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NCERT Class 11 Economics Chapter 13 केंद्रीय प्रवृत्ति की माप
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केंद्रीय प्रवृत्ति की माप
Chapter: 13
| अर्थशास्त्र में सांख्यिकी |
| अभ्यास |
1. निम्नलिखित स्थितियों में कौन सा औसत उपयुक्त होगा?
(क) तैयार वस्त्रों के औसत आकार।
उत्तर: बहुलक, क्योंकि वस्त्रों का सबसे अधिक बिकने वाला या सबसे सामान्य आकार जानना अधिक उपयोगी होता है।
(ख) एक कक्षा में छात्रों की औसत बौद्धिक प्रतिभा।
उत्तर: समांतर माध्य, क्योंकि यह सभी छात्रों के अंकों का प्रतिनिधि औसत प्रदान करता है।
(ग) एक कारखाने में प्रति पाली औसत उत्पादन।
उत्तर: समांतर माध्य, क्योंकि इससे प्रत्येक पाली का औसत उत्पादन ज्ञात होता है।
(घ) एक कारखाने में औसत मजदूरी।
उत्तर: समांतर माध्य, क्योंकि सभी मजदूरों की मजदूरी का औसत ज्ञात करने के लिए यह सबसे उपयुक्त है।
(ङ) जब औसत से निरपेक्ष विचलनों का योग न्यूनतम हो।
उत्तर: मध्यिका, क्योंकि मध्यिका से निरपेक्ष विचलनों का योग न्यूनतम होता है।
(च) जब चरों की मात्रा अनुपात में हो।
उत्तर: ज्यामितीय माध्य, क्योंकि अनुपात एवं वृद्धि दर से संबंधित आँकड़ों के लिए यही उपयुक्त औसत है।
(छ) मुक्तांत बारंबारता बंटन के मामले में।
उत्तर: मध्यिका तथा बहुलक, क्योंकि मुक्तांत वितरण में समांतर माध्य ज्ञात करना कठिन होता है, जबकि मध्यिका एवं बहुलक का निर्धारण सरलता से किया जा सकता है।
2. प्रत्येक प्रश्न के सामने दिए गए बहु विकल्पों में से सर्वाधिक उचित विकल्प को चिह्नित करें:
(i) गुणात्मक मापन के लिए सर्वाधिक उपयुक्त औसत है:
(क) समांतर माध्य।
(ख) मध्यिका।
(ग) बहुलक।
(घ) ज्यामितीय माध्य।
(ङ) उपर्युक्त में से कोई नहीं।
उत्तर: (ग) बहुलक।
(ii) चरम मदों की उपस्थिति से कौन सा औसत सर्वाधिक प्रभावित होता है?
(क) मध्यिका।
(ख) बहुलक।
(ग) समांतर माध्य।
(घ) उपरोक्त में से कोई नहीं।
उत्तर: (ग) बहुलक।
3. बताइए कि निम्नलिखित कथन सही है या गलत-
(क) मध्यिका से मदों के विचलनों का योग शून्य होता है।
उत्तर: गलत।
(ख) श्रृंखलाओं की तुलना के लिए मात्र औसत ही पर्याप्त नहीं है।
उत्तर: सही।
(ग) समांतर माध्य एक स्थैतिक मूल्य है।
उत्तर: गलत।
(घ) उच्च चतुर्थक शीर्ष 25 प्रतिशत मदों का न्यूनतम मान है।
उत्तर: सही।
(ङ) मध्यिका चरम प्रेक्षणों द्वारा अनुचित रूप से प्रभावित होती है।
उत्तर: गलत।
4. यदि नीचे दिए गए आँकड़ों का समांतर माध्य 28 है, तो (क) लुप्त आवृत्ति का पता करें, और (ख) श्रृंखला की मध्यिका ज्ञात करें।
| प्रति खुदरा दुकान लाभ (₹ में) | 0-10 | 10-20 | 20-30 | 30-40 | 40-50 | 50-60 |
