SEBA Class 8 Mathematics Chapter 3 চতুৰ্ভূজ Question Answer, SEBA Class 8 Maths Notes in Assamese Medium, SEBA Class 8 Maths Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 8 Mathematics Chapter 3 চতুৰ্ভূজ Notes and select needs one.
SEBA Class 8 Mathematics Chapter 3 চতুৰ্ভূজ
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 8 Mathematics Chapter 3 চতুৰ্ভূজ Notes. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 8 Mathematics Chapter 3 চতুৰ্ভূজ Solutions for All Subject, You can practice these here.
চতুৰ্ভূজ
Chapter – 3
| অনুশীলনী – 3.1 |
1. নিম্ন লিখিত বহুভূজবোৰ আঁকাঃ
(i) উত্তল ষড় ভূজ।
উত্তৰঃ
চিত্ৰতঃ ABCDEF এটা উত্তল ষড়ভূজ ৷
আৰু কোণ কেইটা, ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E, ∠F
(ii) অৱতল সপ্তভূজ।
উত্তৰঃ
চিত্ৰতঃ ABCDEFG এটা অৱতল সপ্তভূজ।
আৰু অন্তঃকোণ ∠ B ৰ মাপ > 180°
(iii) অৱতল পঞ্চভূজ।
উত্তৰঃ
চিত্রত : ABCDE এটা অৱতল পঞ্চভূজ।
আৰু অন্তঃকোণ ∠D ৰ মাপ > 180
2. নিম্নলিখিত উত্তল বহুভূজবোৰ আঁকা আৰু প্ৰত্যেকটোৰ কৰ্ণ চিহ্নিত কৰি মুঠ কৰ্ণৰ সংখ্যা লিখা।
(i) সুষম ষড়ভূজ।
উত্তৰঃ
কাষৰ চিত্ৰটোত ABCDEF এটা সুষম ষড়ভূজ৷ ইয়াৰ কৰ্ণ কেইডাল হ’ল,
মুঠ কৰ্ণৰ সংখ্যা = 9
(ii) অষ্টভূজ।
উত্তৰঃ
কাষৰ চিত্ৰত, ABCDEFGH
এটা অষ্টভূজ৷ ইয়াৰ কৰ্ণ কেইডাল হ’ল,
মুঠ কৰ্ণৰ সংখ্যা = 20
(iii) নৱভুজ।
উত্তৰঃ
ABCDEFGHI এটা নৱৰ্ভূজ।
ইয়াৰ কৰ্ণ কেইডাল হ’ল,
মুঠ কৰ্ণৰ সংখ্যা = 27
(iv) দশভূজ।
উত্তৰঃ
কাষৰ চিত্ৰতঃ ABCDEFGHIJ এটা দশভূজ ৷
ইয়াৰ কৰ্ণ কেইডাল হ’ল–
মুঠ কৰ্ণৰ সংখ্যা = 35
3. নিম্ন লিখিত সুষম বহুভূজবোৰ আঁকা প্ৰত্যেকটোৰ কোণৰ সমষ্টি উলিওৱা আৰু বহুভূজবোৰৰ প্ৰতিটো কোণৰ পৰিমাণ কিমান হ’ব উলিওৱা-
(i) সুষম ষড়ভূজ।
উত্তৰঃ
সুষম ষড়ভূজঃ
ABCDEF এটা সুষম বহুভূজ।
ইয়াৰ AB = BC = CD = DE = EF = FA
ইয়াত বাহুৰ সংখ্যা (n) = 6
আমি জানো যে,
n টা বাহু বিশিষ্ট বহুভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি
= (2n-4) × 90°
∴ n = 6 হলে,
কোণৰ সমষ্টি = (2 × 6 – 4) × 90°
= (12 – 4) × 90°
= 8 × 900
= 720°
আৰু প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ পৰিমাণ = ((2n – 4) )/n) × 90°
= ((2×6 – 4)/6) × 90°
= 8/6 × 90°
= 8 × 15
= 1200
নিৰ্ণেয় সুষম ষড়ভূজটোৰ
প্রত্যেকটো কোণৰ সমষ্টি = 720° আৰু
প্ৰতিটো কোণৰ মাপ = 120⁰
(ii) সুষম নৱভূজ।
উত্তৰঃ
সুষম নৱভূজঃ
ABCDEFGHI এটা সুষম নৱভূজ।
