SEBA Class 10 Mathematics Chapter 7 স্থানাংক জ্যামিতি Question Answer, SEBA Class 10 Maths Notes in Assamese Medium, SEBA Class 10 Maths Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 10 Mathematics Chapter 7 স্থানাংক জ্যামিতি Notes and select needs one.
SEBA Class 10 Mathematics Chapter 7 স্থানাংক জ্যামিতি
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 10 Mathematics Chapter 7 স্থানাংক জ্যামিতি Question Answer. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 10 Mathematics Chapter 7 স্থানাংক জ্যামিতি Solutions for All Subject, You can practice these here.
স্থানাংক জ্যামিতি
Chapter – 7
| অনুশীলনী – 7.1 |
1. তলৰ প্ৰতিযোৰ বিন্দুৰ মাজৰ দূৰত্ব নিৰ্ণয় কৰা।
(i) (2, 3), (4, 1)
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, P -ৰ স্থানাংক (2, 3) আৰু Q -ৰ স্থানাংক (4, 1)
(ii) (-5. 7), (1, 3)
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, P -ৰ স্থানাংক (-5, 7) আৰু Q -ৰ স্থানাংক (-1, 3)
(iii) (a, b), (-a, -b)
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, P -ৰ স্থানাংক (a, b) আৰু Q -ৰ স্থানাংক (-a, -b)
2. (0, 0) আৰু (36, 15) ৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিওৱা। তুমি এতিয়া ওপৰৰ 7.2 অনুচ্ছেদত আলোচনা কৰা A আৰু B নগৰ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব উলিয়াব পাৰিবানে?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল A -ৰ স্থানাংক (0, 0) আৰু B -ৰ স্থানাংক (36,15)।
7.2 অনুচ্ছেদ মতে
চিত্রত নিৰ্দ্দিষ্ট বিন্দু A (0, 0)
আৰু B (36, 15) ধৰা হ’ল:
∴ BC ⏊ x অক্ষ
এতিয়া, ACB সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ–
∴ A আৰু B নগৰ দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব = 39 একক। (উত্তৰ)
3. (1, 5), (2, 3) আৰু (-2, -11) বিন্দুকেইটা একৰেখীয় হয়নে নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল: A (1, 5), B(2, 3) আৰু C (-2, -11)
ইয়াত, লক্ষ্য কৰা যায় যে, যিকোনো দুটা দূৰত্বৰ যোগফল, তৃতীয় দূৰত্বৰ সমান নহয়। গতিকে প্রদত্ত বিন্দুত্রয় একৰেখীয় নহয়।
4. (5, -2), (6, 4) আৰু (7, -2) বিন্দুকেইটা এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ শীর্ষবিন্দু হয় নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল: A (5, -2), B(6, 4) আৰু C (7, -2)
∴ প্রদত্ত বিন্দুকেইটা এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ শীর্ষবিন্দু।
5. এটা শ্রেণী কোঠাত 4 জন বন্ধু চিত্র 7.8ত দিয়াৰ দৰে A, B, C আৰু D স্থানত বহিছে। চম্পা আৰু চামেলি শ্রেণী কোঠালৈ সোমাই গ’ল আৰু অলপ সময় নিৰীক্ষণ কৰাৰ পাছত চম্পাই চামেলিক সুধিলে, “ABCD এটা বর্গ বুলি তুমি নাভাবানে?” চামেলিয়ে বর্গ নহ’ব বুলি জনালে। দূৰত্বৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি তেওঁলোক দুজনীৰ কোন শুদ্ধ নিৰূপণ কৰা।
উত্তৰঃ
