NCERT Class 6 Mathematics Chapter 8 रचनाओं के साथ खेलना

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NCERT Class 6 Mathematics Chapter 8 रचनाओं के साथ खेलना

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रचनाओं के साथ खेलना

Chapter: 8

TEXTUAL SOLUTIONS

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 191)

1. यह अर्ध-वृत बनाने के लिए परकार में कितनी लंबाई की त्रिज्या रखनी होगी? AX की लंबाई क्या  होनी चाहिए?

उत्तर: त्रिज्या = 2 सेमी, AX = 4 सेमी।

2. भिन्न लंबाई का एक केंद्रीय रेखा (खंड) लीजिए तथा इस पर लहर बनाने का प्रयास कीजिए।

उत्तर: विद्यार्थी स्वयं करें।

3. उन आकृतियों को पुनः बनाएँ जहाँ लहरें अर्ध-वृत से छोटी हैं (जैसा कि पिछले पृष्ठ पर दी ‘एक व्यक्ति’ के गले की आकृति में दिखाई देता है।) यहाँ चुनौती यह है कि दोनों लहरें समान हों। यह कठिन हो सकता है।

उत्तर: विद्यार्थी स्वयं करें।

पृष्ठ 192

3. आँखें 

आप परकार की सहायता से ये आँखें कैसे बनाएँगे?

संकेत के लिए, इस अध्याय के अंत में दिए गए हैं।

उत्तर: नोट- संकेत के लिए, इस अध्याय के अंत में दिए गए पृष्ठ 215 (पाठ्यपुस्तक में) को आरेख सहित पढ़िए।

जहाँ तक बिंदुओं A और B को रखने का प्रश्न है, इन बिंदुओं को आँख को बनाने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित लेना चाहिए तथा साथ ही ये दोनों बिंदु इस रेखाखंड से समदूरस्थ भी होने चाहिए। स्पष्टतः ये दोनों बिंदु इस रेखाखंड के विपरीत ओर स्थित होंगे जैसा कि आकृति में पहले ही प्रदर्शित किया गया है।

पृष्ठ 193

इनमें से कौन-सा नाम चित्र में दिखाए गए वर्ग के लिए मान्य नहीं है?

(i) PQSR.

(ii) SPQR.

(iii) RSFQ.

(iv) QRSP.

उत्तर: (i) PQSR.

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 194)

1. डॉट पेपर पर एक आयत और चार वर्गों का प्रारूप खींचिए (जैसा आकृति 8.3 में दिखाया गया है) आकृति को पुनः इस प्रकार बनाने के लिए कि चारों वर्ग सममित रूप से आयत के चारों ओर रखे जाएँ, आप क्या करेंगे? अपने सहपाठियों के साथ चर्चा कीजिए।

उत्तर: चर्चा: सर्वप्रथम, नोटबुक के एक पृष्ठ के बीचों-बीच एक आयत खींचा गया है तथा फिर इस आयत के दोनों सम्मुख कोनों (शीर्षों) को जोड़ा गया है, जिससे दो रेखाएँ बनती हैं, जिनमें आयत के दोनों विकर्ण सम्मिलित हैं।

इसके बाद, परकार की सहायता से इन दोनों रेखाओं पर चार बिंदु अंकित किए जाते हैं, जो इन रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु से समदूरस्थ इस प्रकार होते हैं कि बिंदु P, Q, R और S इस आयत के बर्हिभाग (बाहर) में स्थित हों (आकृति देखिए)।

इसके बाद इन चारों बिंदुओं में से प्रत्येक को एक कोना लेते हुए, एक वर्ग इस प्रकार खींचा जाता है कि प्रत्येक बिंदु वाले वर्ग की भुजा की लंबाई समान रहे।

नोट: यह चर्चा व्यक्ति से व्यक्ति तक अलग-अलग हो सकती है।

2. पहचानिए कि क्या इस संग्रह में कोई वर्ग है। यदि आवश्यकता हो तो मापन का प्रयोग कीजिए।

सोचिए- उपरोक्त आकृति में बिना मापन उपकरणों को प्रयोग किए, क्या यह बताना संभव है कि भुजाएँ बराबर हैं या नहीं, कोण समकोण हैं या नहीं? क्या हम यह केवल डॉट पेपर में शीर्षों की स्थिति देखकर ज्ञात कर सकते हैं?