| खुदरा दुकानों की संख्या | 12 | 18 | 27 | – | 17 | 6 |
उत्तर: (क) दिया गया है:
| लाभ (₹) | 0–10 | 10–20 | 20–30 | 30–40 | 40–50 | 50–60 |
| दुकानों की संख्या (f) | 2 | 18 | 27 | x | 17 | 6 |
समांतर माध्य = 28
चरण 1: लुप्त आवृत्ति ज्ञात करें
| वर्ग | मध्य बिन्दु (x) | f | fx | वर्ग |
| 0–10 | 5 | 2 | 10 | 0–10 |
| 10–20 | 15 | 18 | 270 | 10–20 |
| 20–30 | 25 | 27 | 675 | 20–30 |
| 30–40 | 35 | x | 35x | 30–40 |
| 40–50 | 45 | 17 | 765 | 40–50 |
| 50–60 | 55 | 6 | 330 | 50–60 |
Σf = 70 + x
Σfx = 2050 + 35x
माध्य का सूत्र
90 = 7x
x ≈ 12.86
आवृत्ति पूर्ण संख्या होती है, अतः
x = 13
(ख) मध्यिका ज्ञात करें
कुल आवृत्ति N = 70 + 13 = 83
N/2 = 41.5
संचयी आवृत्ति
| वर्ग | f | संचयी f |
| 0–10 | 2 | 2 |
| 10–20 | 18 | 20 |
| 20–30 | 27 | 47 |
| 30–40 | 13 | 60 |
| 40–50 | 17 | 77 |
| 50–60 | 6 | 83 |
मध्यिका वर्ग = 20–30
L = 20
cf = 20
F = 27
h = 10
मध्यिका =
मध्यिका = 27.96
5. निम्नलिखित सारणी में एक कारखाने के 10 मजदूरों की दैनिक आय दी गई है। इनका समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।
| मज़दूर | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J |
| दैनिक आय (₹ में) | 120 | 150 | 180 | 200 | 250 | 300 | 220 | 350 | 370 | 260 |
उत्तर: दैनिक आय (₹):
120, 150, 180, 200, 250, 300, 220, 350, 370, 260
योग
120 + 150 + 180 + 200 + 250 + 300 + 220 + 350 + 370 + 260 = 2400
कुल मजदूर = 10
समांतर माध्य = ₹240
6. निम्नलिखित सूचना 150 परिवारों की दैनिक आय से संबद्ध है। समांतर माध्य का परिकलन कीजिए।
| आय (₹ में) | परिवारों की संख्या |
| 75 से अधिक | 150 |
| 85 से अधिक | 140 |
| 95 से अधिक | 115 |
| 105 से अधिक | 95 |
| 115 से अधिक | 70 |
| 125 से अधिक | 60 |
| 135 से अधिक | 40 |
| 145 से अधिक | 25 |
उत्तर:
| आय वर्ग अन्तराल | परिवारों की संख्या (सीएफ) | आवृत्ति (एफ) | मध्य मूल्य (एम) | एफएम |
| 75 – 85 | 150 | 150 – 140 = 10 | 80 | 800 |
| 85 – 95 | 140 | 140 – 115 = 25 | 90 | 2250 |
| 95 – 105 | 115 | 115 – 95 = 20 | 100 | 2000 |
| 105 – 115 | 95 | 95 – 70 = 25 | 110 | 2750 |
| 115 – 125 | 70 | 70 – 60 = 10 | 120 | 1200 |
| 125 – 135 | 60 | 60 – 40 = 20 | 130 | 2600 |
| 135 – 145 | 40 | 40 – 25 = 15 | 140 | 2100 |
| 145 – 155 | 25 | 25 | 150 | 3750 |
| योग | ∑f = 150 | ∑fm = 17450 |
7. नीचे एक गाँव के 380 परिवारों की जोतों का आकार दिया गया है। जोत का मध्यिका आकार ज्ञात कीजिए।
| जोतों का आकार (एकड़ में): | 100 से कम | 100-200 | 200-300 | 300-400 | 400 तथा उससे अधिक |
