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NCERT Class 6 Mathematics Chapter 5 अभाज्य समय
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अभाज्य समय
Chapter: 5
| TEXTUAL SOLUTIONS |
पृष्ठ 107
1. ऐसी और संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 3 और 5 की गुणज हैं। ये संख्याएँ __________ कहलाती हैं।
उत्तर: ऐसी और संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 3 और 5 की गुणज हैं। ये संख्याएँ सार्व गुणज कहलाती हैं।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 108)
1. किस संख्या पर दसवीं बार ‘इडली-वड़ा’ कहा जाएगा?
उत्तर: संख्या 15 × 10 = 150 पर इडली – वड़ा’ दसवीं बार कहा जाएगा।
2. यदि खेल 1 से 90 तक की संख्याओ के लिए खेला जा रहा हो तो ज्ञात कीजिए-
(a) बच्चा कितनी बार ‘इडली’ कहेगा (इसमें ‘इडली- वड़ा’ कही जाने वाली बारी भी सम्मिलित होगी)?
उत्तर: 90/3 = 30 बार।
(b) बच्चा कितनी बार ‘वड़ा’ कहेगा (इसमें ‘इडली- वड़ा’ कही जाने वाली बारी भी सम्मिलित होगी)?
उत्तर: 90/5 = 18 बार।
(c) बच्चा कितनी बार ‘इडली वड़ा’ कहेगा?
उत्तर: 90/15 = 6 बार।
3. क्या होगा यदि खेल 900 तक खेला जाएगा? इसके आधार पर आपके उत्तर में क्या परिवर्तन होंगे?
उत्तर: (a) 900/3 = 300 बार।
(b) 900/5 = 180 बार।
(c) 900/15 = 60 बार।
4. क्या यह आकृति ‘इडली-बड़ा’ खेल से किसी रूप में संबंधित हैं?
[संकेत: कल्पना कीजिए कि आप यह खेल 30 तक खेलते हैं। अगर आप 60 तक खेल खेलते हैं, तो ऐसी ही आकृति बनाइए।]
उत्तर: हाँ, यह 3 और 5 के सार्व गुणज प्रदान कर रहा है।
60 तक यह खेल खेलने के लिए आकृति ये है:
पृष्ठ 108
1. आइए, अब ‘इडली-वड़ा’ खेल कुछ अलग संख्या युग्मों के साथ खेलें-
(a) 2 और 5.
(b) 3 और 7.
(c) 4 और 6.
हम ‘इडली’ छोटी संख्या के गुणज के लिए, ‘बड़ा’ बड़ी संख्या के गुणज के लिए और ‘इडली – वड़ा’ सार्व गुणज के लिए कहेंगे। यदि खेल संख्या 60 तक खेला जा रहा हो, तो आकृति 5.1 (पाठ्यपुस्तक में) के समान आकृति बनाइए।
उत्तर: आकृतियाँ इस प्रकार हैं:
पृष्ठ 109
1. निम्नलिखित संख्या में से कौन-सी अन्य संख्या हो सकती है: 2, 3, 5, 8, 10?
उत्तर: नोट: इस प्रश्न की भाषा स्पष्ट नहीं है। परंतु आकृति 5.1 की संख्याओं को देखने पर (पाठ्यपुस्तक में), अन्य संख्या 8 हो सकती है।
पृष्ठ 110
1. कौन-सा छलाँग का आकार 15 और 30 दोनों तक पहुँच सकता है? यहाँ बहुत सारे छलाँग के आकार संभव हैं। उन सभी को ढूँढ़ने का प्रयास कीजिए।
उत्तर: 15 के गुणनखंड 1, 3, 5, 15 और 30 हैं।
30 के गुणनखंड 1, 2, 3, 5, 6 10, 15 और 30 हैं।
अतः, छलांग के आकार 1, 3, 5 या 15 से 15 और 30 दोनों तक पहुँचा जा सकता है।
2. नीचे दी गई तालिका का अवलोकन कीजिए। इस तालिका से आपने क्या समझा?
तालिका में-
(i) क्या छायांकित बॉक्स संख्याओं के मध्य कुछ समानता है?
उत्तर: हाँ, ये छायांकित संख्याएँ 3 द्वारा विभाज्य हैं, अर्थात् 3 की गुणज हैं।
(ii) क्या वृत्त में अंकित संख्याओं के बीच कुछ समानता है?
उत्तर: हाँ, ये वृत्त के अंदर की संख्याएँ 4 द्वारा विभाज्य हैं, अर्थात् 4 की गुणज हैं।
(iii) ऐसी कौन सी संख्याएँ हैं, जो छायांकित बॉक्स और वृत्त, दोनों में हैं। इन संख्याओं को क्या कहते हैं?
