SEBA Class 10 Mathematics Chapter 4 দ্বিঘাত সমীকৰণ Question Answer, SEBA Class 10 Maths Notes in Assamese Medium, SEBA Class 10 Maths Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 10 Mathematics Chapter 4 দ্বিঘাত সমীকৰণ Notes and select needs one.
SEBA Class 10 Mathematics Chapter 4 দ্বিঘাত সমীকৰণ
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 10 Mathematics Chapter 4 দ্বিঘাত সমীকৰণ Question Answer. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 10 Mathematics Chapter 4 দ্বিঘাত সমীকৰণ Solutions for All Subject, You can practice these here.
দ্বিঘাত সমীকৰণ
Chapter – 4
| অনুশীলনী – 4.1 |
1. তলৰবোৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ হয়নে পৰীক্ষা কৰাঃ
(i) (x + 1)² = 2(x – 3)
উত্তৰঃ (x + 1)² = 2(x – 3) [দিয়া আছে]
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x² + 2x – 2x + 1 + 6 = 0
⇒ x² + 7 = 0; এই সমীকৰণৰ -অৰ সর্বোচ্চ x² আৰু ইয়াৰ সূচক দুই।
অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো ছি-ঘাত সমীকৰণ
(ii) x² – 2x = (- 2)(3 – x)
উত্তৰঃ x² – 2x = (-2) (3 – x) [দিয়া আছে]
⇒ x² – 2x + 6 + 2x
⇒ x² – 2x + 6 – 2x = 0
⇒ x² – 4x + 6 = 0; ইয়াত অজ্ঞাত শিৰ সূচক-দুই। অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো দ্বি-ঘাত সমীকৰণ।
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)
উত্তৰঃ
(iv) (x – 3)(2x + 1) = x(x + 5)
উত্তৰঃ (x – 3)(2x + 1) = x(x + 5) [ দিয়া আছে]
⇒ 2x² – 6x – x + 3 = x² + 5x
⇒ 2x² – 7x + 3 = x² – 5x
⇒ x² – 10x – 3 = 0; ইয়াত অজ্ঞাত ৰাশিৰ সূচক দুই। অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো দ্বি-ঘাত সমীকৰণ।
(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
উত্তৰঃ (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1) [দিয়া আছে]
⇒ 2x² – 6x – x + 3 = x² – x5x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3x² – 4x + 5 = 0
⇒x² – 11x + 8 = 0; ইয়াত অজ্ঞাত বাশিৰ সূচক দুই। অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো দ্বি-ঘাত সমীকৰণ।
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
উত্তৰঃ
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² – 1)
উত্তৰঃ (x + 2)³ = 2x(x² – 1) [ দিয়া আছে]
⇒ x³ + (2)³ + 3(x)².2 + 3. (x). (2)³ = 2×3 – 2x
⇒ x³ + 8 + 6x² + 12x – 2x³ + 2x = 0
⇒ -x³ + 6x + 14x – 8 = 0; ইয়াত অজ্ঞাত বাশিৰ সর্বোচ্চ ঘাত আৰু ইয়াৰ সূচক তিনি। অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো দ্বি-ঘাত সমীকৰণ নহয়।।
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
উত্তৰঃ⇒x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³ [দিয়া আছে]
⇒ x³ – 4x²- x + 1 = x³ + 6x² + 12x – 8
⇒ 2x² + 11x + 9 = 0
ইয়াত অজ্ঞাত বাশিৰ সূচক দুই। অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো দ্বি-ঘাত সমীকৰণ।
2. তলৰ পৰিস্থিতিকেইটাক দ্বিঘাত সমীকৰণৰ আৰ্হিত প্ৰদৰ্শন কৰাঃ
(i) আয়তাকাৰ মাটি এটুকুৰাৰ কালি 528 বৰ্গ মিটাৰ। মাটি টুকুৰাৰ দীঘ ইয়াৰ পথালিৰ দুগুণতকৈ 1 (মিটাৰত) বেছি। আমি মাটি টুকুৰাৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিয়াব লাগে।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, আয়তাকাৰ এটুকুৰা মাটি প্রন্থ = x মি.
আৰু দৈর্ঘ্য = (2x + 1) মি.
∴ ক্ষেত্রফল = x(2x + 1) = (2x² + 1) মি.
∴ প্রশ্নমতে, 2x² + x = 528
⇒ 2x² + x – 528 = 0
⇒2x² – 32x + 33x – 528 = 0
⇒ 2x(x -16) + 33(x – 16) = 0
⇒ (x – 16) (2x + 33) = 0
⇒ x – 16 = 0 অথবা 2x + 33 = 0
⇒ x = 16 অথবা x = 33/2
∴ প্রন্থ ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x = 33/2 (বৰ্জ্জিত)
∴ x = 16
∴ প্রস্থ = 16 মি. আৰু দীঘ বা দৈর্ঘ্য = (2 × 16 + 1) = 33 মি.
