SEBA Class 10 Mathematics Chapter 5 সমান্তৰ প্ৰগতি Question Answer, SEBA Class 10 Maths Notes in Assamese Medium, SEBA Class 10 Maths Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 10 Mathematics Chapter 5 সমান্তৰ প্ৰগতি Notes and select needs one.
SEBA Class 10 Mathematics Chapter 5 সমান্তৰ প্ৰগতি
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 10 Mathematics Chapter 5 সমান্তৰ প্ৰগতি Question Answer. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 10 Mathematics Chapter 5 সমান্তৰ প্ৰগতি Solutions for All Subject, You can practice these here.
সমান্তৰ প্ৰগতি
Chapter – 5
| অনুশীলনী – 5.1 |
1. তলৰ পৰিস্থিতিবিলাকৰ লগত জড়িত সংখ্যাৰ তালিকাবিলাকৰ কোনবিলাকে সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিব আৰু কিয় কৰিব?
(i) প্রথম কিলোমিটাৰত টেক্সি ভাড়া 15 টকা আৰু তাৰ পিছৰ প্ৰতি অতিৰিক্ত কিলোমিটাৰত 8 টকাকৈ হ’লে প্রতি কিলোমিটাৰৰ অন্তত টেক্সিৰ ভাড়া।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল Tn, ‘টেক্সিভাড়া সূচিত কৰে n তম (nᵗʰ) কি. মিটাৰৰ বাবে।
প্রশ্নমতে, T₁ = 15 কি.মি.; T₁= 15 + 8 = 23;
= T₃ = 23 + 8 = 31 ………..
এতিয়া, = T₃ – T¹ – 23 = 8
= T₂ – T₁ = 23 – 15 = 8
ইয়াত, = T₃ – T₂ – T₂ – T₁ = 8
∴ প্রদত্ত পৰিস্থিতিটো সমাদৰ শ্ৰেণী (প্রগতি) ত আছে।
(ii) এটা গেছ চিলিণ্ডাৰৰ পৰা ভেকুৱাম পাম্প এটাই এবাৰত চিলিণ্ডাৰত থকা বায়ুৰ অংশ নিষ্কাশন কৰিলে সেই চিলিণ্ডাৰটোত প্রতিবাৰ নিষ্কাশনৰ পিছত ৰৈ যোৱা বায়ুৰ পৰিমাণ।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল Tₙ, চিলিণ্ডাৰত থকা বায়ুৰ পৰিমান সূচিত কৰে।
প্রশ্নমতে, T₁ = x; T₂ = x – 1/4x
= (4-1/4)x = 3/4x
ইয়াত, T₃ – T₂ ≠ T₂ – T₁
∴ প্রদত্ত সমস্যাটি সমান্তৰ শ্ৰেণীত নাই।
(iii) এটা কুঁৱা খান্দোতে প্রথম মিটাৰৰ খৰচ 150 টকা আৰু তাৰ পিছৰ প্ৰতিমিটাৰত 50 টকাকৈ লাগিলে প্রতি মিটাৰ খন্দাৰ পিছত কুঁৱা খন্দাৰ খৰচ।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল Tₙ, এটা কুঁৱাৰ খান্দোন কার্য বাবদ খৰচ n তম (nᵗʰ) মিটাৰৰ বাবে।
প্রশ্নমতে, T₁ = 150 টকা; T₁ = (15 + 50) = 200 টকা
T₃ = (200 + 50) টকা = 250 টকা
এতিয়া, T₃ – T₁ = (250 – 200) = 50 টকা
T₂ – T₁ (200 – 150) = 50 টকা
ইয়াত, 1- T₂ = T₂ – T₁ = 50
∴ প্রদত্ত পৰিস্থিতিটো সমাহৰ প্ৰগতিত (শ্রেণী) আছে।
(iv) 10000 টকা বছৰি 8% মিশ্র সুতৰ (compound interest) হাৰত জমা কৰিলে সেই একাউণ্টত প্রতি বছৰে থাকিব লগা ধনৰ পৰিমাণ।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল n-তম (nᵗʰ) বছৰত Tₙ, টকাৰ পৰিমাণ সূচিত কৰে।
প্রশ্নমতে-
T₁ = 10,000 টকা
= 10,000 টকা + 8,00 টকা 10,800 টকা
এতিয়া, T₁ – T₂ = (11,640 – 10,800) = 840 টকা।
T₂ – T₁ = (10,800-10,000) = 800 টকা।
ইয়াত, T₃ – T₂ ≠ T₂ – T₁
∴ প্রদত্ত সমস্যাটি সমাদৰ শ্ৰেণীত নাই।
2. যদি প্রথম পদ এ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d তলত দিয়া ধৰণৰ, তেন্তে প্ৰতিটো APৰে প্ৰথম চাৰিটা পদ লিখা।
(i) a = 10 d = 10
উত্তৰঃ দিয়া আছে-
প্রথম পদ (a) = 10 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 10
∴ T₁ = a = 10 ; T₂ = a + d = 10 + 10 = 20
T₂ = a + 2d = 10 + 2 × 10 = 10 + 20 = 30
T₃ = a + 3d = 10 + 3 × 10 = 10 + 30 = 40
অর্থাৎ, সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম চাৰিটা পদ হ’লঃ 10, 20, 30, 40 ………..
(ii) a = – 2 , d = 0
উত্তৰঃ দিয়া আছে-
প্রথম পদ (a) = – 10 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 0
∴ T₁ = a = – 2
T₂ = a + d = – 2 + 0 = – 2
T₃ = a + 2d = – 2 + 2 × 0 = – 2
T₄ = a + 3d – 2 + 3 × 0 = -2
অর্থাৎ, সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম চাৰিটা পদ হ’ল: -2, -2, -2, -2, ……………..
(ⅲ) a = 4 , d = – 3
উত্তৰঃ দিয়া আছে-
প্রথম পদ (a) = 4 আৰু সাধাৰণ অহব (d) = -3
∴ T₁ = a = 4
T₂ = a + d = 4 – 3 = 1
T₃ = a + 2d = 4 + 2(-3) = 4 – 6 – 2
T₄ = a + 3d = 4 + 3(-3) = 4 – 9 – 5
অর্থাৎ, সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম চাৰিটা পদ হ’ল: 4, 1, -2, -5 ………………..
(iv) a = – 1 , d = 1/2
উত্তৰঃ দিয়া আছে-
প্রথম পদ (a)= -1 আৰু সাধাৰণ অস্থৰ (d) = ½
অর্থাৎ, সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম চাৰিটা পদ হ’ল: -1, -1/2 , 0, 1/2
(v) a = – 1.25 , d = – 0.25
উত্তৰঃ দিয়া আছে-
প্রথম পদ (a) = -1.25 আৰু সাধাৰণ অস্থৰ (d) = -0.25
∴ T₁ = a = – 1.25;
T₂ = a + d = – 1.25 – 0.25 = -1.50
T₃ = a + 2d = – 1.25 + 2(- 0.25) = – 1.25 – 0.50 = – 1.75
T₄ = a + 3d = – 11.25 + 3(- 0.25) = – 1.25 – 0.75 = – 2
অর্থাৎ, সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্রথম চাৰিটা পদ হ’ল: 1.25, 1.50, -1.75, -2…………..l
3. তলত দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতিসমূহৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 3,1,-1,-3,… …. …..
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ প্ৰগতি: 3,1,-1,-3……….
ইয়াত, T₁ = 3,T₂ = 1,T₃ = -1,T₄ = -3……
∴ প্রথম পদ T₁ = 3
এতিয়া, T₂ – T₁ = 1 – 3 = -2
T₃ – T₂ = -1 -1 = -2
T₄ – T₃ = -3 + 1 = -2
∴ T₂ – T₁ – T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = -2
∴ সাধাৰণ অন্তৰ = -2 আৰু প্রথম পদ = 3
(ii) -5, -1, 3, 7,…
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ প্ৰগতি:-5,-1,3,7,………….
ইয়াত, T₁ = -5,T₂ = -1, T₃ = 3,T₄7 ………..
∴ প্রথম পদ T₁ = 5
এতিয়া, T₂ – T₁ = -1 + 5 = 4
T₃ – T₂ = 3 + 1 = 4
T₄ – T₃ = 7 – 3 = 4
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = 4
∴ সাধাৰণ অন্তৰ = 4 আৰু প্রথম পদ = -5,
(iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3,…
উত্তৰঃ
∴ সাধাৰণ অন্তৰ = 4/3 আৰু প্রথম পদ = 1/3′
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ প্ৰগতি: 0.6, 1.7, 2.8, 3.9……..