उत्तर: A एक वर्ग है।

3. डॉट पेपर पर एक कम-से-कम 3 घुमाए गए वर्ग और 3 घुमाए गए आयत खींचिए। उन्हें इस प्रकार खींचिए कि उनके कोने डॉट पेपर के डॉट्स (बिंदु) पर हों। जाँच कीजिए कि आपने जो वर्ग और आयत बनाए हैं, वे उनके संगत गुणों को संतुष्ट करते हैं या नहीं।

उत्तर: विद्यार्थी स्वयं करें।

रचना कीजिए (पृष्ठ 197)

1. 6 सेमी और 4 सेमी लंबी भुजाओं वाले एक आयत की रचना कीजिए ? रचना के बाद जाँच कीजिए कि क्या ये आयत के दोनों गुणों को संतुष्ट करता है?

उत्तर: चरण 1: 6 सेमी लंबाई का एक रेखाखंड AB खींचिए।

चरण 2: एक चाँदे के उपयोग से एक कोण XAB = 90° बनाइए।

चरण 3: किरण AX पर एक बिंदु D इस प्रकार अंकित कीजिए ताकि AD = 4 सेमी हो। (इस उद्देश्य के लिए रूलर या परकार का उपयोग किया जा सकता है।)

चरण 4: चाँदे के उपयोग से बिंदु B पर एक कोण YBA = 90° खींचिए।

चरण 5: किरण BY पर एक बिंदु C इस प्रकार अंकित कीजिए कि BY = 4 सेमी हो, जैसा कि चरण 3 में किया गया था।

चरण 6 : C और D को जोड़िए।

हम वाँछित आयत ABCD प्राप्त करते हैं।

हाँ, यह आयत, आयत के सभी गुणों को संतुष्ट करता है, क्योंकि मापने पर हम ज्ञात करते हैं कि CD = 6 सेमी, ∠C = 90° और ∠D = 90° है।

2. 2 सेमी और 10 सेमी भुजाओं वाले एक आयत की रचना कीजिए। रचना के बाद जाँच कीजिए कि क्या ये आयत के दोनों गुणों को संतुष्ट करता है?

उत्तर: AB = 10 सेमी और AD = 2 सेमी लेकर उन्हीं चरणों का अनुपालन कीजिए, जो उपरोक्त प्रश्न 1 में लिए थे।

 3. क्या 4 भुजाओं वाली ऐसी आकृति की रचना करना संभव है, जिसमें-

सभी कोण 90° के बराबर हों, परंतु।

सम्मुख भुजाएँ बराबर नहीं हों?

उत्तर: नहीं।

पृष्ठ 198

1. किन स्थानों पर बिंदु X और Y परस्पर निकटतम होंगे? आपके अनुसार वे कब परस्पर अधिकतम दूरी पर होंगे? आपका सहज ज्ञान क्या कहता है? अपने सहपाठियों के साथ चर्चा कीजिए।

उत्तर: X और Y परस्पर निकटतम होंगे, जब ये या तो क्रमश: बिंदुओं A और B पर हों या ये क्रमशः बिंदुओं C और D पर हों। X और Y परस्पर अधिकतम दूरी पर होंगे, जब ये या तो बिंदुओं A और C पर हों या ये बिंदुओं B और D पर हों। साथ ही, X और Y तब भी परस्पर निकटतम होंगे, जब वे क्रमशः A और B से समान दूरी पर हों या ये क्रमश: C और D से समान दूरी पर हों।

2. बिंदु X और Y के बीच की न्यूनतम दूरी की तुलना AB की लंबाई से किस प्रकार की जा सकती है?