उत्तर: ये संख्याएँ 36, 48 और 60 हैं।
ये संख्याएँ 3 और 4 के सार्व गुणज कहलाती हैं, अर्थात् 12 की गुण हैं।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 110-111)
1. 310 और 410 के बीच आने वाले 40 के सभी गुणज ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 310 और 410 के बीच आने वाले 40 के सभी गुणज 320, 360 और 400 हैं (40 × 8, 40 × 9, 40 × 10)।
2. मैं कौन हूँ?
(a) मैं 40 से कम एक संख्या हूँ, मेरा एक गुणनखंड 7 है। मेरे अंकों का जोड़ 8 है।
उत्तर: 40 से कम और एक गुणनखंड 7 वाली संख्याएँ 7, 14, 21, 28 और 35 हैं। इन संख्याओं में, 35 के अंकों का योग 3 + 5 = 8 है।
अतः मैं 35 हूँ।
(b) मैं 100 से छोटी एक संख्या हूँ। मेरे दो गुणनखंड 3 और 5 हैं। मेरा एक अंक, दूसरे से 1 अधिक है।
उत्तर: गुणनखंड 3 और 5 वाली (अर्थात् 15 की गुणज) तथा 100 से छोटी संख्याएँ 15, 30, 45, 60, 75 और 90 हैं।
45 में, अंक 5 अंक 4 से 1 अधिक है। अतः, मैं संख्या 45 हूँ।
3. एक संख्या जिसके सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या से दुगुना हो, संपूर्ण संख्या (Perfect Number) कहलाती है। संख्या 28 एक संपूर्ण संख्या है। इसके गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 हैं, इनका योग 56 है जो कि 28 का दुगुना है। 2 से 10 तक के बीच एक संपूर्ण संख्या ज्ञात कीजिए।
उत्तर: 6 के गुणनखंड 1, 2, 3 और 6 हैं। साथ ही, 1, 2, 3 और 6 का योग 1 + 2 + 3 + 6 = 12 है, जो संख्या 6 का दुगुना है। अतः 1 और 10 के बीच वाँछित संपूर्ण संख्या 6 है।
4. उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए-
(a) 20 और 28.
उत्तर: 20 के गुणनखंड 1, 2, 4, 5, 10 और 20 हैं। 28 के गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 हैं। अतः, इनके उभयनिष्ठ (सार्व) गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं।
(b) 35 और 50.
उत्तर: 35 के गुणनखंड 1, 5, 7 और 35 हैं। 50 के गुणनखंड 1, 2, 5, 10, 25 और 50 हैं। अतः इनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 1 और 5 हैं।
(c) 4, 8, और 12.
उत्तर: 4 के गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं, 8 के गुणनखंड 1, 2, 4 और 8 हैं, 12 के गुणनखंड 1, 2, 3, 4, 6 और 12 हैं। अतः इनके उभयनिष्ठ (सार्व) गुणनखंड 1, 2 और 4 हैं।
(d) 5, 1,5 और 25.
उत्तर: 5 के गुणनखंड 1 और 5 हैं, 15 के गुणनखंड 1, 3, 5 और 15 हैं, 25 के गुणनखंड 1, 5 और 25 हैं। अतः, इनके उभयनिष्ठ (सार्व) गुणनखंड 1 और 5 हैं।
5. तीन ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जो 25 की गुणज हैं लेकिन 50 की नहीं।
उत्तर: 25 के गुणज 25, 50, 75, 100, 125, 150, 175,… हैं तथा 50 के गुणज 50, 100, 150, 200, … हैं।
अतः ऐसी तीन वाँछित संख्याएँ 75, 125 और 175 हैं।
6. अंशु और उसके मित्र दो संख्याएँ लेकर ‘इडली – वड़ा’ खेल खेल रहे हैं।
दोनों संख्याएँ 10 से छोटी हैं। पहली बार यदि कोई ‘इडली-वड़ा’ कहता है, तो वह संख्या 50 के पश्चात् आती है। वे दोनों संख्याएँ क्या होंगी, जिन्हें ‘इडली’ और ‘बड़ा’ कहा गया है।
उत्तर: 10 से छोटी संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 और 9 हैं।
50 के बाद आने वाली कुछ संख्याएँ 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, … हैं।
क्योंकि यह संख्या ‘इडली-वड़ा’ निरूपित करती है। इसलिए हमें उपरोक्त संख्याओं में से (1 से 9 तक की) दो संख्याओं का एक सार्व गुणज चुनना है।
साथ ही, हम जानते हैं कि 51 = 3 × 17, 52 = 4 × 13, 53 = 1 × 53, 54 = 6 × 9, 55 = 5 × 11, 56 = 7 × 8, 57 = 3 × 19, 58 = 2 × 29, 59 = 1 × 59, 60 = 5 × 12 = 6 × 10 इत्यादि हैं।
क्योंकि ये दो संख्याएँ 10 से छोटी होनी चाहिए, इसलिए इनके संभव युग्म 6 और 9 तथा 7 और 8 हैं।
अब, 6 के गुणज 6, 12, 18, 24, …… हैं तथा 9 के गुणज 9, 18, 27, …….