ইয়াত, T₁ = 0.6, T₂ = 1.7, T₃ = 2.8, T₄ = 3.9 ………
∴ প্রথম পদ T₁ = 0.6
এতিয়া, T₂ – T₁ = 1.7 – 0.6 = 1.1
T₃ – T₂ = 2.8 – 1.7 = 1.1
T₄ – T₃ = 3.9 – 2.8 = 1.1
∴ সাধাৰণ অন্তৰ = 1.1 আৰু প্রথম পদ = 0.6
4. তলৰ কোনবোৰ সমান্তৰ প্ৰগতিত আছে? যিবিলাকে সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিছে তাৰ প্ৰতিটোৰে সাধাৰণ অন্তৰ d নিৰ্ণয় কৰা আৰু পৰৱৰ্তী তিনিটাকৈ পদ নিৰ্ণয় কৰা।
(i) 2, 4, 8, 16, …….
উত্তৰঃ ইয়াত, প্রথম পদ (T₁) = 2.,T₃ = 4,T₃ = 8, T₄ = 16
∴ সাধাৰণ অন্তৰ, (d) = T₂ – T₁ = 4 – 2 = 2
T₃ – T₂ = 8 – 4 = 4
T₄ – T₃ = 16 – 8 = 8
∴ সাধাৰণ অন্তৰবোৰ সমান নহয়।
∴ প্রদত্ত শ্রেণীটো সমান্তৰ শ্রেণী নহয়।
(ii) 2, 5/2, 3, 7/2……
উত্তৰঃ প্রদত্ত শ্রেণী: 2, 5/2, 3, 7/2…….
ইয়াত, T₁ = 2., T₂ = 5/2, T₃ = 3, T₄ = 7/2
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2,……
উত্তৰঃ প্রদত্ত শ্রেণী: -1.2, -3.2, -5.2, -7.2………………
ইয়াত, T₁ = 1.2,T₂ = – 3.2 T₃ = 5.2,T₄ = – 7.2
∴ T₂ – T₁ = – 3.2 + 1.2 = – 2
T₃ – T₂ = – 5.2 + 3.2 = – 2
T₄ – T₃ = – 7.2 + 5.2 = – 2
T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃= – 2
∴ সাধাৰণ অন্তৰ = -2
এতিয়া, T₅ = a + 4d = – 1.2 + 4(- 2)
= -1.2 – 8 = 9. 2
T₆ = a + 5d = – 1.2 + 5(- 2)
= -1.2-10 = -11.2
T₇ = a + 6d = – 1.2 + 6(- 2)
= – 1.5 – 12 = – 13.2
(iv) -10, -6, -2, 2, …
উত্তৰঃ প্রদত্ত শ্রেণী: -10,-6, -2,2………….
ইয়াত, T₁ = – 10 T₂ = – 6 T₃ = – 2 T₄ = 2
∴ T₂ – T₁ = – 6 + 10 = 4
T₃ – T₂ = – 2 + 6 = 4
T₄ – T₃ = 2 + 2 = 4
T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = 4
∴ সাধাৰণ অন্তৰ = 4
এতিয়া, T₅ = a + 4d = – 10 + 4(4) = – 10 + 16 = 6
T₆ = a + 5d = – 10 + 5(4) = – 10 + 20 = 10
T₇ = a + 6d = – 10 + 6(4) = – 10 + 24 = 14
(v) 3, 3 + √2 , 3 + √2, 3 + 3s√2, ….
উত্তৰঃ
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222,…
উত্তৰঃ প্রদত্ত শ্রেণী: 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, ……
ইয়াত, T₁ = 0.2, T₂ = 0.22, T₃ = 0. 222, T₄ = 0.2222
∴ T₂ – T₁ = 0.22 – 0.2 = 0.02
T₃ – T₂ = 0.222 – 0.22 = 0.002
∴ T₃ = T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ প্রদত্ত শ্রেণী সমান্তৰ প্ৰগতিত নাই।
(vii) 0, -4, -8, -12, …
উত্তৰঃ প্রদত্ত শ্রেণী: 0, -4, -8,-12, ……….
ইয়াত, T₁ = 0, T₂ = – 4, T₃ = -8, T₄ = -12
∴ T₂ – T₁ = -4 – 0 = -4
T₃ – T₂ = -8 + 4 = -4
T₄ -T₃ = -12 + 8 = -4
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = -4
∴ সাধাৰণ অন্তৰ = (d) = -4
এতিয়া, T₅ = a + 4d = 0 + 4(-4) -16
T₆ = a + 5d = 0 + 5(-4) = -20
T₇ = a + 6d = 0 + 6(-4) = -24
(viii) – 1/2, – 1/2, – 1/2, – 1/2, ……
উত্তৰঃ প্রদত্ত শ্রেণী: – 1/2, – 1/2, – 1/2, – 1/2, ……
(ix) 1, 3, 9, 27, …
উত্তৰঃ প্রদত্ত শ্রেণী: 1, 3, 9, 27, …….
ইয়াত, T₁ = 2, T₂ = 3, T₃ = 9, T₄ = 27
∴ T₂ – T₁ = 3 – 1 = 2
T₃ – T₂ = 9 – 3 = 6
∴ T₂ -T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ প্রদত্ত শ্রেণী সমান্তৰ প্ৰগতি নাই।
(x) a, 2а, 3а, 4a, …
উত্তৰঃ প্রদত্ত শ্রেণী: a, 2a, 3а, 4а,……….
ইয়াত, T₁ = a, T₂ = 2a, T₃ = 3a, T₄ = 4a
∴ T₂ – T₁ = 2a – a = a
T₃ – T₂ = 3a – 2a = a
T₄ – T₃ = 4a – 3a = a
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = a
∴ সাধাৰণ আৰু = (d) = a
এতিয়া, T₅ = a + 4d = a + 4(a) = a + 4a = 5a
T₆ = a + 5d = a + 5a = 6a
T₇ = a + 6d = a + 6a = 7a
(xi) a, a², a³, a⁴,…
উত্তৰঃ প্রদত্ত শ্রেণী: a, a², a³, a²,
ইয়াত, T₁ = a, T₂ = a², T₃ = a³, T₄ = a⁴
∴ T₂ – T₁ = a² – a
T₃ – T₂ = a² – a²
∴ T₂ – T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ প্রদত্ত শ্রেণী সমান্তৰ প্ৰগতি নাই।
(xii) √2, √8, √18, √32, …
উত্তৰঃ
(xiii) √3, √6, √9, √12,…
উত্তৰঃ
(xiv) 1², 3², 5², 7², …
উত্তৰঃ প্রদত্ত শ্রেণী: 1² , 3², 5² , 7²,………….
ইয়াত, T₁ = 1² , T₂ = 3² , T₃ = 5² , T₄ = 7²
অর্থাৎ T₁ = 1, T₂ = 9, T₃ = 25 T₄ = 49
∴ T₂ – T₁ = 9 – 1 = 8
T₃ – T₂ = 25 – 9 = 16
∴ T₂ -T₁ ≠ T₃ – T₂
∴ প্রদত্ত শ্রেণী সমান্তৰ প্ৰগতি নাই।
(xv) 1², 5², 7², 73, …
উত্তৰঃ প্রদত্ত শ্রেণী: 1², 5², 7², 73,
ইয়াত, T₁ = 1², T₂ = 5², T₃ = 7², T₁ = 73
∴ T₂ – T₁ = 25 – 1 = 24
T₃ – T₂ = 49 – 24 = 24
T₄ – T₃ = 73 – 49 = 24
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = T₄ – T₃ = 24
∴ সাধাৰণ অদুব = 24
∴ প্রদত্ত শ্রেণী সমান্তৰ প্ৰগতি আছে।
| অনুশীলনী 5.2 |
1. দিয়া আছে যে সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ a, সাধাৰণ অন্তৰ d আৰু n তম পদ aₙ। তলৰ তালিকাখনৰ খালী ঠাইসমূহ পূৰণ কৰা-
উত্তৰঃ (i) ইয়াত, a = 7 d = 3, n = 8
∴ aⁿ = a + (n – 1)d
∴ a₈ = 7 + (8 – 1)3 = 7 + 7 × 3 = 7 + 21 = 28
(ii) ইয়াত, a = – 18, n = 10 aₙ = 0
∴ aₙ = a + (n – 1)d
⇒ 0 = – 18 + (10 – 1)d
⇒ 0 = – 18 + 9d
⇒ 9d = 18
⇒ d = 2
(iii) ইয়াত, d = – 3, n = 8 aₙ = – 5
∴ aₙ = a + (n – 1)d
⇒a₁₈ = a + (18 – 1)(- 3)
⇒- 5 = a – 51
⇒ a = 51 – 5 = 46
(v) ইয়াত, a = 3.5 , d = 0 , n = 10.5
∴ aₙ = a + (n – 1)d
∴ aₙ = 3.5 + (10.5 – 1)0
⇒ aₙ = 3.5 + 0 = 3.5
2. তলৰ প্ৰতিটোৰে শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা আৰু কাৰণ দর্শোৱা-
(i) 10, 7, 4,…, এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 30 তম পদটো-
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ শ্ৰেণী: 10, 7, 4, ……
T₁ = 10, T₂ = 7, T₃ = 4,….
