SEBA Class 10 Mathematics Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ Question Answer, SEBA Class 10 Maths Notes in Assamese Medium, SEBA Class 10 Maths Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 10 Mathematics Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ Notes and select needs one.
SEBA Class 10 Mathematics Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 10 Mathematics Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ Question Answer. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 10 Mathematics Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ Solutions for All Subject, You can practice these here.
দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ
Chapter – 3
| অনুশীলনী – 3.1 |
1. ৰহিমে জীয়েকক ক’লে, ‘সাত বছৰ আগতে মোৰ বয়স তোমাৰ তেতিয়াৰ বয়সৰ সাতগুণ আছিল। আকৌ আজিৰ পৰা তিনি বছৰ পিছত তুমি যিমান ডাঙৰ হ’বা মই তাৰ তিনিগুণ হ’ম’। (এইটো আমোদজনক নহয়নে?)। এই পৰিস্থিতিটোক বীজীয়ভাৱে আৰু জ্যামিতিকভাৱে (লৈখিকভাৱে) প্রদর্শন কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ৰহিমৰ বৰ্তমান = x বয়স বছৰ
আৰু ৰহিমৰ জীয়েকৰ বৰ্তমান বয়স = y বছৰ।
প্রথম চর্তমতে, x – 7 = 7(y – 7)
⇒ x – 7 = 7y – 49
⇒ x – 7y + 42 = 0
দ্বিতীয় চর্তমতে, x + 3 = 3(y + 3)
⇒ x + 3 = 3y + 9
⇒ x – 3y – 6 = 0
∴ দুটা চলক বিশিষ্ট ৰৈখিক সমীকৰণ দুটা হ’ল x – 7y + 42 = 0 আৰু x – 3y – 6 = 0
চিত্র লেখৰ দ্বাৰা সমাধানঃ
x – 7y + 42 = 0
⇒ x = 7y – 42 ………. (i)
তালিকা – I
| x | -7 | 0 | 7 |
| y | 5 | 6 | 7 |
| (x,y) | 5 | (0,6) | (7,7) |
x – 3y – 6 = 0
⇒ x = 3y + 6 ………… (ii)
তালিকা – II
| x | 6 | 15 | 0 |
| y | 0 | 3 | -2 |
| (x,y) | (6,0) | (15,3) | (0,-2) |
XOX আৰু YOY অক্ষদ্বয়ৰ ছেদবিন্দু 0।0 -ক মূলবিন্দু আৰু 10 টা সৰু বৰ্গক্ষেত্ৰক দুই একক (x -অক্ষ বৰাবৰ) আৰু 10 টা সক বৰ্গক্ষেত্ৰক তিনি একক (y -অক্ষ বৰাবৰ) হিচাপে লৈ তালিকা – I আৰু তালিকা – II ৰ
∴ ৰৈখিক সমীকৰণ দুটাৰ সমাধান হ’লঃ
2. এটা ক্রিকেট দলৰ প্রশিক্ষকে 3 খন বেট আৰু 6 টা বল কিনে 3900 টকাত। পিছত তেওঁ 1300 টকাত একেধৰণৰ এখন বেট আৰু 3টা বল কিনে। এই পৰিস্থিতিটোক বীজীয় আৰু লৈখিকভাৱে (জ্যামিতিকভাৱে) বর্ণনা কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল এটা বেটৰ ক্রয়মূল্য = x টকা
আৰু এটা বলৰ ক্রয়মূল্য = y টকা
প্রথম চর্তমতে, 3x + 6y = 3900
দ্বিতীয় চর্তমতে, x + 3y = 1300
∴ দুটা চলক বিশিষ্ট ৰৈখিক সমীকৰণ দুটা হ’ল 3x + 6y = 3900 আৰু x + 3y = 1300
লেখচিত্ৰৰ সহায়ত সমাধানঃ
3x + 6y = 3900
⇒ 3(x + 2y) = 3900
⇒ x + 2y = 1300
⇒ x = 1300 – 2y ………. (i)
তালিকা – I
| x | 1300 | 300 | 0 |
| y | 0 | 500 | 650 |
| (x,y) | (1300,0) | (300,500) | (0,650) |
x + 3y = 1300
⇒ x = 1300 – 3y ………… (ii)
তালিকা – II
| x | 1300 | -200 | 400 |
| y | 0 | 500 | 300 |
| (x,y) | (1300,0) | (-200,500) | (400,300) |
XOX আৰু YOY অক্ষদ্বয়ৰ ছেদবিন্দু 0।0 -ক মূলবিন্দু আৰু 10 টা সৰু বৰ্গক্ষেত্ৰক 200 একক লৈ তালিকা – I আৰু তালিকা – II ৰ বিন্দুবোৰ লেখ কাকততৰ যথা স্থানত স্থাপন কৰি ক্ৰমে
এই ৰেখাদ্বয় আমাৰ আঁকিবলগীয়া লেখ। ছেদবিন্দুৰ স্থানংক (1300,0)
3. দুই কে.জি. আপেল আৰু 1 কে.জি. আঙুৰৰ দাম এদিন আছিল 160 টকা। এমাহৰ পিছত 4 কে.জি. আপেল আৰু 2 কে.জি. আঙুৰৰ দাম হ’ল 300 টকা। এই পৰিস্থিতিটোক বীজীয়ভাৱে আৰু লৈখিকভাৱে বর্ণনা কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল 1 কি গ্রা. আপেলৰ ক্রয়মূল্য = x টকা
আৰু 1 কি.গ্রা.আঙুৰৰ ক্রয়মূল্য = y টকা
প্রথম চর্তমতে, 2x + y = 160
দ্বিতীয় চর্তমতে, 4x + 2y = 300
∴ দুটা চলক বিশিষ্ট ৰৈখিক সমীকৰণ দুটা হ’ল 2x + y = 160 আৰু 4x + 2y = 300
লেখচিত্ৰৰ সহায়ত সমাধানঃ
2x + y = 160
⇒ 2x = 160 – y
⇒ x = 160 – y/2 ……….. (i)
তালিকা – I
| x | 80 | 50 | 0 |
| y | 0 | 60 | 160 |
| (x,y) | (80,0) | (50,60) | (0,160) |
4x + 2y = 300
⇒ 2x + y = 150
⇒ x = 150 – y/2 ……….. (ii)
তালিকা – II
| x | 75 | 50 | 0 |
| y | 0 | 50 | 150 |
| (x,y) | (75,0) | (50,50) | (0,150) |
OX আৰু YOY অক্ষদ্বয়ৰ ছেদবিন্দু 0।0 -ক মূলবিন্দু আৰু 10 টা সৰু বৰ্গ
একক (x অক্ষত) আৰু 10 টা সৰু বর্গ = 20 একক (y অক্ষত) ধৰি তালিকা – I আৰু তালিকা – II -ৰ বিন্দুবোৰ লেখককাতত স্থাপন কৰি ক্ৰমে
| অনুশীলনী – 3.2 |
1. তলৰ সমস্যাবোৰত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ গঠন কৰা আৰু লৈখিকভাৱে সেইবোৰৰ সমাধান উলিওৱা।
(i) এটা গণিত কুইজত দশম শ্ৰেণীৰ 10 জন ছাত্র-ছাত্রীয়ে অংশ গ্রহণ কৰিছিল। যদি ছাত্রতকৈ ছাত্রীৰ সংখ্যা 4 বেছি, তেন্তে অংশ গ্রহণ কৰা ছাত্র আৰু ছাত্রীৰ সংখ্যা উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল গণিত কুইজত যোগান কৰা ছাত্ৰৰ সংখ্যা = x আৰু ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = y
∴ চর্তমতে, x + y = 10
∴ x = 10 – y ………. (i)
তালিকা – I
| x | 10 | 3 | 0 |
| y | 0 | 7 | 10 |
y = x + 4
⇒ x = y – 4 ……….. (ii)
তালিকা – II
| x | -4 | 3 | 0 |
| y | 0 | 7 | 4 |
X অক্ষ বৰাবৰ 10 টা সৰু বর্গ = 1 একক আৰু y -অক্ষ বৰাবৰ 10 টা সৰু বৰ্গ = 2 একক ধৰি লেখ কাকতত স্থাপন কৰি
∴ কুইজত অংশ গ্রহণ কৰা ছাত্ৰৰ সংখ্যা 3 আৰু ছাত্রীৰ সংখ্যা = 7।
(ii) 5 ডাল পেঞ্চিল আৰু 7 টা পেনৰ দাম একেলগে 50 টকা আৰু 7 ডাল পেঞ্চিল আৰু 5 টা পেনৰ দাম একেলগে 46 টকা। এডাল পেঞ্চিল আৰু এটা পেনৰ দাম উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল এডাল পেঞ্চিলৰ ক্রয়মূল্য = x টকা আৰু এটা পেনৰ ক্রয়মূল্য = 7 টকা।
∴ প্রশ্নমতে, 5x + 7y = 50 ………. (i)
তালিকা – I
| x | 10 | 3 | -4 |
| y | 0 | 5 | 10 |
7x + 5y = 46 ………. (ii)
তালিকা – II
| x | 6.5 | 3 | 9.5 |
| y | 0 | 5 | -4 |
2. a₁/a₂, b₁/b₂ আৰু c₁/c₂অনুপাতকেইটা ৰিজাই তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰকেইটাই বুজোৱা ৰেখা দুটাই এটা বিন্দুত কাটিব, নে সমান্তৰাল হ’ব নে লগলগা, তাক নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
উত্তৰঃ 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
ইয়াত, a₁ = 5, b₁ = -5, c₁ = 8
a₂ = 7, b₂ = 6, c₂ = -9
এতিয়া, a₁/a₂ = 5/7; b₁/b₂ = -4/6 = -2/3; c₁/c₂ = 8/-9
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ 8/-9
∴ প্রদত্ত ৰৈখিক সমীকৰণ দুটা পৰস্পৰ এটা বিন্দু ছেদ কৰে।
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
উত্তৰঃ 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
ইয়াত, a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24
এতিয়া, a₁/a₂ = 9/18 = 1/2; b₁/b₂ = 3/6 = 1/2; c₁/c₂ = 12/24 = ½
∴ a1/a2 ≠ b1/b2 ≠ c1/c2
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা সংগত।
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
উত্তৰঃ 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
ইয়াত, a₁ = 6, b₁ = -3, c₁ = 10
a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 9
এতিয়া, a₁/a₂ = 6/2 = 3; b₁/b₂ = -3/-1 = 3; c₁/c₂ = 10/9
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা পৰস্পৰ লেখ পৰস্পৰ সমান্তৰাল।
3. a₁/a₂, b₁/b₂ আৰু c₁/c₂ অনুাপতকেইটা ৰিজাই নিৰ্ণয় কৰা তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰকেইটা সংগত নে অসংগত।