(ii) দুটা ক্রমিক যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল 306। আমি সংখ্যা দুটা উলিয়াব লাগে।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, দুটা ক্রমিক যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা x দ্বয় আৰু x + 1
সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল = x(x + 1) = x² + x
প্রশ্নতে, x² + x = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
⇒ x² + 18x – 17x – 306 = 0
⇒ x(x + 18) – 17(x + 18) = 0
⇒ (x + 18)(x – 17) = 0
⇒ x – 17 = 0
অথবা, x + 18 = 0
⇒ x = 17 অথবা x = -18
ইয়াত, x = -18 বজ্জিত।
∴ x = 17
∴ নির্ণেয় দুটা ক্রমিক যোগাত্মক সংখ্যা হ’ল: 17 আৰু (17 + 1) = 18।
(iii) ৰামৰ মাক তেওঁতকৈ 26 বছৰ ডাঙৰ। তেওঁলোকৰ বয়সৰ গুণফল (বছৰত) আজিৰ পৰা 3 বছৰ পিছত হ’বগৈ 360। ৰামৰ বৰ্তমান বয়স আমি উলিয়াব লাগে।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ৰোহণৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ
ৰোহণৰ মাকৰ বয়স = (x + 26) বছৰ
3 বছৰ পিছত ৰোহণৰ বয়স হ’ব (x + 3) বছৰ
আৰু ৰোহণৰ মাকৰ বয়স হ’ব (x + 26 + 3) বছৰ
= (x + 29) বছৰ
∴ সিহঁতৰ বয়সৰ গুণফল = (x + 3)(x + 29)
= x² + 32x + 87
∴ চর্তমতে, x² + 32x + 87 = 360
⇒ x² + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
⇒ x(x + 39) – 7(x + 39) = 0
⇒ (x + 39)(x – 7) = 0
⇒ x + 39 = 0 অথবা x 7 = 0
⇒x = -39 অথবা x = 7
ইয়াত, x = -39 বর্জিত হ’ব। কাৰণ বয়স ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x= 7 ধৰা হ’ব।
∴ বোহণৰ বয়স = 7 বছৰ।
(iv) এখন ৰে’লগাড়ীয়ে 480 কিলোমিটাৰ পথ এটা সমান দ্রুতিত ভ্ৰমণ কৰে। যদি এই দ্রুতি প্রতি ঘণ্টাত ৪ কি.মি. কম হ’লহেঁতেন, তেন্তে একে সমান দূৰত্ব আগুৰিবলৈ 3 ঘণ্টা বেছি ল’লেহেঁতেন। আমি ৰে’লগাড়ীখনৰ দ্রুতি উলিয়াব লাগে।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ট্রেইনৰ দ্রুতি বা বেগ = u কি.মি./ঘন্টা।
ট্রেইন দ্বাৰা অতিক্রম কৰা পথ = 480 কিমি.
আৰু সময় = 480/u ঘন্টা।
যদি ট্রেইখনৰ গতি ৪ কি.মি./ঘন্টা হ্রাস কৰা হয়, তেনে হ’লে ট্রেইনখনৰ নতুন গতি হ’ব u – 8 আৰু সময় দৰকাৰ হ’ব 480/u-8 ঘন্টা।
⇒ u² – 40u + 32u – 1280 = 0
⇒ u(u – 40) + 32(u – 40) = 0
⇒ (u – 40)(u + 32) = 0
⇒ u – 40 = 0 অথবা, u + 32 = 0
⇒ u = 40 অথবা, u = – 32 ইয়াত, u = – 32 গ্রহণ কৰা নহয়।
∴ u = 40
∴ ট্রেইনখনৰ দ্রুতি = 40 কি.মি./ঘন্টা।
| অনুশীলনী 4.2 |
1. উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূলবোৰ উলিওৱা।
(i) x² – 3x – 10 = 0
উত্তৰঃ x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
⇒ (x – 5) = 0 অথবা, (x + 2) = 0
⇒ x = 544 x = – 2
∴ নির্ণেয় মূলদ্বয়: 5 আৰু -2
(ii) 2x² + x – 6 = 0
উত্তৰঃ 2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)(2x – 3) = 0
⇒ (x + 2) = 0 অথবা, (2x – 2) = 0
⇒ x = -2 অথবা, x = 3/2
∴ নির্ণেয় মূলদ্বয়:-2 আৰু 3/2
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ
(vi) 2x² – 7x + 6 = 0
উত্তৰঃ ⇒ 2x² – 4x – 3x + 6 = 0
⇒ 2x(x – 2) – 3(x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(2x – 3) = 0
⇒ x – 2 = 0 নাইবা 2x – 3 = 0
⇒ x = 2 নাইবা x = 3/2
(vii) x² – 10x – 96 = 0
উত্তৰঃ ⇒ x² + 6x – 16x – 96 = 0
⇒ x(x + 6) – 16(x + 6) = 0
⇒ (x + 6)(x – 16) = 0
⇒ x + 6 = 0 নাইবা x – 16 = 0
⇒ x = – 6 নাইবা x = 16
(viii) √3x² + 10x + 7√3 = 0
উত্তৰঃ ⇒ √3x² + 3x + 7x + 7√3 = 0
⇒ √3x (x + √3) +7(x + √3 )=0
⇒ (x + √3) (√3x + 7) = 0
⇒ x + √3 = 0 নাইবা √3x+ 7 = 0
⇒ x = – √3) নাইবা x = 7/√3
(ix) x² + 2√2x + 2 = 0
উত্তৰঃ ⇒ x² + √2x + √2x + 2 = 0