∴ T₂ – T₁ = 7 – 10 = -3
T₃ – T₂ = 4 – 7 = -3
T₄ – T₃ = 73 – 49 = 24
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = -3 = d (ধৰা হ’ল)
∴ Tₙ = a + (n – 1)d
এতিয়া, T₃₀ = 10 + (30 – 1) (-3)
= 10 – 87 – 77
∴ শুদ্ধ উত্তৰ হ’ব: (C)
(ii) -3,-1/2,2,…, এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 11 তম পদটো
(A) 28
(B) 22
(C) -38
(D) -48 1/2
উত্তৰঃ
3. তলৰ সমান্তৰ প্ৰগতিসমূহৰ খালীঘৰ কেইটাৰ লুপ্ত পদসমূহ (missing terms) নিৰ্ণয় কৰা-
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, প্রথমপদ = a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ = d
ইয়াত, T₁ = a = 2
আৰু, T₃ = a + 2d = 26
⇒ 2 + 2d = 26
⇒ 2d = 26 – 2
⇒ d = 24/2 = 12
∴ লুপ্ত পদ T₂ = a + d = 2 + 12 = 14 (উত্তৰ)
উত্তৰঃ ইয়াত, T₂= a + d = 13 … … … … … (1)
আৰু, T₄ = a + 3d = 3 … … … … … (2)
এতিয়া , d = -5, (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ –
a – 5 = 13
⇒ a = 13 + 5 = 18 (উত্তৰ)
∴ T₁ = a = 18
T₃ = a + 2d = 18 + 2(-5) = 18 – 10 = 8 (উত্তৰ)
উত্তৰঃ ইয়াত, T₁ = a = 5
আৰু, T₄ = a + 3d = 9 1/2
⇒ a + 3d = 19/2
⇒ 5 + 3d = 19/2
⇒ 3d = 19/2 – 5
উত্তৰঃ ইয়াত, T₁ = a = – 4
T₆ = a + 5d = 6
⇒ – 4 + 5d – 6
⇒ 5d = 6
⇒ d = 10/5 = 2
এতিয়া, T₂ = a + d = – 4 + 2 = – 2
T₃ = a + 2d = – 4 + 2(2)
= -4 + 4 = 0
T₄ = a = 3d = – 4 + 3(2)
= -4 + 6
= 2
T₅ = a = 3d = – 4 + 4(2)
= -4 + 8 = 4
T₂ = – 2 T₃ = 0 T₄ = 2 T₅ = 4 (উত্তৰ)
উত্তৰঃ ইয়াত, T₂ = a + d = 38 … … ….(1)
আৰু, T₆ = a + 5d = – 22 … … …(2)
এতিয়া, (2)- (1) কৰি পাওঁ –
এতিয়া, d = – 15, (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ-
a + (- 15) = 38
⇒ a = 38 + 15 = 53
∴ T₁ = a = 53
T₃ = a + 2d = 53 + 2(- 15)
= 53 – 30
= 23
T₄ = a + 3d = 53 + 3(- 15)
= 53 – 45 = 8
T₅ = a + 4d = 53 + 4(- 15)
= 53 – 60
= -7
T₁ = 53, T₃ = 23, T₄ = 8, T₅ = – 7 (উত্তৰ)
4. 3, 8, 13, 18, .., সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কোনটো পদ 78?
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ শ্ৰেণীটো হ’ল: 3, 8, 13, 18.
∴ T₁ = 3, T₂ = 8, T₃ = 13, T₄ = 18 …………..
∴ T₂ – T₁ = 8 – 3 = 5
∴ T₃ – T₂ = 13 – 8 = 5
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 5 = d (ধৰা হ’ল)
∴ Tₙ = a + (n – 1)d
⇒ 78 = 3 + (n – 1)5
⇒ 5(n – 1) = 78 – 3 = 75
⇒ n – 1 = 75/5 = 15
n = 15 + 1 = 16
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 16- তম পদটো হ’ল: 78. (উত্তৰ)
5. তলৰ প্ৰতিটো সমান্তৰ প্ৰগতিৰ পদৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 7, 13, 19, …, 205
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমাহৰ শ্ৰেণী: 7, 13, 19, ….
∴ T₁ = 7, T₂ = 13, T₃ = 19
∴ T₂ – T₁ = 13 – 7 = 6
T₃ – T₂ = 19 – 13 = 6
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 6 = d (ধৰা হ’ল)
∴ Tₙ = a + (n – 1)d
⇒ 205 = 7 + (n – 1)6
⇒ 6(n – 1) = 205 – 7 = 196
⇒ n – 1 = 196/6 = 33
⇒ n = 33 + 1 = 34
∴ 34- তম পদটো হ’ল: 205. (উত্তৰ)
(ii) 18, 15, 1/2 13,…, – 47
উত্তৰঃ
∴ 27 – তম পদটো হ’ল: – 47. (উত্তৰ)
6. 11, 8, 5, 2 এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ – 150 সংখ্যাটো কোনো এটা পদ হ’ব পাৰেনে পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ শ্রেণীঃ 11, 8, 5, 2, …….
∴ T₁ = 11, T₂ = 8, T₃ = 5, T₃ = 2
∴ T₂ – T₁ = 8 – 11 = – 3
T₃ – T₂ = 5 – 8 = – 3
T₄ – T₃ = 2 – 5 = – 3
∴ T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = – 3 = d (ধৰা হ’ল)
∴ Tₙ = a + (n – 1) d
⇒ – 150 = 11 + (n – 1)(- 3)
⇒ n = 54 2/3, ই স্বাভাবিক সংখ্যা নহয়।
∴ -150, প্রদত্ত সমাহৰ প্ৰগতিৰ পদ হ’ব নোৱাৰে।
7. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ 11তম পদটো 38 আৰু 16তম পদটো 73 হ’লে তাৰ 31 তম পদটো নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল এ আৰু ঐ যথাক্রমে সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ।
দিয়া আছে, T₁₁ = 38
∴ a + (11 – 1)d = 38
⇒ a + 10d = 38 … … …..(1)
আৰু, T₁₆ = 73
∴ a + (16 – 1)d = 73 a + 15d =73 … … … …(2)
∴ (2) – (1) কৰি পাওঁ –
এতিয়া, d = 7, (1) সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ –
a + 10(7) = 38
⇒ a = 38 – 70 = -32
এতিয়া, T₃₁ = a + (31 – 1)d
= -32 – 30 × 7
= -32 + 210 = 178 (উত্তৰ)
8. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিত 50 টা পদ আছে যাৰ তৃতীয় পদটো 12 আৰু শেষ পদটো 106। 29তম পদটো নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ‘a’ আৰু ‘d’ যথাক্রমে সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ।
দিয়া আছে, T₃ = 12
∴ Tₙ = a + (n – 1)d
⇒ T₃ = a + (3 – 1)d
⇒ 12 = a + 2d
⇒ a + 2d = 12 … …. ….(1)
আৰু শেষ পদ, T₅₀ = 106
∴ a + (50 – 1)d = 106
⇒ a + 49d = 106 ……… (2)
⇒ a = 12 – 4 – 8
∴ T₂₉ = a + (29 – 1) × 2
= 8 + 28 x 2
= 8 + 56 = 64 (উত্তৰ)
9. যদি এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ তৃতীয় আৰু নৱম পদ দুটা ক্রমে 4 আৰু – 8 হয় তেন্তে ইয়াৰ কোনটো পদ শূন্য হ’ব?
উত্তৰঃ
এতিয়া, d = 2, (1) সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ-
a + 2(-2) = 4
⇒ a – 4 = 4
⇒ a = 4 + 4 = 8
আকৌ, Tₙ = 0 দিয়া আছে।
∴ a + (n – 1)d = 0
⇒ 8 + (n – 1)(-2) = 0
⇒ -2(n – 1)-8
⇒ 2(n – 1) = 8
⇒ n – 1= 8/2 = 4
⇒ n = 4 + 1 = 5
∴ 5-তম পদ = 0 উত্তৰ।
10. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ 17তম পদটো 10তম পদটোতকৈ 7 ডাঙৰ। সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ‘a’ আৰু ‘d’ যথাক্রমে সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ।
এতিয়া, T₁₇ = a + (17 – 1)d
= a + 16d
আৰু T₁₀ = a + (10 – 1)d
= a + 9d
প্রশ্নমতে, T₁₇ – T₁₀ = 7
= (a + 16d)(a + 9d) = 7
= a + 16d – a – 9b = 7
⇒7d = 7
⇒d = 1
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ সাধানণ অন্তৰ (d) = 1 উত্তৰ।
11. 3, 15, 27, 39,… সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কোনটো পদ 54তম পদতকৈ 132 ডাঙৰ?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ‘a’ আৰু ‘d’ যথাক্রমে সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ।
(দিয়া আছে) সমান্তৰ প্রগতিটো: 3, 15, 27, 39, ………
∴ T₁ = 3, T₂ = 15, T₃ = 27, T₄ = 39
∴ T₂ = T₁ = 15 – 3-12
T₃ = T₂ = 27 – 15 = 12
∴ d = T₂ – T₁ = T₃ = T₂ = 12
এতিয়া, T₅₄ = a + (54 – 1) × 12
= 3 + 636 = 639
প্রশ্নমতে, Tₙ = T₅₄ + 1327
⇒ a + (n – 1)d = 639 + 132
⇒ 3 + (n – 1) × 12 = 771
⇒ 12(n – 1) = 771 – 3 = 768
⇒ n – 1 = 768/12 = 64
⇒ n = 64 + 1 = 65
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিটেৰ 65-তম পদটো, 54-তম পদ তকৈ 132 ডাঙৰ।
12. দুটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ সাধাৰণ অন্তৰ একে। সিহঁতৰ 100 তম পদ দুটাৰ পাৰ্থক্য 100। সিহঁতৰ 1000তম পদ দুটাৰ পাৰ্থক্য কিমান?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ‘a’ আৰু ‘d’ ক্রমে এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্রথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ। আকৌ, ‘a’ আৰু ‘d’ আৰু এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ।
প্রশ্নমতে,
[দ্বিতীয় সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 100-তম পদ]
[প্রথম সমান্তৰ প্রগতিটোৰ 100-তম পদ = 100]
⇒ [A + (100 – 1)d] – [a + (100 – 1)d] = 100
⇒ A + 99d – a 99d = 100
⇒ A – a = 100 … … … … (1)
এতিয়া. [দ্বিতীয় সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 1000-তম পদ]
= [A + (1000 – 1)d] – [a + (1000 – 1)d]
= A + 999d – a – 999 – d
= A – a = 100 [ (1) নং ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ -]
13. কিমানটা তিনি অংকযুক্ত সংখ্যা 7ৰে বিভাজ্য?