उत्तर: X और Y के बीच की न्यूनतम दूरी AB की लंबाई के बराबर है।

3. X और Y की विभिन्न स्थितियों के लिए XY की लंबाइयों का हिसाब आप कैसे रखेंगे?

उत्तर: हम A से X की दूरी ज्ञात करेंगे और B से Y की दूरी ज्ञात करेंगे तथा फिर हम XY की लंबाई ज्ञात करेंगे। इसके बाद हम XY की लंबाई की तुलना AB की लंबाई से करेंगे।

पृष्ठ 199

1. क्या आपने यह जाँचा, कि जब X और Y को क्रमशः A और B से समान दूरी पर रखते हैं, तब XY की लंबाई क्या होती है? उदाहरण के लिए, जैसा कि निम्नलिखित स्थितियों में होता है-

उत्तर: 

और आगे इसी प्रकार।

2. इनमें से प्रत्येक स्थिति का अवलोकन कीजिए?

(i) AB की लंबाई की तुलना में XY की लंबाई कैसे है? तथा

उत्तर: XY की लंबाई AB की लंबाई के बराबर है।

(ii) चार चतुर्भुजीय आकृति ABYX का आकार।

उत्तर: चार चतुर्भुजीय आकृति ABYX का आकार एक आयत है।

3. X और Y के बीच अधिकतम दूरी को AC या BD की लंबाई से कैसे तुलना करेंगे?

उत्तर: X और Y के बीच अधिकतम दूरी AC या BD दोनों के ही बराबर होगी।

खोजिए (पृष्ठ 199)

1. क्या आप ऐसे आयत की रचना कर सकते हैं, जिसे दो समरूप (सर्वसम) वर्गों में विभाजित किया जा सकता है? क्या आप यह प्रयास कर सकते हैं?

उत्तर: चरण 1: एक रूलर के उपयोग से, किसी लंबाई, मान लीजिए 4 सेमी का एक रेखाखंड AF खींचिए।

चरण 2: चाँदे के उपयोग से एक कोण FAX = 90° बनाइए।

चरण 3: रूलर या परकार के उपयोग से, किरण AX पर, बिंदु B और C इस प्रकार अंकित कीजिए कि AB = AF और BC = AF (4 सेमी) रहे।

चरण 4: चाँदे के उपयोग से एक कोण AFY = 90° बनाइए।

चरण 5: किरण FY पर बिंदु E और D इस प्रकार अंकित कीजिए कि FE = AF और ED = AF हो।

चरण 6: B और E तथा C और D को जोड़िए। तब, ACDF वाँछित आयत है, जिसे दो समरूप (सर्वसम) वर्गों ABEF और BCDE में विभाजित कर दिया गया है (आकृति देखिए)।

खोजिए (पृष्ठ 200)

1. क्या अब आयत को पूरा किया जा सकता है?

उत्तर: हाँ, जैसा कि पिछले प्रश्न में पहले ही पूरा किया जा चुका है।

पृष्ठ 201

1. इस विचार के साथ एक आयत बनाने का प्रयास कीजिए जिसे तीन समान (सर्वसम) वर्गों में विभाजित किया जा सके।

उत्तर: चरण 1: एक रूलर के उपयोग से किसी भी लंबाई, मान लीजिए 3 सेमी का एक रेखाखंड AH खींचिए।

चरण 2: चाँदे की सहायता से एक कोण HAX = 90° बनाइए।

चरण 3: एक रूलर या परकार के उपयोग से, किरण AX पर बिंदु B, C और D इस प्रकार अंकित कीजिए कि AB = AH, BC = AH और CD = AH रहे।

चरण 4: चाँदे के उपयोग से एक कोण AHY = 90° बनाइए।

चरण 5: एक रूलर या परकार के उपयोग से, किरण HY पर बिंदु G, F और E इस प्रकार अंकित कीजिए कि HG = AH, GF = AH और FE = AH रहे।