⇒ x(x + √2) + √2 (x + √2) = 0
⇒ (x + √2) (x+ √2) = 0
⇒ x + √2 = 0 নাইবা x + √2 = 0
⇒ x = -√2 নাইবা x = -√2
(x) 14x + 5 – 3x² = 0
উত্তৰঃ ⇒ 3x² – 14x – 5 = 0
⇒ 3x² – 15x + x -5: = 0
⇒ 3x(x – 5) + 1(x – 5) = 0
⇒ (x – 5)(3x + 1) = 0
⇒ x – 5 = 0 নাইবা 3x + 1 = 0
⇒ x = 5 নাইবা x = -⅓
2. উদাহৰণ 1 ত দিয়া সমস্যা দুটা সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ (i) ধৰা হ’ল, জনৰ তাত থকা মাৰ্বেলৰ সংখ্যা = x
আৰু জিয়হীৰ তাত থকা মার্বেলৰ সংখ্যা হব: 45 – x
5 টা মার্বেল হেৰুওৱাৰ পাছত, জনৰ তাত থাকে (x – 5) টা মার্বেল
আৰু জিয়ন্হীৰ তাত থাকে 45 – x5 = (40 – x) টা মার্বেল।
সিহঁতৰ গুণফল = (x – 5)(40 – x)
= 40x – x² – 200 + 5x
∴ প্রশ্নমতে, x² + 45x – 200 = 124
⇒ -x² + 45x – 324 = 0
⇒ x² – 45x + 324 = 0
⇒ x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
⇒ (x – 36)(x – 9) = 0
⇒ x – 36 = 0 অথবা, x 9 = 0
∴ তেওঁলোকৰ তাত আৰম্ভণিতে মাৰ্বল আছিল 36 আৰু 9 টা অথবা 6 আৰু 36 টা।
(ii) ধৰা হ’ল, দিনটোত উৎপাদন কৰা পুতলাৰ সংখ্যা = x
অর্থাৎ প্ৰতিটো পুতলাৰ উৎপাদনৰ খৰছ = 55 – x
গতিকে, সেইদিনাত উৎপাদন কৰা পুতলাৰ মুঠ উৎপাদনৰ খৰছ = x(55 – x)
প্রশ্নমতে, x(55 – x) = 750
⇒ 55x – x² = 750
⇒ -x² + 55x – 750 = 0
⇒x² – 55x + 750 = 0
⇒x² – 30x – 25x + 750 = 0
⇒x(x – 30) – 25(x – 30) = 0
⇒(x – 30)(x – 25) = 0
⇒x – 30 = 0 অথবা, x 25 = 0
⇒ x = 30 অথবা, x = 25
∴ x = 20,25
গতিকে, সিদিনা উৎপাদিত পুতলাৰ সংখ্যা 30 আৰু 25 অথবা 25 আৰু 30
3. দুটা সংখ্যা উলিওৱা যাৰ সমষ্টি 27 আৰু গুণফল 182।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল প্ৰথম সংখ্যা = x
দ্বিতীয় সংখ্যা = 24-x
আৰু সিহঁতৰ গুণফল = x(27 – x)
= 27x – x²
∴ চর্তমতে, 27- x² = 182
⇒ x² + 27x – 182 = 0
⇒ x² – 27x + 182 = 0
⇒ x² – 13x – 14x + 182 = 0
⇒ x(x – 13) – 14(x – 13) = 0
⇒ (x – 13)(x – 14) = 0
⇒ x – 13 = 0 অথবা, x 14 = 0
⇒ x = 13 অথবা, x = 14
∴ নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় 13 আৰু 14 অথবা 14 আৰু 13
4. ক্রমিক যোগাত্মক সংখ্যা উলিওৱা যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 363।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, প্রথম যোগাত্মক পূর্ণসংখ্যা = x
আৰু দ্বিতীয় যোগাত্মক পূর্ণসংখ্যা = x + 1
∴ চর্তমতে, x² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 1 + 2x = 365
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ x² + x – 182 = 0
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14) – 13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14)(x – 13) = 0
⇒ x + 14 = 0 অথবা, x 13 = 0
⇒ x = -14 অথবা, x = 13
ইয়াত, বজ্জিত পূর্ণসংখ্যা দুটা: 13 আৰু 13 + 1 = 14
∴ নির্ণেয় ক্রমিক যোগাত্মক পূর্ণসংখ্যা দুটা হ’ল: 13 আৰু 13 + 1 = 14
5. এটা সমকোণী ত্রিভুজৰ উচ্চতা ইয়াৰ ভূমিতকৈ 7 ছো.মি. কম। যদি অতিভূজটো 13 চে.মি. অইন বাহু দুটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, সমকোণী ত্রিভুজৰ ভূমি = x ছে.মি.।
উচ্চতা আৰু উন্নতি = (x – 7) ছে.মি.।
আৰু অভিভূজ = 13 ছে.মি. (দিয়া আছে)
পীথাগোৰাছ উপপাদ্য মতে-
(ভূমি)² + (উচ্চতা)² = (অতিভুজ)²
⇒ (x)² + (x – 7)²= (13)²
⇒ x² + x² + 49 – 14x = 169
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5(x – 12) = 0
⇒ (x – 12)(x + 5) = 0
⇒ x – 12 = 0 অথবা, x + 5 = 0
⇒ x = 12 অথবা, x = -5
∴ ত্রিভুজৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে, সেয়েহে x = 5 বর্জ্জিতI
∴ x = 12
গতিকে সমকোণী ত্রিভুজৰ ভূমি = 12 ছে.মি.
আৰু সমকোণী ত্রিভুজৰ উচ্চতা= (12 – 7) ছে.মি.
= 5 ছে.মি.