अतः, संख्याओं के इस युग्म से हम प्रथम सार्व गुणज (इडली-वड़ा) 18 प्राप्त करते हैं, जो 50 से छोटी संख्या है। इसलिए संख्याओं के इस युग्म 6 और 9 को रद्द कर दिया जाता है।
अब, 7 के गुणज 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, … हैं तथा 8 के गुणज 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64,….. हैं।
यहाँ, प्रथम सार्व गुणज (इडली-वड़ा) 56 है, जो ठीक 50 के बाद आता है।
अतः, संख्याओं का वाँछित युग्म 7 और 8 है।
7. खजाने की खोज खेल में ग्रम्पी ने खजाने को 28 और 70 पर रखा है। दोनों संख्याओं पर पहुँचने के लिए छलाँग का आकार क्या होना चाहिए?
उत्तर: 28 के गुणनखंड 1, 2, 4, 7, 14 और 28 हैं।
70 के गुणनखंड 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35 और 70 हैं।
उनके उभयनिष्ठ गुणनखंड 1, 2, 7 और 14 हैं।
अतः, दोनों संख्याओं पर पहुँचने के लिए छलाँग के आकार 1, 2, 7 और 14 होने चाहिए।
8. पाठ्यपुस्तक में दिए गए चित्र से गुणा ने उभयनिष्ठ गुणज को छोड़कर सभी संख्याओं को मिटा दिया है। पता लगाइए कि वे संख्याएँ कौन-सी हो सकती हैं? और उन लुप्त संख्याओं को खाली स्थान में लिखिए।
उत्तर:
[नोट: सार्व गुणजों 24, 48 और 72 के साथ, इस प्रश्न का उत्तर 12 के गुणज और 8 के गुणज भी हो सकता है। इस स्थिति में, प्रथम वृत्त में संख्याएँ 12, 36, 60, 84 होंगी।]
9. एक सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 7 को छोड़कर 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।
उत्तर: 1 के गुणज 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …. हैं, 2 के गुणज 2, 4, 6, 8, 10, हैं, 3 के गुणज 3, 6, 9, 12, 15, 18,… हैं, 4 के गुणज 4, 8, 12, 16, हैं, 5 के गुणज 5, 10, 15, 20, … हैं, 6 के गुणज 6, 12, 18, …. हैं, 7 के गुणज 7, 14, 21, 28, हैं, 8 के गुणज 8, 16, 24, 32, हैं, 9 के गुणज 9, 18, 27, 36, हैं तथा 10 के गुणज 10, 20, 30, 40, 50, ….. हैं।
अब, स्पष्टतः वाँछित संख्या 10 का कोई गुणज होनी चाहिए। ये गुणज 10, 20, 30, 40, 50, हैं। साथ ही, क्योंकि 10 और 9 में कोई सार्व गुणणखंड नहीं है, इसलिए वाँछित संख्या 10 × 9 = 90 का एक गुणज होनी चाहिए।
अब, 90 के गुणज 90, 180, 270, 360, 450, इत्यादि हैं। इनमें से हमें वह संख्या चुननी है, जो 8 का भी एक गुणजहो, क्योंकि 7, 4 और 8 को छोड़कर अन्य सभी संख्याएँ 90 गुणनखंड हैं।
अब 90 से अधिक 8 के गुणज 96, 104, 112, 120, 128, 136, 144, 152, 160, 168, 176, 184, 192, 200, 208, 216, 224, 232, 240, 248, 256, 264, 272, 280, 288, ….. 352, 360, 368,….. हैं।
अतः इनमें से ऐसी न्यूनतम संख्या 360 है।
10. एक सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जो 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का गुणज हो।
उत्तर: जैसा ऊपर प्रश्न 9 में ज्ञात किया गया है, सबसे छोटी (न्यूनतम) संख्या जो 7 को छोड़कर 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का एक गुणज है, 360 है। अब, क्योंकि 7 शेष संख्याओं 1 से 10 तक में से किसी का भी एक गुणनखंड नहीं है, इसलिए वह न्यूनतम संख्या जो 1 से 10 तक की सभी संख्याओं का एक गुणज है, 360 × 7 = 2520 है।
पृष्ठ 113
1. 21 से 30 के बीच कितनी अभाज्य संख्याएँ हैं? 21 से 30 के बीच कितनी भाज्य संख्याएँ हैं?
उत्तर: 21 से 30 के बीच अभाज्य संख्याएँ 23 और 29 हैं (दो)।
21 से 30 के बीच भाज्य संख्याएँ 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28 और 30 हैं (आठ)।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 114-115)
1. हम देखते हैं कि 2 एक अभाज्य संख्या है और यह सम संख्या भी है। क्या कोई अन्य सम अभाज्य संख्या है?
उत्तर: नहीं कोई अन्य अभाज्य सम संख्या नहीं है।
2. 100 तक की अभाज्य संख्याओं की सूची देखिए। दो क्रमागत अभाज्य संख्याओं में न्यूनतम एवं अधिकतम अंतर क्या है?
