাৎ ABCD এটা সামান্তৰিক।
[ইংগিতঃ D আৰু B ৰ পৰা AC লৈ দুডাল লম্ব টনা]
উত্তৰঃ
(i) দিয়া আছেঃ
OB = OD আৰু AB = CD
∴ ∆DOC আৰু ΔΑΟΒ – ৰ
AO = CO
∴ ∆DOC ≅ ∆AOB (SSS মতে)
∴ ∆DOC – ৰ কালি = ΔAΟΒ – ৰ কালি
(ii) SSS স্বীকার্য মতে,
∆DOC ≅ ∆AOB
⇒ ∆DOC = ∆AOB
⇒ ∆DOC – ৰ কালি = ΔAΟΒ – ৰ কালি
⇒ ∆DOC – ৰ কালি + ∆BOC – ৰ কালি = ΔΑΟΒ – ৰ কালি + ∆BOC – ৰ কালি (উভয় পক্ষত ∆BOC যোগ কৰি)
⇒ ∆DCB – ৰ কালি = ∆ACB – ৰ কালি
(iii) SS স্বীকার্য্য মতে,
∆DOC ≅ ∆AOB
⇒ ∆DOC – ৰ কালি = ∆AOB – ৰ কালি….. ….(A)
উভয় পক্ষত ∆DOC – ৰ কালি যোগ কৰি পাওঁ-
∴ ∆CAD – ৰ কালি = ∆BOC – ৰ কালি………. (B)
(B) – ৰ উভয় পক্ষত ∆BOC – ৰ কালি যোগ কৰি পাওঁ –
∆DBC – ৰ কালি = ∆ACB – ৰ কালি………(C)
(B) আৰু (C) – ৰ পৰা পাওঁ-
∆CAD – ৰ কালি = ∆CAB – ৰ কালি
DF⏊ AC আৰু BE⏊AC অঁকা হ’ল।
∴ ∆CAD আৰু ∆CAB – ৰ ভূমি সমান (AC)
আৰু ইহঁতৰ কালি সমান, সেয়ে ইহঁতৰ উন্নতি সমান।
অর্থাৎ, DF = BE
∴ DA ll CB [একে ভূমিৰ ওপৰত অৱস্থিত, সমান কালিৰ ত্রিভুজবোৰৰ উন্নতি সমান বা ইহঁত একে সামান্তৰালৰ মাজত অৱস্থিত।
আকৌ, ∆CAD ≅ ∆CAB
∴ ABCD এটা সামান্তৰিক। (প্রমাণিত)
7. ABC ত্রিভুজৰ AB আৰু AC বাহু দুটাৰ ওপৰত দুটা বিন্দু ক্রমে D আৰু E এনেদৰে লোৱা হৈছে যাতে কালি (DBC) = কালি (EBC)। প্ৰমাণ কৰা যে DE II BC।
উত্তৰঃ
দিয়া আছে-
∆DBC – ৰ কালি = ∆EBC – ৰ কালি
ত্রিভুজ দুটাৰ ভূমি সमान (=BC)
∴ ইহঁতৰ উন্নতি সমান
অর্থাৎ, DG = EH [∴ DG⏊BC আৰু EH⏊BC]
গতিকে DE II BC
বিকল্প ৰূপতঃ DG⏊AC আৰু EH⏊BC অকাঁ হ’ল।
∴ ∆DBC – ৰ কালি = ∆EBC – ৰ কালি আৰু ইহঁত একে ভূমি (=BC) – ৰ ওপৰত আছে, সেয়ে ইহঁতৰ উন্নত সমান।
∴ DG = EH
∴ DE ॥ BC (প্রমাণিত)
8. ABC ত্রিভুজৰ BC বাহুৰ সামান্তৰাল XY এডাল ৰেখা। যদি BE ll AC আৰু CF ॥ AB য়ে XY – ক ক্রমে E আৰু F বিন্দুত কাটে, তেন্তে দেখুওৱা যে কালি (ABE) = কালি (ACE)।
উত্তৰঃ
দিয়া আছে-
XY II BC, BE II AC
আৰু CF II AB
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে
ΔAΒΕ – ৰ কালি = ∆ACF – ৰ কালি
প্রমাণঃ সামান্তৰিক EBCY ৰ BCFX ৰ ভূমি সমান (= BC) আৰু ইহঁত একে সামান্তৰাল (BC II EF) – ৰ মাজত অৱস্থিত।
∴ EBCY – ৰ কালি = BCFX – ৰ কালি…….. (i)
BE ।। AC, গতিকে
∆AFB – ৰ কালি = 1/2EBCY – ৰ কালি .………… (ii)
CF II AB, গতিকে
∆AFC – ৰ কালি = 1/2 BCFX – ৰ কালি …………(iii)
(i), (ii) আৰু (ⅲ) ৰ সহায়ত প্রমাণিত হয় যে
ΔΑΕΒ – ৰ কালি = ∆AFC – ৰ কালি
অর্থাৎ, ΔΑΒΕ-ৰ কালি = ∆ACF – ৰ কালি। (প্রমাণিত)
9. ABCD এটা সামান্তৰিকৰ AB বাহুটোক যিকোনো এটা বিন্দু লৈ বঢ়াই দিয়া হ’ল। এতিয়া A বিন্দুৰ মাজেৰে আৰু CP ৰ সামান্তৰালভাৱে টনা এটা ৰেখাই CB ৰ বৰ্দ্ধিতাংশক Q বিন্দুত কাটিছে। এতিয়া PBQR সামান্তৰিকটো সম্পূৰ্ণ কৰা (চিত্র 9.26 চোৱা)। দেখুওৱা যে, কালি (ABCD) = কালি (PBQR) [ইংগিতঃ AC আৰু PQ সংযোগ কৰা। এতিয়া কালি (ACQ) আৰু কালি (APQ) তুলনা কৰা।