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 3x + 2y – 5 = 0 আৰু 2x – 3y – 7 = 0
ইয়াত, a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = -5
a₂ = 2, b₂ = -3, c₂ = -7
এতিয়া, a₁/a₂ = 3/2; b₁/b₂ = 2/-3; c₁/c₂ = -5/-7 = 5/7
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী সংগত আৰু অদ্বিতীয় সমাধানযুক্ত।
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 2x – 3y – 8 = 0 আৰু 4x – 6y – 9 = 0
ইয়াত, a₁ = 2, b₁ = -3, c₁ = -8
a₂ = 4, b₂ = -6, c₂ = -9
এতিয়া, a₁/a₂ = 2/4 = 1/2; b₁/b₂ = -3/-6 = 1/2; c₁/c₂ = -8/-9 = 8/9
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী অসংগত।
(iii) 3/2x + 5/3y = 7; 9x – 10y = 14
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 3/2x + 5/3y – 7 = 0 আৰু 9x + 10y – 14 = 0
ইয়াত, a₁= 3/2, b₁ = 5/3, c₁ = -7
a₂ = 9, b₂ = 10, C₂ = -14
b₁/b₂ = 3/10 = 5/3 × 1/10 = 1/6;
c₁/c₂ = -7/-14 = 1/2
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী অসংগত।
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = -22
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 5x – 3y – 11 = 0 আৰু -10x + 6y + 22 = 0
ইয়াত, a₁ = 5, b₁ = -3, C₁ = -11
a₂ = -10, b₂ = 6, C₂ = 22
এতিয়া, a₁/a₂ = 5/-10 = -1/2;
b₁/b₂ = -3/6 = -1/2;
c₁/c₂ = -11/22 = -1/2
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী অসংগত।
(v) 4/3x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 4/3x + 2y – 8 = 0 আৰু 2x + 3y – 12 = 0
ইয়াত, a₁ = 4/3, b₁ = 2, c₁ = 8
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = -12
b₁/b₂ = 2/3, c₁/c₂ = -8/-12 = 2/3
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী অসংগত।
4. তলৰ কোনবোৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ সংগত/অসংগত? যদি সংগত, লেখৰ সহায়ত সমাধান উলিওৱা।
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ x + y – 5 = 0 আৰু 2x + 2y – 10 = 0
ইয়াত, a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = -10
এতিয়া, a₁/a₂ = 1/2; b₁/b₂ = 1/2; c₁/c₂ = -5/-10 = 1/2
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী হ’ল অসংগত। সুতৰাং লেখচিত্ৰৰ সহায়ত সমীকৰণদ্বয় সমাধান কৰা সম্ভৱ।
x + y = 5
⇒ x = 5 – y ………… (i)
তালিকা – I
| x | 5 | 2 | 0 |
| y | 0 | 3 | 5 |
2x + 2y = 10
⇒ x + y = 5
⇒ x = 5 – y ……… (ii)
তালিকা – II
| x | 5 | 3 | 0 |
| y | 0 | 2 | 5 |
লেখ কাকতৰ দহটা সৰু বৰ্গ = 1 একক ধৰি তালিকা = I আৰু তালিকা = II -ৰ বিন্দুবোৰ লেখতাতকক স্থাপন কৰি স্কেলৰ দ্বাৰা সংযোগ কৰা হ’ল। দেখা গ’ল যে ৰেখা দুডালৰ পৰিপাত ঘটিছে। অর্থাৎ ৰেখা দুডাল সমান্তৰাল। সুতৰাং প্রদত্ত সমীকৰণ দুটাৰ অসংখ্য সমাধান পোৱা যাব।
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ x – y – 8 = 0
আৰু 3x – 3y – 16 = 0
ইয়াত, a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = -8
a₂ = 3, b₂ – 3, C₂ = -16
এতিয়া, a₁/a₂ = 1/3; b₁/b₂ = -1/-3 = 1/3; c₁/c₂ = -8/-16 = 1/2
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী হ’ল অসংগত।
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 2x + y – 6 = 0
আৰু 4x – 3y – 4 = 0
ইয়াত, a₁ = 2, b₁ = 1, C₁ = -6
a₂ = 4, b₂ = -2, C₂ = -4
এতিয়া, a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 1/2 = 1/3; c₁/c₂ = -6/-4 = 3/2
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী হ’ল অসংগত।
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটাৰ লেখচিত্ৰৰ দ্বাৰা সমাধান কৰা সম্ভৱ।
∴ 2x + y – 6 = 0
⇒ x = 6 – y/2 ……….. (i)
তালিকা – I
| x | 5 | 3 | 0 |
| y | 0 | 2 | 5 |
আকৌ, 4x – 2y – 4 = 0
⇒ 2(2x – y – 2) = 0
⇒ 2x – y – 2 = 0
⇒ 2x = y + 2
⇒ x = y + 2/2 ………… (ii)
তালিকা – II
| x | 1 | 2 | 0 |
| y | 0 | 2 | -2 |
এতিয়া লেখকাকতৰ 10 টা সৰু বৰ্গ = 1 একক ধৰি তালিকা = I আৰু তালিকা = II -ৰ বিন্দুবোৰ লেখকাকতত স্থাপন কৰা হ’ল আৰু সংযোগ কৰি দুটা সৰলৰেখা পোৱা গ’ল। ৰেখা দুটা পৰম্পৰ (2,2) বিন্দুত ছেদ কৰিলে।
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
উত্তৰঃ 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = -2/-4 = 1/2, c₁/c₂ = -2/-5 = 2/5
∴ সমীকৰণযোৰ অসংগত।
5. এখন আয়তাকাৰ বাগিচাৰ প্ৰস্থতকৈ দীঘ 4 মিটাৰ বেছি। ইয়াৰ পৰিসীমাৰ আধা 36 মিটাৰ। বাগিচাখনৰ দীঘ, প্রস্থ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল বাগিচাৰ দীঘ বা দৈর্ঘ্য = x মি.
আৰু প্ৰন্থ = y মি.
∴ বাগিচা খনৰ পৰিসীমা = 2(x + y) মিটাৰ।
∴ পৰিসীমাৰ আধা = (x + y) মিটাৰ
∴ প্রথম চর্তমতে, x = y + 4
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, x + y = 36
∴ x = y + 4 ………. (i)
x + y = 36 ……….. (ii)
এতিয়া, (i) আৰু (ii) ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ–
y + 4 + y = 36
⇒ 2y = 36 – 4
⇒ 2y = 32
⇒ y = 16
এতিয়া, y = 16, (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ x = 16 + 4 = 20
∴ বাগিচাটোৰ দীঘ বা দৈর্ঘ্য = 20 মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ = 16 মিটাৰ।
6. 2x + 3y – 8 = 0 ৰৈখিক সমীকৰণটো দিয়া আছে। দুটা চলকত অইন এটা ৰৈখিক সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা যাতে এইদবে গঠন হোৱা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটোৰ জ্যামিতিক প্রদর্শনটো হ’ব–
(i) কটাকটি ৰেখা।
উত্তৰঃ চৰ্ত – I: পৰস্পৰছেদী সৰলৰেখাৰ বাবেঃ
প্রদত্ত সৰলৰৈখিক সমীকৰণটো হ’ল 2x + 3y 8 = 0 ………. (i)
a₁x + b₁ + c₁ = 0 আৰু a₂x + b₂y + C₂ = 0 সমীকৰণৰ লেশদ্বয় অসমান্তৰাল হ’লে, ইহঁতে পৰস্পৰ এটা বিন্দুত ছেদ কৰিব। অর্থাৎ ইহঁতৰ এটা সমাধান থাকিব।
এই চর্তটো হ’ল: ∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
এতিয়া, দ্বিতীয় সমীকণটো ধৰা হ’লঃ
3x – 2y – 6 = 0 ……….. (ii)
∴ (i) ⇒ x = 8 – 3y/2
তালিকা – I
| x | 4 | 7 | 1 |
| y | 0 | -2 | 2 |
(ii) ⇒ x 6 + 2y/3
তালিকা – II
| x | 2 | 0 | 4 |
| y | 0 | -2 | 2 |
এতিয়া, লেখকাকতৰ 10 টা সৰু বর্গ = 1 একক ধৰি লেখকাকতত তালিকা – I আৰু তালিকা – II – ৰ পৰা বিন্দুবোৰ স্থাপন কৰি স্কেলৰে সংযোগ কৰি দুটা ৰেখা পোৱা গ’ল। ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ G বিন্দুত ছেদ কৰে।
(ii) সমান্তৰাল ৰেখা।
উত্তৰঃ চর্ত – II: সমাচ্ছাল ৰেখাৰ বাবেঃ
ধৰা হ’ল দুটা ৰেখাঃ 2x + 3y – 8 = 0
আৰু 2x + 3y – 5 = 0
ইয়াত, a₁x + b₁y + c₁ = 0 আৰু a₂x + b₂y + c₂ = 0 ৰ ক্ষেত্রত যদি a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ হয়, তেন্তে সমীকৰণ দুটা অসংগত অর্থাৎ সিহঁতৰ সমাধান নাথাকে।
∴ 2x + 2y – 8 = 0
⇒ x = 8 – 3y/2 ……….. (i)
তালিকা – I
| x | 4 | 7 | 1 |
| y | 0 | -2 | 2 |
2x + 3y – 5 = 0
⇒ x = 5 – 3y/2 ………… (ii)
তালিকা – II
| x | 2.5 | -2 | 7 |
| y | 0 | 3 | -3 |
এতিয়া, লেখতাতকৰ 10 টা সৰু বর্গ = 1 একক (x – অক্ষ বৰাবৰ) আৰু 10 টা সৰু বৰ্গ = 2 একক (y – অক্ষ বৰাবৰ) ধৰি তালিকা দুটাৰ বিন্দুবোৰ লেখ কাকতত স্থাপন কৰি স্কেলৰ দ্বাৰা সংযোগ কৰা হ’ল। লেখচিত্ৰৰ পৰা দেখা যায় যে, ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ সমান্তৰাল।
(iii) মিলি যোৱা ৰেখা।
উত্তৰঃ চৰ্ত-III: দুটা ৰেখাৰ পৰস্পৰ মিলনঃ