चरण 6: B और G, C और F तथा D और E को जोड़िए।

तब आयत ADEH तीन सर्वसम (समान) वर्गों ABGH, BCFG और CDEF में विभाजित हो गया है (आकृति देखिए)। इस तथ्य को शेष भुजाओं और कोणों को वास्तविक रूप से माप कर सत्यापित किया जा सकता है।

2. उस आयत की भुजाओं की लंबाई बताइए, जिसे निम्नलिखित में विभाजित नहीं किया जा सकता है-

(i) दो समरूप (सर्वसम) वर्ग।

उत्तर: दो समरूप (सर्वसम) वर्गों के लिए, आयत की भुजाओं की लंबाइयाँ 2.5 सेमी, 3.7 सेमी, 5.9 सेमी, इत्यादि जैसी नहीं हो सकती, क्योंकि रूलर के उपयोग से लंबाइयों 2.5/2 = 1.25 सेमी, 3.7/2 = 1.85 सेमी, 5.9/2 = 2.95 सेमी। इत्यादि का मापना संभव नहीं होगा। एक अन्य दृष्टिकोण से, एक आयत को दो समरूप (सर्वसम) वर्गों में तब विभाजित करना संभव नहीं होगा, यदि उसकी लंबाई, चौड़ाई की दुगुनी नहीं है।

(ii) तीन समरूप (सर्वसम) वर्ग।

उत्तर: तीन समरूप (सर्वसम) वर्गों के लिए, आयत की भुजाओं की लंबाइयाँ 10 सेमी, 16 सेमी, 20 सेमी 2.8 सेमी, 3.5 सेमी इत्यादि जैसी नहीं हो सकती (कारण वही है जो दो वर्गों की स्थिति में था)। एक अन्य दृष्टिकोण से, एक आयत को तीन समरूप (सर्वसम) वर्गों में तब विभाजित करना संभव नहीं है, जब उसकी लंबाई उसकी चौड़ाई की तिगुनी नहीं है।

पृष्ठ 201-202

1. एक आयत के अंदर वर्ग –

8 सेमी और 4 सेमी भुजाओं वाले एक आयत की रचना कीजिए। इस आयत के अंदर आप नीचे आकृति में दर्शाए अनुसार एक वर्ग की रचना किस प्रकार करेंगे, जिससे कि यह वर्ग आयत के ठीक बीचों-बीच रहे?

[संकेत- एक कच्ची (रफ) आकृति खींचिए। इस वर्ग की भुजा क्या होगी ? बाहरी आयत और वर्ग के कोनों के बीच में कितनी दूरी होगी?]

उत्तर: वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई 4 सेमी होगी। बाहरी आयत और वर्ग के कोनों के बीच की दूरी, प्रत्येक के लिए, 8 − 4/2 = 2 सेमी होगी।

3. छायांकन –

दी गई आकृति को बनाइए। अपनी इच्छा से मापन चुनिए। ध्यान दीजिए कि बड़ी चतुर्भुजीय आकृति एक वर्ग है तथा इसी प्रकार छोटी आकृतियाँ भी वर्ग हैं।

उत्तर: विद्यार्थी स्वयं करें।

पृष्ठ 203

4. वर्ग जिसके अंदर छेद है –

ध्यान दें कि वृत्ताकार छेद, वर्ग के ठीक बीचों बीच है।

[संकेत – सोचिए कि वृत्त का केंद्र कहाँ होना चाहिए।]

उत्तर: वृत्त के केंद्र को वर्ग के विकणों के प्रतिच्छेद बिंदु पर होना चाहिए।

6. वक्रों वाला वर्ग –

यह 8 सेमी की भुजा का एक वर्ग है।

[संकेत-सोचिए कि परकार के नुकीले सिरे को कहाँ रखा जाए ताकि चारों चाप (arc) प्रत्येक भुजा से समान रूप से उभरें। प्रयत्न कीजिए।

उत्तर: (i) परकार के नुकीले सिरे को वर्ग की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों पर रखा जाना चाहिए।

(ii) इस नुकीले सिरे की वर्ग की प्रत्येक भुजा से दूरी समान रखनी चाहिए।

पृष्ठ 204

1. पाठ्यपुस्तक में दी गई आकृति में विकर्ण PR, ∠R को दो छोटे कोणों में विभाजित करता है, जिन्हें g और h कहा गया है। यही विकर्ण कोण P को कोणों c और d में भी विभाजित करता है। क्या g और h बराबर हैं? क्या e और d बराबर हैं?