উত্তৰঃ
দিয়া মতে,
CP II AQ, PR II BQ
ABCD সামান্তৰিক আৰু
PBQR সামান্তৰিক।
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে
∆BCD – ৰ কালি = PBQR – ৰ কালি
AC আৰু PQ অঁকা হ’ল।
প্রমাণঃ ∆ABC = ∆ACD ∴ AC = কৰ্ণ
⇒ ∆ABC – ৰ কালি = ∆ADC – ৰ কালি। ………. (i)
একেদৰে, ∆PBQ – ৰ কালি = ∆AQP – ৰ কালি ………….(ii)
∆AQC – ৰ কালি = ∆AQP – ৰ কালি
⇒ ∆ABC – ৰ কালি + ∆ABQ – ৰ কালি
= ∆PBQ – ৰ কালি + ∆ABQ – ৰ কালি
⇒ ∆ABC – ৰ কালি = ∆PBQ – ৰ কালি
⇒ 2 ∆ABC – ৰ কালি = 2 ∆PBQ – ৰ কালি
⇒ ∆BCD – ৰ কালি = PBQR – ৰ কালি [(i) আৰু (ii) – ৰ সহায়ত) (প্রমাণিত)
10. ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB II DC। কর্ণ AC আৰু BD য়ে পৰস্পৰক O বিন্দু কাটে।
প্ৰমাণ কৰা যে, কালি (AOD) = কালি (BOC)।
উত্তৰঃ
দিয়া মতে, AB II CD
AB II CD
∴ ∆ACD আৰু ∆ACD
একে ভূমি (= CD) আৰু
একে সামান্তৰাল, AB ll CD ৰ মাজত অৱস্থিত,
সেয়ে ∆BCD – ৰ কালি ∆ACD – ৰ কালি
⇒ ∆BCD – ৰ কালি ∆COD – ৰ কালি
= ∆ACD – ৰ কালি = ∆COD – ৰ কালি
⇒ ∆BOC – ৰ কালি = ∆AOD – ৰ কালি
অর্থাৎ, ∆AOD – ৰ কালি = ∆BOC – ৰ কালি। (প্রমাণিত)
11. চিত্র 9.27 ত ABCDE এটা পঞ্চভুজ। B বিন্দুৰ মাজেৰে AC ৰ সমান্তৰাল ৰেখা এটাই DC ৰ বৰ্দ্ধিতাংশৰ F বিন্দুত কাটিছে। দেখুওৱা যে,
(i) কালি (ACB) = কালি (ACF)
(ii) কালি (AEDF) = কালি (ABCDE)
উত্তৰঃ
দিয়া মতে, AC II BF
(i) ∆BFC আৰু ∆BFA – ৰ
ভূমি BF আৰু ইহঁত
AC II BF – ৰ মাজত অৱস্থিত।
∴ ∆BFC – ৰ কালি + ∆BFA – ৰ কালি
⇒ ∆CFO – ৰ কালি + ∆BFO – ৰ কালি
ΔΑΒΟ – ৰ কালি + ∆BFO – ৰ কালি
⇒ ∆CFO – ৰ কালি = ΔΑΒΟ – ৰ কালি
⇒ উভয় পক্ষত ∆AOC – ৰ কালি যোগ কৰি
∆CFO – ৰ কালি + ∆AOC – ৰ কালি = ΔΑΒΟ – ৰ কালি + ∆AOC – ৰ কালি
⇒ ∆ACF – ৰ কালি = ∆ACF – ৰ কালি
অর্থাৎ, ∆ACB – ৰ কালি = ∆ACF – ৰ কালি
(ii) ∴ ∆ACB – ৰ কালি = ∆ACF – ৰ কালি (ইতিমধ্যে প্রমাণিত)
⇒ ∆ACB – ৰ কালি + ACDE – ৰ কালি = ∆ACF – ৰ কালি + ACDE – ৰ কালি
⇒ ABCDE – ৰ কালি = AEDF – ৰ কালি
i.e AEDF – ৰ কালি = ABCDE – ৰ কালি। (প্রমাণিত)
12. ইন্দ্ৰ নামৰ গাঁওবাসী এজনৰ এটুকুৰা চতুর্ভুজ আকৃতিৰ মাটি আছিল। গাঁৱৰ গাঁও পঞ্চায়তে তাত স্বাস্থ্যকেন্দ্র এটা প্রতিষ্ঠা কৰিবলৈ বুলি তেওঁৰ মাটিটুকুৰাৰ এটা চকুৰ পৰা কিছু অংশ ল’ব খুজিলে। ইন্দ্ৰ এই প্ৰস্তাৱটোত সম্মত হ’ল এটা চৰ্তত যে তেওঁক তেওঁৰ মাটিটুকুৰাৰ পৰিৱৰ্তে একে সমান পৰিমাণৰ মাটি এটুকুৰা তেওঁৰ মাটিৰ লগত লগলগাকৈ দিব লাগিব যাতে গোটেই মাটিখিনি এটা ত্রিভুজ আকৃতিৰ হয়।