6. এটা কুটীৰ শিল্পই দৈনিক এটা নির্দিষ্ট সংখ্যক মাটিৰ বাচন তৈয়াৰ কৰে। এদিন দেখা গ’ল যে প্রতিটো বস্তুৰ উৎপাদনৰ খৰছ (টকাত) সিদিনাৰ উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যাৰ দুগুণতকৈ ও বেছি। যদি সিদিনা উৎপাদনৰ মুঠ ব্যয় 90 টকা, উৎপাদিত বস্তু সংখ্যা আৰু প্ৰতিটো বস্তুৰ ব্যয় কিমান হ’ব উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’লঃ
দৈনিক এটা কুটীৰ শিল্প উদ্যোগত তৈয়াৰ হোৱা মাটিৰ বাচনৰ সংখ্যা = x
প্রতিটো বস্তুৰ মূল্য = (2x + 3) টকা
মুঠ উৎপাদন মূল্য = {x (2x + 3)] টকা
= (2x² + 3x) টকা
প্রশ্নমতে, 2x² + 3x = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² – 12x + 15x – 90 = 0
⇒ 2x(x – 6) + 15(x – 6) = 0
⇒ (x – 6) (2x + 15) = 0
⇒ x – 6 = 0 অথবা, 2x + 15 = 0
⇒ x = 6 অথবা, x = -15/2
ইয়াত, ধৰা নহয়, কাৰণ বস্তুৰ সংখ্যা ঋণাত্মক নহয়।
∴ x = 6
অর্থাৎ, সিদিনা উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা = 6 আৰু উৎপাদিত বস্তুৰ উৎপাদক মূল্য = (2 × 6 + 3) টকা = 15 টকা।
| অনুশীলনী 4.3 |
1. বর্গ সম্পূৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূল (যদি বর্তে) উলিওবা।
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
উত্তৰঃ 2x² – 7x + 3 = 0
⇒ 2x² – 7x = – 3
⇒ x² – 7/4 x = – 3/2 [উভয় পক্ষক 2 দ্বাৰা হৰণ কৰি]
⇒ (x² – 2.x. 7/4 + (7/4)² = (7/4)² – 3/2
(ii) 2x² + x – 4 = 0
উত্তৰঃ
(iii) 4x² + 4√3x + 3 – 0
উত্তৰঃ
(iv) 2x² + x + 4 = 0
উত্তৰঃ
∴ যিকোনো সংখ্যাৰ বৰ্গ ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে ।
∴ যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা -ৰ বাবে (x + 1/4)² ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
গতিকে, প্রদত্ত দ্বি-ঘাত সমীকৰণৰ কোনো বাস্তৱ সমাধান নাই।
(v) x² + 4x + 1 = 0
উত্তৰঃ ⇒ 4x² + 16x + 1 = 0
⇒ (2x)² + 2.2x + 0.4 + 4² – 4² + 1 = 0
⇒ (2x + 4)² = 15
⇒ 2x + 4 = ± √15
⇒ 2x = ± √15 – 4
⇒ x = (√15 – 4)/2
নাইবা x = – √15 – 4
(vi) 4x² + x – 3 – 0
উত্তৰঃ
2. দ্বিঘাত সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি ওপৰৰ প্ৰশ্ন-1ত দিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (i) 2x² – 7x + 3
প্রশ্নত দিয়া সমীকৰণক ax² + bx + c = 0 ( a ≠ 0) -ৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ –
∴ a = 2 b = – 7 c = 3
(ii) 2x² + x – 4 = 0
ইয়াত, a = 2 b = 1 c = – 4
(iv) 2x² + x + 4 = 0
ইয়াত, a = 2 b = 1 , c = 4
∴ b² – 4ac – 31 < 0
∴ প্রদত্ত সমীকৰণৰ কোনো বাস্স্থৰ সমাধা নাই। দ্বিঘাত সমীকৰণৰ সমাধানৰ বাবে ব্যৱহৃত পূর্ণবর্গীকৰণ পদ্ধতি আৰু ছি-ঘাত সূত্র প্রয়োগ কৰি সমাধান আমি বেছিকৈ পচন্দ কৰোঁ।
3. তলৰ সমীকৰণবোৰৰ মূল উলিওৱাঃ
(i) x – 1/x = 3,x ≠ 0
উত্তৰঃ ⇒ x² – 1/x = 3
⇒ x² – 1 = 3x
⇒ x² – 3x – 1 = 0
ইয়াত, a = 1 , b = – 3 , c = – 1
(ii) 1/x + 4 – 1/x – 7 = 11/30, x ≠ -4, 7
উত্তৰঃ
⇒ 11(x² + 3x – 28) = – 11 × 30
⇒ x² – 3x – 28 = – 30
⇒ x² – 3x – 28 + 30 = 0
⇒ x² – 3x + 2 = 0
ইয়াত, a = 1 b = – 3 , c = – 2
(iii) 2/3x² – 1/3 x – 1 = 0
উত্তৰঃ ⇒ 2x² – x – 3/3 = 0
⇒ 2x² – x – 3 = 0
⇒ 2x² + 2x – 3x – 3 = 0
⇒ 2x(x + 1) – 3(x + 1) = 0
⇒ (x + 1)(2x – 3) = 0
⇒ x + 1 = 0 নাইবা 2x – 3 = 0
⇒ x = – 1 নাইবা x = 3/2
(iv) 2x² + 1/2 = 2x
উত্তৰঃ ⇒ 2x² + 1/2 = 2x
⇒ 2x² + 1 = 4x
⇒ 2x² – 4x + 1 = 0
⇒ 4x² – 8x + 2 = 0
⇒ (2x)² – 2.2x.2 + 2² – 2² + 2 = 0
⇒ (2x – 2)² = 2
⇒ 2x – 2 = ±/√2
⇒ 2x – ± √2 + 2/2
⇒ x ⇒ ±√2 + 2/2
⇒ x = ±1/√2 + 1
(v) x + 1/x = 2
উত্তৰঃ ⇒ x² + 1/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² – 2x + 1 = 0