उत्तर: न्यूनतम अंतर = 3 – 2 = 1 है।
अधिकतम अंतर = 97 – 89 = 8 है।
3. क्या प्रत्येक पंक्ति में एक समान संख्या में अभाज्य संख्याएँ थीं? किन दहाइयों (दशकों) में न्यूनतम अभाज्य संख्याएँ हैं? यह भी बताइए कि पिछले पृष्ठ पर दी गई सारणी में किनमें अधिकतम अभाज्य संख्याएँ हैं?
उत्तर: नहीं 10वें (अंतिम) दशक में अभाज्यों की संख्या न्यूनतम है (केवल 97)।
पहले और दूसरे दशकों में, अभाज्यों की संख्या अधिकतम है (प्रत्येक में 4)।
4. इनमें से कौन-सी संख्याएँ अभाज्य हैं 23, 51, 37, 26?
उत्तर: 23 और 37 अभाज्य हैं।
5. अभाज्य संख्याओं के तीन युग्म लिखिए, जो 20 से कम हों और उनका योग 5 का गुणज हो।
उत्तर: 2 और 3 क्योंकि 235 है; 3 और 7 क्योंकि 3 + 7 = 10 है;
2 और 13 क्योंकि 2 + 13 = 15 है।
6. संख्या 13 और 31 अभाज्य संख्याएँ हैं। इन दोनों संख्याओं में अंक 1 और 3 समान हैं। 100 तक की संख्याओं में से ऐसे अन्य सभी अभाज्य संख्याओं के युग्म ज्ञात कीजिए।
उत्तर: ऐसी संख्याओं के युग्म 17 और 71, 37 और 73; तथा 79 और 97 हैं।
7. 1 से 100 के बीच 7 क्रमागत भाज्य संख्याएँ लिखिए।
उत्तर: 1 और 100 के बीच 90, 91, 92, 93, 94, 95 और 96 सात क्रमागत भाज्य संख्याएँ हैं।
8. अभाज्य संख्याओं के युग्म जिनका अंतर 2 हो (जुड़वाँ) अभाज्य युग्म (Twin Primes) कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, 3 और 5 (जुड़वाँ) अभाज्य युग्म हैं, इसी प्रकार 17 और 19 हैं। 1 से 100 के बीच अन्य (जुड़वाँ) अभाज्य युग्म ज्ञात कीजिए?
उत्तर: अन्य (जुड़वाँ) अभाज्य युग्म 5 और 7; 11 और 13; 29 और 31; 41 और 43; 59 और 61; 71 और 73 हैं।
9. प्रत्येक कथन को सही या गलत के रूप में पहचानिए एवं स्पष्ट कीजिए-
(a) ऐसी कोई अभाज्य संख्या नहीं है जिसका इकाई का अंक 4 हो।
उत्तर: सही।
(b) अभाज्य संख्याओं का गुणनफल भी अभाज्य हो सकता है।
उत्तर: गलत।
(c) अभाज्य संख्याओं के कोई गुणनखंड नहीं होते हैं।
उत्तर: गलत।
(d) सभी सम संख्याएँ भाज्य संख्याएँ होती है।
उत्तर: गलत।
(e) संख्याएँ 2 तथा 3 अभाज्य हैं। अन्य प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए अगली संख्या भाज्य है।
उत्तर: सही।
10. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या को तीन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त कर सकते हैं 45, 60, 91, 105, 330?
उत्तर: 105, क्योंकि 105 = 3 × 5 × 7.
11. अंक 2, 4 और 5 का एक बार प्रयोग करके आप तीन अंकों की कितनी अभाज्य संख्याएँ बना सकते हैं?
उत्तर: ऐसी कोई भी संख्या बनाना संभव नहीं है, क्योंकि ऐसी प्रत्येक तीन अंकों की संख्या में इकाई का अंक 2 या 4 या 5 होगा। यदि इकाई का अंक 2 या 4 है, तो इसका एक गुणनखंड 2 होगा तथा यदि इकाई का अंक 5 है, तो इसका एक गुणनखंड 5 होगा।
12. ध्यान दीजिए कि 3 एक अभाज्य संख्या है और 2 × 3 + 1 = 7 भी एक अभाज्य संख्या है। क्या और भी ऐसी अभाज्य संख्याएँ हैं, जिन्हें 2 से गुणन करके एक जोड़ने पर अन्य अभाज्य संख्या प्राप्त होती है? ऐसे कम से कम पाँच उदाहरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर: ऐसी संख्याएँ 2 × 5 + 1 = 11, 2 × 2 + 1 = 5, 2 × 23 + 1 = 47, 2 × 29 + 1 = 59, 2 × 41 + 1 = 83 इत्यादि हो सकती हैं।
पृष्ठ 116
1. निम्नलिखित में से कौन-सा संख्या युग्म सह अभाज्य है?