উত্তৰঃ 7বে বিভাজ্য তিনিটা অংক বিশিষ্ট সমান্তৰ প্ৰগতিটো হ’ল: 105, 112, 119, …… 994.
ইয়াত, a = T₁ = 105,T₂ = 112,T₃ = 119 আৰু Tₙ = 994
∴ T₂ – T₁ = 112 – 105 = 7
T₃ – T₂ = 119 – 112 = 7
∴ d = T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 7
দিয়া আছে: Tₙ = 994
∴ a + (n – 1)d = 994
⇒ 105 + (n – 1)7 = 994
⇒ 7(n – 1)994 – 105 = 889
⇒ n – 1 = 889/7 = 127
⇒ n = 127 + 1 = 128
∴ 7 বে বিভাজ্য তিনি অংক বিশিষ্ট মুঠ সংখ্যা হ’ল: 128 টা।
14. 10 আৰু 250ৰ মাজত 4ৰ গুণিতক কিমানটা আছে?
উত্তৰঃ 10 আক 250ৰ মাজত 4ব গুণিতকাবোৰ হ’ল। 12, 16, 20, 24,…, 248
ইয়াত, a = T₁ = 12, T₂ = 16, T₃ = 20 আৰু T₁ = 248
∴ T₂ – T₁ = 16 – 12 = 4
T₃ – T₂ = 20 – 16 = 4
∴ d = T₂ – T₁ = T₃ – T₂ = 4 আৰু Tₙ = 248 দিয়া আছে।
∴ a + (n – 1)d = 248
⇒ 12 + (n – 1) × 4 = 248
⇒ 4(n – 1) = 248 – 12 = 236
⇒ n – 1 = 248/4 = 59 4
⇒ n = 59 + 1 = 60
∴ 10 আৰু 250-ৰ মাজত থকা 4-ব গুণিতক 60 টা পদ আছে।
15. nৰ কি মানৰ বাবে 63, 65, 67,… আৰু 3, 10, 17,… এই সমান্তৰ প্ৰগতি দুটাৰ তম পদ দুটা সমান?
উত্তৰঃ প্রদত্ত প্রথম সমান্তৰ প্ৰগতিটো 63, 65, 67,…
ইয়াত, a = T₁ = 63,T₂ = 65, T₃ = 67,….
∴ T₂ – T₁ = 65 – 63 = 2
T₃ – T₂ = 67 – 65 = 2
∴ d,T₂ – T₁ = T3 – T2 = 2
আৰু প্রদত্ত দ্বিতীয় সমান্তৰ প্ৰগতিটো 3, 10, 17,……..
ইয়াত, T₁ = a = 3, T₂ = 10, T₃ = 17
∴ T₂ – T₁ = 10 – 3 = 7
∴ প্রশ্নমতে,
[প্রথম সমান্তৰ প্ৰগতিটো তম পদ] = [দ্বিতীয় সমান্তৰ প্ৰগতিটো তম পদ]
⇒ 63 + (n – 1) × 2 = 3+)n – 1) × 7
⇒ 63 + 2n – 23 + 7n – 7
⇒ 61 + 2n = 7n – 4
⇒ 2n – 7n = 4 – 61
⇒ -5n = 65
⇒ n = 65/5 = 13 (উত্তৰ)
16. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ তৃতীয় পদটো 16 আৰু সপ্তম পদটো পঞ্চম পদটোতকৈ 12 ডাঙৰ। সমান্তৰ প্ৰগতিটো নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ‘a’ আৰু ‘d’ যথাক্রমে এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ।
দিয়া আছে: T₃ = 16
∴ a + (3 – 1)d = 16
⇒ a + 2d = 16 …….. (1)
প্রশ্নমতে, T₇ – T₅ = 12
⇒ {a + (7 – 1)d} – {a + (5 – 1)d} = 12
এতিয়া, d = 6, (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ – a + 2(6) = 16
⇒ a = 16 – 12 = 4
∴ নির্ণেয় সমান্তৰ প্ৰগতিটো 4, 10, 16, 22, 28,…
17. 3, 8, 13, …, 253 এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ শেষৰ ফালৰপৰা 20তম পদটো নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ প্ৰগতিটো হ’ল: 3, 8, 13,…., 253
ইয়াত, T₁ = 3,T₂ = 8, T₃ = 13 আৰু Tₙ = 253.
∴ a = T₂ – T₁ = 68 – 3 = 5
T₃ – T₂ = 13 – 8 = 5
∴ d =, T₂ -T₁ = T₃ – T₂ = 5
এতিয়া, 3 + (n – 1) × 5 = 253 [Tₙ = a + (n – 1)d]
⇒ 5(n – 1)7 = 253 – 3 = 250
⇒ n – 1 = 250/5 = 50
⇒ n = 50 + 1 = 51
∴ শেষ পদৰ পৰা 20-তম পদটো হ’ল
= (মুঠ পদ সংখ্যা) – 20 + 1
= 51 – 20 + 1 = 32তম পদ
∴ শেষ পদৰ পৰা 20-তম পদটো হ’ব
= প্রথম পদৰ পৰা 32-তম পদ
⇒ 3 + (32 – 1) × 5
⇒ 3 + 31 × 5
⇒3 + 155 = 158 (উত্তৰ)
18. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ চতুৰ্থ আৰু অষ্টম পদ দুটাৰ যোগফল 24 আৰু ষষ্ঠ আৰু দশম পদ দুটাৰ যোগফল 44। সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম তিনিটা পদ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ‘a’ আৰু ‘d’ যথাক্রমে এটা সমান্তৰ প্রগতিৰ প্রথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ।
প্রথম চর্তমতে, T₄ + T₈ = 24
⇒ a + (4 – 1)d + a + (8 – 1)d = 24
⇒ a + 3d + a + 7d = 24 [∴ Tₙ = a + (n – 1)d]
⇒ 2a + 10d = 24
⇒ a + 5d = 12………… (1)
দ্বিতীয় চর্তমতে, T₆ + T₁₀ = 44
⇒ a + (6 – 1)d + a + (10 – 1)d = 44
⇒ a + 5d + a9d = 44
⇒ 2a +14d = 44
⇒ a + 7d = 22 ………. (2)
এতিয়া, (2) – (1) কৰি পাওঁ-
এতিয়া, d = 5. (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ’-
∴ a + 5(5) = 15
⇒ a + 25 = 12 a = 12 – 25 = 13
∴ T₁ = a = -13
T₂ = a + d = -13 + 5 = -8
T₃ = a + 2d = -13 + 2 × 5 = -13 + 10 = -3
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম তিনিটা পদ পদ হ’ব।-13, -8, -3,…… (উত্তৰ)
19. 1995 চনত চন্দনাই 5000 টকা বছৰেকীয়া দৰমহাত চাকৰি আৰম্ভ কৰিলে আৰু প্ৰতি বছৰে 200 টকাকৈ বৃদ্ধি (Increment) লাভ কৰিলে। কোন বছৰত তেওঁৰ দৰমহা 7000 টকা হ’ব?