⇒ x² – x – x + 1 = 0
⇒ x(x – 1) – (x – 1) = 0
⇒ (x – 1)(x – 1) = 0
⇒ x – 1 = 0
⇒ x = 1
(vi) 5x – 6/4x – 1 = 2x + 3/3x + 2
উত্তৰঃ
⇒ x – 3 = 0 নাইবা 7x + 3 = 0
⇒ x = 3 নাইবা x = 3/7
4. আজিৰপৰা 3 বছৰ আগৰ আৰু 5 বছৰ পিছৰ ৰহমানৰ বয়সৰ প্ৰতিক্ৰমবোৰৰ যোগফল তেওঁৰ বৰ্তমান বয়স উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ৰমেনৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ।
∴ 3 বছৰ আগত, ৰমেনৰ বয়স আছিল (x – 3) বছৰ আৰু 5 বছৰ পিছত (x – 3) বছৰ হ’ব।
প্রশ্নমতে, –
⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15
⇒ x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
⇒ x² – 4x – 21 = 0
ইয়াত, a = 1 , b = – 4 c = – 21
∴ x = -3 বর্জিত হ’ব। কাৰণ বয়স ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x = 7 ৰমেনৰ বৰ্তমান বয়স = 7 বছৰ।
5. এটা শ্রেণী-পৰীক্ষাত শেৱালিৰ গণিতৰ নম্বৰ আৰু ইংৰাজীৰ নম্বৰ দুটাৰ যোগফল 30। তাই যদি গণিতত আৰু 2 নম্বৰ বেছি আৰু ইংৰাজীত ও নম্বৰ কম পালেহেঁতেন, এই নম্বৰ দুটাৰ পূৰণ ফল 210 হ’লহেঁতেন। তাইৰ বিষয় দুটাত পোৱা নম্বৰবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, শেৱালী গণিতত নম্বৰ পায় x
∴ শেৱালী ইংৰাজীত পায় (30 – x)
প্রথম চর্তমতে –
শেৱালী গণিতত নম্বৰ পায় (x + 2)
আৰু ইংৰাজীত পায় 30 – x – 3 = 27 – x
∴ নম্বৰ দুটাৰ গুণফল = (x + 2) (27 – x)
= 2x – x² + 54 – 2x
= 25x – x² + 54
= – x² + 25x + 54
দ্বিতীয় চর্তমতে, – x² + 25x + 54 = 210
⇒ x² + 25x + 54 – 210 = 0
⇒x² + 25x – 156 = 0
⇒x² – 25x + 156 = 0
ইয়াত, a = 1, b = -25, c = 156
⇒ x = 13, 2 x = 12
প্রথম ক্ষেত্রতঃ হ’লে শেৱালি গণিত বিষয়ত পায় 12, আৰু ইংৰাজীত পায় (3013) 17 নম্বৰ।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রতঃ হ’লে শেৱালি গণিত বিষয়ত পায় 12, আৰু ইংৰাজীত পায় (3012) = 18 নম্বৰ।
6. এখন আয়তাকাৰ পথাৰৰ কৰ্ণৰ দীঘ ইয়াৰ চুটি বাহুটোতকৈ 60 মিটাৰ বেছি। যদি দীঘল বাহুটো চুটি বাহুটোতকৈ 30 মিটাৰ বেছি, পথাৰখনৰ বাহু দুটাৰ দীঘ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, আয়তাকাৰ পথাৰৰ চুটি বাহু অর্থাৎ প্রস্থ AD = x মি., দীঘল বাহু অর্থাৎ দৈর্ঘ্য = AB = (x + 30) মি. আৰু কর্ণ বা অতিভুজ= DB = (x + 60) মি.।
এতিয়া, DAB সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
(DB)² = (AD)² + (AB)²
⇒ (x + 60)² = (x)² + (x + 30)²
⇒ x² + 120x + 3600 = x² + x² + 60x + 900
⇒ x² + 120x + 3600 – 2x² – 60x – 900 = 0
⇒ – x² + 60x + 2700 = 0
⇒ x² – 60x – 2700 = 0
∴ a = 1 , b = – 60 , c = 2700
= 90 আৰু x = 0
ইয়াত, x = -30 বৰ্জ্জিত। কাৰণ বাহুৰ জোখ ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x= = 90
∴ প্রস্থ = 90 মিটাৰ আৰু দৈর্ঘ্য = (90 + 30) মি. = 120 মি.।
7. দুটা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ পাৰ্থক্য 180। সৰু সংখ্যাটোৰ বৰ্গ ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ ৪ গুণ। সংখ্যা দুটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ডাঙৰ সংখ্যাটো = x আৰু সৰু সংখ্যাটো = y
প্রথম চর্তমতে-
x² – y² = 180……….. (1)
দ্বিতীয় চর্তমতে –
y2 = 8x ……………(2)
এতিয়া (1) আৰু (2) -ৰ পৰা পোৱা যায়-
x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x – 180 = 0
ইয়াত, a = 1, b – 8, c = -180
x = -10 হ’লে, (2) নং সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ, y² = 8(10) = -80, ই অসম্ভব। গতিকেx = -10 বজ্জিত।
আকৌ, x = 18 হ’লে, (2) সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ –
y² = 8(18) = 144
⇒y = ±√144 = ±12
নির্ণেয় মূলদ্বয়ঃ 12 আক-12
8. এখন ৰে’লগাড়ীয়ে সমান দ্রুতিত 360 কি.মি. ভ্রমণ কৰে। যদি ইয়াৰ দ্রুতি ঘণ্টাত 5 কি.মি. বেছি হ’লহেঁতেন, ই একেটা ভ্ৰমণৰ সময় 1 ঘণ্টা কম ল’লেহেঁতেন। ৰে’লগাড়ীখনৰ দ্রুতি উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ট্রেইনটোৰ দ্রুতি বা সুষম গতি = x কি.মি./ঘণ্টা আৰু অতিক্রম কৰা দূৰত্ব = 360 কি.মি.। এই দূৰত্ব অতিক্রম কৰিবলৈ সময় লাগে= 360/x ঘন্টা
ট্রেইনখনৰ দ্রুতি 5 কি.মি./ঘন্টা বৃদ্ধি হ’লে, বৃদ্ধিপ্রাপ্ত দ্রুতি হ’ব (x + 5) কি.মি./ঘন্টা।
বর্ধিত দ্রুতিত ট্রেইনৰ সময় = 360/x + 5 ঘন্টা।
⇒ x² + 5x = 1800
⇒ x² + 5x – 1800 = 0
ইয়াত, a = 1 , b = 5 , c = – 180
∴ গতি বা দ্রুতি ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x = -45 বর্জিত।
∴ x = 40 গ্রহণযোগ্য
∴ ট্ৰেইনৰ দ্রুতি বা গতি = 40 কি.মি./ঘন্টা।
9. দুটা পানীৰ নলীয়ে এটা চৌবাচ্চা 9 3/8 ঘণ্টাত পূৰ কৰে। চৌবাচ্চাটো বেলেগে বেলেগে পূৰ কৰিবলৈ হ’লে ডাঙৰ ব্যাসৰ নলীটোৱে সৰু ব্যাসৰ নলীটোতকৈ 10 ঘণ্টা সময় কম লয়। প্রত্যেকটো নলীয়ে বেলেগে বেলেগে কিমান সময়ত চৌবাচ্চাটো পূৰ কৰিব পাৰিব উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ডাঙৰ ব্যাসৰ নলী দ্বাৰা চৌবাচ্চাত পানী পূৰ কৰিবলৈ সময় লাগে ঘণ্টা। সৰু ব্যাসৰ নলী দ্বাৰা পানীপূর্ণ কৰিবলৈ সময় লাগে (x + 10) ঘটা।
1 ঘণ্টা ডাঙৰ ব্যাসৰ নলী দ্বাৰা চৌবাচ্চাৰ অংশ আৰু সৰু ব্যাসৰ নলী দ্বৰা চৌবাচ্চাৰ অংশ পানীপূর্ণ হয়। 1/x+10 অংশ পানীপুৰ্ন হয়।
∴ ডাঙৰ আৰু সৰু ব্যাসৰ নলী পূর্ণ হয় চৌবাচ্চাৰ 1/x + x+10 অংশ … …. ….. (1)
কিন্তু দুটা নলী দ্বাৰা চৌবাচ্চাটো পূৰ্ণ হ’বলৈ সময় লাগে = 9 3/8 ঘণ্টা = 5 ঘন্টা
এতিয়া, এক ঘণ্টাত দুটা নলী একেলগে চৌবাচ্চাটো পূৰ কৰে অংশ = 8/75 অংশ ………(2)
∴ (1) আৰু (2) -ৰ পৰা–
⇒ 75(2x + 10) = 8(x² + 10x)
⇒ 150x + 750 = 8x² + 80x
⇒ 8x² + 80x – 150x – 750 = 0
⇒ 8x² – 70x – 750 = 0
⇒ 4x² – 35x – 375 = 0
ইয়াত, a = 4 b = – 35 c = – 375
∴ সময় ধণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x = 15
∴ ডাঙৰ ব্যাসৰ নলী দ্বাৰা চৌবাচ্চাটো পূৰ হ’বলৈ সময় লাগে 15 ঘণ্টা আৰু সৰু ব্যাসৰ নলী দ্বাৰা চৌবাচ্চাটো পূৰ হবলৈ সময় লাগে (15 + 10) ঘন্টা = 25 ঘন্টা।
10. মহীশূৰ আৰু বাংগালোৰৰ মাজত 132 কি.মি. পথ ভ্রমণ কৰিবলৈ এখন দ্রুতবেগী ৰে’লগাড়ী এখন যাত্রীবাহী ৰে’লগাড়ীতকৈ 1 ঘণ্টা সময় কম লয় (মাজৰ ষ্টেছনবোৰত সিহঁতে ৰোৱা সময়খিনি নধৰাকৈ)। যদি দ্রুতবেগী ৰে’লগাড়ীখনৰ গড় দ্রুতি যাত্রীবাহী ৰে’লগাড়ীখনতকৈ ঘণ্টাত 11 কি.মি. বেছি, ৰে’লগাড়ী দুখনৰ গড় দ্রুতি উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল,
যাত্রীবহী ট্রেইনখনৰ গড় দ্রুতি x = কি.মি./ঘন্টা।
আৰু এক্সপ্ৰেছ বা দ্রুতগামী ট্রেইনৰ গড় দ্রুতি = (x + 11) কি.মি./ঘন্টা।
মহীশূৰ আৰু বেংগালোৰৰ মাজৰ দূৰত্ব = 132/x কি.মি
∴ যাত্রীবাহী ট্রেইখন সময় লয় = 132/x + 11 ঘন্টা
আৰু এক্সপ্ৰেছ বা দ্রুতগামী ট্রেইনখন সময় লয়= 132/x + 11ঘন্টা
∴ প্রশ্ননুযায়ী
⇒ x² + 11x = 1452
⇒ x² + 11x – 1452 = 0
ইয়াত, a = 1 b = 11 , c = – 1452
∴ যিকোনো ট্ৰেইনৰ গতি ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x = -44 ধৰা নহয়।
∴ x = 33
∴ যাত্রীবহী ট্রেইনখনৰ গতি = 33 কি.মি./ঘন্টা।
আৰু অক্সপ্ৰেছ বা দ্রুতগামী ট্রেইনখনৰ গতি = (33 + 11) কি.মি./ঘন্টা। = 44 কি.মি./ঘন্টা।
11. দুটা বৰ্গৰ কালিৰ যোগফল 468 বর্গমিটাৰ। যদি সিহঁতৰ পৰিসীমাৰ পাৰ্থক্য 24 মিটাৰ, বৰ্গ দুটাৰ বাহুৰ পৰিমাণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ডাঙৰ বৰ্গটোৰ ক্ষেত্ৰতঃ
ধৰা হ’ল বৰ্গটোৰ এটা বাহুৰ দৈর্ঘ্য x মি.