पहले पूर्वानुमान लगाइए, फिर कोणों को मापिए। आप क्या देखते हैं? उन कोण-युग्मों की पहचान कीजिए जो बराबर हैं।

उत्तर: कोण g और h बराबर नहीं हैं। कोण c और d बराबर नहीं हैं।

यहाँ a = e, b = f, c = g तथा d = h हैं।

खोजिए (पृष्ठ 204)

1. एक आयत की रचना किस प्रकार करें कि विकर्ण सम्मुख कोणों को बराबर भागों में विभाजित करे?

उत्तर: इस आयत की रचना इस प्रकार करनी चाहिए कि इसकी सभी भुजाएँ बराबर हों। दूसरे शब्दों में, यह आयत एक वर्ग होना चाहिए।

2. कोणों और भुजाओं के संदर्भ में आपने कौन-कौन से व्यापक नियम प्रेक्षित किए? उन्हें बनाने का प्रयास कीजिए तथा अपने सहपाठियों से उनकी चर्चा कीजिए। कोई यह किस प्रकार सुनिश्चित कर सकता है कि जो भी नियम आपने देखे हैं, वे सदैव सत्य होंगे?

उत्तर: खोजने पर यह प्रेक्षित किया गया कि “यदि आयत की सभी भुजाएँ बराबर हों, तो सभी आठ छोटे कोण (अर्थात् आयत के प्रत्येक विकर्ण द्वारा भुजा से बनाए गए कोण) 45° के बराबर हैं।” साथ ही दोनों विकणों के बीच का कोण एक समकोण है तथा यह आयत एक वर्ग है। इस स्तर पर, इन नियमों के बारे में सत्यापन केवल मापने की सहायता से ही किया जा सकता है। आगे आने वाले स्तर पर (अगली कक्षाओं में), इन नियमों को तार्किक रूप से सिद्ध किया जा सकता है।

रचना कीजिए (पृष्ठ 211)

1. एक आयत की रचना कीजिए जिसमें एक विकर्ण सम्मुख कोणों को 50° और 40° में विभाजित करता हो।

उत्तर: चरण 1: किसी भी लंबाई (मान लीजिए 6 सेमी) का एक रेखाखंड AB खींचिए।

चरण 2: B पर, चाँदे के उपयोग से एक कोण XBA = 90° बनाइए।

चरण 3: चाँदे के उपयोग से, A पर एक कोण YAB = 40° बनाइए। मान लीजिए, किरण AY किरण BX को C पर प्रतिच्छेद करती है।

चरण 4: चाँदे के उपयोग से, कोण BAZ = 90° बनाइए।

चरण 5: एक रूलर या परकार के उपयोग से, किरण AZ पर एक बिंदु D इस प्रकार अंकित कीजिए कि AD = BC हो।

चरण 6: रूलर के उपयोग से C और D को जोड़िए। तब, ABCD ही वाँछित आयत है, क्योंकि ∠DAC = 90° – 40° = 50°

नोट: ऐसा आयत बनाने की एक अन्य विधि भी हो सकती है, जिसे पाठ्यपुस्तक के पृष्ठ 207 पर 30° और 60° के कोण वाले आयत को खींचने की विधि 1 में दर्शाया गया है।

2. एक आयत की रचना कीजिए जिसमें एक विकर्ण सम्मुख कोणों को 45° और 45° में विभाजित करता हो। आप इसकी भुजाओं के बारे में क्या देखते है?