6. তলৰ বিন্দুবিলাকে যদি চতুর্ভুজ গঠন কৰে তেনেহ’লে সেই চতুর্ভুজৰ স্বৰূপ নিৰ্ণয় কৰা আৰু তোমাৰ উত্তৰৰ সপক্ষে কাৰণ দাঙি ধৰা।
(i) (-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল: A (-1, -2), B(1, 0) C(-1, 2) আৰু D (-3, 0)
(ii) (-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল: A (-3, 5), B(3, 1) C(0, 3) আৰু D(-1, -4)
∴ A, B আৰু C একৰেখীয় হোৱাৰ বাবে A, B, C আৰু D কোনো চতুর্ভুজ গঠন নকৰে।
(iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল: A (4, 5), B (7, 6), C (4, 3) আৰু D (1, 2)
∴ AB = CD আৰু BC = DA; AC ≠ BD অর্থাৎ বিপৰীত বাহুবোৰ সমান, কিন্তু কর্ণদ্বয় সমান নহয়।
7. (2, -5) আৰু (-2, 9) বিন্দু দুটাৰপৰা সমদূৰত্বত x অক্ষৰ ওপৰত থকা বিন্দুটো নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
8. yৰ সেই মান নির্ণয় কৰা যাৰ বাবে P(2, -3) আৰু Q(10, y) বিন্দু দুটাৰ মাজৰ দূৰত্ব 10 একক হয়।
উত্তৰঃ দিয়া আছে, P (2, -3) আৰু Q (10, y)
9. যদি Q(0, 1) বিন্দুটো P(5, -3) আৰু R(x, 6) ৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী তেন্তে অৰ মান উলিওৱা। তদুপৰি QR আৰু PR দূৰত্বকেইটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে, Q(0, 1) , P(5, -3) আৰু R(x, 6)
10. x আৰু yৰ মাজৰ সম্পৰ্ক উলিওৱা যাতে (x, y) বিন্দুটো (3, 6) আৰু (-3, 4) বিন্দু দুটাৰপৰা সমদূৰৱৰ্তী হয়।
উত্তৰঃ প্রদত্ত কিন্দুবোৰ: P(x, y) A (3, 6) আৰু B(-3, 4)
∴ প্রশ্নমতে, PA = PB
∴ নির্ণেয় সম্পর্কটো হ’ল: 3x + y – 5 = 0
| অনুশীলনী – 7.2 |
1. (-1, 7) আৰু (4, -3) ৰ সংযোগী ৰেখাখণ্ডক 2 : 3 অনুপাতত ভাগ কৰা বিন্দুটোৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (i) অন্তবিভক্ত: ধৰা হ’ল বিন্দুটোৰ স্থানাংক (x, y), আৰু A (-1, 7); B (4, -3), m: n = 2:3
∴ নির্ণেয় স্থানাংক (1, 3).
(ii) বহির্বিভক্ত:
∴ নির্ণেয় স্থানাংক (-11, 27).
2. (4,-1) আৰু (-2, -3) ৰ সংযোগী ৰেখাখণ্ডক সমত্রিখণ্ডিত কৰা বিন্দু কেইটাৰ স্থানাংক নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল P(x₁, y₁ আৰু Q(x₂, y₂) বিন্দু দুটা A(4 ,-1) আৰু B (-2, -3) বিন্দুদ্বয় সংযোগী ৰেখাখণ্ডক সমত্রখণ্ডিত কৰিছে। আর্থাৎ P বিন্দু AB -ক 1:2 আৰু Q বিন্দু AB -ক 2:1 অনুপাতত বিভক্ত কৰে।
∴ P-ৰ স্থানাংক হ’ল: (2, -5/3)
∴ নির্ণেয় বিন্দু দুটাৰ স্থানাংক (2, -(-5/3)) আৰু (0,-7/3)
3. তোমালোকৰ স্কুলৰ আয়তাকাৰ খেল পথাৰ ABCD ত খেল দিৱস উপলক্ষে খেল-ধেমালি অনুষ্ঠিত কৰিবলৈ চক্ পাউদাৰৰেৰে 1 মিটাৰৰ ব্যৱধানত কিছুমান লাইন টনা হ’ল। 100 টা ফুলৰ টাব এটাৰ পৰা আনটোৰ ব্যৱধান 1 মিটাৰকৈ চিত্ৰ 7.12ত দেখুওৱাৰ দৰে ADৰ দিশত ৰখা হ’ল। নীহাৰিকাই দ্বিতীয় লাইন ডালেৰে ADৰ 1/4 অংশ দৌৰি গৈ তাতে এখন সেউজীয়া পতাকা পুতি থলে। পদ্মই অষ্টম লাইন ডালেৰে ADৰ 1/4 অংশ দৌৰি গৈ তাতে এখন ৰঙা পতাকা পুতি থ’লে। এই পতাকা দুখনৰ মাজৰ দূৰত্ব কিমান? যদি ৰশ্মিয়ে আগৰ পতাকা দুখন সংযোগী ৰেখাখণ্ডৰ ঠিক মধ্যস্থানত এখন নীলা পতাকা পুতিব লগা হয়, তেন্তে তেওঁ কোন স্থানত এই পতাকাখন পুতিব?