(a) 18 और 35.
उत्तर: 18 और 35 सह-अभाज्य हैं।
(b) 15 और 37.
उत्तर: 15 और 37 सह-अभाज्य हैं।
(c) 30 और 415.
उत्तर: 30 और 415 सह-अभाज्य नहीं हैं, क्योंकि इनमें एक सर्व गुणनखंड 5 है।
(d) 17 और 69.
उत्तर: 17 और 69 सह-अभाज्य हैं।
(e) 81 और 18.
उत्तर: 81 और 18 सह-अभाज्य नहीं हैं, क्योंकि इनमें 3 और 9 सर्व गुणनखंड 5 हैं।
2. भिन्न संख्या युग्म लेकर ‘इडली-बड़ा’ खेल खेलते हुए, अंशु ने एक रोचक बात देखी।
(i) कभी-कभी, प्रथम सार्व गुणज, दोनों संख्याओं के गुणनफल के समान था।
(ii) अन्य स्थितियों में प्रथम सार्व गुणज, दोनों संख्याओं के गुणनफल से छोटा था।
उपरोक्त प्रत्येक कथन के लिए उदाहरण खोजिए। यह संख्या युग्म के सह-अभाज्य होने से किस प्रकार संबंधित है?
उत्तर: (i) प्रथम सार्व गुणज दोनों संख्याओं का गुणनफल होगा, यदि ये संख्याएँ सह अभाज्य हैं। उदाहरणार्थ, 2 और 5, 3 और 7, 5 और 9, इत्यादि।
(ii) प्रथम सार्व गुणज दोनों संख्याओं के गुणनफल से कम होगा, ये दोनों संख्याएँ सह अभाज्य नहीं हैं। उदाहरणार्थ, 4 और 6, 10 और 15, 7 और 14, इत्यादि।
पृष्ठ 117
1. निम्नलिखित के लिए ऐसी ही आकृतियाँ बनाइए-
(a) 15 खूँटी, धागे का अतंर 10.
(b) 10 खूँटी, धागे का अंतर 7.
(c) 14 खूँटी, धागे का अंतर 6.
(d) 8 खूँटी, धागे का अंतर 7.
उत्तर: आकृतियाँ नीचे दर्शाए अनुसार दर्शाई जा सकती हैं:
(नोट: यहाँ (a) और (c) में, कुछ संख्याएँ छूट गई हैं। अत: (a) में 15 और 10 सह अभाज्य नहीं हैं तथा (c) में 14 और 6 सह-अभाज्य नहीं हैं। (b) में कोई संख्या नहीं छूटी है। अत:, (b) में 10 और 7 सह अभाज्य हैं। इसी प्रकार, (d) में कोई संख्या नहीं छूटी है। इसलिए 8 और 7 सह-अभाज्य हैं।)
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 120)
1. निम्नलिखित संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए-
64, 104, 105, 243, 320, 141, 1728, 729, 1024, 1331, 1000.
उत्तर: 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2;
104 = 2 × 2 × 2 × 13;
105 = 3 × 5 × 7;
243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3;
320 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5;
141 = 3 × 47;
1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3;
729 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3;
1024 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2;
1331 = 11 × 11 × 11;
1000 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5.
2. किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंडन में एक बार 2, दो बार 3 और एक बार 11 हो, तो वह संख्या क्या होगी?
उत्तर: वाँछित संख्या = 2 × 3 × 3 × 11 = 198 है।
3. 30 से छोटी ऐसी तीन अभाज्य संख्याएँ बताइए, जिनका गुणनफल 1955 हो?
उत्तर: 1955 = 5 × 17 × 23 है।
इस प्रकार, ये संख्याएँ 5, 17 और 23 हैं।
4. बिना गुणा किए निम्न संख्याओं का अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात कीजिए:
(a) 56 × 25.
उत्तर: 56 × 25 = 2 × 2 × 2 × 7 × 5 × 5 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7.
(b) 108 × 75.
उत्तर: 108 × 75 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5.
(c) 1000 × 81.
उत्तर: 1000 × 81 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
5. वह छोटी-से-छोटी संख्या क्या होगी जिसके अभाज्य गुणनखण्डन में:
(a) तीन अलग अभाज्य संख्याएँ हों।
उत्तर: यह संख्या 2 × 3 × 5 = 30 है।
(b) चार अलग अभाज्य संख्याएँ हों।
उत्तर: यह संख्या 2 × 3 × 5 × 7 = 210 है।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 122)
1. क्या निम्नलिखित संख्या युग्म सह अभाज्य संख्याएँ हैं? पहले अनुमान लगाइए फिर अभाज्य गुणनखंडन ज्ञात करके अपने उत्तर की जाँच कीजिए।
(a) 30 और 45.
उत्तर: 30 = 2 × 3 × 5 और 45 = 3 × 3 × 5 है।
क्योंकि इन संख्याओं में 3 और 5 सार्व गुणनखंड हैं, इसलिए ये सह-अभाज्य नहीं हैं।
(b) 57 और 85.