∴ বৰ্গটোৰ কালি = x² মি.²
আৰু বৰ্গটোৰ পৰিসীমা = 4x মি.
সৰু বৰ্গটোৰ ক্ষেত্ৰতঃ
ধৰা হ’ল বৰ্গটোৰ এটা বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য y মি.
∴ বৰ্গটোৰ কালি = 4y মি.
আৰু বৰ্গটোৰ পৰিসীমা = y² মি.
∴ প্রথম চর্তমতে– x² + y² = 468 … … … ….(1)
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে,-
4x – 4y = 24
⇒ x – y = 6
⇒ x = 6 + y …………………… (2)
এতিয়া (1) আৰু (2) -ৰ পৰা পাওঁ –
(6 + y)² + y² = 468
⇒ 36 + y² + 12y + y² = 468
⇒ 2y² + 12y + 36 – 468 = 0
⇒ 2y² + 12y – 432 = 0
⇒ y² + 6y – 216 = 0
ইয়াত, a = 1 , b = 6 , c = – 216
∴ বৰ্গ এটাৰ বাহৰ দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে। অর্থাৎ y = -18 গ্রহণযোগ্য নহয়।
∴ y = 12
এতিয়া, (2) নং সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ –
x = 6+12 = 18
| অনুশীলনী 4.4 |
1. তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূলবোৰৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা। যদি বাস্তৱ মূল থাকে, তেন্তে সেইবোৰ উলিওৱা।
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
উত্তৰঃ 2x² – 3x + 5 = 0 [দিয়া আছে]
প্রদত্ত সমীকৰণটো, ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)
সমীকৰণটোৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ –
ইয়াত, a = 2, b = -3, c = 5
∴ D = b² – 4ac = (-3)² – 4 × 2 × 5
= 9 – 40= -31 < 0
∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্থব মূল নাথাকে।
(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
উত্তৰঃ 3x² – 4√3x + 4 = 0 [দিয়া আছে]
ইয়াত, a = 3, b = 4√3, c = 4
∴ D = b² – 4ac = (-4√3)² -4 × 3 × 4
= 48 – 48 = 0
∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূল দুটা সমান।
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
উত্তৰঃ 2x² – 6x + 3 = 0 [দিয়া আছে]
ইয়াত, a = 2 b = – 6 c = 3
∴ D = b² – 4ac = (6)² – 4 × 2 × 3 = 36 – 24 = 12 > 0
∴ মূল দুটা বাস্স্থৰ আৰু অসমান হ’ব।
(iv) 9x² – 6x + 1 = 0
উত্তৰঃ ইয়াত, a = 9 b = – 6 আৰু c = 1
b² – 4ac
= (- 6)² – 4.9 .1
= 36 – 36 = 0
∴ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে।
∴ 9x² – 6x + 1 = 0
⇒ (3x)² – 2.3 .1 + 1² = 0
⇒ (3x – 1)² = 0
⇒ 3x – 1 = 0
⇒ x = 1/3
(v) 3x² – 5x + 12 = 0
উত্তৰঃ ইয়াত, a = 3 b = – 5 আৰু c = 12
∴ b² – 4ac
= (- 5)² – 4.3 .12
= 25 – 144
= – 119 < 0
∴ ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাথাকে।।
(vi) x² + x + 1 = 0
উত্তৰঃ x² + x + 1 = 0 ইয়াত,
a = 1 b = 1 আৰু c = 1
∴ b² – 4ac
= 1² – 4.1 .1 =1-4
= – 3 < 0
∴ ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(vii) x² – √3x – 9 = 0
উত্তৰঃ ইয়াত, a = 1 , b = – 2√3 আৰু c = – 9
∴ b² – 4ac
= (- 2√3)² -4.1.(-9)
= 12 + 36
= 48 > 0
∴ ইয়াৰ দুটা স্পষ্ট ভিন্ন মূল আছে।
x² – √3x – 9 = 0
= √3 + 2 √3 আৰু √3 – 2√3
= 3√3 আৰু – √3
2. তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্ৰত ৰে মান উলিওৱা, যাতে সিহঁতৰ দুটাকৈ (সমান) বাস্তৱ মূল থাকে।
(i) 2x² + kx + 3 = 0
উত্তৰঃ 2x² + kx + 3 = 0 [দিয়া আছে]
ইয়াত, a = 2, b = k, c = 3
∴ মূলদ্বয় সমান।
∴ b² – 4ac = 0 হ’ব।
∴ (k)² – 4 × 2 × 3 = 0
⇒ k² – 24 = 0 k = ±√24 = ±2√6
(ii) kx(x – 2) + 6 = 0
উত্তৰঃ kx(x – 2) + 6 = 0 [দিয়া আছে]
⇒ kx² – 2kx + 6 = 0
ইয়াত, a = k, b = -2k, c = 6
∴ b2 – 4ac = 0
⇒ (-2k)² – 4 × k × 6 = 0
⇒ 4k² – 24k = 0
⇒ 4k(k – 6) = 0
⇒ k = 0 অথবা, k- 6 = 0
⇒ k = 0 অথবা, k = 6
∴ k = 0,6.