উত্তৰঃ
4. (-1, 6) বিন্দুটোৱে (-3, 10) আৰু (6, -8) বিন্দু সংযোগী ৰেখাক কি অনুপাতত ভাগ কৰিব?
উত্তৰঃ
5. A(1, -5) আৰু B(-4, 5) বিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ডক x-অক্ষই কি অনুপাতত ছেদ কৰিব নিৰ্ণয় কৰা। লগতে ছেদ বিন্দুটোৰ স্থানাংকও উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল: A(1, -5) আৰু B(-4, 5) বিন্দু সংযোদী ৰেখাখণ্ডক x -অক্ষই P(x, 0) কটা বিন্দুটোৱে m: n অনুপাতত ভাগ কৰে।
∴ আমি জানো যে,
6. যদি (1, 2), (4, y), (x, 6) আৰু (3, 5) বিন্দুকেইটা এইটো ক্রমতে এটা সামান্তৰিকৰ শীর্ষবিন্দু হয় তেন্তে x আৰু y উলিওৱা।
উত্তৰঃ
7. এটা বৃত্তৰ এডাল ব্যাস ABৰ A বিন্দুটোৰ স্থানাংক নির্ণয় কৰা যেতিয়া বৃত্তটোৰ কেন্দ্র (2, -3) আৰু B বিন্দুৰ স্থানাংক (1, 4)।
উত্তৰঃ
৪. যদি A আৰু B বিন্দুৰ স্থানাংক ক্রমে (-2, -2) আৰু (2, -4), তেন্তে P বিন্দুৰ স্থানাংক নিৰ্ণয় কৰা যাতে AP = 3 AB আৰু P P বিন্দুটো AB ৰেখাখণ্ডৰ ওপৰত থাকে।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, নির্ণেয় বিন্দুৰ (P) স্থানাংক (x, y) আৰু AP = 3/7 দিয়া আছে।
কিন্তু, PB = AB – AP
∴ A আৰু B বিন্দুদ্বয়ৰ সংযোগকাৰী ৰেখাক, P কিন্দু 3:4 অনুপাতত বিভক্ত কৰে।
9. A(-2, 2) আৰু B(2, 8) বিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ডক চাৰিটা সমান ভাগত ভাগ কৰা বিন্দু কেইটাৰ স্থানাংক উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, C, D আৰু E, A (-2, 2) আৰু B (2, 8) বিন্দুৰ সংযোগী ৰেখাখণ্ডক চাৰিটা সমান ভাগত ভাগ কৰিছে। ইয়াত, A আৰু B বিন্দুদ্বয়ৰ সংযোগী ৰেখাৰ মধ্যবিন্দু D, C হ’ল A আৰু D বিন্দুদ্বয়ৰ সংযোগী ৰেখাৰ মধ্যবিন্দু; E হ’ল D আৰু B বিন্দু দুটাৰ সংযোগী ৰেখাৰ মধ্যবিন্দু।
∴ AC = CD = DE = ED
10. এটা ৰম্বাচৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা যদিহে তাৰ শীর্ষ বিন্দু বিলাকৰ স্থানাংক ক্রম অনুসৰি (3, 0), (4, 5), (-1, 4) আৰু (-2, -1)। [ইংগিত: ৰম্বাচৰ কালি = 1/2 (কর্ণ দুডালৰ পূৰণফল)]
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল, ABCD ৰম্বাচৰ চাৰিটা শীর্ষবিন্দু হ’ল: A (3, 0), B (4, 5), C(-1, 4) আৰু D(-2, -)
| অনুশীলনী – 7.3 |
1. ত্রিভুজৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা যাৰ শীর্ষবিন্দুবিলাক হ’ল–
(i) (2, 3), (-1, 0), (2, -4)
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, A(2, 3), B(-1, 0) C(2, -4)
চৰ্তনুসাৰে,
∆ABC -ৰ কালি
= 1/2 [(x₁y₂ – x₂y₁) + (x₂y₃ – x₃y₂) + (x₃y₁ – x₁y₃)
= 1/2 [2 × 0 – 3 × (-1) + (-1)(-4) – 2 × 0 + 2 × 3 – 2(-4)]
= 1/2 [0 + 3 + 4 – 0 + 6 + 8]