তেওঁৰ এই প্ৰস্তাৱটো কিদৰে কাৰ্যকৰী কৰিব পৰা যাব ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল মাটিডৰাৰ আকাৰ ABCD – ৰ দৰে। AC – ৰ সমান্তৰালকৈ BE ৰেখা টনা হ’ল, যাতে এইডালে DC (বৰ্দ্ধিত) ক E বিন্দুত কাটে। AE অঁকা হ’ল আৰু ই BC – ক, O বিন্দুত কাটিছে।
যিহেতু BE ॥ AC আৰু AC সাধাৰণ ভূমি সেয়ে, ∆ACB – ৰ কালি = ∆AOC – ৰ কালি
⇒ ΔΑΟΒ – ৰ কালি= ∆AOC – ৰ কালি
= ∆ACE – ৰ কালি = ∆AOC – ৰ কালি
⇒ ∆AOB – ৰ কালি = ∆QOE – ৰ কালি……….(i)
এতিয়া, ABCD – ৰ কালি = AOCD – ৰ কালি + ∆AOB – ৰ কালি
= AOCD – ৰ কালি + ACOE – ৰ কালি [(i) – ৰ সহায়ত]
= ∆ADE – ৰ কালি।
অর্থাৎ, গাঁওবাসী জনে ∆AOB অংশ এৰি দিয়াত আৰু ∆COE অংশ পোৱাত, তেওঁৰ নতুন আকৃতিৰ মাটি হ’ব ∆ADE।
13. ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB II DC AC – ৰ সমান্তৰাল এডাল ৰেখাই AB ক X আৰু BC ক Y বিন্দুত কাটিছে। প্রমাণ কৰা যে, কালি (ADX) = কালি (ACY) [ইংগিতঃ CX লগ লগোৱা।]
উত্তৰঃ
প্রশ্নমতেঃ AB II CD
XY II AC, AC
আৰু XD – ৰ ছেদ বিন্দু O।
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে,
∆ADX – ৰ কালি = ∆ACY – ৰ কালি।
CX অংকন কৰা হ’ল।
প্রমাণঃ ∆ADC আৰু ∆XDC একে ভূমি, DC আৰু সমান্তৰাল AB II DC – ৰ মাজত অৱস্থিত।
∴ ∆ADC – ৰ কালি = ∆XDC – ৰ কালি
⇒ ∆ADC – ৰ কালি = ∆ODC – ৰ কালি
= ∆XCO – ৰ কালি = ∆ODC – ৰ কালি
⇒ ∆DO – ৰ কালি = ∆XCO – ৰ কালি
এতিয়া, ∆ADO – ৰ কালি + ∆ACY – ৰ কালি
= ∆XCO – ৰ কালি + ΔΑΧΟ – ৰ কালি
⇒ ∆ADX – ৰ কালি = ∆AX – ৰ কালি………. (i)
কিন্তু, ∆ACX – ৰ কালি = ∆ACY – ৰ কালি………………. (ⅱ)
(i) আৰু (ii) – ৰ পাওঁ –
∆ADX – ৰ কালি = ∆ACY – ৰ কালি (প্রমাণিত)
14. চিত্র 9.28 ত AP ll BQ ll CR প্রমাণ কৰা যে, কালি (AQC) = কালি (PBR)।
উত্তৰঃ দিয়া আছে,
AP II BQ II CR
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে,
∆AQC – ৰ কালি = ∆PBR – ৰ কালি।
প্রমাণঃ AP II BQ
∴ ∆AQB – ৰ কালি = ∆PQB – ৰ কালি……….(i)
BQ II CR
∴ ∆CRB – ৰ কালি = ∆CRQ – ৰ কালি
⇒ CRQB – ৰ কালি – ∆CRB – ৰ কালি = CRQB – ৰ কালি – ∆CRQ – ৰ কালি
⇒ ∆CQB – ৰ কালি = ∆CQR – ৰ কালি………. (ⅱ)
(i), (ii) যোগ কৰি পাওঁ –
∆AQB – ৰ কালি + ∆CQB – ৰ কালি
= ∆PQB – ৰ কালি + ∆CQR – ৰ কালি
⇒ ∆AQC – ৰ কালি = ∆PB – ৰ কালি। (প্রমাণিত)
15. ABCD চতুর্ভুজ এটাৰ AC আৰু BD কর্ণ দুডালে O বিন্দুত পৰস্পৰক এনেদৰে কাটিছে যাতে কালি (AOD) = কালি (BOC)। প্ৰমাণ কৰা যে ABCD এটা ট্রেপিজিয়াম।
উত্তৰঃ
দিয়া আছে, AC আৰু BD – ৰ ছেদবিন্দু O আৰু ∆AOD – ৰ কালি = ∆BOC – ৰ কালি
প্রমাণ কৰিব লাগে যে ABCD – ৰ কালি
প্রমাণঃ ∆AOD -vৰ কালি = ∆BOC – ৰ কালি
⇒ ∆AOD – ৰ কালি + ΔÃOB – ৰ কালি
= ∆BOC – ৰ কালি + ∆ABC – ৰ কালি
কিন্তু এই ত্রিভুজ দুটাৰ সাধাৰণ ভূমি AB.