উত্তৰঃ চুব্বাৰাৱৰ প্ৰথম দৰমহা = 5000 টকা
বছৰেকীয়া দৰমহা বৃদ্ধি = 2000 টকা
ধৰা হ’ল, বছৰৰ সংখ্যা = n
∴ প্রথম পদ (a) = 5000 টকা।
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 200 টকা
আৰু Tₙ = 7000 টকা
∴ 5000 + (n – 1) × 200 = 7000
⇒ 200(n – 1) = 7000 – 5000
⇒ 200(n – 1) = 2000
⇒ n – 1 = 2000/200 = 10
⇒ n = 10 + 1 = 11
∴ বছৰ অনুক্রম: 1995, 1996, 1997, 1998, ……
ইয়াত, a = 1995, d = 1, n = 11
ধৰা হ’ল Tₙ নির্ণেয় বছৰ সূচিত কৰে l
∴ Tₙ = 1995 + (11 – 1) ×1
= 1995 + 10 = 2005
∴ 2005 চনত চুববা ৰাৱৰ দৰমহা হ’ব 7000 টকা l
20. ৰামচৰণে কোনো এটা বছৰৰ প্ৰথম সপ্তাহত 5টিকা সঞ্চয় কৰিলে আৰু প্ৰতি সপ্তাহত সঞ্চয়ৰ ধন 1.75 টকাকৈ বঢ়াই গৈ থাকিল। ₙতম সপ্তাহত তেওঁৰ সাপ্তাহিক সঞ্চয়ৰ পৰিমাণ 20.75 টকা হ’লে ৰ মান নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ প্রথম সপ্তাহত সঞ্চয়ৰ পৰিমাণ = 5 টকা
প্রতি সপ্তাহত সঞ্চয়ৰ বৃদ্ধিৰ পৰিমাণ = 1.75 টকা
∴ প্রশ্নটোৰ পৰা দেখা যায় ই এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে।
∴ T₁ = a = 5, d = 1.75
∴ T₂ = 5 + 1.75 = 6.75
T₃ = 6.75 + 1.75 = 8.5
আকৌ, Tₙ = 20.75 [দিয়া আছে]
∴ 5 + (n – 1) × 1.75 = 20.75 [∴ tₙ = a + (n – 1) d]
⇒ (n – 1) × 1.75 = 20.75 – 5
⇒ (n – 1) × 1.75 = 15.75
⇒ n – 1 = 15.75/1.75 = 1575/175 = 9
⇒ n = 9 + 1 = 10
∴ 10-তম সপ্তাহত ৰামচৰণৰ সঞ্চয়ৰ পৰিমাণ হ’ব 20: 75 টকা।
| অনুশীলনী 5.3 |
1. তলৰ সমান্তৰ প্ৰগতিসমূহৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা:
(i) 2, 7, 12, …. (10 টা পদলৈ)
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ প্ৰগতিটো: 2, 7, 12,……..
ইয়াত, a = 2, d = 7-25 আৰু n = 10
(ii) -37, -33, -29, …… (12 টা পদলৈ)
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ প্ৰগতিটো: -37, -33, -29, ……
(iii) 0.6, 1.7, 2.8, . . ., (100 টা পদলৈ)
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ প্ৰগতিটো: 0.6, 1.7, 2.8, . . .,
(iv) 1/15, 1/12, 1/10 (11টা পদলৈ)
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ প্ৰগতিটো: 1/15, 1/12, 1/10….
2. তলৰ যোগফলবিলাক নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) 7+ 10 1/2 +14 +…+ 84
উত্তৰঃ
(ii) 34 + 32 + 30 +…+ 10
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমান্তৰ প্ৰগতিটো: 34 + 32 + 30 + … + 10
ইয়াত, a = 34, d = 32 – 34 = -2
আৰু, l = Tₙ = 810
∴ 34 + (n – 1)(-2) = 10
⇒ (n – 1)(-2) = 10 – 34 = -24
(iii) -5 + (-8) + (-11)+…+(-230)
উত্তৰঃ ইয়াত, a = -5, d = -8 + 5 = -3
আৰু, l = Tₙ = -230
∴ -5 + (n – 1)(-3) = -230
⇒ (n – 1)(-3) = -230 + 5= -225
3. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ-
(i) দিয়া আছে a = 5, d = 3, aₙ = 50, n আৰু Sₙ, উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে a = 5, d = 3, aₙ = 50
(ii) দিয়া আছে a = 7, a₁₃ = 35, d আৰু S₁₃ উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে a = 7, a₁₃ = 35
(iii) দিয়া আছে a₁₂ = 37, d = 3, a আৰু S₁₂ উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে a₁₂ = 37, d = 3,
∴ a₁₂ = 37
⇒ a + (n – 1)d = 37
⇒ a + (12 – 1)3 = 37
⇒ a + 33 = 37
⇒ a = 37 – 33 = 4
(iv) দিয়া আছে a₃ = 15, S₁₀ = 125, d আৰু a₁₀, উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে a₃ = 15, S₁₀= 125
∴ a₃ = 15
⇒ a + (n – 1)d = 15
⇒ a + (3 – 1)d = 15
⇒ a + 2d = 15 … … … (1)
∴ S₁₀ = 125
⇒ 2a + 9d = 25 … … … … (2)
(1) ৰ পৰা a = 15 – 2d … … … …(3)
এতিয়া, (a) -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ-
2(15 – 2d) + 9d = 25
⇒ 30 – 4d + 9d = 25
⇒ 5d = 25 – 30
⇒ d = – 5/5 = – 1
এতিয়া, d = – 1, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ –
a = 15 – 2(-1)
a = 15 + 2 = 17
এতিয়া, a₁₀ = 17+ (10 – 1) (-1) [∴ Tₙ = a + (n – 1)d]
= 17 – 9 = 8 (উত্তৰ)
(v) দিয়া আছে d = 5, S₉ = 75, a আৰু a₉, উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে d = 5, S₉ = 75
∴ s₉ = 75
⇒ 6a + 120 = 50
⇒ 6a = 50 – 120 = – 70
(vi) দিয়া আছে a = 2, d = 8, Sₙ = 90, n আৰু aₙ, উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে a = 2 d = 8 Sₙ = 90
∴ n/2 [2 × 2 + (n – 1)8] = 90
⇒ n[4 + 8n – 8] = 180
⇒ n[8n – 4] = 180
⇒ 8n² – 4n – 180 = 0
⇒ 2n² – n – 45 = 0
⇒ 2n² – 10n + 9n – 45 = 0
⇒ 2n(n – 5) + 9(n – 5) = 0
⇒ (n – 5)(2n + 9) = 0
∴ n – 5 = 0 ⇒ 2n + 9 = 0
⇒ n = 5
⇒ n = – 9/2
∴ n ঋণাত্মক হ’ব নোৱাবে।
∴ n = 5
এতিয়া, a₅ = 2 + (5 – 1)8 = 2 + 32 = 34 (উত্তৰ)
(vii) দিয়া আছে a = 8, aₙ = 62, Sₙ = 210, n আৰু d উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে a = 8 aₙ = 62 Sₙ = 210
∴ S₉ = 210
∴ n/2[a + aₙ] = 210
⇒ n/2 [8 + 62] = 210
⇒ n/2 × 70 = 210
⇒ 35ₙ = 210
⇒ 6a = 50 – 120 = – 70
⇒ n = 210/35 = 6
এতিয়া, aₙ = 62
⇒ 8 + (6 – 1) d = 62 [ ∴ Tₙ = a + (n – 1)d ]
⇒ 5d = 62 – 8 = 54
⇒ d = 54/5 (উত্তৰ)
(viii) দিয়া আছে aₙ = 4, d = 2, Sₙ = -14, n আৰু a উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে aₙ = 4 d = 2, Sₙ = – 14
∴ an = 4
∴ a + (n – 1)2 = 4
⇒ a + 2n – 2 = 4
⇒ a = 6 – 2n …………(1)
⇒ n/2 [6 – 2n + 4] = -14 [(1) নং ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ n/2 [10 – 2n] = -14
⇒ 5n – n ^ 2 + 14 = 0
⇒ n² – 5n – 14 = 0
⇒ n² – 7n + 2n – 14 = 0
⇒ n(n – 7) + 2(n – 7) = 0
⇒ (n – 7)(n + 2) = 0
∴ n – 7 = 0
⇒ n – 2 = 0 [গ্রহণযোগ্য নহয়]
এতিয়া, n = 7 (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ –
a = 6 – 2 × 7 = 6 – 14 = -8 (উত্তৰ)
(ix) দিয়া আছে a = 3, n = 8, S = 192, d উলিওৱা।
উত্তৰঃ
(x) দিয়া আছে l = 28, S = 144, আৰু মুঠ পদৰ সংখ্যা 9; a উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে l = 28, S = 144 আৰু মুঠ পদ সংখ্যা = 9
∴ a₉ = 28
⇒ a + (9 – 1)d = 28
⇒ a + 8d = 28 ………….. (1)
আৰু, S₉ = 144
⇒ 9/2[a + 28] = 144
⇒ a = 32 – 28
⇒ a = 4 (উত্তৰ)
4. 9, 17, 25, …. এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কিমানটা পদৰ যোগফল 636 হ’ব?
উত্তৰঃ দিয়া আছেঃ সমান্তৰ প্ৰগতিটো: 9,17,25,…..