= 1/2 × 21 = 21/2 = 10.5 বৰ্গএকক।
(ii) (-5, -1), (3, -5), (5, 2)
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, A(-5, -1), В(3, -5), C(5, 2)
চৰ্তনুসাৰে,
∆ABC -ৰ কালি
= 1/2 [(x₁ -5,y₁ = -1,x₂ = 3,y₂ = -5x₃ = 5,y₂ = 2)]
= 1/2 [(-5)(-5) – 3(-1) + 3 × 2 – 5(-5) + 5(-1) – 2(-5)]
= 1/2 [25 + 3 + 6 + 25 – 5 + 10]
= 1/2 [69 – 5] = 1/2 × 64 = 32 বৰ্গএকক।
2. তলৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্ৰত ‘k’ ৰ মান উলিওৱা যেতিয়া সেই বিন্দুবিলাক একৰেখীয়–
(i) (7, -2), (5, 1), (3, k)
উত্তৰঃ ইয়াত, x₁ = 7; x₂ = 5; x₂ = 3
y₁ = -7; y₂ = 1; y₂ = k
বিন্দুত্ৰয় একৰেখীয় হ’লে ত্রিভুজৰ কালি = 0 হ’ব।
∴ ∆ = 1/2[7 × 1 – 5(-2) + 5k – 3 × 1 + 3(-2) – 7k]
⇒ ∆ = 1/2[7 + 10 + 5k – 3 – 67k]
⇒ ∆ = 1/2[8 – 2k]
∴ 1/2[8 – 2k] = 0
⇒ 8 – 2k = 0
⇒ -2k = -8
⇒ k = 8/2 = 4
∴ k = 4
(ii) (8, 1), (k, -4), (2, -5)
উত্তৰঃ ইয়াত, x₁ = 8; x₂ = k; x₂ = 2
y₁ = 1; y₂ = -4; y₂ = -5
আমি জানোঁ যে বিন্দুত্ৰয় একৰেখীয় হ’লে ত্রিভুজৰ কালি শূণ্য হয়।
∴ ∆ = [8(-4) – k + k(-5) – 2(-4) + 2 × 1 – 8(-5)]
= 1/2[-32 – k – 5k + 8 + 2 + 40]
= 1/2[50 – 32 – 6k]
= 1/2[18 – 6k]
∴ 1/2[18 – 6k] = 0
⇒ k = 8/2 = 418 – 6k = 0
⇒ -6k = -18 ⇒ k = 18/6 = 3
∴ k = 3
3. (0, -1), (2, 1) আৰু (0, 3) শীর্ষবিন্দু কেইটাৰে গঠিত ত্রিভুজটোৰ বাহুবিলাকৰ মধ্যবিন্দুকেইটা সংযোগ কৰি গঠন কৰা ত্রিভুজটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা। এই ত্রিভুজটোৰ কালি আৰু প্ৰদত্ত ত্রিভুজটোৰ কালিৰ অনুপাত নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল, ABC ত্রিভুজৰ শীর্ষবিন্দুবোৰ: A (0, -1), B(2, 1) আৰু C(0, 3)। D, E, F বিন্দুত্রয় ক্রমে AB, BC আৰু CA বাহু তিনিটাৰ মধ্যবিন্দু। মধ্যবিন্দুৰ স্থানাংক নিৰ্ণয়ৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ–
∴ ∆DEF-ৰ শীর্ষবিন্দুবোৰ হ’ল: D (1,0), E (1, 2) আৰু F (0, 1) ∆DEF -ৰ কালি
= 1/2 [1 × 2 – 1 × 0 + 1 – 0 × 2 + 0 – 1]
= 1/2 [2 – 0 + 1 – 0 + 0 -1]
= 1/2 × 2 = 1 বৰ্গএকক।
আকৌ, ∆ABC -ৰ কালি
= 1/2 [0 × 1 – 2(-1) + 2 × 3 – 0 × 1 + 0(-1) – 0 × 3]
⇒ ∆ABC -ৰ কালি
= 1/2 [0 + 2 + 6 – 0 + 0 + 0]
= 1/2 × 8 = 4 বর্গএকক।
4. সেই চতুর্ভুজটোৰ কালি নির্ণয় কৰা যাৰ শীর্ষবিন্দুবিলাক ক্রম অনুসৰি (-4, -2), (-3, -5), (3, -2) আৰু (2, 3)।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল, ABCD চতুর্ভুজৰৰ শীর্ষবিন্দুবোৰৰ স্থানাংক: A (-4, -2), B(-3, -5), C (3, -2) আকD (2, 3) AC কর্ণ অংকন কৰা হ’ল। ফলত দুটা ত্রিভুজ ABC আৰু CDA পোৱা গ’ল।