उत्तर: 57 = 3 × 19 और 85 = 5 × 17 हैं।
क्योंकि इन संख्याओं में कोई सार्व अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए ये सह अभाज्य हैं।
(c) 121 और 1331.
उत्तर: 121 = 11 × 11 और 1331 = 11 × 11 × 11 हैं।
क्योंकि इनमें 11 और 11 सार्व गुणनखंड हैं, इसलिए ये संख्याएँ सह-अभाज्य नहीं हैं।
(d) 343 और 216.
उत्तर: 343 = 7 × 7 × 7 और 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 हैं।
क्योंकि इन संख्याओं में कोई सार्व अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए ये सह अभाज्य हैं।
2. क्या पहली संख्या दूसरी संख्या से विभाजित होती है? अभाज्य गुणनखंडन का प्रयोग कीजिए।
(a) 225 और 27.
उत्तर: 225 = 3 × 3 × 5 × 5 और 27 = 3 × 3 × 3 है।
क्योंकि 225 में 3 दो बार आता है और 27 में 3 तीन बार आता है, इसलिए 27 से 225 विभाजित नहीं है।
(b) 96 और 24.
उत्तर: 96 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 और 24 = 2 × 2 × 2 × 3 है।
क्योंकि 24 के सभी अभाज्य गुणनखंड 96 के अभाज्य गुणनखंडों में सम्मिलित हैं; इसलिए 24 से 96 विभाज्य है।
(c) 343 और 17.
उत्तर: 343 = 7 × 7 × 7 और 17 = 17 है।
इस प्रकार, 343 के अभाज्य गुणनखंडों में 17 सम्मिलित नहीं है।
अतः 17 से 343 विभाज्य नहीं है।
(d) 999 और 99.
उत्तर: 999 = 3 × 3 × 3 × 37 और 99 = 3 × 3 × 11 है।
क्योंकि 99 का अभाज्य गुणनखंड 11 संख्या 999 के अभाज्य गुणनखंडों में सम्मिलित नहीं है;
अतः 99 से 999 विभाज्य नहीं है।
3. पहली संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 2 × 3 × 7 है और दूसरी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन 3 × 7× 11 है। क्या ये दोनों सह अभाज्य संख्याएँ हैं? क्या इनमें से एक संख्या दूसरी संख्या को विभाजित करती है?
उत्तर: इन दोनों संख्याओं में दो अभाज्य गुणनखंड 3 और 7 सार्व हैं। इसलिए, ये सह अभाज्य नहीं हैं।
क्योंकि एक संख्या के सभी अभाज्य गुणनखंड दूसरी संख्या के अभाज्य गुणनखंडों में सम्मिलित नहीं हैं, इसलिए इनमें से एक दूसरे को विभाजित नहीं करता है।
4. गुणा कहता है, “कोई भी दो अभाज्य संख्याएँ सह-अभाज्य होती हैं।” क्या वह सही है?
उत्तर: हाँ, क्योंकि इन दोनों अभाज्य संख्याओं में कोई सार्व अभाज्य गुणनखंड नहीं होगा।
पृष्ठ 123-124
1. कथन पर विचार कीजिए-
जो संख्याएँ 10 से विभाजित होती हैं वे ‘0’ पर समाप्त होती हैं। क्या आप इससे सहमत हैं?
उत्तर: हाँ, मैं सहमत हूँ।
2. कथन पर विचार कीजिए-
जो संख्याएँ 5 से विभाजित होती हैं वे या तो ‘0’ पर समाप्त होती हैं या ‘5’ पर समाप्त होती हैं। क्या आप सहमत हैं?
उत्तर: हाँ, मैं सहमत हूँ।
3. कथन पर विचार कीजिए-
जो संख्याएँ 2 से विभाजित होती हैं वे ‘0’, ‘2’, ‘4’, ‘6’ या ‘8’ पर समाप्त होती हैं। क्या आप इससे सहमत हैं? 399 और 411 के बीच 2 के सभी गुणज क्या हैं?
उत्तर: हाँ, मैं सहमत हूँ।
399 और 411 के बीच 2 के गुणज 400, 402, 404, 406, 408 और 410 हैं।
पृष्ठ 124
1. 330 और 340 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 4 से विभाज्य हों।
साथ ही, 1730 और 1740 तथा 2030 और 2040 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 4 से विभाज्य हों। आप क्या देखते हैं?
उत्तर: ऐसी संख्याएँ 332 और 336 हैं। 1730 और 1740 के बीच ऐसी संख्याएँ 1732 और 1736 हैं। 2030 और 2040 के बीच ऐसी संख्याएँ 2032 और 2036 हैं। हम देखते हैं कि इन संख्याओं में अंतिम दो अंकों से बनी संख्याएँ. अर्थात् 32 और 36 संख्या 4 से विभाज्य हैं।
2. क्या 8536 संख्या 4 से विभाज्य है?