a₁x + b₁y + c₁ = 0 আৰু a₂x + b₂y + c₂ = 0 ৰেখাদ্বয় পৰস্পৰ মিলিত হোৱা চর্ত হ’ল a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
ধৰা হ’ল সমীকৰণ দুটাঃ 2x + 3y – 8 = 0
আৰু 6x + 9y – 8 = 0 …………… (i)
∴ (i) ⇒ x 8 – 3y
তালিকা – I
| x | 4 | 7 | 1 |
| y | 0 | -2 | 2 |
6x + 9y – 24 = 0 …………. (ii)
∴ (ii) ⇒ x = 24 – 9y/6
তালিকা – II
| x | 4 | 1 | 7 |
| y | 0 | 2 | -2 |
এতিয়া, লেখতাতকৰ 10 টা সৰু বৰ্গ = 1 একক ধৰি তালিকা – I আৰু তালিকা – II ৰ বিন্দুবোৰ স্থাপন কৰি স্কেলৰ দ্বাৰা সংযোগ কৰা হ’ল। লেখ -চিত্ৰৰ পৰা দেখা যায় যে, দুটা ৰেখা পৰস্পৰ মিলিত হৈছে।
7. x – y + 1 = 0 আৰু 3x + 2y – 12 = 0 সমীকৰণ দুটাৰ লেখ অংকন কৰা। এই ৰেখা দুটাই x-অক্ষৰ লগত কৰা ত্রিভুজটোৰ শীর্ষবিন্দুকেইটাৰ স্থানাংক উলিওৱা। ত্রিভুজীয় ক্ষেত্রটো প্রচ্ছাদিত কৰা।
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হলঃ x – y + 1 = 0 ………… (i)
আৰু 3x + 2y – 12 = 0 ………….. (ii)
∴ (i) ⇒ x = y – 1
তালিকা – I
| x | -1 | 2 | 0 |
| y | 0 | 3 | 1 |
(ii) ⇒ x = 12 – 2y/3
তালিকা – II
| x | 4 | 2 | 0 |
| y | 0 | 3 | 6 |
এতিয়া, লেখতাতকৰ 10 টা সৰু বর্গ = 1 একক ধৰি তালিকা – I আৰু তালিকা – II ৰ বিন্দুবোৰ লেখ কাকতত স্থাপন কৰি স্কেলৰ দ্বাৰা সংযোগ কৰি দুডাল ৰেখা পোৱা গ’ল। এই ৰেখা দুডাল আৰু অক্ষৰ লগত ∆ABD গঠন কৰিছে। লেখচিত্র পৰা ∆ABD -ৰ শীর্ষবিন্দুৰ স্থানাংক ক্রমে A(-1,0) B (2,3) আৰু D (4,0) পোৱা গ’ল।
এতিয়া, AD = AO + OD
= 1 + 4 = 5 একক,
BF লম্ব = 3 একক পোৱা গ’ল।
∴ AABD কালি
= 1/2 × ভূমি × উন্নতি
= 1/2 × AD × BF
= (1/2 × 5 × 3) বর্গ একক
= 15/2 = 7.5 বর্গ একক
| অনুশীলনী – 3.3 |
1. প্রতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰবোৰ সমাধা কৰাঃ
(i) x + y = 14
x – y = 4
উত্তৰঃ (i) x + y = 14 ……….. (1)
x – y = 4 ….……… (2)
∴ (1) ⇒ x = 14 – y ………… (3)
এতিয়া, x ৰ মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
14 – y – y = 4
⇒ -2y = 4 – 14
⇒ -2y = -10
⇒ y = 5
আকৌ, y = 5 (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ x = 14 – 5 = 9
∴ x = 9 আৰু 4 + y = 5 (উত্তৰ)
(ii) s – t = 3
s/3 + t/2 = 6
উত্তৰঃ s – t = 3 …………. (1)
s/3 + t/2 = 6
⇒ 2s + 3t/6 = 6
⇒ 2s + 3t = 36 ………… (2)
∴ (1) ⇒ s = 3 + t ………… (3)
এতিয়া, (2) আৰু (3) ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ–
2(3 + t) + 3t = 36
⇒ 6 + 2t + 3t = 36
⇒ 5t = 36 – 6 = 30
⇒ t = 30/5 = 6
এতিয়া, t = 6 (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
s – 6 = 3
⇒ s = 6 + 3 = 9
(iii) 3x – y = 3
9x – 3y = 9
উত্তৰঃ 3x – y = 3…………. (1)
9x – 3y = 9 ………….. (2)
∴ (1) ⇒ y = 3x – 3 …….. (3)
এতিয়া, (2) আৰু (3) ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ–
9x – 3(3x – 3) = 9
⇒ 9x – 9x + 9 = 9
⇒ 9 = 9
∴ ইয়াৰ পৰা বুজা যায় যে x আৰু y -ৰ কোনো নির্দিষ্ট মান নাই। প্রদত্ত সমীকৰণ দুটাৰ অসংখ্যা সমাধান পোৱা যাব।
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
উত্তৰঃ 2x + 0.3y = 1.3
⇒ 2/10x + 3/10y = 13/10
⇒ 2x + 3y = 13 ……….. (1)
0.4x + 0.5y = 2.3
⇒ 4/10x + 5y/10 = 23/10
এতিয়া, (1) ⇒ x = (13 – 3y)/2 ………. (3)
∴ (2) আৰু (3) ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ–
2/4(13 – 3y/2) + 5y = 23
⇒ 26 – 6y + 5y = 23
⇒ -y = 23 – 26 = -3
⇒ y = 3
∴ y = 3, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x = 13 – 3 × 3/2 = 13 – 9/2 = 4/2 = 2
উত্তৰঃ
(vi) 3x/2 – 5y/3 = -2
x/3 + y/2 = 13/6
উত্তৰঃ 3/2x – 5/3y = -2
⇒ (9x – 10y)/6 = -2 ⇒ 9x – 10y = -12 ……….. (1)
আৰু ⇒ x/3 + y/2 = 13/6
⇒ (2x + 3y)/6 = 13/6 ⇒ 2x + 3y = 13 …………. (2)
(1) নং সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ–
9x = 10y – 12
⇒ x = (10y – 12)/9 ………… (3)
এতিয়া, x -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
2(10y – 12/9) + 3y = 13
⇒ 20y – 24 + 27y/9 = 13
⇒ 47y – 24 = 13 × 9
⇒ 47y = 117 + 24 = 141
⇒ y = 141/47 = 3
এতিয়া, y = 3 (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ x = (10 × 3 – 12)/9 = (30 – 12)/9 = 18/9 = 2
2. 2x + 3y = 11 আৰু 2x – 4y = -24ক সমাধা কৰা। ইয়াৰপৰা ‘m’ ৰ মান উলিওৱা যাতে y = mx + 3।
উত্তৰঃ 2x + 3y = 11 ……….. (1)
আৰু, 2x – 4y = -24 ……….. (2)
∴ (2) ⇒ 2x = 4y -24
⇒ x = (4y – 24)/2 = 2(24 – 12)/2 = 2y – 12 ……….. (3)
∴ x -ৰ মান (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
2(2y – 12) + 3y = 11
⇒ 4y – 24 + 3y = 11
⇒ 7y = 11 + 24 = 35
⇒ y = 5
এতিয়া, y = 5, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ x = 2 × 5 – 12 = 10 – 12 = -2
এতিয়া, x = -2, আৰু y = 5, y = mx + 3 নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
5 = m(-2) + 3
⇒ 2m = 3 – 5 = -2
⇒ m = -1
∴ x = -2, y = 5 আৰু m = -1
3. তলৰ সমস্যাবোৰৰ ক্ষেত্ৰত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ গঠন কৰা আৰু প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা।
(i) দুটা সংখ্যাৰ পাৰ্থক্য 26। এটা সংখ্যা আনটোৰ তিনিগুণ হ’লে সংখ্যা দুটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল দুটা সংখ্যা x আৰু y
প্রশ্ননুযায়ী, x – y = 26 …………… (1)
আৰু x = 3y ………………… (2)
এতিয়া, x = 3y, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
3y – y = 26
⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13
∴ y = 13, (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x = 3 × 13 = 39
∴ নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় হ’ল 13 আৰু 39.
(ii) দুটা সম্পূৰক (supplementary) কোণৰ ডাঙৰটো সৰুটোতকৈ 18 ডিগ্রী বেছি। কোণ দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল সম্পূৰক কোণ দুটা হ’ল x আৰু y, য’ত x > y
∴ প্রশ্ননুযায়ী, x + y = 180 …………… (1)
⇒ x = y + 18 ………….. (2)
এতিয়া, (1) আৰু (2) নং ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ–
y + 18 + y = 180
⇒ 2y = 180 – 18 = 162
∴ y = 162/2 = 81
∴ y = 81, (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ x = 81 + 18 = 99
∴ নির্ণেয় কোণ দুটাৰ পৰিমাণ 81° আৰু 99°।
(iii) এটা ক্রিকেট দলৰ প্ৰশিক্ষকজনে 7 খন বেট আৰু 6 টা বল কিনে 3800 টকাত। পিছত তেওঁ 3 খন বেট আৰু টো বল কিনে 1750 টকাত। প্রতিখন বেট আৰু প্ৰতিটো বলৰ দাম উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, বেটৰ ক্রয়মূল্য = x টকা।
আৰু এটা বলৰ ক্রয়মূল্য = y টকা।
∴ প্রশ্নমতে, 7x + 6y = 3800 …………. (1)
আৰু 3x + 5y = 1750 …………… (2)
∴ (1) ⇒ 7x = 3800 – 6y
⇒ x = 3800 – 6y/7 …………… (3)
এতিয়া, x -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
⇒ 11400 + 17y = 1750 × 7
⇒ 11400 + 17y = 12250
⇒ 17y = 12250 – 11400
⇒ 17y = 850
⇒ y = 850/17 = 50
এতিয়া, y = 50, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
(iv) এখন চহৰৰ টেক্সি ভাড়াত এটা নির্দিষ্ট ভাড়াৰ লগত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্বৰ ভাড়াটো লগলাগি থাকে। 10 কি.মি. দূৰত্বৰ বাবে দিবলগীয়া ভাড়া 105 টকা আৰু 15 কি.মি. ভ্রমণ এটাৰ বাবে দিবলগীয়া ভাড়া 155 টকা। নির্দিষ্ট আৰু প্রতি কি.মি. ভ্রমণ এটাৰ ভাড়া কিমান? 25 কি.মি. দূৰত্ব ভ্ৰমণ কৰিবলগীয়া মানুহ এজনে ভাড়া কিমান দিবলগীয়া হ’ব?