∆ABC -ৰ কালি
= 1/2 [(-4)(-5) – (-3)(-2) + (-3)(-2) – 3(-5) + (-2) – (-4)(-2)]
= 1/2 [20 – 6 + 6 + 15 – 6 – 8]
= 1/2 [35 – 14] = বর্গ একক।
আকৌ, ∆CDA -ৰ কালি
= 1/2 [9 + 4 – 4 + 12 + 8 + 6]
= 35/2 বর্গ একক।
∴ ∆CDA -ৰ চতুর্ভুজটোৰ কালি
= ∆ΑΒΟ + ∆CDA
= 21/2 + 35/2 = 56/2 = 28 বর্গ একক।
5. তোমালোকে নৱম শ্রেণীত (নৱম অধ্যায়, উদাহৰণ 3) পঢ়ি আহিছা যে ত্রিভুজৰ মধ্যমা এডালে ত্রিভুজটোক দুটা ত্রিভুজত ভাগ কবে যাৰ কালি সমান। ∆ABC ৰ ক্ষেত্ৰত ইয়াৰ সত্যাপন কৰা যদি ইয়াৰ শীর্ষবিন্দুকেইটা A(4, -6), B(3, -2) আৰু C(5, 2)।
উত্তৰঃ ABC ত্রিভুজৰ শীর্ষবিন্দুবোৰ হ’ল: A (4, -6), B(3, 2) আৰু C (5, 2)। ধৰা হ’ল CD এটা মধ্যমা । অর্থাৎD, AB বাহুৰ মধ্যবিন্দু হ’ব। আমি জাঁনো যে এটা মধ্যমা, এটা ত্রিভুজক দুটা সমান কালি বিশিষ্ট ত্রিভুজত বিভক্ত কৰে।
∴ ∆CDA -ৰ কালি
= 1/2{4(-4) – 3.5(-6) + 3.5 × 2 – 5(-4) + 5(-6) – 4 × 2}
= 1/2{-16 + 21 + 7 + 20 – 30 – 8}
= 1/2{48 – 54} = 1/2 × (-6) = -3 = 3 বর্গএকক।
[-বজ্জিত। কাৰণ ত্রিভুজৰ কালি ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে]
আকৌ, ∆CDA -ৰ কালি
= 1/2{5(-4) – 3.5 × 2 + 3.5(-2) – 3(-4) + 3 × 2 – 5(-2)}
= 1/2{-20 – 7 – 7 + 12 + 6 + 10}
= 1/2{28 – 34}
= 1/2(-6) = -3 = 3 বর্গ একক।
[-বৰ্জ্জিত। কাৰণ ত্রিভুজৰ কালি ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে]
∴ ∆ADC -ৰ কালি = ∆CDB -ৰ কালি = 3 বর্গ একক।
∴ এটা মধ্যমা, এটা ত্রিভুজক দুটা সমান কালি বিশিষ্ট ত্রিভুজত বিভক্ত কৰে।
| অনুশীলনী – 7.4 (ঐচ্ছিক) |
1. 2x + y – 40 ৰেখাই A(2, 2) আৰু B(3, 7) বিন্দু সংযোগীৰেখাক ভাগ কৰা অনুপাতটো নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
2x + y – 4 = 0 ৰেখাই A(2, -2) আক B (3, 7) বিন্দু সংযোগী ৰেখাক C (x, y)
∴ C বিন্দুৰ স্থানাংক
⇒ 9k – 20
⇒ 9k = 2
⇒ k = 2/9
∴ নির্ণেয় অনুপাত = k:1 = 2/9:1 = 2:9
2. x আৰু yৰ মাজৰ এটা সম্পর্ক উলিওৱা, যদি (x, y), (1, 2) আৰু (7, 0) বিন্দুকেইটা একৰেখীয়।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, বিন্দুত্রয় হ’ল: A (x, y) B (1, 2) আৰু C (7, 0) প্রদত্ত বিন্দুত্রয়। অর্থাৎ ত্রিভুজৰ কালি শূণ্য হ’ব।
∴ ∆ABC -ৰ কালি
⇒ 1/2[2x- y + 0 – 14 + 7y – 0] = 0
⇒ 1/2[2x + 6y – 14] = 0
⇒ x + 3y – 7 = 0, ই হ’ল নির্ণেয় x আৰু y -ৰ মাজত থকা সম্পর্ক।
3. (6, -6), (3, -7) আৰু (3, 3) বিন্দুৰে যোৱা বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
0(x, y) হ’ল বৃত্তৰ নিৰ্ণেয় কেন্দ্র আৰু এই বৃত্ত P(6, -6), Q (3, 7) আৰু R (3, 3) বিন্দুত্রয় গামী।