(iii) x² – (k + 4)x + 2k + 5 = 0
উত্তৰঃ ∴ b² – 4ac = 0
⇒ (k + 4)² – 4.1. (2k + 5) = 0
⇒ k² + 16 + 8k – 8k – 20 = 0
⇒ k² – 4 = 0
⇒ k² = 4
⇒ k = 2 নাইবা k = – 2
∴ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে।
(iv) 2x² + 8x – k³ = 0
উত্তৰঃ b² – 4ac = 0
⇒ 8² – 4.2. (- k)² = 0
⇒ 64 – 8k³ = 0
⇒ 8k³ = 64
⇒ k³ = 8
⇒ k = 2
∴ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে।
(v) (k – 3)x² + 6x + 9 = 0
উত্তৰঃ ∵ ইয়াৰ দুটা বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 – 4ac = 0
⇒ {2(k – 3)}2 – 4.(k – 3).2 = 0
⇒ 4(k2 + 9 – 6k) – 8k + 24 = 0
⇒ k2 + 9 – 6k – 2k + 6 = 0
⇒ k2 – 8k + 15 = 0
⇒ k2 – 5k – 3k + 15 = 0
⇒ k(k – 5) – 3(k – 5) = 0
⇒ (k – 5)(k – 3) = 0
⇒ k – 5 = 0 নাইবা k – 3 = 0
⇒ k = 5 নাইবা k = 3
(vi) (k – 12)x² + 2(k – 12)x + 2 = 0
উত্তৰঃ ∵ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 – 4ac = 0
⇒ {2(k – 12)}2 – 4.(k – 12).2 = 0
⇒ 4(k2 + 144 – 24k) – 8k + 96 = 0
⇒ k2 + 144 – 24k – 2k + 24 = 0
⇒ k2 – 26k + 168 = 0
⇒ k2 – 12k – 14k + 168 = 0
⇒ k(k – 12) – 14(k – 12) = 0
⇒ (k – 12)(k – 14) = 0
⇒ K – 12 = 0 নাইবা k – 14 = 0
⇒ k = 12 নাইবা k = 14
3. প্রস্থতকৈ দীঘ দুগুণ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ চানেকি প্ৰস্তুত কৰাটো সম্ভৱ হ’বনে যাতে ইয়াৰ কালি 800 বর্গমিটাৰ হয়? যদি সম্ভৱ, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ প্ৰস্থ = x মি.
আৰু আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ দৈর্ঘ্য= 2x মি.
∴ কালি = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= (x × 2x) মি.2
= 2x² মি.²
∴ প্রশ্নমতে, 2x² = 800
⇒ x² = 400
⇒ x = ±√400 = ±20
∴ বাহুৰ জোখ ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x = -20 বর্জিত
∴ x = 20
∴ প্রস্থ 20 মি. আৰু দীঘ = (2 × 20) মি. = 40 মি.
4. তলৰ পৰিস্থিতিটো সম্ভৱ হয়নে? যদি হয়, তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স নির্ণয় কৰা। দুজন বন্ধুৰ বয়সৰ সমষ্টি 20 বছৰ। চাৰি বছৰ আগতে তেওঁলোকৰ বয়সৰ পূৰণফল (বছৰত) আছিল 48।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল প্ৰথম বন্ধুৰ বয়স = x বছৰ।
আৰু দ্বিতীয় বন্ধুৰ বয়স = (20 – x) বছৰ ।
4 বছৰ আগতে,
প্রথম বন্ধুৰ বয়স আছিল = x – 4 বছৰ।
আৰু দ্বিতীয় বন্ধুৰ বয়স আছিল = (20 – x – 4) বছৰ।
= (16 – x) বছৰ।
∴ তেওঁলোকৰ বয়সৰ পূৰণফল = (x – 4) (16 – x)
= 16x – x² – 64 + 4x
= -x² + 20x – 64
প্রশ্ননুযায়ী, -x² + 20x – 64 = 48
⇒ x² + 20x – 64 – 48 = 0
⇒-x² + 20x – 112 = 0
⇒x² + 20x – 112 = 0
এই সমীকৰণক ax² + bx + c = 0(a ≠ 0) সমীকৰণৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ –
∴ a = 1, b = -20, c = 112
∴ D = b² – 4ac = (-20)² – 4 × 1 × 112
= 400 – 448 – 48 > 0
∴ প্রদত্ত সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্থব সমাধান নাই। গতিকে প্রদত্ত সমস্যাটো সমাধান কৰা সম্ভৱ নহয়।
5. পৰিসীমা 80 মিটাৰ আৰু কালি 400 বর্গ মিটাৰ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ উদ্যানৰ চানেকি কৰাটো সম্ভৱনে? যদি হয়, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, আয়তাকাৰ উদ্যানৰ দীর্ঘ = x মি.
আৰু আয়তাকাৰ উদ্যানৰ প্ৰন্থ = y মি.
∴ পৰিসীমা = 2(x + y) মিটাৰ
আৰু ইয়াৰ কালি = xy বর্গ. মি.
∴ প্রথম চর্তমতে, 2(x + y) = 80
⇒ x + y = 40
⇒ y = 40-х………….. (1)
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, xy = 400
⇒x(40-x) = 400 [ (1) নং ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ 40x – x² – 400 = 0
⇒x² – 40x + 400 = 0
ইয়াত, a = 1, b = -40, c = 400