उत्तर: हाँ, 8536 संख्या 4 से विभाज्य है।
3. कथन पर विचार कीजिए-
(i) किसी संख्या की 4 से विभाज्यता का निर्धारण करते समय उस संख्या के केवल अंतिम दो अंक महत्व रखते हैं।
(ii) यदि किसी संख्या के अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाजित हो जाती है तो वह मूल संख्या भी 4 से विभाजित होती है।
(iii) यदि कोई संख्या 4 से विभाजित होती है तो उसके अंतिम दो अंकों से बनी संख्या भी 4 से विभाजित होती है।
क्या आप इससे सहमत हैं? क्यों या क्यों नहीं?
उत्तर: हाँ, मैं सहमत हूँ।
पृष्ठ 125
1. 120 और 140 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 8 से विभाज्य हों। साथ ही 1120 और 1140 तथा 3120 और 3140 के बीच ऐसी संख्याएँ ज्ञात कीजिए जो 8 से विभाज्य हों। आप क्या देखते हैं?
उत्तर: 120 और 140 के बीच ऐसी संख्याएँ 128 और 136 हैं।
1120 और 1140 के बीच ऐसी संख्याएँ 1128 और 1136 हैं।
3120 और 3140 के बीच ऐसी संख्याएँ 3128 और 3136 हैं।
हम देखते हैं कि 128 और 136 संख्या 8 से विभाज्य हैं।
2. 8560 के अंतिम दो अंक इस प्रकार बदलिए ताकि परिणामी संख्या 8 का गुणज हो।
उत्तर: अंकों को बदलने की कोई आवश्यकता नहीं है। 8560 स्वयं ही 8 से विभाज्य है। यदि हम अंकों को बदलेंगे, तो यह 8506 हो जाएगी तथा इस स्थिति में परिणामी संख्या 8506 संख्या 8 से विभाज्य नहीं होगी। परंतु यदि हम अंतिम दो अंकों ’60’ के स्थान पर ’04’ या ’12’ या ’76’ या ’84’ या ’92’ या ’20’ या ’36’ या ’44’ या ’52’ लिखें, तो भी परिणामी संख्या 8 से विभाज्य हो जाएगी।
3. इन कथनों पर विचार करें-
(i) दी गई संख्या 8 से विभाज्य है, यह पता करने के लिए केवल अंतिम 3 अंक ही महत्व रखते हैं।
(ii) यदि अंतिम 3 अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य है तो वह मूल संख्या भी 8 से विभाज्य होगी।
(iii) यदि मूल संख्या 8 से विभाज्य है, तो उसके अंतिम 3 अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य होगी।
क्या आप इससे सहमत हैं? क्यों या क्यों नहीं?
उत्तर: हाँ, मैं सहमत हूँ।
आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 125-126)
1. 2024 एक अधि वर्ष है (अर्थात फरवरी में 29 दिन होते हैं)। अधि वर्ष हर उस वर्ष में होता है जो 4 के गुणज होते हैं, सिवाय उन वर्षों के जो 100 से तो विभाजित हैं लेकिन 400 से नहीं।
(a) आपके जन्म के वर्ष से लेकर अब तक कौन-से वर्ष अधि वर्ष थे?
उत्तर: नोट- निर्देशानुसार कीजिए। जन्म का वर्ष 2011 मानते हुए, अधि वर्ष 2012, 2016, 2020 और 2024 हैं।
(b) वर्ष 2024 से 2099 तक कितने अधि वर्ष होंगे?
उत्तर: वर्ष 2024 से 2099 तक अधि वर्ष 2024 2028, 2032 2036, ….. 2088, 2092 और 2096 होंगे।
अधि वर्षों की कुल संख्या = 19 है।
2. सबसे बड़ी और सबसे छोटी 4 अंकों की संख्याओं का पता लगाइए, जो 4 से विभाज्य हों और पैलिंड्रोम भी हों?
उत्तर: 4 से विभाज्य 4-अंकीय सबसे बड़ी पैलिंड्रोम संख्या 8888 है।
4 से विभाज्य 4-अंकीय सबसे छोटी पैलिंड्रोम संख्या 2112 है।
3. खोजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या प्रत्येक कथन सदैव सत्य है, कभी-कभी सत्य है या कभी भी सत्य नहीं हैं। आप अपने तर्क के समर्थन में उदाहरण दे सकते हैं।
(a) दो सम संख्याओं का योगफल, 4 का गुणज होता है।
उत्तर: कभी-कभी सत्य है।
उदाहरण: 18 + 10 = 28, 4 से विभाज्य है, परंतु 14 + 12 = 26, 4 से विभाज्य नहीं है।
(b) दो विषम संख्याओं का योगफल 4 का गुणज होता है।
उत्तर: कभी-कभी सत्य है।
उदाहरण: 15 + 17 = 32, 4 से विभाज्य है, परंतु 19 + 15 = 34, 4 से विभाज्य नहीं है।
4. निम्नलिखित संख्याओं में से प्रत्येक को (i) 10, (ii) 5, (iii) 2 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात कीजिए।
78, 99, 173, 572, 980, 1111, 2345.