উত্তৰঃ এটা টেক্সীৰ নিৰ্দ্দিষ্ট ভাড়া = x টকা।
আৰু প্ৰতি কি.মিটাৰ ভ্ৰমণৰ বাবে ভাড়া = y টকা।
∴ চর্তমতে, x + 10U = 105 ………… (1)
আৰু x + 15y = 155 ………… (2)
∴ (1) ⇒ x = 105 – 10y …………. (3)
এতিয়া, x -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
105 – 10y + 15y = 155
⇒ 105 + 5y = 155
⇒ 5y = 155 – 105
⇒ 5y = 50
⇒ y = 50/5 = 10
এতিয়া, y = 10 (3) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
x = 105 – 10 × 10 = 105 – 100 = 5
⇒ x = 5
∴ নির্ণেয় টেক্সীৰ নিৰ্দ্দিষ্ট ভাড়া = 5 টকা
আৰু প্ৰতি কি.মিটাৰৰ বাবে ভাড়া 10 টকা।
আকৌ, 25 কি.মিটাৰ দূৰত্ব ভ্ৰমণৰ বাবে ভাড়া
= {(10 × 25) + 5) টকা
= (250+5) টকা
= 255 টকা।
(v) এটা ভগ্নাংশত যদি লব আৰু হৰ উভয়তে 2 যোগ কৰা হয় তেন্তে ভগ্নাংশটো হয় 9/11। যদি লব আৰু হৰ উভয়তে 3 যোগ কৰা হয়, তেন্তে ভগ্নাংশটো হয় 5/6 । ভগ্নাংশটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ভগ্নাংশটো x/y
∴ প্রথম চর্তমতে, (x + 2)/(y + 2) = 9/11
⇒ 11(x + 2) = 9(y + 2)
⇒ 11x + 22 = 9y + 18
⇒ 11x = 9y + 18 – 22
⇒ 11x = 9y – 4
⇒ x = 9y – 4/11 ………… (1)
∴ দ্বিতীয় চর্তমতে, (x + 3)/(y + 3) = 5/6
⇒ 6(x + 3) = 5(y + 3)
⇒ 6x + 18 = 5y + 15
⇒ 6x – 5y = 15 – 18
⇒ 6x – 5y = -3 ………….. (2)
এতিয়া, x -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
6(9y – 4/11) – 5y = -3
⇒ 54y – 24/11 – 5y = -3
⇒ 54y – 24 – 55y/11 – 5y = -3
⇒ -y – 24 = -3 × 11
⇒ -y = -33 + 24 = -9
⇒ y = 9
∴ y = 9, (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
x = 9 × 9 – 4/11 = (81 – 4)/11 = 77/11 = 7
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটো হ’ব = 7/9
(vi) আজিৰপৰা পাঁচ বছৰ পিছত জেকবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্ৰতকৈ তিনিগুণ হ’ব। পাঁচ বছৰ আগতে জেকবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্ৰতকৈ সাতগুণ আছিল। তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, জেকবৰ বৰ্তমান বয়স x বছৰ
আৰু পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স y বছৰ
5 বছৰ পাছত জেকবৰ বয়স হ’ব (x + 5) বছৰ
আৰু পুত্ৰৰ বয়স হ’ব (y + 5) বছৰ।
∴ প্রথম চর্তমতে, x + 5 = 3(y + 5)
⇒ x + 5 = 3y + 15
⇒ x = 3y + 15 – 5
⇒ x = 3y + 10 ………… (1)
আকৌ, 5 বছৰ আগতে জেকবৰ বয়স আছিল (x – 5) বছৰ
আৰু 5 বছৰ আগতে পুতেকৰ বয়স আছিল (y – 5) বছৰ
∴ দ্বিতীয় চর্তমতে, x – 5 = 7(y – 5)
⇒ x – 5 = 7y – 35
⇒ x = 7y – 35 + 55
⇒ 7x – 7y = -30 ……….. (2)
এতিয়া x ৰ মান (2) নং ত বহুৱাই পাওঁ–
3y + 10 – 7y = -30
⇒ -4y = -30 – 10
⇒ -4y = -40 ⇒ y = 10
∴ y = 10, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x = 3 × 10 + 10= 30 + 10 = 40
| অনুশীলনী – 3.4 |
1. তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণকেইযোৰ অপনয়ন পদ্ধতিৰে আৰু প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সমাধা কৰাঃ
(i) x + y = 5 আৰু 2x – 3y = 4
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ
x + y = 5 ………….. (1)
2x – 3y = 4 …………. (2)
অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method):
এতিয়া, y = 6/5, নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x + 6/5 = 5
⇒ x = 5 – 6/5
⇒ x = (25 – 6)/5 = 19/5
∴ নির্ণেয় সমাধান: x = 19/5, y = 6/5
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method):
(1) – ৰ পৰা পাওঁ–
x = 5 – y ………….. (3) এই মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
2(5 – y) – 3y = 4
⇒ 10 – 2y – 3y = 4
⇒ -5y = 4 – 10
⇒ -5y = -6
⇒ y = 6/5
এতিয়া, y = 6/5 (3) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
x = 5 – 6/5 = (25 – 6)/5 = 19/5
∴ x = 19/5, y = 6/5
(ii) 3x + 4y = 10 আৰু 2x – 2y = 2
উত্তৰঃ প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method):
3x + 4y = 10 …………… (1)
2x – 2y = 2 …………… (2)
∴ (1) ⇒ 3x = 10 – 4y
⇒ x = (10 – 4y)/3 …………. (3)
এই মান, অর্থাৎ x ৰ মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
2((10 – 4y)/3) – 2y = 2
⇒ (20 – 8y)/3 – 2y = 2
⇒ (20 – 8y – 6y)/3 = 2
⇒ 20 – 8y – 6y = 6
⇒ -14y = 6 – 20
⇒ -14y = -14
⇒ y = -14/-14 = 1
এতিয়া, y = 1 (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x = (10 – 4 × 1)/3 = 6/3 = 2
অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method):
3x + 4y = 10 ………….. (1)
2x – 2y = 2 ………….. (2)
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 আৰু 9x = 2y + 7
উত্তৰঃ 3x – 5y – 4 = 0 আৰু 9x = 2y + 7
অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method):
3x – 5y = 4 ……………. (1) × 9
9x – 2y = 7 ……………. (2) × 3
(বিয়োগ কৰি) -39y = 15
⇒ y = -15/39 = -5/13
এতিয়া, x -ৰ মান (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
3x – 5y = 4
⇒ 3x – 5(-5/13) = 4
⇒ 3x + 25/13 = 4
⇒ 3x = 4 – 25/13 = (52 – 25)/13 = 27/13
প্রতিষ্ঠাপন পদ্ধতিঃ
3x – 5y = 4 …………… (1)
9x – 2y = 7 ………….. (2)
(1) ⇒ 3x = 4 + 5y
⇒ x = (4 + 5y)/3 …………. (3)
এতিয়া, x -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
9(4 + 5y/3) – 2y = 7
⇒ (36 + 45y)/3 – 2y = 7
⇒ (36 + 45y – 6y)/3 = 7
⇒ 39y + 36 = 21
⇒ 39y = 21 – 36 = -15
⇒ y = -15/39 = -5/13
এতিয়া, y = -5/13, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
(iv) x/2 + 2y/3 = -1 আৰু x – y/3 = 3
উত্তৰঃ x/2 + (2y)/3 = -1 ………… (1)
x – y/3 = 3 ……………. (2)
অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method):
এতিয়া, y = -3, (4) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
3x + 49 – 3 = -6
⇒ 3x – 12 = -6
⇒ 3x = -6 + 12
⇒ 3x = 6
⇒ x = 6/3 = 2
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিঃ
x/2 + 2y/3 = -1 ……….. (1)
x – y/3 = 3 ………… (2)
(2) ⇒ x = 3 + y/3 = (9 + y)/3
এতিয়া, x -ৰ মান (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
এতিয়া, y = -3, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
(v) 3y/2 – 5x/3 = -2 আৰু y/3 + x/3 = 13/16
উত্তৰঃ নিজে কৰা।
(vi) x – y = 3 আৰু x/3 + y/2 = 6
উত্তৰঃ x – y = 3
⇒ x = 3 + y …….. (i)
x/3 + y/2 = 6
⇒ (3 + y)/3 + y/2 = 6
⇒ 1 + y/3 + y/2 = 6
⇒ 5y/6 = 6 – 1
⇒ y = 6
⇒ x = 3 + y
= 3 + 6
= 9
(vii) 8/x – 9/y = 1 আৰু 10/x + 6/y = 7
উত্তৰঃ নিজে কৰা।
2. তলৰ সমস্যাবোৰৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰ গঠন কৰা আৰু সিহঁতৰ সমাধান (যদি থাকে) অপনয়ন পদ্ধতিৰে উলিওৱাঃ
(i) যদি আমি লবত 1 যোগ কৰোঁ আৰু হৰৰ পৰা 1 বিয়োগ কৰো এটা ভগ্নাংশ হয়গৈ 1। আমি যদি অকল হৰটোতহে 1 যোগ কৰো তেন্তে ই হয়গৈ 1/2। ভগ্নাংশটো কি?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ভগ্নাংশটোঃ x/y
∴ প্রথম চর্তমতে, (x + 1)/(y – 1) = 1
⇒ x + 1 = y – 1
⇒ x – y = -2 …………. (1)
∴ দ্বিতীয় চর্তমতে, x/(y + 1) = ½
⇒ 2x = y + 1
⇒ 2x – y = 1 …………. (2)
∴ +x – y = -2
+2x – y = 1
(ii) পাঁচ বছৰ আগতে নুৰৰ বয়স চুনুৰ তিনিগুণ আছিল। দহ বছৰ পিছত নুৰ চুনুৰ দুগুণ ডাঙৰ হ’ব। নুৰ আৰু চুনুৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
উত্তৰঃ ধৰা হ’লঃ নূৰীৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ
আৰু চুনুৰ বৰ্তমান বয়স = y বছৰ।
∴ প্রথম চর্তমতে, x – 5 = 3(y – 5)
⇒ x – 5 = 3y – 15
⇒ x – 3y = -10 …………. (1)
∴ দ্বিতীয় চর্তমতে, x + 10 = 2(y + 10)
⇒ x – 2y = 10 …………… (2)
∴ + x – 3y = -10
+ x – 2y + 10
এতিয়া, y = 20, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x – 3y + 10 = 02
⇒ x – 3 × 20 + 10 = 0
⇒ x – 60 + 10 = 0
⇒ x = 50
∴ চুনুৰৰ বৰ্তমান বয়স = 50 বছৰ
আৰু চুনুৰ বৰ্তমান বয়স = 10 বছৰ।
(iii) দুটা অংকৰ সংখ্যা এটাৰ অংক দুটাৰ সমষ্টি 9। আকৌ এই সংখ্যাটোৰ ন গুণ ল’লে সংখ্যাটোৰ অংক দুটাক সালসলনি কৰি পোৱা সংখ্যাটোৰ দুগুণৰ সমান হয়। সংখ্যাটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল: একক স্থানীয় অংক = x
আৰু দহক স্থানীয় অংক = y
∴ সংখ্যাটো হ’ল = 10y + x
অংক দুটা ওলোটাই লিখিলে, সংখ্যাটো হ’ব: 10x + y
∴ প্রথম চর্তমতে, x + y = 9 ………… (1)
আৰু দ্বিতীয় চৰ্তমতে, 9(10y + x) = 2(10x + y)
⇒ 90y + 9x = 20x + 2y
⇒ 90y + 9y – 20x – 2y = 0
⇒ -11x + 88y = 0
⇒ x – 8y = 0 …………. (2)
এতিয়া, (2) – (1) কৰি পাওঁ–
+x – 8y = 0
+x + y = 9
এতিয়া, y = 1, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x + 1 = 9
⇒ x = 8
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটো: 10y + x
= 10 × 1 + 8 = 18.
(iv) মীনাই 2000 টকা উলিয়াবলৈ এটা বেংকলৈ গ’ল। তাই ধনভৰালীক মাত্র 50 টকীয়া আৰু 100 টকীয়া নোটহে দিবলৈ ক’লে। মীনাই মুঠতে 25 খন নোট পালে। তাই 50 টকীয়া আৰু 100 টকীয়া নোট কেইখনকৈ পালে?