∴ AB II CD
(আমি জানোঁ চতুর্ভুজৰ বিপৰীত বাহুযোৰ সমান্তৰাল হ’লে চতুর্ভুজটো এটা ট্রেপিজিয়াম)
অর্থাৎ, ABCD এটা ট্রেপিজিয়াম।
16. চিত্র 9.29 – ত কালি (DRC) = কালি (DPC), আৰু কালি (BDP) = কালি (ARC)। দেখুওৱা যে, ABCD আৰু DCPR চতুর্ভুজ দুয়োটাই ট্রেপিজিয়াম।
উত্তৰঃ দিয়া আছে
∆DRC – ৰ কালি = ∆DPC – ৰ কালি
∆BDP – ৰ কালি = ∆ARC – ৰ কালি
প্রমাণ কৰিব লাগে যে,
ABCD আৰু DCPR দুটা ট্রেপিজিয়াম।
প্রমাণঃ ∆DRC – ৰ কালি = ∆DPC – ৰ কালি
⇒ DCRP – ৰ কালি – ∆DEC – ৰ কালি
= DCPR – ৰ কালি – ∆DPC – ৰ কালি
⇒ ∆RPC – ৰ কালি = ∆PRD – ৰ কালি
∴ ইহঁতৰ ভূমি একে অর্থাৎ, RP, সেয়ে
DC Il RP
∴ DCPR এটা ট্ৰেপিজিয়াম।
আকৌ ∆BDP – ৰ কালি = ∆ARC – ৰ কালি
⇒ ∆BDP – ৰ কালি = ∆DPC – ৰ কালি
= ∆ARC – ৰ কালি – ∆DRC – ৰ কালি
[∴ ∆DPC – ৰ কালি ∆DRC – ৰ কালি]
⇒ ∆BDC – ৰ কালি = ∆ADC – ৰ কালি
∴ ইহঁতৰ ভূমি একে অর্থাৎ, DC, সেয়ে
AB II CD
অর্থাৎ ABCD এটা ট্রেপিজিয়াম। (প্রমাণিত)
| অনুশীলনী – 9.4 |
1. ABCD সামান্তৰিক আৰু ABEF আয়তাটো একে ভূমি AB – ৰ ওপৰত আছে আৰু ইহঁতৰ কালিও একে সমান। দেখুওৱা যে সামান্তৰিকাটোৰ পৰিসীমা আয়তটোৰ পৰিসীমাতকৈ ডাঙৰ।
উত্তৰঃ
দিয়া আছে,
ABEF এটা আয়তক্ষেত্র আৰু ABCD এটা সমান্তৰিক।
ABCD – ৰ কালি = ABEF – ৰ কালি।
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে-
ABEF পৰিসীমাতকৈ, ABCD-সামান্তৰিকৰ পৰিসীমা বেছি।
প্রমাণঃ ABEF আয়তক্ষেত্ৰৰ পৰিসীমা
P₁ = 2(AB + BE)। ∴ 2 (দৈর্ঘ্য + প্ৰস্থ) = পৰিসীমা
⇒ P₁ = 2AB + 2BE……….(i)
ABCD সামান্তৰিকৰ পৰিসীমা
p₂ = 2AB + 2BC…………(ii)
∆BEC – ৰ m∠E = 90°
∴ BC > BE
⇒2BC > 2BE…………(iii)
(i), (ii) আৰু (ⅲ) – ৰ সহায়ত পাওঁ যে-
2AB + 2BC > 2AB + 2BE
i. e. P₁ > P₂
অর্থাৎ, সামান্তৰিক ABCD – ৰ পৰিসীমা > আয়তক্ষেত্র ABEF – ৰ পৰিসীমা।
2. চিত্র 9.30 ত BC – ৰ ওপৰত D আৰু E দুটা বিন্দু যাতে, BD = DE = EC। দেখুওৱা যে, কালি (ABD) = কালি (ADE) = কালি (AEC)
এতিয়া তুমি এই অধ্যায়ৰ ‘পৰিচিতি’তে এৰি অহা প্রশ্নটোৰ উত্তৰ দিব পাৰিবানে, যে মধুৰ খেতিপথাৰখন প্রকৃততে সমান সমান কালিৰ তিনিটা অংশত বিভক্ত কৰা হৈছিল নে নাই?