∴ একে বৃত্তৰ ব্যাসার্ধবোৰ সমান।
∴ OP = OQ = OR
⇒ OP² = OQ² = OR²
এতিয়া, (OP)² = (OQ)²
⇒ (x – 6)² + (y + 6)² = (x – 3)² + (y + 7)²
⇒ x² + 36 – 12x + y² + 36 + 12y = x² + 9 – 6x + y² + 49 + 14y
⇒ -6x – 2y + 14 = 0
⇒ 3x + y – 7 = 0 ………………. (1)
আকৌ, (OQ)² = (OR)²
⇒ (x – 3)² + (y + 7)² = (x – 3)² + (y – 3)²
⇒ (y + 7)² = (y – 3)²
⇒ y² + 49 + 14y = y² + 9 – 6y
⇒ 20y = -40
⇒ y = -40/20 = -2
এতিয়া, y = -2, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ:
3x + y – 7 = 0
⇒ 3x – 2 – 7 = 0
⇒ 3x = 9
⇒ x = 3
∴ নির্ণেয় বৃত্তটোৰ কেন্দ্র = (3, -2)
4. এটা বৰ্গৰ দুটা বিপৰীত শীর্ষ বিন্দু হ’ল (-1, 2) আৰু (3, 2)। বৰ্গৰ আন দুটা শীর্ষবিন্দু নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ABCD বৰ্গৰ দুটা বিপৰীত শীর্ষবিন্দুৰ স্থানাংক (-1, 2) আৰু (3, 2)। ধৰা হ’ল C শীর্ষ বিন্দু স্থানাংক (x, y)।
∴ বর্গ প্রতিটো বাহু সমান।
∴ AC = BC
⇒ (AC)² = (BC)²
⇒ (x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3)² + (y – 2)²
⇒ (x + 1)² = (x – 3)²
⇒ x² + 2x + 1 = x² – 6x + 9
⇒ 8x = 8
⇒ x = 8/8 = 1 …………… (1)
এতিয়া, ACB সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ:
AC² + BC² = AB²
⇒ (x + 1)² + (y – 2)² + (x – 3)² + (y – 2)² = (3 + 1)² + (2 – 2)²
⇒ x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4 + x² + 6x + 9 + y² – 4y + 4 = 16
⇒ 2x² + 2y² – 4x – 8y + 2 = 0
⇒ x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 ……………. (ii)
এতিয়া, x = 1, (ii) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ:
(1)² + y² – 2 × 1 – 4y + 1 = 0
⇒ y² – 4y = 0
⇒ y(y – 4) = 0
∴ y = 0 ,4
∴ নির্ণেয় শীর্ষবিন্দু দিটাৰ স্থানাংক (1, 0) আৰু (4, 0)।
5. কৃষ্ণনগৰৰ এখন মাধ্যমিক বিদ্যালয়ৰ দশম শ্রেণীৰ শিক্ষার্থীসকলক বাগিচা পাতিবৰ বাবে এটুকুৰা আয়তাকাৰ মাটি আবণ্টন দিয়া হ’ল। মাটি টুকুৰাৰ সীমাত 1 মিটাৰৰ আঁতৰে আঁতৰে কৃষ্ণচূড়াৰ পুলি ৰোপণ কৰা হ’ল। চিত্র 7.14 ত দিয়াৰ দৰে মাটি টুকুৰাত ত্রিভুজাকাৰৰ অলপমান ঘাঁহনি আছে। শিক্ষার্থীবিলাকে মাটি টুকুৰাৰ অৱশিষ্ট অংশত ফুলৰ গুটি সিঁচিব লাগে।
(i) A বিন্দুক মূলবিন্দু ধৰি ত্রিভুজটোৰ শীর্ষবিন্দু বিলাকৰ স্থানাংক উলিওৱা।
উত্তৰঃ Aক মূল বিন্দু আৰু AD আৰু ABক অক্ষ হিচাপে লোৱা হ’ল। P (4,6), Q (3, 2) আৰু R (6,5), ∆PQR ৰ শীৰ্ষ বিন্দু।
(ii) যদি C ক মূলবিন্দু বুলি ধৰা হয় তেনেহ’লে ∆PQR ৰ শীর্ষবিন্দুবিলাকৰ স্থানাংক কি হ’ব? এই পৰিস্থিতি কেইটাত ত্রিভুজ দুটাৰ কালি উলিওৱা। ইয়াৰ পৰা তোমালোকে কি লক্ষ্য কৰিলা?