উত্তৰঃ মিনায়ে পোৱা 50 টকাৰ নোটৰ সংখ্যা = x
আৰু 100 টকাৰ নোটৰ সংখ্যা = y
∴ প্রথম চর্তমতে, x + y = 25 …………… (1)
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, 50x + 100y = 2000
⇒ x + 2y = 40 …………. (2)
∴ +x + y = 25
+x + 2y = 40
এতিয়া, y = 15, (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x + 15 = 25
⇒ x = 10
∴ মিনায়ে পোৱা 50 টকীয়া নোট পায় 10 টা আৰু 100 টকীয়া নোট পায় 15 টা।
(v) কিতাপ ধাৰলৈ দিয়া এটা লাইব্ৰেৰীত প্রথম তিনিদিনৰ কাৰণে এটা নির্দিষ্ট মাচুল আৰু পিছৰ প্ৰতিটো দিনৰ কাৰণে এটা ওপৰঞ্চি মাচুল লয়। ৰিতাই এখন কিতাপ সাত দিন ৰখাৰ বাবে মাচুল দিয়ে 27 টকা আৰু শচীয়ে এখন কিতাপ পাঁচদিন ৰখাৰ বাবে মাচুল দিয়ে 21 টকা। নির্দিষ্ট মাচুল আৰু প্ৰতিদিনে দিবলগীয়া ওপৰঞ্চি মাচুলৰ নিৰিখ কিমান উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল প্ৰথম তিনি দিনৰ বাবে নির্দিষ্ট মাচুল = x টকা আৰু অতিৰিক্ত প্রতিদিনৰ বাবে ওপৰঞ্চি মাচুল = y টকা।
বিতাৰ ক্ষেত্ৰত, x + 4y = 27………….. (1)
আৰু শচীৰ ক্ষেত্ৰত, x + 2y = 21 ………… (2)
∴ +x + 4y = +27
+x + 2y + 21
(বিয়োগ কৰি) 2y = 6
এতিয়া, y = 3, (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x + 4 × 3 = 27
⇒ x + 12 = 27
⇒ x = 27 – 12 = 15
∴ প্রথম তিনিদিনৰ বাবে নির্দিষ্ট মাচুল = 3 টকা।
আৰু প্ৰতিদিনৰ বাবে ওপৰঞ্চি মাচুল = 15 টকা।
| অনুশীলনী – 3.5 |
1. তলৰ কোনকেইটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে, সমাধান নাই, নাইবা অসীম সংখ্যক সমাধান আছে? যদি অদ্বিতীয় সমাধান আছে, সেই ক্ষেত্রত বজ্র-গুণন পদ্ধতি ব্যৱহাৰ কৰি সমাধা কৰা।
(i) x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
উত্তৰঃ x – 3y – 3 = 0
3x – 9y – 2 = 0
ইয়াত, a₁ = 1, b₁ = -3, c₁ = -3
a₂ = 3, b₂ = -9, c₂ = -2
এতিয়া, a₁/a₂ = 4/3, b₁/b₂ = -3/-9 = 1/3, c₁/c₂ = -3/-2 = 3/2
∴ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটাৰ কোনো সমাধান নাই।
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
উত্তৰঃ 2x + y = 5
3x + 2y = 8
∴ 2x + y – 5 = 0
3x + 2y – 8 = 0
ইয়াত, a₁ = 2, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂ = 3, b₂ = 2, c₂ = -8
এতিয়া, a₁/a₂ = 2/3, b₁/b₂ = 1/2, c₁/c₂ = -5/-8 = ⅝
∴ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালীৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে অর্থাৎ সংগত আৰু একক সমাধান যুক্ত হ’ব।
∴ x/2 = 1
∴ y/1 = 1
⇒ x = 2 ⇒ y = 1
(iii) 3x – 5y = 20
6x – 10y = 40
উত্তৰঃ 3x – 5y = 20
⇒ 3x – 5y – 20 = 0
6x – 10y = 40
⇒ 6x – 10y – 40 = 0
ইয়াত, a₁ = 3, b₁ = -5, c₁ = -20
a₂ = 6, b₂ = -10, c₂ = -40
এতিয়া, a₁/a₂ = 3/6 = 1/2, b₁/b₂ = -5/-10 = 1/2, c₁/c₂ = -20/-40 = 1/2
∴ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালীৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে অর্থাৎ সংগত আৰু একক সমাধান যুক্ত হ’ব।
(iv) x – 3y – 7= 0
3x – 3y – 15 = 0
উত্তৰঃ x – 3y – 7 = 0
⇒ 3x – 3y – 15 = 0
ইয়াত, a₁ = 1, b₁ = -3, c₁ = -7
a₂ = 3, b₂ = 3, c₂ = -15
এতিয়া, a₁/a₂ = 1/3, b₁/b₂ = -3/-3 = 1, c₁/c₂ = -7/-15 = 7/15
∴ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী সংগত আৰু একক সমাধান যুক্ত হ’ব।
(v) 2x + 3y = 6
4x + 6y = 12
উত্তৰঃ 2x + 3y = 6
⇒ 2x + 3y – 6 = 0
4x + 6y = 12
⇒ 4x + 6y – 12 = 0
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2 আৰু b₁/b₂ = 3/6 = 1/2 আৰু c₁/c₂ = -6/-12 = 1/2
ইয়াত a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
∴ অসীম সংখ্যাক সমাধান আছে।
(vi) x – 2y = 6
3x – 6y = 0
উত্তৰঃ x – 2y = 6
⇒ x – 2y – 6 = 0
3x – 6y = 0
⇒ 3x – 6y + 0 = 0
a₁/a₂ = 1/3 আৰু b₁/b₂ = -2/-6 = 1/3 আৰু c₁/c₂ = -6/0 = 0
ইয়াত a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ ইয়াৰ কোনো সমাধান নাই।
(vii) 3a/2b – 2b/y = -5
a/x + 3b/y = 2
উত্তৰঃ
(viii) 2x + y – 15 = 0
3x – y – 5 = 0
উত্তৰঃ 2x + y – 15 = 0
3x – y – 5 = 0
a₁/a₂ = 2/3 আৰু b₁/b₂ = 1/-1 = -1 আৰু c₁/c₂ = – 15/-5 = 3
ইয়াত a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ ইয়াৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান আছে।
2. (i) a আৰু bৰ কি মানৰ ক্ষেত্ৰত তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব?
2x + 3y = 7
(a – b)x + (a + b) y = 3a + b – 2
উত্তৰঃ 2x + 3y – 7 = 0
(a – b)x + (a + b)y – (3a + b – 2) = 0
ইয়াত, a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = -7
a₂ = (a – b), b₂ = (b), c₂ = -(3a + b – 2)
এতিয়া, a₁/a₂ = 2/(a – b), b₁/b₂ = 3/(a + b), c₁/c₂ = -7/-(3a + b – 2)
∴ প্ৰশ্নমতে সমীকৰণ প্ৰণালীটি সংগত আৰু অসীম সংখ্যক সমাধানযুক্ত হ’ব।
∴ 2/(a – b) = 3/(a + b) = -7(3a + b – 2)
∴ 2/(a – b) = 7/(3a + b – 2)
⇒ 6a + 2b – 4 = 7a – 7b
⇒ -a + 9b – 4 = 0
⇒ a = 9b – 4 …………… (1)
আকৌ, 3/(a + b) = 7/(3a + b – 2)
⇒ 9a + 3b – 6 = 7a + 7b
⇒ 20 – 46 – 6 = 0
⇒ a – 2b – 3 = 0 ……………. (2)
এতিয়া, a = 9b – 4, নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
9b – 4 – 2b – 3 = 0
⇒ 7b – 7 = 0
⇒ 7b = 7
⇒ b = 1
∴ b = 1, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
a = 9 × 1 – 4 = 9 – 4 = 5
(ii) kৰ কি মানৰ ক্ষেত্ৰত তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাই?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1) y = 2k + 1
উত্তৰঃ 3x + y – 1 = 0 …………. (1)
আৰু (2k – 1)x + (k – 1)y – (2k + 1) = 0 …………… (2)
ইয়াত, a₁ = 3, b₁ = 1, c₁ = -1
a₂ = 2k – 1, b₂ = k – 1, c₂ = -(2k + 1)
∴ সমীকৰণ প্ৰণালীটোৰ কোনো সমাধান নাই
∴ a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
⇒ 4k ≠ -4
⇒ k ≠ -1
আকৌ, 2/(2k – 1) = 1(k – 1)
⇒ 3k – 3 = 2k – 1
⇒ k = 2
∴ k = 2 আৰু k ≠ -1
(iii) pৰ কি মানৰ বাবে px – y = 2, 6x – 2y = 3 সমীকৰণযোৰৰ একমাত্র সমাধান থাকিব?