ইয়াত, a = 9 d = 17 – 9 = 8
কিন্তু, ∴ Sₙ = 636
∴ n/2[2a + (n – 1)d] = 636
⇒ n/2[2(9) + (n – 1)8] = 636
⇒ n/2 [18 + 8n – 8] = 636
⇒ n[4n + 5] = 636
⇒ 4nⁿ + 5n – 636 = 0
a = 4 ,b = 5, c = -636
D = (5)² – 4 × 4 × (- 636)
= 25 + 10176
= 10201
5. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ 5, অন্তিম পদ 45 আৰু যোগফল 400। মুঠ পদৰ সংখ্যা আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ দিয়া আছেঃ ইয়াত, a = T₁ = 5: l = aₙ = 45
আৰু, Sₙ = 400
∴ Tₙ = 45
⇒ a + (n – 1)d = 45
⇒ 5 + (n – 1)d = 45
⇒ (n – 1)d = 45 – 5 = 40
⇒ (n – 1)d = 40 …. ….(1)
আৰু Sₙ = 400
∴ n/2 [a + aₙ] = 400
⇒ n/2[5 + 45] = 400
⇒ 25n = 400
⇒ n = 400/25 = 16
এতিয়া, n = 16 , (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ-
(16 – 1)d = 40
⇒ 15d = 40
⇒ d = 40/15 = 8/3
∴ n = 16 আৰু d = 8/3 (উত্তৰ)
6. এটা APৰ প্ৰথম পদ আৰু অন্তিম পদ ক্রমে 17 আৰু 350। যদি ইয়াৰ সাধাৰণ অন্তৰ 9, তেন্তে APটোত কিমান পদ আৰু সিহঁতৰ যোগফল কিমান?
উত্তৰঃ দিয়া আছে: ইয়াত, a = T₁ = 17: l = Tₙ = 350, d = 9
∴ a + (n – 1)d = 350
⇒ 17 + (n – 1) × 9 = 350
⇒ 9(n – 1) = 350 – 17 = 333
⇒ n – 1 = 333/9 = 37
⇒ n = 37 + 1 = 38
এতিয়া, S₃₈ = 38/2(17 + 350)
∴ AP টোত পদসংখ্যা = 38 আৰু সিহঁতৰ যোগফল = 6973
7. এটা APৰ d = 7 আৰু 22তম পদটো 149 হ’লে ইয়াৰ প্ৰথম 22 টা পদৰ যোগফল নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ দিয়া আছেঃ ইয়াত, d = 7, T₂₂ = 149 আৰু n = 22
∴ T₂₂ = 149
⇒ a + (22 – 1) × 7 = 149
⇒ a + 21 x 7 = 149
⇒ a + 147 = 149
⇒ a = 149 – 147 = 2
এতিয়া, S₂₂ = 22/2 (2 + 149) = 11 × 151 = 1661 (উত্তৰ)
8. এটা APৰ দ্বিতীয় আৰু তৃতীয় পদ ক্রমে 14 আৰু 18 হ’লে প্রথম 51টা পদৰ যোগফল উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ‘a’ আৰু ‘b’ যথাক্রমে প্রদত্ত সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ দিয়া আছে, T₂ = 14,, T₃ = 18 আৰু n = 51
∴ T₂ = 14
⇒ a + (n – 1)d = 14 আৰু T₃ = 18
⇒ a + (2 – 1) d = 14
⇒ a + (3 – 1) d = 18
⇒ a + d = 14
⇒ a + 2d =18…………(ii)
⇒ a = 14 – d ……..(i)
14 – d + 2d = 18
⇒ d = 18 – 14 = 4
∴ d = 4, (i) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁঃ
a = 14 – 4 = 10
9. এটা APৰ প্ৰথম 7টা পদৰ যোগফল 49 আৰু প্ৰথম 17টা পদৰ যোগফল 289, APটোৰ প্রথম টা পদৰ যোগফল উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হল ‘a’ আৰু ‘b’ যথাক্রমে প্রদত্ত সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ প্রথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ।
∴ প্রথম চর্তমতে-
S₇ = 49
⇒ 7/2{2a + (7 – 1)d} = 49
⇒ 2a + 6d = 14
⇒ a + 3d = 7
⇒ a = 7 – 3d ………….. (1)
আকৌ,
S₁₇ = 289
⇒ 17/2 {2a + (17 – 1)} = 289
⇒ a + 8d = 289/17 = 17
⇒ 7a + 8d = 17 ………… (2)
এতিয়া, (1) আৰু (2) ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ –
7 – 3d + 8d = 17
⇒ 5d = 17 – 7
⇒ d = 10/4 = 2
∴ d = 2 , (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ:
∴ a = 7 – 3 × 2 = 7 – 6 = 1
10. দেখুওৱা যে, a,, a₂, …., aₙ, … পদসমূহে এটা AP গঠন কৰে যাৰ aₙ, ক তলত দিয়াৰ দৰে সংজ্ঞাবদ্ধ কৰা হৈছে। লগতে, প্ৰতিটোৰ ক্ষেত্ৰত প্ৰথম 15টা পদৰ যোগফল উলিওৱা।
(i) aₙ = 3 + 4n
উত্তৰঃ দিয়া আছেঃ an = 3 + 4n ………. (1)
12-ৰ বিভিন্ন মান (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁঃ
a₁ = 3 + 4 × 1 = 7
a₂ = 3 + 4 × 2 = 11
a₃ = 3 + 4 × 3 = 15, … … ….
এতিয়া, a₂ – a₁ = 11 – 7 = 4
a₃ – a₂ = 15 – 11 = 4
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a2 = d = 4
∴ প্রদত্ত অনুক্রমটি সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে।
ইয়াত, a = 7, d = 4 আক n = 15
(ii) aₙ = 9 – 5n
উত্তৰঃ দিয়া আছেঃ an = 9-5 ………. (1)
n – ৰ বিভিন্ন মান (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ:
a₁ = 9 – 5 × 1 = 4
a₂ = 9 – 5 × 2 = -1
a₃ = 9 – 5 × 3 = 6,….
এতিয়া, a₂ – a₁ = -1 – 4 = -5
a₃ – a₂ = -6 + 1 = -5
∴ a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = -5 = d
∴ প্রদত্ত অনুক্রমটি সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে।
ইয়াত, a = 4, d = 5 আৰু n = 15
11. যদি এটা APৰ প্ৰথম টা পদৰ যোগফল 4n n², তেন্তে ইয়াৰ প্ৰথম পদ (S₁) কি? প্রথম পদ দুটাৰ যোগফল কিমান? দ্বিতীয় পদটো কি? একেদৰে, তৃতীয়, দশম আৰু তম পদকেইটা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ প্রদত্ত: Sₙ = 4n – n² ……… (1)
n = 1, 2, 3, ….. (1) নং সমীকৰণত স্থপন কৰি পাওঁ –
∴ S₂ = 4 × 1 – (1)² = 8 – 4 = 4
∴ T₁ + T₂ = 4
⇒ 3 + T₂ = 4
⇒ T₂ = 4 – 3 = 1
∴ S₃ = 4 × 3 – (3)² = 12 – 9 = 3
⇒ S₂ + T₃ = 3
⇒ 4 + T₃ = 3
⇒ T₃ = 3 – 4 = -1
এতিয়া, d = T₂ – T₁ = 1 – 3 = -2
∴ T₁₀ = 3 + (10 – 1)(-2) = 3 + 9(-2) = 3 – 18 = -15
আৰু, Tₙ = a + (n-1)d
= 3 + (n – 1)(-2) = 3 – 2n + 2 = 5 – 2n
∴ প্রথম পদ (a) = T₁ = S₁ = 3
S₂ = 4
T₂ = 1, T₃, = -1, T₁₀ = -15 আৰু n – তম পদ 5 – 2n
12. 6ৰে বিভাজ্য প্রথম 40টা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ 6 দ্বাৰা বিভাজ্য প্রথম 40 টা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাবোৰ হ’ল: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42……
ইয়াত, a = T₁ = 6,T₂ = 12, T₃ = 18 আৰু T₁ = 24…..
∴ T₂ – T₁ – = 12 – 6 = 6
T₃ – T₂ = 18 – 12 = 6
T₄ – T₃ = 24 – 18 = 6
T₂ = T₁ = T₃ – T₂ ,= 6 = d
∴ Sₙ = n/2 {2a + (n – 1) d}
∴ S₄₀ = 40/2 {2 × 6 + (40 – 1) × 6}
= 20{12 + 234} = 20 × 246 = 4920
∴ যোগফল = 4920
13. প্রথম 15টা 8ৰ গুণিতকৰ যোগফল নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ 8 -ৰ গুণিতকবোৰ হ’ল: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ……
ইয়াত, a = T₁ = 8,T₂ = 16, T₃ = 24, T₄ = 32.