[মন্তব্যঃ লক্ষ্য কৰা যে BD = DE = EC ল’লে ABC ত্রিভুজটো ABD. ADE আৰু AEC সমান কালিৰ তিনিটা ত্রিভুজত বিভক্ত হয়। একেধৰণে BC বাহুক n সংখ্যক সমান ভাগত বিভক্ত কৰি আৰু এনেদৰে পোৱা বিভাগ বিন্দুবোৰক BC ৰ বিপৰীত শীর্ষবিন্দুৰ লগত সংযুক্ত কৰি তুমি ABC ত্রিভুজক সমান কালিৰ n টা ত্রিভুজত ভাগ কৰিব পাৰিবা।]
উত্তৰঃ দিয়া আছেঃ
BD = DE = EC
∆ABD আৰু ∆ADE – ৰ ভূমি সমান আৰু সাধাৰণ শীর্ষবিন্দু A.
∆ABD – ৰ কালি = ∆ADE – ৰ কালি…….. (i)
∆ADE আৰু = ∆ADE – ৰ ভূমি সমান আৰু ইহঁতৰ সাধাৰণ শীর্ষবিন্দু A.
∴ ∆ADE – ৰ কালি = ∆AEC -bৰ কালি…….. (ii)
(i) আৰু (ii) – ৰ পৰা প্ৰমাণিত হয় যে,
∆ABD – ৰ কালি = ∆ADE – ৰ কালি = ∆AEC – ৰ কালি (প্রমাণিত)
3. চিত্র 9.31 ত ABCD, DCFE আৰু ABFE তিনিওটা সামান্তৰিক। দেখুওৱা যে, কালি (ADE) = কালি (BCF)।
উত্তৰঃ দিয়া আছেঃ
ABCD, DCFE আৰু ABFE তিনিটা সামান্তৰিক।
দেখুওৱাব লাগে যে, ∆ADE – ৰ কালি = ∆BCF – ৰ কালি।
প্রমাণঃ আমি জানো যে, সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহুবোৰ সমান হয়।
∴ ABFE সামান্তৰিকৰ
AE = BF আৰু AB = EF
আকৌ, DCFE সামান্তৰিকৰ
DE = CF আৰু DC = EF
ABCD সামান্তৰিকৰ
AD = BC আৰু AB = DC
আকৌ, ∆ADE আৰু ∆BCF – ৰ
AE = BF [ABFE সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহুদ্বয়]
AD = BC
আৰু DE = CF
∴ (বা – বা – বা) সর্বসমতা অনুসৰি
কালি (ADE) = কালি (BCF) (প্রমাণিত)।
4. চিত্র 9.32 ত ABCD এটা সামান্তৰিক। BC ক Q বিন্দু এটালৈ বঢ়াই দিয়া হ’ল যাতে AD = CQ। যদি AQ য়ে DC ক P বিন্দুত ছেদ কৰে, দেখুওৱা যে, কালি (BPC) = কালি (DPQ) [ইংগিতঃ AC লগ লগোৱা]
উত্তৰঃ দিয়া আছেঃ
ABCD এটা সামান্তৰিক
BC = AD
প্রমাণ কৰিব লাগে যে ∆BPC – ৰ কালি = ∆DPQ – ৰ কালি
প্রমাণঃ ∆APC আৰু ∆BPC – ৰ ভূমি সমান আৰু ইহঁত একে সমান্তৰাল ৰেখাৰ মাজত অৱস্থিত।
∴ ΔΑΡC ≅ ΔΒΡC……….(i)
∴ ABCD এটা সামান্তৰিক
∴ AD = BC [∴ সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু]
আৰু BC = CQ [প্রদত্ত]
∴ AD = CQ
এতিয়া, AD ॥ CQ [∴ CQ, BC বাহুৰ বৰ্ধিত অংশ]
আৰু AD = CQ
∴ ADQC এটা সামান্তৰিক।
∴ সামান্তৰিকৰ কৰ্ণদ্বয় পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
∴ AP = PQ আৰু CP = DP
এতিয়া, ∆APC আৰু ∆DPQ – ৰ
AP = PQ [প্রমাণিত হৈছে]
∠APC = ∠DPQ
[∴ বিপ্রতীপ কোণ]
আৰু PC = PD
∴ ∆APC ≅ ∆DPQ………. (ii)
∴ (i) আৰু (ii) – ৰ পৰা
∆BPC = ∆DPQ [প্রমাণিত]।
5. চিত্র 9.33 ত ABC আৰু BDE দুটা সমবাহু ত্রিভুজ যাতে BC ৰ মধ্যবিন্দু D। যদি AE য়ে BC ক F বিন্দুত কাটে, দেখুওৱা যে,
(i) কালি (BDE) = 1/4 × কালি (ABC)
(ii) কালি (BDE) = 1/2 × কালি (BAE)