উত্তৰঃ ∵ সমীকৰণযোৰৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান থাকে
∴ p/6 ≠ -1/-2 ≠ 2/3
⇒ p ≠ 3 আৰু p ≠ 4
(iv) kৰ মান নির্ণয় কৰা যাতে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকে।
(3k + 1)x + 3y – 2 = 0, (k² + 1)x + (k – 2)y – 5 = 0
উত্তৰঃ ∵ সমীকৰণযোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকে,
(v) mৰ মান নির্ণয় কৰা যাতে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ অসীম সমাধান থাকে।
mx + 4y = m4, 16x + my = m
উত্তৰঃ ∵ সমীকৰণযোৰৰ অসীম সমাধান থাকে
3. প্রতিষ্ঠাপন আৰু বজ্রগুণন পদ্ধতিৰে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰৰ সমাধান উলিওৱাঃ
(i) 8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
উত্তৰঃ 8x + 5y = 9 ……………. (1)
3x + 2y = 4 ……………. (2)
প্রতিষ্ঠাপন পদ্ধতিঃ
(1) ⇒ 8x = 9 – 5y
⇒ x = (9 – 5y)/8 …………….. (3)
এতিয়া, x -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত স্থপন কৰি পাওঁ–
3(9 – 5y/8) + 2y = 4
⇒ (27 – 15y)/8 + 2y = 4
⇒ (27 – 15y + 16y)/8 = 4
⇒ 27 + y = 32
⇒ y = 32 – 27 = 5
এতিয়া, y = 5 (3) নং সমীকৰণত স্থপন কৰি পাওঁ–
x = (9 – 5 × 5)/8 = (9 – 25)/8 = -16/8 = -2
বজ্রগুণন পদ্ধতিঃ
8x + 5y – 9 = 0
3x + 2y – 4 = 0
(ii) 4x – 3y = 23
3x + 4y = 11
উত্তৰঃ 4x – 3y = 23
3x + 4y = 11
(iii) 2x + 3y – 11 = 0
4x – 3y + 5 = 0
উত্তৰঃ প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি অনুসৰিঃ
2x + 3y – 11 = 0
(iv) 5x + 7y = 19
3x + 2y = 7
উত্তৰঃ 5x + 7y = 19
⇒ 5x = 19 – 7y
4. তলৰ সমস্যাবোৰক লৈ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ গঠন কৰা আৰু যিকোনো বীজীয় পদ্ধতিৰে সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা (যদি বর্তে)।
(i) কোনো ছাত্রাবাসৰ মাহেকীয়া মাচুলৰ এটা অংশ নির্দিষ্ট আৰু বাকীখিনি এজনে মেচত কিমান দিন খাদ্য গ্রহণ কৰিলে তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে। যেতিয়া এজন ছাত্র Aই 20 দিন খাদ্য খায় তেন্তে তেওঁ ছাত্রাবাসৰ মাচুল দিব লাগে 1000 টকা। আকৌ এজন ছাত্র Bয়ে যদি 26 দিন খাদ্য খায় তেওঁ মাচুল দিব লাগে 1180 টকা। নির্দিষ্ট মাচুল আৰু প্রতিদিনত খাদ্যৰ দাম কি উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ছাত্রবাসৰ মাহেকীয়া মাচুল = x টকা
আৰু প্ৰতিদিনৰ খোৱা খৰচ = y টকা
∴ প্রথম চর্তমতে, x + 20y = 1000 ……………… (1)
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, x + 6y = 1180 ……………. (2)
এতিয়া, (1) ⇒ x = 1000 – 20 ……………… (3)
(3) আৰু (4) তুলনা কৰি পাওঁ–
1000 – 20y = 1180 – 26y
⇒ -20y + 26y = 1180 – 1000
⇒ 6y = 180
⇒ y = 180/6 = 30
∴ y = 30, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x = 1000 – 20 × 30
= 1000 – 600 = 400
∴ ছাত্রবাসৰ মাহেকীয়া খৰচ = 400 টকা
আৰু প্ৰতিদিনৰ খোৱা খৰচ = 30 টকা।
(ii) এটা ভগ্নাংশৰ লবৰ পৰা 1 বিয়োগ কৰিলে ই হয়গৈ 1/3; আৰু ইয়াৰ হৰৰ লগত 8 যোগ কৰিলে হয়গৈ 1/4। ভগ্নাংশটো নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ভগ্নাংশটো: x/y
∴ প্রথম চর্তমতে, (x – 1)/y = 1/3
⇒ 3x – 3 = y
⇒ 3x – y = 3 ………………. (1)
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, x/(y + 8) = 1/4
(বিয়োগ কৰি) – x = -5
⇒ x = 5
এতিয়া, x = 5 দ্বিতীয় সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
4 × 5 – y = 8
⇒ 20 – y = 8
⇒ -y = 8 – 20 = -12
⇒ y = 12
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটো হ’ল: 5/12
(iii) এটা পৰীক্ষাত যশোদাই লাভ কৰে 40 নম্বৰ, য’ত তেওঁ প্রতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে পায় 3 নম্বৰ আৰু প্ৰতিটো অশুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে হেৰুৱায় 1 নম্বৰ। যদি প্রতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 4 নম্বৰ দিলেহেঁতেন আৰু প্রতিটো অশুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 2 নম্বৰ কাটিলেহেঁতেন, তেন্তে যশোদাই 50 নম্বৰ লাভ কৰিলেহেঁতেন। পৰীক্ষাটোত কিমানটা প্রশ্ন আছিল?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, যকৰ দ্বাৰা শুদ্ধ উত্তৰ কৰা প্ৰশ্ন সংখ্যা = x আৰু অশুদ্ধ উত্তৰ কৰা প্ৰশ্নৰ সংখ্যা = y
∴ প্রথম চর্তমতে, 3x – y = 40 …………… (1)
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, 4x – 2y = 50 ………….. (2)
(বিয়োগ কৰি) 2y = 10
⇒ y = 5
এতিয়া, x = 5 (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
3x – y = 40
⇒ 3x – 5 = 40
⇒ 3x = 45
⇒ x = 45/3 = 15
∴ শুদ্ধ উত্তৰ কৰা প্রশ্ন সংখ্যা = 15
আৰু অশুদ্ধ উত্তৰ কৰা প্রশ্ন সংখ্যা = 5
= 15 + 5 = 20 টা প্রশ্ন আছিল।
(iv) ঘাইপথ এটাৰ ওপৰৰ দুখন ঠাই A আৰু Bৰ দূৰত্ব 100 কি.মি.; এখন গাড়ী Aৰ পৰা আৰু একে সময়তে আন এখন গাড়ী Bৰ পৰা ৰাওনা হয়। যদি গাড়ী দুখনে একে দিশলৈ বেলেগ বেলেগ দ্রুতিৰে যাত্রা কৰে, তেন্তে ইহঁত 5 ঘণ্টাৰ পিছত লগ হয়। যদি সিহঁতৰ এখনে আনখনৰ দিশলৈ যাত্রা কৰে, তেন্তে সিহঁত 1 ঘণ্টা পিছত লগ হয়। গাড়ী দুখনৰ প্ৰত্যেকৰে দ্রুতি কিমান?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, A বিন্দুত গাড়ীটোৰ গতি = x কিমি/ঘন্টা।
আৰু B বিন্দুত গাড়ীটোৰ গতি = y কিমি/ঘন্টা।
A আৰু B বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব = 100 কি.মি.
5 ঘণ্টাত গাড়ী দুটা মিলিত হ’লে–
A বিন্দুত গাড়ীটোৰ দ্বাৰা অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = 5x কি.মি.।
আৰু গাড়ীটোৰ দ্বাৰা অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = 5y কি.মি.।
∴ প্রথম চর্তমতে, 5x – 5y = 100
⇒ x – y = 20 ……………. (1)
1 ঘণ্টাত গাড়ী দুটা মিলিত হ’লে–
বিন্দুত গাড়ীটোৰ দ্বাৰা অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = x কি.মি.।
আৰু গাড়ীটোৰ দ্বাৰা অতিক্রম কৰা দূৰত্ব = y কি.মি.।
∴ দ্বিতীয় চর্তমতে, x + y = 100 ……………. (2)
∴ +x – y = +20
(বিয়োগ কৰি) -2y = -80
⇒ y = 40
এতিয়া, x = 40, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x – 40 = 20
⇒ x = 60
∴ A আৰু B বিন্দুত দুটা গাড়ীৰ বেগ ক্রমে 60 কি.মি./ঘণ্টা আৰু 40 কি.মি./ঘণ্টা।
(v) এটা আয়তৰ যদি দৈর্ঘ্যক 5 একক হ্রাস আৰু প্রস্থক 3 একক বৃদ্ধি কৰা হয় তেন্তে ইয়াৰ কালি 9 বর্গ একক হ্রাস হয়। যদি ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্যক 3 একক আৰু প্ৰস্থক 2 একক বৃদ্ধি কৰা হয় তেন্তে কালি 67 বর্গ একক বৃদ্ধি পায়। আয়তটোৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল আয়তৰ দৈর্ঘ্য = x একক আৰু প্ৰন্থ = y একক।
∴ কালি = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ = xy বর্গ. একক।
∴ প্রথম চর্তমতে, (x – 5)(y + 3) = xy – 9
⇒ xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9
⇒ 3x – 5y = 6 ……………… (1)
দ্বিতীয় চর্তমতে, (x + 3)(x + 2) = xy + 67
⇒ xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
⇒ 2x + 3y = 61 ………………. (2)
∴ 3x – 5y = 6 ……………. (1)
2x + 3y = 61 …………….. (2)
∴ (1) × 2 ⇒ +6x – 10y = +12
(2) × 3 ⇒ +6x + 9y = +183
(বিয়োগ কৰি) -19y = -171
⇒ y = -171/-19 = 9
এতিয়া, y = 9 (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
3x – 5 × 9 = 6
⇒ 3x – 45 = 6
⇒ 3x = 6 + 45 = 51
⇒ x = 5 = 17 ∴ আয়তটোৰ দৈর্ঘ্য = 17 একক আৰু প্ৰন্থ = 9 একক।
| অনুশীলনী – 3.6 |
1. ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰলৈ পৰিৱৰ্তন কৰি তলৰ সমীকৰণ যোৰকেইটা সমাধা কৰা:
(i) 1/2x + 1/3y = 2
1/3x + 1/2y = 13/6
উত্তৰঃ 1/2x + 1/3y = 2 আৰু 1/3x + 1/2y = 13/6
ধৰা হ’ল, 1/x = a আৰু 1/y = b
∴ a/2 + b/3 = 2
⇒ (3a + 2b)/6 = 2
⇒ 3a + 2b = 12 ………………. (1)
আকৌ, a/3 + b/2 = 13/6
⇒ (2a + 3b)/6 = 13/6
⇒ 2a + 3b = 13 …………… (2)
(বিয়োগ কৰি) -5b = -15
⇒ b = 3
এতিয়া, b = 3, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ 3a + 2 × 3 = 12
⇒ 3a + 6 = 12
⇒ 3a = 6
⇒ a = 2
∴ a = 2 আৰু b = 3
উত্তৰঃ
∴ 2a + 3b = 2 ……………. (1)
আৰু 4a – 9b = -1 …………….. (2)
(বিয়োগ কৰি) -30b = 10
⇒ b = 10/30 = 1/3
এতিয়া, b = 1, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ 2a + 3b = 2
⇒ 2a + 3 × 1/3 = 2
⇒ 2a + 1 = 2
⇒ 2a = 1
⇒ a = 1/2
∴ a = 1/2 আৰু b = 1/3
(iii) 4/x + 3y = 14
3/x – 4y = 23
উত্তৰঃ 4/x + 3y = 14 আৰু 3/x – 4y = 23
ধৰা হ’ল, 1/x = a
∴ 4a + 3y = 14 ……………… (1)
3a – 4y = 23 ……………… (2)
(বিয়োগ কৰি) 25y = -50
⇒ y = -50/25 = -2
এতিয়া, y = -2, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
⇒ y = -50/25 = -2
∴ 4a + 3y = 14
⇒ 4a + 3(-2) = 14
⇒ 4a – 6 = 14
⇒ 4a = 20
⇒ a = 5
∴ a = 5
⇒ 1/x = 5
⇒ 5x = 1
⇒ x = 1/5
(iv) 5/(x – 1) + 1(y – 2) = 2