∴ T₂ – T₁ = 16 – 8 = 8
T₃ – T₂ = 24 – 16 = 8
∴ T₂ = T₁ = T₃ – T₂, = 8 = d
∴ Sₙ = n/3 {2a + (n – 1)d}
∴ S₁₅ = 15/2 {2 × 8 + (15 – 1) × 8)
= 15/2 {16 + 112} = 15/2 × 128 = 960
∴ যোগফল = 960
14. 0 আৰু 50ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্যাবিলাকৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ 0 আৰু 50ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্যাবিলাকৰ যোগফল হ’ল: 1,2,3,5,7,9,…… 49
ইয়াত, a = T₁ = 1,T₂ = 3,T= 5, T₁ = 7.
আৰু l = Tₙ = 49
∴ T₂ – T₁ = 3 – 1 – 2
T₃ – T₂ = 5 – 3 = 2
∴ T₂ = T₁ = T₃ – T₂, = 2 = d
আকৌ, l = Tₙ = 49
⇒ a + (n – 1)d = 49
⇒ 1 + (n – 1) × 2 = 49
⇒ 2(n – 1) = 49 – 1 = 48
⇒ n – 1 = 48/2 = 24
15. এটা নিৰ্মাণ কাৰ্যৰ ঠিকাত নিৰ্মাণৰ কাম এটা নিৰ্ধাৰিত তাৰিখতকৈ পলম হ’লে দিব লগা জৰিমনা এনেধৰণৰ: প্ৰথম দিনা 200 টকা, দ্বিতীয় দিনা 250 টকা, তৃতীয় দিনা 300 টকা ইত্যাদি। অৰ্থাৎ প্ৰতিটো পৰৱৰ্তী দিনৰ জৰিমনা তাৰ পূৰ্বৱর্তী দিনতকৈ 50 টকা বেছি। ঠিকাদাৰ এজনে কামটো 30 দিন পলমকৈ সম্পূৰ্ণ কৰিলে। তেওঁ মুঠ কিমান টকা জৰিমনা ভৰিব লাগিব।
উত্তৰঃ পলম কৰাৰ বাবে প্রথম, দ্বিতীয় আৰু তৃতীয় দিনাৰ জৰিমনা ক্রমে 200 টকা, 250 টকা আৰু 300 টকা। আর্থাৎ প্রতিটো পৰৱৰ্তী দিনৰ তাৰ পূৰ্বৱর্তী দিনতকৈ 50 টকা কৰি জৰিমনা বৃদ্ধি পাব।
∴ সমান্তৰ প্ৰগতিটো হ’ব: 200 টকা, 250 টকা, 350 টকা,………….
ইয়াত, a = T₁ = 200
d = 50 টকা, n = 30
∴ 30 দিনৰ বাবে মুঠ জৰিমনা:
S₃₀ = 30/2 {2(200) + (30 – 1)50}
= 15(400+ 1450)
= 15(1850) = 27750
∴ 30 দিনৰ বাবে মুঠ জৰিমনা ভৰিব লাগিব = 27750 টকা।
16. এখন বিদ্যালয়ৰ শিক্ষার্থীসকলক বিদ্যায়তনিক ক্ষেত্ৰত দেখুওৱা পাৰদৰ্শিতাৰ বাবে মুঠ 700 টকাৰ সাতটা নগদ ধনৰ পুৰস্কাৰ দিব লগা হ’ল। যদি প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ ধন তাৰ আগৰটোতকৈ 20 টকা কম হয়, তেনেহ’লে প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ মূল্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ প্রথম শিক্ষার্থীক পুৰস্কাৰ মূল্য = x টকা।
∴ দ্বিতীয় শিক্ষার্থীক পুৰস্কাৰ মূল্য = (x – 20) টকা।
∴ তৃতীয় শিক্ষার্থীক পুৰস্কাৰ মূল্য = (x – 20 – 20) টকা।
= (x – 40) টকা ইত্যাদি।।
∴ নির্ণেয় অনুক্রমটো হ’ল: x টকা, (x – 20) টকা, (x – 40) টকা, যি সমান্তৰ প্ৰগতি।
∴ a = x টকা, d = 20 আৰু n = ?
এতিয়া, Sₙ = n/2 {2a + (n – 1)d) সূত্র ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ –
∴ S₇ = 7/2 {2(x) + (7 – 1)(-20)}
⇒ S₇, = 7/2 (2x – 120x) 2
= 7 (x – 60)
প্রশ্নমতে, 7(x – 60) = 700
⇒ x – 60 = 700/7 = 100
⇒ x = 100 + 60 = 160
∴ 7 টা পুৰস্কাৰৰ মূল্য 160 টকা, 140 টকা, 120 টকা, 100 টকা, 80 টকা, 60 টকা হক 40 টকা।
17. এখন বিদ্যালয়ৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীসকলে বায়ু প্ৰদূষণ ৰোধৰ উদ্দেশ্যে বিদ্যালয়ৰ চৌপাশে বৃক্ষৰোপণ কৰিবলৈ মনস্থ কৰিলে। এইটো সিদ্ধান্ত লোৱা হ’ল যে প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ প্ৰতিটো শাখাৰপৰা তেওঁলোক পঢ়া শ্রেণীটোৰ সমসংখ্যক বৃক্ষৰোপণ কৰিব। উদাহৰণস্বৰূপে প্ৰথম শ্ৰেণীৰ এটা শাখাই এজোপা, দ্বিতীয় শ্ৰেণীৰ এটা শাখাই দুজোপা ইত্যাদিকৈ গৈ সেইদৰে দ্বাদশ শ্রেণীলৈকে বৃক্ষ ৰোপণ কৰিব। প্ৰতিটো শ্রেণীৰে তিনিটাকৈ শাখা আছে। ছাত্র-ছাত্রীবিলাকে মুঠতে কিমান জোপা গছ ৰোপণ কৰিব?
উত্তৰঃ প্রথম শ্ৰেণীৰ এটা শাখাৰ ছাত্র-ছাত্রীসকলে বৃক্ষ ৰোপণৰ সংখ্যা 3 × 1 = 3, দ্বিতীয় শ্রেণীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ দ্বাৰা বৃক্ষ ৰোপণৰ সংখ্যা = 3 × 2 = 6. তৃতীয় শ্রেণীৰ ছাত্র-ছাত্রীৰ দ্বাৰা বৃক্ষ ৰোপণৰ সংখ্যা= 3 × 3 = 9 আক দ্বাদশ শ্রেণীৰ ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ দ্বাৰা বৃক্ষ ৰোপণৰ সংখ্যা= 3 × 12 = 36
∴ নির্ণেয় সমান্তৰ প্ৰগতিটো হ’ল: 3, 6, 9, ….., 36.
ইয়াত, T₁ = a = 3,T₂= 6, T₃ = 9,
আৰু l = Tₙ = 36, n = 12
∴ d = T₃ – T₁ = 6 – 3 = 3
∴ মুঠ বৃক্ষৰোপণৰ সংখ্যা = S₁₂
∴ Sₙ = n/2(a + 1)
S₁₂ = (3 + 36)
= 6 x 39 = 234
18. চিত্ৰ 5.4ত দেখুওৱাৰ দৰে 0.5 ছে.মি., 1.0 চে.মি., 1.5 চে.মি., 2.0 চে.মি…… ব্যাসার্ধৰ আনুক্রমিকভাৱে থকা কিছুমান অর্ধবৃত্তৰ দ্বাৰা এটি কুণ্ডলী সজোৱা হ’ল। এই অর্ধবৃত্তবোৰৰ কেন্দ্ৰ Aত আৰম্ভ। ই এটাৰ পিছত এটাকৈ ক্রমে A, Bকৈ আছে। 13টা একাদিক্রমে থকা 22 অর্ধবৃত্তৰদ্বাৰা গঠিত এনে এটা কুণ্ডলীৰ মুঠ দৈর্ঘ্য কিমান? (ধৰা π = 22/7)
[ইংগিত: আনুক্রমিকভাৱে থকা অর্ধবৃত্তসমূহৰ দৈর্ঘ্য 11, 12, 13, 14, … আৰু ইহঁতৰ কেন্দ্ৰ ক্রমে A, B, A, B, …..]
উত্তৰঃ প্রথম অর্ধ-বৃত্তৰ দৈর্ঘ্য (l₁)
= πr₁ = π(0.5) = (π/2)
দ্বিতীয় অর্ধ-বৃত্তৰ দৈর্ঘ্য (l₂)
= πr₂ = π(1) = π
তৃতীয় অর্ধ-বৃত্তৰ দৈর্ঘ্য (l₃)
= πr₃ = π(1.5) = 3π/2
আৰু চতুর্থ অর্ধ-বৃত্তৰ দৈর্ঘ্য (l₄)
= πr₄ = π(2) = 2π ইত্যাদি
∴ ক্রমিক অর্ধ-বৃত্তবোৰ সমান্তৰ পৰগতি গঠন কৰে; অর্থাৎ ইয়াত –
α = Τ₁ = π/2, T₂ = π,Τ₃ = 3π/2;
T₄ = 2π,…… আৰু n = 13
∴ d = Τ₂ – Τ₁ = π – π/2 = π/2
∴ সম্পূর্ণ কুণ্ডলীটোৰ দৈর্ঘ্য = S₁₂
∴ 13 টা একাদিক্রমে থকা অর্ধ-বৃত্তৰ দ্বাৰা গঠিত এনে এটা কুণ্ডলীৰ দৈর্ঘ্য= 143 ছে.মি.।
19. 200 টুকুৰা কাঠ এনেদৰে সজোৱা হ’ল: 20 টুকুৰা একেবাৰে তলৰ শাৰীত, তাৰ পিছৰ শাৰীত 19 টুকুৰা, তাৰ পিছত 18 টুকুৰা ইত্যাদি। (চিত্র 5.5 চোৱা)। 200 টুকুৰা কাঠ কিমান শাৰীত সজোৱা হ’ল আৰু একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত কেইটুকুৰা কাঠ আছে?