(ⅲ) কালি (ABC) = 2 x কালি (BEC)
(iv) কালি (BFE) = কালি (AFD)
(v) কালি (BFE) = 2 × কালি (FED)
(vi) কালি (FED) = 1/8 × কালি (AFC)
উত্তৰঃ EC আৰু AD সংযোগ কৰা হ’ল।
∴ ∆ABC এটা সমবাহু ত্রিভুজ।
∴ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
আকৌ, ∴ ABDE এটা সমবাহু ত্রিভুজ।
∴ ∠B = ∠D = ∠F=60°
∴ AC আৰু BE ৰেখাদ্বয়ৰ ছেদক হ’ব BC।
∴ ∠B = ∠C [(প্রতিটো কোণ = 60°) একান্তৰ কোণ]
∴ BE II AC
এনেদৰে, AB আৰু DE – ৰ ছেদক BD।
∴ ∠B = ∠D [একান্তৰ কোণ]
∴ AB II DE
এতিয়া, (1) + (2) কৰি পাঁও-
(ii) ED, ∆BEC – ৰ মধ্যমা
∴ ∆BDE = 1/2∆BEC……….. (3)
[∴ এটা মধ্যমা, ত্রিভুজক সমান ভাগে ভাগ কৰে]
∴ ∆BEC = ∆BAE [∴ দুটা ত্রিভুজ একে ভূমি BE আৰু একে সমান্তৰাল বাহুদ্বয় BE আৰু AC – ৰ মাজত অৱস্থিত।]
এতিয়া, (3) আৰু (4) – ৰ পৰা পাওঁ-
∆BDE = 1/4∆BAE
(iii) ∆BDE – ৰ কালি = 1/4∆ABC – ৰ কালি
[(i) অংশত প্রমাণিত হৈছে]………(5)
∆BDE – ৰ কালি = 1/4 ∆BAE – ৰ কালি
(ii) অংশত প্রমাণিত হৈছে] …….….6)
⇒ ∆BDE – ৰ কালি = 1/2 /∆BEC – ৰ কালি।
[(4) আৰু (5) ব্যৱহাৰ কৰি]…………..(7)
এতিয়া, (5) আৰু (7) ৰ পৰা পাঁও-
1/4 ∆ABC – ৰ কালি = 1/2∆BEC – ৰ কালি।
⇒ ∆ABC – ৰ কালি = 4/2∆BEC – ৰ কালি।
⇒ ∆ABC – ৰ কালি = 2 =4/2 ∆BEC – ৰ কালি।
BCE – ৰ কালি।
(iv) ∆BDE – ৰ কালি = ∆AED – ৰ কালি [∴ দুটা একে ভূমি DE আৰু একে সমান্তৰাল যোগ AB আৰু AC – ৰ মাজত অৱস্থিত।]
এতিয়া উভয়পক্ষৰ পৰা ∆FED বিয়োগ কৰি পাঁও-
∆BDE – ∆FED = ∆AED – ∆FED
⇒ ∆BEE – ৰ কালি ∆AFD – ৰ কালি………….(8)
(v) সমবাহু ত্রিভুজৰ মধ্যমা আৰু অংকিত লম্ব একে।
∴ AD⏊BC [∴ AD, ∆ABC – ৰ মধ্যমা]
এতিয়া, ∆AFD = 1/2FD × AD……… (9)
EG⏊BC অংকন কৰা হ’ল।
∆FED = 1/2 FD × EG………. (10)
এতিয়া, (9) ÷ (10) কৰি পাঁও-
⇒ ∆AFD – ৰ কালি = 2∆FED – ৰ কালি…………(11)
(11) আৰু (৪) ব্যৱহাৰ কৰি-
∆BFE – ৰ কালি = 2∆FED – ৰ কালি। [প্রমাণিত]
(vi) ∆AFC – ৰ কালি = ∆AFD – ৰ কালি + ∆ADC – ৰ কালি
= 2∆FED – ৰ কালি + 1/2∆ABC – ৰ কালি।
[(৪) ব্যৱহাৰ কৰা হৈছে আৰু আমি জানো যে ত্রিভুজৰ মধ্যমা ত্রিভুজটোক দুটা সমান ভাগে ভাগ কৰে।]
= 2∆FED – ৰ কালি + 1/2 (4/∆BDF – ৰ কালি)
= 2∆FED – ৰ কালি + 2 ∆BDF – ৰ কালি।
= 2∆FED + 2∆AED
[∴ ∆BDE আৰু ∆AED একে ভূমি ED আৰু একে সমান্তৰাল যোগ AB আৰু DE – ৰ মাজত অৱস্থিত।]
= 2 ∆FED – ৰ কালি+ 2 ∆AFD – ৰ কালি + ∆FED – ৰ কালি
= 2 ∆FED + 2 ∆AFD – ৰ কালি + 2 ∆FED – ৰ কালি
= 4 ∆FED – ৰ কালি + 2 (2∆FED – ৰ কালি) [(1) ব্যৱহাৰ কৰি]
= 4 ∆FED – ৰ কালি + 4 ∆FED – ৰ কালি
⇒ ∆AFC – ৰ কালি = ∆FED – ৰ কালি
⇒ 8 ∆FED – ৰ কালি ∆AFC – ৰ কালি
⇒ ∆FED – ৰ কালি = 1/8∆AFC [প্রমাণিত]