6/(x – 1) – 3/(y – 2) = 1
উত্তৰঃ 5/(x – 1) + 1(y – 2) = 2 আৰু 6/(x – 1) – 3/(y – 2) = 1
ধৰা হ’ল, 1/(x – 1) = a আৰু 1/(y – 2) = b
∴ 5a + b = 2 …………….. (1)
6a – 3b = 1 ……………. (2)
(বিয়োগ কৰি) 21b = 7
⇒ b = 7/21 = 1/3
এতিয়া, b = 1/3, (2) সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ 6a – 3b = 1
⇒ 6a – 3 × 1/3 = 1
⇒ 6a – 1 = 1
⇒ 6a = 2
⇒ a = 2¹/6₃ = 1/3
∴ a = 1/3; আৰু b = 1/3
(v) (7x – 2y)/xy = 5
(8x + 7y)/xy = 15
উত্তৰঃ (7x – 2y)/xy = 5 আৰু (8x + 7y)/xy = 15
ধৰা হ’ল, 1/x = a আৰু 1/y = b
∴ -2a + 7b = 5 ………….. (1)
7a + 8b = 15 ……………. (2)
(বিয়োগ কৰি) 65b = 65
⇒ b = 1
এতিয়া, b = 1, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
-2a + 7b = 5
⇒ -2a + 7 × 1 = 5
⇒ -2a + 7 = 5
⇒ -2a = -2
⇒ a = 1
∴ a = 1; আৰু b = 1
(vi) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
উত্তৰঃ 6x + 3y = 6xy আৰু 2x + 4y = 5xy
এতিয়া, a = 1, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
1 + 2b = 1
⇒ 2b = 1
⇒ b = 1/2
∴ a = 1; আৰু b = 1/2
(vii) 10/(x + y) + 2(x – y) = 4
15/(x + y) – 5/(x – y) = -2
উত্তৰঃ 10/(x + y) + 2(x – y) = 4 আৰু 15/(x + y) – 5/(x – y) = -2
এতিয়া, ধৰা হল: 1/(x + y) = a আৰু 1/(x – y) = b
∴ 10a + 2b = 4 ………….. (1)
15a – 5b = -2 …………… (2)
(বিয়োগ কৰি) 80b = 80
⇒ b = 1
এতিয়া, b = 1 (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
10a + 2 × 1 = 4
⇒ 10a + 2 = 4
⇒ 10a = 2
⇒ a = 2/10 = 1/5
∴ a = 1/5; আৰু b = 1
⇒ 1/(x + y) = 1/5 ⇒ 1/(x – y) = 1
⇒ x + y = 5 ……………. (3)
⇒ x – y = 1 ………………. (4)
এতিয়া, (3) আৰু (4) সমাধান কৰি পাওঁ–
(বিয়োগ কৰি) 2x = 6
⇒ x = 6/2 = 3
∴ x = 6, (4) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x – y = 1
⇒ -y = -2 ⇒ y = 2
(viii) 1/(3x + y) + 1/(3x – y) = 3/4
1/2(3x + y) – 1/2(3x – y) = -1/8
উত্তৰঃ 1/(3x + y) + 1/(3x – y) = 3/4 আৰু 1/2(3x + y) – 1/2(3x – y) = -1/
এতিয়া, ধৰা হল: 1/(3x + y) = a আৰু 1/(3x – y) = b
∴ a + b = 3/4 ……………. (1)
⇒ a/2 – b/2 = -1/8
⇒ (a – b)/2 = -1/8 ⇒ 8a – 8b = -2 ………………… (2)
(বিয়োগ কৰি) 16b = 80
⇒ b = 8¹/16₂ = 1/2
এতিয়া, b = 1/2, (2) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
8a – 8 × 1/2 = -2
⇒ 8a – 4 = -2
⇒ 8a – 4 = -2
⇒ 8a = 2
∴ a = 1/4; আৰু b = 1/2
⇒ 1/(3x + y) = 1/4; 1/(3x – y) = 1/2
⇒ 3x + y = 4; 3x – y = 2
(বিয়োগ কৰি) 6x = 6
⇒ x = 1
এতিয়া, x = 1, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
3 × 1 + y = 4
⇒ y = 4 – 3 =
2. তলৰ সমস্যাবোৰক একোটা সমীকৰণৰ যোৰত সূত্ৰবদ্ধ কৰা আৰু সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা।
(i) ঋতুৱে 2 ঘণ্টাত ভটিয়নী সোঁতত 20 কি.মি. নাও যাব পাৰে আৰু 2 ঘণ্টাত উজনি সোঁতত 4 কি.মি. যাব পাৰে। তেওঁৰ স্থিৰ পানীত নাওৰ দ্রুতি আৰু সোঁতৰ দ্রুতি উলিওৱা।
উত্তৰঃ স্থিৰ পানীত ঋতুৰ নাওৰ বেগ = x কি.মি./ঘন্টা
আৰু নৈৰ সোঁতৰ বেগ = x কি.মি./ঘন্টা
∴ সোঁতৰ প্ৰতিকূল বা বিপৰীত দিশত উজনি সোঁতত হ’ব (x = y) কি.মি./ঘন্টা
আৰু সোঁতৰ অনুকূল ভটিয়নি সোঁতত বেগ = (x + y) কি.মি./ঘন্টা
∴ সোঁতৰ অনুকূলে ঋতুৰ দ্বাৰা অতিক্রান্থ দূৰত্ব = বেগ × সময়
= (x + y) × 2
= 2(x + y) কি.মি
∴ প্রথম চর্তমতে, 2(x + y) = 20
⇒ x + y = 10 ……………. (1)
আৰু দ্বিতীয় চৰ্তমতে, 2(x – y) = 4
⇒ x – y = 2 ……………. (2)
∴ (1) + (2) ⇒ 2 – 12
⇒ x = 6
এতিয়া, x = 6, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
6 + y = 10
⇒ y = 10 – 6 = 4
∴ স্থিৰ পানীত ঋতুৰ নাওৰ বেগ = 6 কিমি./ঘন্টা।
আৰু সোঁতৰ বেগ = 4 কিমি./ঘন্টা।
(ii) 2 জনী মহিলা আৰু 5 জন পুৰুষে একেলগে 4 দিনত কাপোৰত ডিজাইন কৰা কাম এটা কৰে। এই কামটো 3 জনী মহিলা আৰু 6 জন পুৰুষে 3 দিনত শেষ কৰে। 1 জনী মহিলাই অকলে কামটো শেষ কৰিবলৈ কিমান সময় ল’ব আৰু 1 জন পুৰুষেও অকলে কিমান সময় ল’ব?
উত্তৰঃ এজনী মহিলায়ে কাম সম্পূৰ্ণ কৰে x দিনত
আৰু এজন পুৰুষে কাম সম্পূৰ্ণ কৰে y দিনত।
∴ 1 দিনত কৰা মহিলাৰ কামৰ পৰিমান = 1/x
আৰু পুৰুষৰ কামৰ পৰিমান = 1/y
প্রথম চর্তমতে, 2/x + 5/y = 1/4 …………… (1)
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, 3/x + 6/y = 1/3 ………… (2)
ধৰা হ’ল 1/x = a আৰু 1/y = b
∴ 2a + 5b = 1/4
⇒ 8a + 20b = 1 …………….. (3)
আৰু, 3a + 6b = 1/3
⇒ 9a + 18b = 1 ……………… (4)
এতিয়া, (3) × 9 ⇒ +72 + 180b = +9
(বিয়োগ কৰি) 36b = 1
⇒ b = 1/36
এতিয়া, b = 1/36 নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
9a + 18 × 1/36 = 1
⇒ 9a + 1/2 = 1
⇒ (18a + 1)/2 = 1
⇒ 18a + 1 = 2
⇒ 18a = 1
⇒ a = 1/18
∴ এজনী মহিলাই অকলে কামটো সম্পূৰ্ণ কৰে 18 দিনত আৰু এজন পুৰুষে অকলে কামটো সম্পূর্ণ কৰে 36 দিনত।
(iii) গীতুয়ে তেওঁৰ ঘৰলৈ 300 কি.মি. পথৰ এক অংশ ৰে’লগাড়ীৰে আৰু এক অংশ বাছেৰে ভ্রমণ কৰে। তেওঁ 60 কি.মি. ৰে’লগাড়ীৰে আৰু বাকীখিনি বাছেৰে যাওঁতে 4 ঘণ্টা সময় লয়। তেওঁক 10 মিনিট বেছি লাগে যদি তেওঁ 100 কি.মি. ৰে’লগাড়ীৰে আৰু বাকীখিনি বাছেৰে যায়। ৰে’লগাড়ীৰ দ্রুতি আৰু বাছৰ দ্রুতি কিমান বেলেগে বেলেগে উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হল, ট্ৰেইনৰ গতি = x কি.মি./ঘন্টা
আৰু বাছৰ গতি = y কি.মি./ঘন্টা।
প্রথম ক্ষেত্রত,
60 কি.মি. পথ অতিক্রম কৰিবলৈ ট্ৰেইনৰ সময় লাগে = দূৰত্ব/বেগ
= 60/x ঘণ্টা
আকৌ, 240 কি.মি. (300 – 60) পথ অতিক্ৰম কৰিবলৈ বাছৰ সময় লাগে 240/y ঘণ্টা।
∴ মুঠ সময় = (60/x = 240/y) ঘণ্টা।
∴ প্রথম চর্তমতে, 60/x + 240/y = 4
⇒ 15/x + 60/y = 1 ……………… (1)
দ্বিতীয় ক্ষেত্রত,
100 কি.মি. পথ অতিক্ৰম কৰিবলৈ ট্ৰেইনৰ সময় লাগে = 100/x ঘন্টা
আকৌ, 200 কি.মি. পথ অতিক্রম কৰিবলৈ বাছৰ সময় লাগে 200/y ঘন্টা
∴ মুঠ সময় = (100/x + 200/y) ঘণ্টা
∴ দ্বিতীয় চর্তমতে, 100/x + 200/y = 4 ঘন্টা 10 মিনিট
⇒ 4/x + 8/y = 1/6
⇒ 24/x + 48/y = 1 …………….. (2)
ধৰা হ’ল, 1/x = a আৰু 1/y = a
∴ 15a + 60b = 1 ……………. (3)
24a + 48b = 1 ……………… (4)
∴ (3) ⇒ a = (1 – 60b)/15 ……………. (5)
(4) ⇒ a = (1 – 48b)/24 ……………. (6)
∴ (5) আৰু (6) – পৰা পাওঁ–
(1 – 60b)/15 = (1 – 48b)/24
⇒ 24(1 – 60b) = 15(1 – 48b)
⇒ 24 – 1440b = 15 – 720b
⇒ -1440b + 720b = 15 – 24
⇒ -720b = -9
এতিয়া, b -ৰ মান (5) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁঃ
| অনুশীলনী – 3.7 (ঐচ্ছিক) |
1. অলি আৰু বিজুৰ বয়সৰ পাৰ্থক্য 3 বছৰ। অলিৰ দেউতাক বর্মন অলিতকৈ দুগুণ ডাঙৰ আৰু বিজু তাৰ ভনীয়েক মিলিতকৈ দুগুণ ডাঙৰ। মিলি আৰু বৰ্মনৰ বয়সৰ পাৰ্থক্য 30 বছৰ। অলি আক বিজুৰ বয়সবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল অলিৰ বয়স = x বছৰ
বিজুৰ বয়স = y বছৰ
বৰ্মনৰ বয়স = 2x বছৰ
আৰু মিলিৰ বয়স = 1/2y বছৰ
∴ প্রথম চর্তমতে, x – y = 3 …………… (1)
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, 2x – y/2 = 30
⇒ (4x – y)/2 = 30
⇒ 4x – y = 60 ……………. (2)
এতিয়া, (1) – (2) কৰি পাওঁ–
(বিয়োগ কৰ) 3x = 57
⇒ x = 57/3 = 19
এতিয়া, x = 19 (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x – y = 3
⇒ 19 – y = 3
⇒ -y = -3 – 19
⇒ -y = -16
⇒ y = 16
2. এজনে কয়, ‘মোক এটা এশ দিয়া, বন্ধু! মই তোমাতকৈ দুগুণ ধনী হ’ম।’ আনজনে উত্তৰ দিলে, ‘মোক যদি এটা দহ দিয়া, মই তোমাতকৈ ছণ্ডণ ধনী হ’ম।’ মোক কোৱা তেওঁলোকৰ মূলধনৰ পৰিমাণ (যথাক্রমে) কিমান? (দ্বিতীয় ভাস্কৰৰ বীজগণিতৰ পৰা) [ইংগিতঃ x + 100 = 2(y – 100), y + 10 = 6(x – 10)]
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল প্ৰথম বন্ধুৰ মূলধন = x টকা
আৰু দ্বিতীয় বন্ধুৰ মূলধন = y টকা।
∴ প্রথম চর্তমতে, x + 100 = 2(y – 100)
⇒ x + 100 = 2y – 200
⇒ x – 2y = -200 – 100
⇒ x – 2y = -300 ……………. (1)
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, y + 10 = 6(x – 10)
⇒ y + 10 = 6x – 60
⇒ 6x – y = 10 + 60
⇒ 6x – y = 70 ……………. (2)
সমীকৰণ (1) -ক 6 দ্বাৰা গুণ কৰি পাওঁ–
6x – 12y = -1800 ……………… (3)
এতিয়া, y -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
6x – 170 = 70
⇒ 6x = 70 + 170
⇒ 6x = 240 ⇒ x = 240/6 = 40
3. এখন ৰে’লগাড়ীয়ে এটা নির্দিষ্ট দূৰত্ব সমদ্রুতিত ভ্রমি যায়। ৰে’লগাড়ীখনে যদি, ঘণ্টাত 10 কি.মি. বেছি গ’লহেঁতেন ই নির্দিষ্ট সময়তকৈ 2 ঘণ্টা সময় কম ল’লেহেঁতেন। আকৌ, যদি ৰে’লগাড়ীখন ঘণ্টাত 10 কি.মি. কমকৈ গ’লহেঁতেন, তেন্তে ই নির্দিষ্ট সময়তকৈ 3 ঘণ্টা বেছিকৈ ল’লেহেঁতেন। বে’লগাড়ীখনে অতিক্রম কৰা দূৰত্বটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ট্রেইনখনৰ গতি = x কি.মি./ঘন্টা
আৰু সময় = y ঘণ্টা
∴ ট্রেইন দ্বাৰা অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = গতি × সময়
= xy কি.মি.