उत्तर: चरण 1: किसी भी लंबाई (मान लीजिए 5 सेमी) का एक रेखाखंड PQ खींचिए।

चरण 2: चाँदे के उपयोग से एक कोण XPQ = 90° बनाइए।

चरण 3: चाँदे के उपयोग से एक कोण YPQ = 90° बनाइए।

चरण 4: चाँदे के उपयोग से एक कोण QPZ = 45° बनाइए तथा किरणों QX और PZ के प्रतिच्छेद बिंदु को R से अंकित कीजिए।

चरण 5: चाँदे के उपयोग से बिंदु R पर एक कोण QRT = 90° बनाइए तथा किरणों RT और PY के प्रतिच्छेद बिंदु को S द्वारा अंकित कीजिए।

तब, PQRS ही वाँछित आयत है, क्योंकि ∠SPR = 90° – 45° = 45° है (आकृति देखिए)।

हम देखते हैं कि इस आयत की सभी भुजाएँ बराबर हैं। दूसरे शब्दों में, यह आयत PQRS एक वर्ग है।

3. एक आयत की रचना कीजिए जिसकी एक भुजा 4 सेमी है और विकर्ण की लंबाई 8 सेमी है।

उत्तर: चरण 1: रूलर के उपयोग से 4 सेमी लंबाई का एक रेखाखंड AB खींचिए।

चरण 2: चाँद के उपयोग से, B से होकर AB पर ∠XBA = 90° बनाते हुए, एक लंब खींचिए।

चरण 3: परकार का नुकीला सिरा A पर रखते हुए और उसकी दो भुजाओं के सिरों के बीच में 8 सेमी की दूरी लेकर, एक वृत्त (या एक वृत्त का चाप) खींचिए, जो किरण BX को C पर प्रतिच्छेद करे। A और C को जोड़िए।

चरण 4: रेखाखंड AB पर A से होकर एक लंब AY खींचिए।

चरण 5: किरण AY पर एक परकार के उपयोग से, एक बिंदु D इस प्रकार अंकित कीजिए कि AD = BC हो। अब C और D को जोड़िए। तब, ABCD वाँछित आयत है, जिसमें AB = 4 सेमी है तथा विकर्ण AC = 8 सेमी है।

नोट: इस रचना के लिए एक अन्य विधि भी हो सकती है।

4. एक आयत की रचना कीजिए जिसकी एक भुजा 3 सेमी है और विकर्ण की लंबाई 7 सेमी है।

उत्तर: प्रश्न 3 वाले उन्हीं चरणों का उपयोग कीजिए, केवल इस अंतर के साथ कि AB 3 सेमी और AC = 7 सेमी लीजिए।

रचना कीजिए (पृष्ठ 215)

1. इससे बड़े एक घर का निर्माण कीजिए जिसकी सभी भुजाएँ 7 सेमी लंबी हों।

उत्तर: रचना के उन्हीं चरणों का अनुपालन कीजिए, जो पाठ्यपुस्तक के पृष्ठों 211, 212, 213 और 214 में वर्णित किए गए हैं, केवल इस अंतर के साथ कि प्रत्येक स्थान पर 5 सेमी के स्थान पर लंबाई 7 सेमी लीजिए।

2. घर की रचना में सम्मिलित संकल्पनाओं का प्रयोग करते हुए, सेक्शन कलाकृति से ‘एक व्यक्ति’, ‘तरंगित लहर’ और ‘आँखें’ का पुनः सृजन करने का प्रयास करें।

उत्तर: विद्यार्थी स्वयं करें।

3. क्या चार समान भुजाओं वाली एक आकृति बनाई जा सकती है, जो वर्ग न हो? यदि ऐसी आकृति का अस्तित्व है, तो क्या आप इसकी रचना कर सकते हैं?

उत्तर: हाँ, यह आकृति एक समचतुर्भुज कहलाती है, जैसा सामने दर्शाया गया है।

यहाँ, AB = BC = CD = DA है।

परंतु इसमें कोई भी कोण समकोण नहीं है।

हम इसकी रचना कर सकते हैं, जबकि इसके संबंध में पर्याप्त मापन दिए गए हों, अन्यथा नहीं।