উত্তৰঃ Cক মূল বিন্দু হিচাপে লৈ CB আৰু CDক অক্ষ হিচাপে ল’লে ∆PQR ৰ শীর্ষ বিন্দুকেইটা হ’ব P (12, 2), Q (13,6) আৰু R (10, 3)
এতিয়া, ar (∆PQR) [যেতিয়া P (4, 6), Q (3, 2) আৰু R (6, 5) শীর্ষ বিন্দু]
= 1/2[4(2 – 5) + 3(5 – 6) + 6(6 – 2)] = [-12 – 3 + 24]
= 1/2 বর্গ একক
ar (∆PQR) [যেতিয়া P (12, 2), Q (13, 6) আৰু R (10, 3) শীর্ষ বিন্দু]
= [12(6 – 3) + 13(3 – 2) + 10(2 – 6)]
= 1/2[36 + 13 – 40] = 9/2 বর্গ একক
গতিকে দুয়োটা ক্ষেত্রত ∆PQR ৰ কালি সমান।
6. ∆ABC ৰ শীর্ষবিন্দু কেইটা A(4, 6), B(1, 5) আৰু C (7, 2)। এডাল ৰেখা এনেভাৱে টনা হ’ল যে ই AB আৰু AC ক ক্রমে D আৰু E বিন্দুত ছেদ কৰে আৰু তেতিয়া AD/AB = AE/AC = 1/4 হয়। ∆ADE ৰ কালি নির্ণয় কৰা আৰু এই মান ∆ABC ৰ কালিৰ লগত তুলনা কৰা। (উপপাদ্য 6.2 আৰু 6.6 মনত পেলোৱা)।
উত্তৰঃ A(4, 6), B(1, 5) আৰু C (7, 2) ক্রমে ∆ABC ৰ শীর্ষবিন্দু ত্রয়। এটা ৰেখাখণ্ড এনেদৰে অংকন কৰা হ’ল, যাতে AB আৰু AC -ক ক্রমে D আৰু E বিন্দুত ছেদ কৰে আৰু AD/AB = AE/AC = 1/4
∴ D আৰু E, AB আৰু AC ক 1:3 অনুপাতত বিভক্ত কৰে।
∴ D- বিন্দুৰ স্থানাংক:
এতিয়া, E- বিন্দুৰ স্থানাংক:
7. ধৰাহ’ল, A(4, 2), B(6, 5) আৰু C (1, 4) বিন্দুকেইটা ∆ABC ৰ শীর্ষবিন্দু।
(i) A ৰ পৰা টনা মধ্যমাই BC ক D বিন্দুত ছেদ কৰে। D বিন্দুৰ স্থানাংক নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ∆ABCৰ শীর্ষ বিন্দুকেইটা A (4, 2), B (6, 5) আৰু C (1.4).
যিহেতু AD মধ্যমা
(ii) AD ৰ ওপৰত P বিন্দুটো এনেভাৱে আছে যে AP : PD = 2 : 1; Pৰ স্থানাংক নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ যিহেতু AP : PD = 2 :1 অর্থাৎ Pয়ে ADক 2 :1 অনুপাতত ভাগ কৰে
∴ Pৰ স্থানাংক
(iii) Q আৰু R বিন্দু দুটা ক্রমে BE আৰু CF মধ্যমাৰ ওপৰত আছে যাতে BQ : QE = 2 :1 আৰু CR : RF = 2 : 1; Q আৰু Rৰ স্থানাংক উলিওৱা।
উত্তৰঃ BQ : QE = 2 :1 [Qয়ে BEক 2 : 1 অনুপাতত ভাগ কৰে]
∴ Qৰ স্থানাংক
Fৰ স্থানাংক
Rৰ স্থানাংক
(iv) ইয়াৰপৰা তোমালোকে কি লক্ষ্য কৰিলা?