প্রথম চর্তমতে, (x + 10) (y – 2) = xy
⇒ xy – 2x + 10y – 20 = xy
⇒ -2x + 10y – 20 = 0
⇒ x – 5y + 10 = 0 …………….. (2)
আৰু, দ্বিতীয় চর্তমতে, (x – 10)(y + 3) = xy
⇒ xy + 3x – 10y – 30 = xy
⇒ 3x – 10y – 30 = 0 ……………… (2)
এতিয়া, (1) নং সমীকৰণক 3 দ্বাৰা গুণ কৰি পাওঁ–
⇒ 3x – 15y + 30 = 0 ……………… (3)
এতিয়া, (3) – (2) কৰি পাওঁ–
(বিয়োগ কৰ) -5y + 60 = 0
⇒ -5y = 60
⇒ y = 12
এতিয়া, y = 12, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x – 5 × 12 + 10 = 0
⇒ x – 60 + 10 = 0
⇒ x – 50 = 0
⇒ x = 50
∴ ট্রেইনখনৰ গতি = 50 কি.মি./ঘন্টা
আৰু সময় = 12 ঘন্টা।
∴ ট্রেইনখনৰ দ্বাৰা অতিক্ৰম কৰা দূৰত্ব = (50 × 12) কি.মি. = 600 কি.মি.
4. এটা শ্ৰেণীৰ ছাত্ৰসকলক কেইটামান শাৰীত থিয় কৰোৱা হ’ল। একোটা শাৰীত 3 জনকৈ ছাত্র বেছি থকাহেঁতেন 1 শাৰী কম হ’লহেঁতেন। একোটা শাৰীত 3 জনকৈ ছাত্র কম থকাহেঁতেন, 2 টা শাৰী বেছি লাগিলহেঁতেন। শ্রেণীত ছাত্রৰ সংখ্যা কিমান উলিওৱা।
উত্তৰঃ এটা শাৰীত থকা ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = x
আৰু শাৰীৰ সংখ্যা = y
∴ মুঠ ছাত্র-ছাত্রীৰ সংখ্যা = xy
∴ প্রথম চর্তমতে, (x + 3)(y – 1) = xy
⇒ xy – x + 3y – 3 = xy
⇒ -x + 3y – 3 = 0
⇒ x – 3y + 3 = 0 …………….. (1)
আক, দ্বিতীয় চর্তমতে, (x – 3)(y + 2) = xy
⇒ xy + 2x – 3y – 6 = xy
⇒ 2x – 3y – 6 = 0 …………….. (2)
এতিয়া, (2) – (1) কৰি পাওঁ–
x – 9 = 0
⇒ x = 9
∴ x = 9, (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
9 – 3y + 3 = 0
⇒ -3y + 12 = 0
⇒ -3y + 12 =
⇒ -3y = -12
⇒ y = 12/3 = 4
∴ প্রতিটো শাৰীত ছাত্ৰ-ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = 9
আৰু শাৰীৰ সংখ্যা = 4
∴ মুঠ ছাত্র-ছাত্রীৰ সংখ্যা = (9 × 4) = 36 (উত্তৰ)
5. ABC ত্রিভুজ এটাত ∠C = 3 ∠B = 2 (∠A + ∠B)। কোণ তিনিটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ∆ABC -ৰ পৰা–
∠C = 3 ∠ = 2(∠A + ∠B)
∴ 3∠B = 2(∠A + ∠B)
⇒ 3∠B = 2∠A + 2∠B
⇒ 3∠B – 2∠B = 2∠A
⇒ ∠B = 2∠A ……………. (1)
আকৌ, ∠C = 3∠B
⇒ ∠C = 3(2∠A) [ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ ∠C = 6∠A …………….. (2)
∴ ∠A + ∠B + ∠C = 180°
⇒ ∠A + 2∠A + 6∠A = 180°
⇒ 9∠A = 180°
⇒ A = 180°/9 = 20°
∴ ∠B = 2∠A = 2 × 20° = 40°
আৰু ∠C = 6∠A = 6 × 20° = 120°
∴ ∠A = 20°, ∠B = 40° আৰু ∠C = 120°
6. 5x – y = 5 আৰু 3x – y = 3 সমীকৰণ দুটাৰ লেখ আঁকা। এই ৰেখাদুটাই আৰু y অক্ষই গঠন কৰা ত্রিভুজটোৰ শীর্ষবিন্দুকেইটাৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ 5x – y = 5 ……………….. (1)
আৰু 3x – y = 3 ……………….. (2)
∴ (1) ⇒ 5x = 5 + y
⇒ x = (5 + y)/5
তালিকা – I
| x | 1 | 0 | 2 |
| y | 0 | -5 | 5 |
| (x, y) | (1, 0) | (0, -5) | (2, 5) |
∴ (2) ⇒ 3x = 3 + y
⇒ x = (3 + y)/3
তালিকা – II
| x | 1 | 0 | 2 |
| y | 0 | -3 | 3 |
| (x, y) | (1, 0) | (0, -3) | (2, 5) |
XOX আৰু YOY অক্ষদ্বয়ৰ ছেদবিন্দু 0।0 -ক মূলবিন্দু আৰু দহটা সৰু বর্গক্ষেত্রক এক একক হিচাপে লৈ তালিকা নং-I আৰু তালিকা নং-II ৰ বিন্দুবোৰ লেখকাকতৰ যথাস্থানত স্থাপন কৰি দুটা লেখ পোৱা গ’ল। এই লেখ দুটা y -অক্ষৰ লগত ∆ABD গঠন কৰে। ∆ABD -ৰ শীর্ষ বিন্দুক্ৰয়ৰ স্থানাংক A (1, 0), B(0, -5) আৰু D (0, -3).
7. তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰকেইটা সমাধা কৰাঃ
(i) px + qy = p – q
qx – py = p + q
উত্তৰঃ px + qy = p – q ……………….. (1)
আৰু, qx – py = p + q ……………….. (2)
এতিয়া, (1) নং সমীকৰণক q আৰু (2) নং সমীকৰণক p দ্বাৰা গুণ কৰি পাওঁ–
এতিয়া y = -1, (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
px + q(-1) = p – q
⇒ px – q = p – q
⇒ px = p – q + q
⇒ px = p
⇒ x = p
(ii) ax + by = c
bx + ay = 1 + c
উত্তৰঃ ax + by = c
আৰু bx + ay = 1 + c
∴ ax + by – c = 0
bx + ay – (1 + c) = 0
(iii) x/a – y/b = 0
ax + by = a² + b²
উত্তৰঃ x/a – y/b = 0
⇒ (bx – ay)/(ab) = 0
⇒ bx – ay = 0 …………….. (1)
আৰু ax + by = a² + b²
⇒ ax + by – (a² + b²) = 0 ……………… (2)
(iv) (a – b)x + (a + b) y = a² – 2ab – b²
(a + b)(x + y) = a² + b²
উত্তৰঃ (a – b)x + (a + b)y = a² – 2ab – b²
⇒ ax – bx + ay + by = a² – 2ab – b² ……………. (1)
এতিয়া, (1) – (2) কৰি পাওঁ–
(বিয়োগ কৰি) -2bx = -2ab – 2b²
⇒ -2bx = -2b(a + b)
⇒ x = -2b(a + b)/-2b = a + b
এতিয়া, x = a + b, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
(a – b)(a + b) + (a + b)y = a² – 2ab – b²
⇒ a² – b² + (a + b)y = a² – 2ab – b²
⇒ (a + b)y = a²2ab – b² – a² + b²
⇒ (a + b)y = -2ab
⇒ y = (-2ab)/(a + b)
∴ x = a + b আৰু y = (-2ab)/(a + b)
(v) 152x – 378y = -74
-378x + 152y = -604
উত্তৰঃ 152 – 378y = -74
⇒ 76x – 189y + 37 = 0 ……………….. (1)
-189x + 76y + 302 = 0 ……………… (2)
8. ABCD এটা চক্রীয় চতুর্ভুজ (চিত্র 3.7 চোৱা)। চক্রীয় চতুর্ভুজটোৰ কোণকেইটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ABCD চক্রীয় চতুর্ভুজ,
∠A = (4y + 20), ∠B = 3y – 5,
∠C = 4x আৰু ∠D = 7x + 5
যিহেতু, চক্ৰীয় চতুর্ভুজৰ বিপৰীত কোণ দুটাৰ জোখৰ সমষ্টি = 180°
∴ ∠A + ∠C = 180°
⇒ 4y + 20 + 4x = 180°
⇒ 4x + 4y = 180° – 20°
⇒ 4(x + y) = 160°
⇒ x + y = 40
⇒ y = 40 – x …………….. (1)
আকৌ, ∠B + ∠D = 180°
⇒ 3y – 5 + (7x + 5) = 180
⇒ 3y – 5 + 7x + 5 = 180
⇒ 7x + 3y = 180 …………….. (2)
এতিয়া, (1) আৰু (2) -ৰ পৰা পাওঁঃ
7x + 3(40 – x) = 180
⇒ 7x + 120 – 3x = 180
⇒ 4x = 180 – 120
⇒ 4x = 60
⇒ x = 60/4 = 15
এতিয়া, x = 15, (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
y = 40 – 15 = 25
∴ ∠A = 4y + 20 = 4 × 25 + 20 = 120°
⇒ ∠B = 3y – 5 = 3 × 25 – 5 = 70°
⇒ ∠C = 4x = 4 × 15 = 60°
⇒ ∠D = 7x + 5 = 7 × 15 + 5 = 110°
∴ ∠A = 120°, ∠B = 70°, ∠C = 60° আৰু
∠D = 110° (উত্তৰ)