6. এটা চতুর্ভুজ ABCD ৰ কৰ্ণ AC আৰু BD য়ে পৰস্পৰক P বিন্দুত কাটিছে। দেখুওৱা যে, কালি (APB) × কালি (CPD) = কালি (APD) × কালি (BPC) [ইংগিতঃ A আৰু C – ৰ পৰা BD লৈ দুডাল লম্ব টানা।]
উত্তৰঃ
দিয়া আছেঃ ABCD চতুর্ভুজৰ কৰ্ণদ্বয় AC আৰু BD পৰস্পৰ E বিন্দুত ছেদ কৰিছে।
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে – ∆AED – ৰ কালি × ABEC – ৰ কালি = ∆ABE – ৰ কালি × ∆CDE – ৰ কালি।
অংকনঃ A – ৰ পৰা AM⏊BD আৰু C – ৰ পৰা CN⏊BD টনা হ’ল।
(ii) ÷ (i) কৰি পাঁও-
একেদৰে,
এতিয়া, (iii) আৰু (iv) – ৰ পৰা পাঁও-
⇒ ∆AED – ৰ কাল × ∆BEC ৰ কালি
= ΔΑΒΕ – ৰ কালি × ∆CDE – ৰ কালি [প্রমাণিত]
7. ABC ত্রিভুজৰ AB আৰু BC বাহু দুটাৰ মধ্যবিন্দু ক্ৰমে P আৰু Q। যদি AP ৰ মধ্যবিন্দু R, তেন্তে দেখুওৱা যে,
(i) কালি (PRQ) = 1/2 × কালি (ARC)
উত্তৰঃ PC, ∆ABC – ৰ মধ্যমা।
∴ ∆BPC – ৰ কালি = ∆APC – ৰ কালি………. (1)
RC, ΔΑΡC – ৰ মধ্যমা।
∴ ∆ARC – ৰ কালি 1/2∆APC – ৰ কালি।
[∴ মধ্যমা ত্রিভুজক দুটা সমান অংশত ভাগ কৰে]
PQ, ∆BPC – ৰ কালি
∴ ∆PQC – ৰ কালি = 1/2∆BPC – ৰ কালি………….(3)
∴ (1) আৰু (3) – ৰ পৰা পাঁও-
∆PQC – ৰ কালি = 1/2 ∆APC – ৰ কালি………… (4)
∴ (2) আৰু (4) – ৰ কালি পাঁও-
∆PQC – ৰ কালি = ∆ARC – ৰ কালি……….(5)
আকৌ, দিয়া আছে, P আৰু Q যথাক্রমে AB আৰু BC – ৰ মধ্যবিন্দুদ্বয়।
∴ PQ ll AC আৰু PQ = 1/2AC
∴ ∆APQ – ৰ কালি = ∆PQC – ৰ কালি…….. .(6)
[∴ একে সমান্তৰাল যোগৰ মাজত অৱস্থিত ত্রিভুজৰ কালি সমান হয়।]
∴ (5) আৰু (6) – ৰ পৰা পাঁও-
∴ ΔΑΡQ – ৰ কালি = ∆AEC – ৰ কালি………… (7)
R, AP – ৰ মধ্যবিন্দু। সুতৰাং RQ, ∆APQ – ৰ মধ্যমা।
∴ ∆PQR = 1/2∆APQ……….. (8)
[∴ মধ্যমা এটা ত্রিভুজক দুটা সমান ত্রিভুজত বিভক্ত কৰে।]
∴ (7) আৰু (৪) – ৰ পৰা পাঁও-
∆PRQ = ∆ARC [প্রমাণিত]
(ii) কালি (RQC) = 3/8 × কালি (ABC)
উত্তৰঃ ∴ PQ, ∆BPC – ৰ মধ্যমা।
∴ ∆PQC – ৰ কালি = 1/2 ∆BPC – ৰ কালি
এতিয়া, (9) + (10) কৰি পাঁও-
এতিয়া, উভয় পক্ষৰ পৰা ∆PRQ বিয়োগ কৰি পাঁও –
(iii) কালি (PBQ) = কালি (ARC)
উত্তৰঃ (i) – ৰ পৰা আমি পাঁও –
∆PRQ = 1/2∆ARC
⇒ 2 ∆PRQ = ∆ARC ……….(12)
⇒ ∆PRQ = 1/2 ∆APQ……….. (13)
[∴ RQ, ΔΑΡQ – ৰ মধ্যমা]
কিন্তু ∆APQ = ∆PQC……. …. (14) [(6) ব্যৱহাৰ কৰি]
এতিয়া, (13) আৰু (14) – ৰ পৰা পাঁও-
∆PRQ = 1/2∆PQC ……………(15)
কিন্তু ∆BPQ = ∆PQC………..(16)
[∴ PQ, ∆BPC – ৰ মধ্যমা]
এতিয়া, (15) আৰু (16) – ৰ পৰা পাঁও-
∆PRQ = 1/2∆BPQ………. (17)
এতিয়া, (12) আৰু (17) – ৰ পৰা আমি পাঁও-
2(1/2∆BPQ) = ∆ARC
⇒ ∆BPQ = ∆ARC [প্রমাণিত]