[টোকা: ত্রিভুজৰ মধ্যমা তিনিডালৰ উমৈহতীয়া বিন্দুটোক ভাৰকেন্দ্র (centroid) বুলি কোৱা হয় আৰু ই মধ্যমা এডালক 2:1 অনুপাতত ভাগ কৰে।)
উত্তৰঃ আমি পালো যে P, Q আৰু R একেই বিন্দু।
(v) যদি A(x₁, y₁), B(x₂, 1₂) আৰু C(X₂, 3₁) বিন্দুকেইটা ∆ABC ৰ শীর্ষবিন্দু, তেনেহ’লে ত্রিভুজটোৰ ভাৰকেন্দ্ৰৰ স্থানাংক উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ইয়াত আমি পাওঁ A(x₁, y₁), B(x₂, 1₂), C(X₂, 3₁) বিন্দুকেইটা ∆ABC ৰ শীর্ষ বিন্দু। AD, BE আৰু CF মধ্যমা।
∴ D, E আৰু F ক্রমে BC, CA আৰু ABৰ মধ্যবিন্দু।
আমি জানো যে ত্রিভুজৰ ভৰকেন্দ্ৰই মধ্যমাক 2 :1 অনুপাতত ভাগ কৰে।
AD মধ্যমাৰ D বিন্দুৰ স্থানাংক
ধৰা হ’ল G ভৰকেন্দ্ৰ
∴ ভৰকেন্দ্ৰৰ স্থানাংক
সেইদৰে আন মধ্যমাকেইডালৰো ভৰকেন্দ্ৰ ৰ স্থানাংক x₁ + x₃ + x₃/3, y₁ + y₂ + y₃/3
অর্থাৎ ভৰকেন্দ্ৰৰ স্থানাংক x₁ + x₂ + x₃/3, y₁ + y₂ + y₃/3
8. ABCD আয়তটো A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) আৰু D(5, 1) বিন্দুকেইটাৰে গঠিত। P, Q, R আৰু S বিন্দু কেইটা AB, BC, CD আৰু DA ৰ মধ্যবিন্দু। PQRS চতুর্ভুজটো বর্গ নে? নে আয়ত? নে এটা ৰম্বাচ? তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তিযুক্ততা আগবঢ়োৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল আয়তক্ষেত্ৰৰ শীর্ষবিন্দুবোৰ: A (-1, -1) B(-1, 4), C(5, 4) আৰু D (5, -1)
∴ P, AB বিন্দুৰ মধ্যবিন্দু।
∴ P-ৰ স্থানাংক (-1 – 1/2, -1 + 4/2) = (-1, 3/2)
∴ Q, BC বাহুৰ মধ্যবিন্দু।
∴ Q-ৰ স্থানাংক (-1 + 5/2, 4 + 4/2) = (2, 4)
∴ R, CD বাহুৰ মধ্যবিন্দু।
∴ R-ৰ স্থানাংক (5 + 5/2, 4 – 4/2) = (2, 3/2)
∴ S, AD বাহুৰ মধ্যবিন্দু।
∴ S-ৰ স্থানাংক (5 – 1/2, 1 – 1/2) = (2, -1)
∴ ওপৰৰ আলোচনাৰ পৰা লক্ষ্য কৰা যায় যে, PQ = RS আৰু QR = SP, PR ≠ QR অর্থাৎ, চতুর্ভুজটোৰ বিপৰীত বাহুবোৰ সমান কিন্তু কৰ্ণ দুটা সমান নহয়।
∴ PQRS চতুর্ভুজটো এটা ৰম্বাচ।
Hi! my Name is Parimal Roy. I have completed my Bachelor’s degree in Philosophy (B.A.) from Silapathar General College. Currently, I am working as an HR Manager at Dev Library. It is a website that provides study materials for students from Class 3 to 12, including SCERT and NCERT notes. It also offers resources for BA, B.Com, B.Sc, and Computer Science, along with postgraduate notes. Besides study materials, the website has novels, eBooks, health and finance articles, biographies, quotes, and more.