उत्तर: (i) शेषफल क्रमश: 8, 9, 3, 2, 0, 1 और 5 हैं।
(ii) शेषफल क्रमश: 3, 4, 3, 2, 0, 1 और 0 हैं।
(iii) शेषफल क्रमश: 0, 1, 1, 0, 0, 1 और 1 हैं।
5. शिक्षक ने पूछा कि क्या 14560, संख्याओं 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य है। गुणा ने इनमें से केवल दो संख्याओं से 14560 की विभाज्यता की जाँच की और कहा कि 14560 उन सभी संख्याओं से भी विभाज्य है। वे दो संख्याएँ क्या हो सकती हैं?
उत्तर: ये दो संख्याएँ 8 और 5 हो सकती हैं। इसका कारण यह है कि 8 से विभाज्य संख्या निश्चित रूप से 2 और 4 से भी विभाज्य होगी तथा 5 और 2 से विभाज्य संख्या 10 से भी विभाज्य होगी।
6. निम्नलिखित में से कौन-सी संख्याएँ 2, 4, 5, 8 और 10 सभी से विभाज्य हैं:
572, 2352, 5600, 6000, 77622160?
उत्तर: दी हुई संख्याओं में 5600, 6000, 77622160 ही 8 और 5 दोनों से विभाज्य हैं।
अतः ये तीनों संख्याएँ 2, 4, 5, 8 और 10 से भी विभाज्य हैं।
7. दो संख्याएँ लिखिए जिनका गुणनफल 10000 हो। दोनों संख्याओं का इकाई का अंक शून्य नहीं होना चाहिए।
उत्तर: 10000 = 5 × 5 × 5 × 5 × 2 × 2 × 2 × 2 है।
वाँछित दो संख्याओं के इकाई के अंक 0 नहीं होने के लिए, हमें इन दो संख्याओं को 5 × 5 × 5 × 5 और 2 × 2 × 2 × 2 लेना चाहिए।
इस प्रकार ये दो संख्याएँ 625 और 16 हैं।
पृष्ठ 127
1. नीचे कुछ बॉक्स हैं, जिनमें प्रत्येक बॉक्स में चार संख्याएँ हैं। प्रत्येक बॉक्स के लिए यह कहने का प्रयास कीजिए की प्रत्येक संख्या अन्य की तुलना में किस प्रकार विशेष है। अपने सहपाठियों के साथ साझा कीजिए और पता लगाइए कि किसने वही कारण बताए जो आपने दिए। क्या किसी ने अलग कारण बताए जो शायद आपने न सोचे हों?
उत्तर: नोट- निर्देशानुसार कीजिए। प्रत्येक बॉक्स के लिए दृष्टांत के रूप में एक-एक कारण दिया गया है।
पहले बॉक्स में 5 विशेष है, क्योंकि यह 5 का प्रथम गुणज है। 7 विशेष है, क्योंकि यह 5 के साथ (जुड़वाँ) अभाज्य युग्म बनाता है। 12 विशेष है, क्योंकि यह 5 और 7 का योग है। 35 विशेष है, क्योंकि यह 5 और 7 का गुणनफल है।
दूसरे बॉक्स में 3 विशेष है, क्योंकि यह प्रथम विषम अभाज्य संख्या है। 8 विशेष है, क्योंकि यह 2 की तीसरी घात है। 11 विशेष है, क्योंकि यह 3 और 8 का योग है। 24 विशेष हैं, क्योंकि यह 3 और 8 का गुणनफल है।
तीसरे बॉक्स में 27 विशेष है, क्योंकि यह बॉक्स में अकेली घन संख्या है। 3 विशेष है, क्योंकि यह प्रथमं विषम अभाज्य संख्या है। 123 विशेष है, क्योंकि यह एक मात्र 3-अंकीय संख्या है तथा 31 विशेष है, क्योंकि यह बॉक्स में एक मात्र दो अंकों की अभाज्य संख्या है।
चौथे बॉक्स में, 17 विशेष है, क्योंकि यह बॉक्स में एक मात्र अभाज्य संख्या है। 27 विशेष है, क्योंकि यह एक मात्र घन संख्या है। 44 विशेष है, क्योंकि यह 4 से विभाज्य है तथा 65 विशेष है, क्योंकि यह दो अभाज्य संख्याओं 5 और 13 का गुणनफल है।
पृष्ठ 127-128
नियम
1. ग्रिड को केवल अभाज्य संख्याओं से भरिए ताकि प्रत्येक पंक्ति का गुणनफल पंक्ति के दाईं ओर की संख्या हो और प्रत्येक स्तंभ का गुणनफल स्तंभ के नीचे की संख्या हो।
उत्तर:
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