উত্তৰঃ প্রথম শাৰীত থকা কাঠৰ টুকুৰাৰ (logs) সংখ্যা = 20
দ্বিতীয় শাৰীত থকা কাঠৰ টুকুৰাৰ (logs) সংখ্যা = 19
তৃতীয় শাৰীত থকা কাঠৰ টুকুৰাৰ (logs) সংখ্যা = 18 আৰু ইত্যাদি।
∴ বিভিন্ন শাৰীত থকা কাঠৰ টুকুৰা সংখ্যাবোৰ এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে।
ইয়াত, T₁ = a = 20, T₂ = 19, T₃ = 18, …..
∴ d = T₂ – T₁ = 19 – 20 – 1
ধৰা হ’ল Sₙ = কাঠৰ টুকুৰাৰ সংখ্যা।
∴ Sₙ = n/2 {2a + (n – 1)d}
= n/2 {2(20) + (n – 1)(-1)}
= n/2 (40 – n + 1)
= n/2 (40 – n)
∴ প্রশ্নানুযায়ী, n/2 (41 – n) = 200
⇒ 41n – n² = 400
⇒ -n² – 41n + 400 = 0
⇒ n² – 16n – 25n + 400 = 0
⇒ n(n – 16)(n – 25) = 0
∴ n – 16 = 0
⇒ n = 16
⇒ n – 25 = 0
⇒ n = 25
∴ n = 16, 25
∴ প্রথম ক্ষেত্রত:
n = 25 ধৰিলে
T₂₅ = 20 + (25 – 1)(- 1)
= 20 + 24(-1)
= 20 – 24 = – 4 , ই গ্রহণযোগ নহয়।
∴ দ্বিতীয় ক্ষেত্রত
n = 16 ধৰিলে –
T₁₆ = 20 + (16 – 1)(-1)
= 20 + 15(-1)
= 20 – 15 = 5
∴ মুঠ শাৰীৰ সংখ্যা = 16 আৰু একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত থকা কাঠৰ টুকুৰাৰ সংখ্যা = 5
| অনুশীলনী 5.4 |
1. 121, 117, 113, ……. এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম ঋণাত্মক পদটো কিমান সংখ্যক পদ? [ইংগিত: n উলিওৱা যেতিয়া aₙ <0]
উত্তৰঃ
ইয়াত, T₁ = a = 121, T₂ = 117, T₃ = 113,
∴ d = T₂ – T₁ = 117 – 121 = -4
∴ Tₙ = a + (n – 1)d ব্যৱহাব কবি পাওঁ –
∴ Tₙ = 121 + (n-1) × (-4)
= 121 – 4n + 4
= 125 – 4n
∴ প্রশ্নমতে, Tₙ > 0
⇒ 125 – 4n > 0
⇒ 125 < 4n
⇒ n > 125/4
⇒ n > 31 1/4 কিন্তু, প্রথম ঋণাত্মক পদৰ বাবে এটা পূর্ণসংখ্যা হ’ব লাগিব।
∴ 32-তম পদটো সমাস্থৰ প্ৰগতিৰ প্রথম ঋণাত্মক পদ।
2. এটা APৰ তৃতীয় আৰু সপ্তম পদৰ যোগফল 6 আৰু সিহঁতৰ পূৰণফল 8; এই APটোৰ প্ৰথম 16 টা পদৰ যোগফল উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ‘a’ আৰু ‘b’ যথাক্রমে প্রদত্ত সমাচ্ছৰ প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ।
∴ প্রথম চর্তমতে-
T₃ + T₇ = 6
⇒ a + (3 – 1)d + a + (7 – 1)d = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ a + 4d = 3
⇒ a = 3 – 4d …………… (1)
∴ প্রথম চর্তমতে, T₃ + T₇ = 8
⇒ {a + (3 – 1)d} {a + (7 – 1)d} = 8
⇒{a+2d} {a + 6d} = 8
⇒ {3 – 4d + 2d}{3 – 4d + 6d} = 8 [(1) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ {3 – 2d}{3 + 2d} = 8
⇒ (3)² – (2d)² = 8
⇒ 9 – 4d² = 8
⇒ – 4d² = 8 – 9
⇒ – 4d² = – 1
⇒ d² = 1/4
⇒ d = ± 1/2
প্রথম ক্ষেত্রত
d = 1/2 ধৰিলে,
∴ d = 1/2, (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ-
a + 4(1/2) = 3
⇒ a + 2 = 3
⇒ a = 3 – 2
⇒ a = 1
3. এডাল জখলাৰ শলাবিলাক 25 চে.মি. আঁতৰে আঁতৰে আছে (চিত্র 5.7 চোৱা)। একেবাৰে তলত থকা শলিডালৰ দীঘ 45 চে.মি. আৰু পিছৰ শলিবিলাকৰ দীঘ সুষমভাৱে কমি কমি গৈ একেবাৰে ওপৰৰ শলিডালৰ দীঘ হয় 25 চে.মি.। যদি একেবাৰে ওপৰৰ শলিডালৰ পৰা একেবাৰে তলৰ শলিডালৰ দূৰত্ব 2 1/2 মি. হয় তেনেহ’লে শলিবিলাকৰ বাবে লগা কাঠৰ মুঠ দৈর্ঘ্য কিমান? (ইংগিত: শলিৰ সংখ্যা = 250/25 +1)
উত্তৰঃ শলিডালৰ সংখ্যা (rungs) ৰ মুঠ দৈর্ঘ্য= 2 মি.মি.
= (5/2 ×100) ছে. মি.
= 250 ছে.মি.
প্রতিটো শলিডালৰ দৈর্ঘ্য = 25 ছে.মি.
∴ শলি ডালৰ সংখ্যা = শলিডালৰ মুঠ দৈর্ঘ্য / প্ৰতিটো শলিডালৰ দৈর্ঘ্য
= 250/25 = 10
প্রথম শলিডালৰ দৈৰ্ঘ্য = 45 ছে.মি.
ইয়াত, a = 45,l = 25, n = 10
∴ মুঠ কাঠৰ দৈর্ঘ্য ধৰা হ’ল: S₁₀
∴ S₁₀ = 10/2 (45 + 25)
= 5 × 70 = 350
∴ শলিবিলাকৰ বাবে লগা কাঠৰ মুঠ দৈর্ঘ্য = 350 ছে.মি.।
4. এটা শাৰীত থকা ঘৰবিলাকত 1 ৰ পৰা 49লৈ ক্রমিকভাৱে নম্বৰ দিয়া হ’ল। দেখুওৱা যে .xৰ এনেকুৱা এটা মান আছে যাতে x নম্বৰ দিয়া ঘৰটোৰ পূৰ্বৱৰ্তী ঘৰৰ নম্বৰবিলাকৰ যোগফল তাৰ পৰৱৰ্তী ঘৰৰ নম্বৰবিলাকৰ যোগফলৰ সমান। xৰ মান নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ঘৰৰ সংখ্যা = x
ইয়াত, a = T₁ = 1; d = 1
প্রশ্নমতে, Sₓ – 1 = S₄₉ – Sₓ
⇒ x/2 × 2x = 1225
⇒ x² = 1225
⇒ x = 35
5. এখন ফুটবল খেলপথাৰত কংক্রিটেৰে বনোৱা এটা গেলাৰীত 15টা ঢাপ আছে আৰু প্ৰতিটো ঢাপৰ দৈৰ্ঘ্য 50 মি.। প্ৰতিটো ঢাপৰে উচ্চতা 1/4 মি. আৰু বহল 1/2মি গেলাৰীটো সাজিবলৈ লগা কংক্রিটৰ মুঠ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা। (চিত্র 5.8 চোৱা)। এই [ইংগিত: প্রথম ঢাপটো সাজিবলৈ লগা কংক্রিটৰ আয়তন = 1/4 × 1/2 × 50 m³]
উত্তৰঃ প্রথম ঢাপ তৈয়াৰ কৰিবলৈ কংক্রিটৰ দৰকাৰ = (1/4 × 1/2 × 50m³)
= 25/4 m²
দ্বিতীয় চাপ তৈয়াৰ কৰিবলৈ কংক্রিটৰ দৰকাৰ = (2/4 × 1/2 × 50) m²
= 25/4 m²