| परिवारों की संख्या: | 40 | 89 | 148 | 64 | 39 |
उत्तर:
| जोतों का आकार (एकड़ में) | परिवारों की संख्या | संचयी आवृत्ति |
| 100 से कम | 40 | 40 |
| 100–200 | 89 | 129 = c.f. |
| 200–300 | 148 = f | 277 |
| 300–400 | 64 | 341 |
| 400 से अधिक | 39 | 380 |
| योग | ∑f = 380 |
8. निम्न श्रृंखला किसी कंपनी में नियोजित मजदूरों की दैनिक आय से संबद्ध है। परिकलन कीजिए:
(क) न्यूनतम 50 प्रतिशत मजदूरों की उच्चतम आय
(ख) शीर्ष 25 प्रतिशत मजदूरों द्वारा अर्जित न्यूनतम आय और
(ग) न्यूनतम 25 प्रतिशत मजदूरों द्वारा अर्जित अधिकतम आय।
| दैनिक आय (₹ में) | मजदूरों की संख्या |
| 10-14 | 5 |
| 15-19 | 10 |
| 20-24 | 15 |
| 25-29 | 20 |
| 30-34 | 10 |
| 35-39 | 5 |
उत्तर: (क) न्यूनतम 50% मजदूरों की उच्चतम आय (मध्यिका)
N = 65, N/2 = 32.5
32.5वीं इकाई 25–29 वर्ग में आती है।
L = 24.5, c = 30, f = 20, h = 5
सूत्र:
= 24.5 + 0.625
मध्यिका = ₹25.125
(ख) शीर्ष 25% मजदूरों द्वारा अर्जित न्यूनतम आय (तृतीय चतुर्थक Q3)
48.75वीं इकाई 25–29 वर्ग में आती है।
L = 24.5, cf = 30, f = 20, h = 5
= 24.5 + 4.6875
Q3 = ₹29.19
(ग) न्यूनतम 25% मजदूरों द्वारा अर्जित अधिकतम आय (प्रथम चतुर्थक Q1)
Q1 = N/4 = 65/4 =16.25
16.25वीं इकाई 20–24 वर्ग में आती है।
L = 19.5, cf = 15, f = 15, h = 5
Q1 = ₹19.92
9. निम्न सारणी में किसी गाँव के 150 खेतों में गेहूँ की प्रति हेक्टेयर पैदावार दी गई है। समांतर माध्य, मध्यिका तथा बहुलक के मान की गणना कीजिए।
| उत्पादित फसल (प्रति हेक्टेयर किग्रा में) | खेतों की संख्या |
| 50-53 | 3 |
| 53-56 | 8 |
| 56-59 | 14 |
| 59-62 | 30 |
| 62-65 | 36 |
| 65-68 | 28 |
| 68-71 | 16 |
| 71-74 | 10 |
| 74-77 | 5 |
उत्तर: माध्य, मध्यिका और बहुलक मानों की गणना करने के लिए:
| उत्पादन उपज (किलोग्राम प्रति हेक्टेयर) (X) | खेतों की संख्या (एफ) | मध्य मान (एम) | संचयी आवृत्ति (cf) | एफएम |
| 50–53 | 3 | 51.5 | 3 | 154.5 |
| 53–56 | 8 | 54.5 | 11 | 436 |
| 56–59 | 14 | 57.5 | 25 | 805 |
| 59–62 | 30 | 60.5 | 55 | 1815 |
| 62–65 | 36 | 63.5 | 91 | 2286 |
| 65–68 | 28 | 66.5 | 119 | 1862 |
| 68–71 | 16 | 69.5 | 135 | 1112 |
| 71–74 | 10 | 72.5 | 145 | 725 |
| 74–77 | 5 | 75.5 | 150 | 377.5 |
| योग | ∑f = 150 | ∑fm = 9573 |
माध्य का सूत्र इस प्रकार है:
माध्यिका का सूत्र इस प्रकार है:
बहुलक का सूत्र इस प्रकार है:
सूत्र में मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,
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