8. চিত্র 9.34 ত A সমকোণ হোৱা ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ। BC, CA আৰু AB বাহুৰ ওপৰত যথাক্রমে BCED, ACFG আৰু ABMN বৰ্গ। ৰেখাখণ্ড AX⏊DE য়ে BC ৰ Y বিন্দুত মিলিছে। দেখুওৱা যে,
(i) ∆MBC ≅ ΔΑΒΟ
(ii) কালি (BYXD) = 2 × কালি (MBC)
(ⅲ) কালি (BYXD) = কালি (ABMN)
(iv) ∆FCB ≅ ∆AСЕ
(v) কালি (CYXE) = 2 × কালি (FCB)
(vi) কালি (CYXE) = কালি (ACFG)
(vii) কালি (BCED) = কালি (ABMN) + কালি (ACFG)
টোকাঃ (vii) ৰ ফলটো বিখ্যাত ‘পাইথাগোৰাচৰ উপপাদ্য’। তোমালোকে এই উপপাদ্যটোৰ এটা সৰল প্রমাণ দশম শ্রেণীত শিকিবা।
উত্তৰঃ (i) চিত্ৰৰ পৰা-
∠ABM = ∠CBD [প্রতিটো কোণ 90°]
উভয় পক্ষত ∠ABC যোগ কৰি পাঁও-
∠ABM + ∠ABC = ∠CBD + ∠ABC
⇒ ∠MBC = ∠ABD……….(i)
এতিয়া, ∆MBC আৰু
∆ABD – ৰ পৰা-
MB = AB [ABMN বৰ্গৰ সমান বাহুদ্বয়]
BC = BD [BCED বৰ্গৰ বাহু]
∠MBC = ∠ABD
∆MBC ≅ ∆ABD [SAS স্বীকার্য্য মতে]
(ii) আৰু (i) – ৰ পৰা-
∆MBC = ∆ABD
⇒ ∆MBC = BAD × ট্রেপিজিয়াম ABDX – ∆ADX
⇒ ∆MBC = 1/2BD. BY
⇒ 2 ∆MBC = BD.BY
⇒ 2 ∆MBC = BYXD আয়তক্ষেত্র
সুতৰাং BYXD – ৰ কালি = 2 ∆MBC – ৰ কালি [প্রমাণিত]
(ⅲ) AM সংযোগ কৰা হ’ল।
ABMN এটা বর্গ।
∴ NA Il MB
⇒ AC II MB
এতিয়া, ∆AMB আৰু ∆MBC ত্রিভুজ দুটা একে ভূমি আৰু সমান্তৰাল যোগ MB আৰু AC – ৰ মাজত অৱস্থিত।
∴ ΔΑΜΒ – ৰ কালি = ∆MBC – ৰ কালি…….. (2)
(ii) – ৰ পৰা আমি পাঁও-
BYXD – ৰ কালি = 2∆MBC – ৰ কালি……. (3)
(2) আৰু (3) ব্যৱহাৰ কৰি-
BYXD – ৰ কালি = 2∆AMB – ৰ কালি।
⇒ BYXD – ৰ কালি = ∆BMN বর্গ।
[∴ AM, ABMN বৰ্গৰ কৰ্ণ]……….. (4)
(iv) ∆FCB আৰু ∆ACE – ৰ
FC = AC [ACFG – ৰ বৰ্গৰ বাহু]
BC = CE [BCED – ৰ বৰ্গৰ বাহু]
∠BCF = ∠ACE [∴ ∠ACF = ∠BCE = 90°]
∠ACF + ∠ACB = ∠BCE + ∠ACB
⇒ ∠BCF = ∠ACE
∴ ∆FCB ≅ ∆ACE [SAS স্বীকার্য্য মতে]
(v) আৰু (iv) – ৰ পৰা আমি পাঁও-
∆FCB ≅ ∆ACE
⇒ ∆FCB – ৰ কালি = ∆ACE – ৰ কালি
⇒ ∆FCB – ৰ কালি = ∆CEX – ৰ কালি – ∆AEX – ৰ কালি
⇒ 2 ∆FCB = CYXE [আয়তক্ষেত্র]
সুতৰাং CYXE – ৰ কালি = 2 ∆FCB-ৰ কালি [প্রমাণিত]
(vi) AF সংযোগ কৰা হ’ল-
∴ ACFG এটা বর্গ।
∴ FC II AB
⇒ FC II AB
এতিয়া, ∆ACF আৰু ∆FCB একে ভূমি FC আৰু একে সমান্তৰাল যোগ FC আৰু BA – ৰ মাজত অৱস্থিত।
∴ ∆ACF – ৰ কালি = ∆FCB – ৰ কালি…….. (5)
(v) – ৰ পৰা আমি পাঁও-
CYXE – ৰ কালি = 2∆FCB – ৰ কালি………(6)
(5) আৰু (6) ব্যৱহাৰ কৰি এতিয়া আমি পাও-
CYXE – ৰ কালি = 2 ∆ACF – ৰ কালি।
∴ AF, ACFG বর্গক সমান দুটা ভাগে ভাগ কৰে।
∴ CYXE – ৰ কালি = ACFG – ক বর্গ ………(7)
(vii) এতিয়া, (4) + (7) কৰি পাঁও-
BYXD – ৰ কালি + CYXE – ৰ কালি
= ABMN – ৰ কালি + ACFG – ৰ কালি
⇒ ABMN – ৰ কালি + ACFG – ৰ কালি
⇒ BCED – ৰ কালি = ABMN – ৰ কালি + ACFG – ৰ কালি। (প্রমাণিত)