ইয়াৰ, AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HI
ইয়াত বাহুৰ সংখ্যা (n) = 9
আমি জানো যে,
nটা বাহু বিশিষ্ট বহুভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n –4) × 90°
∴ n = 9 হ’লে,
কোণৰ সমষ্টি = (2 × 9 – 4) × 90°
= (18-4) × 90°
= 14 × 90
= 1260⁰
আৰু প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ পৰিমাণ = ((2n – 4)/n) × 90°
= (2×9 – 4)/9) × 90°
= 18 – 4/9 × 90
= 14/9 × 90
= 14×10
= 140°
নিৰ্ণেয় নৱৰ্ভূজটোৰ প্ৰত্যেক কোণৰ সমষ্টি = 1260°
আৰু প্ৰতিটো কোণৰ মাপ = 140°
(iii) 12 সংখ্যক বাহু থকা সুষম বহুভূজ।
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCDEFGHIJKL এটা
12 টা বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভূজ।
ইয়াত বাহুৰ সংখ্যা (n) = 12
আমি জানো যে,
`n টা বাহু বিশিষ্ট বহুভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 90°
∴ n = 12 হ’লে,
কোণৰ সমষ্টি = (2 × 12 – 4) × 90°
= (24 – 4) × 90°
= 20 × 90
= 1800⁰
আৰু প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ পৰিমাণ = ((2n – 4)/n) × 90°
= (2×12 – 4)/12) × 90°
= 24 – 4/12 × 90
= 20/12 × 90
= 5 × 30
= 150°
নির্ণেয় 12 টা বাহু বিশিষ্ট বহুভূজটোৰ কোণৰ সমষ্টি = 1800°
আৰু প্ৰতিটো কোণৰ মাপ = 150°
4. তলৰ চিত্ৰবোৰৰ a, b কোণৰ জোখ উলিওৱা।
(i)
উত্তৰঃ বহুভূজটোত বাহুৰ সংখ্যা = 5
∴ n = 5
অন্তঃকোণ কেইটাৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 90°
= (2 × 5 – 4 ) × 90°
= (10-4) × 90⁰
= 6 × 90%
= 540⁰
এতিয়া, a + 120 + 105 + 95 + 115 = 540⁰
⇒ a + 435 = 540⁰
⇒ a = 540 – 435
⇒ a = 105
∴ a = 105°
(ii)
উত্তৰঃ বহুভূজটো এটা সুষম পঞ্চভূজ
ইয়াত বাহু (n) = 5
গতিকে প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ মাপ = ((2n – 4)/n) × 90°
= ((2×5 – 4)/5) × 90°
= 10 – 4/5 × 90
= 6/5 × 90
= 6 × 18
∴ ∠a = 108⁰
আৰু 108 + b = 180° [সৰল কোণ]
⇒ b = 180° – 1800
= 72⁰
∴ a = 108° আৰু b = 72⁰
(iii)
উত্তৰঃ বহুভূজটো এটা চতুৰ্ভূজ।
আমি জানো যে,
চতুৰ্ভূজৰ কোণ কেইটাৰ সমষ্টি = 360°
∴ a + 70°+ 80° + 60⁰ = 360⁰
⇒ a +210° = 360
⇒ a = 360° – 2100
⇒ a = 1500
আৰু, b + 80° = 180°
⇒ b = 180 – 80
⇒ b = 100°
∴ a = 150° আৰু b = 100°
(iv)
উত্তৰঃ চিত্ৰৰ পৰা,
b + 130⁰ = 180⁰
⇒ b = 180⁰ – 130⁰
⇒ b = 50⁰
আকৌ, বহুভূজৰ আটাইকেইটা বহিঃস্থ কোণৰ সমষ্টি = 360°
∴ a + 60⁰ + 55⁰ + b + 65⁰ + 70° = 360°
⇒ a + 60 ° + 55⁰ +50⁰ + 65⁰ + 70⁰ = 360⁰
⇒ a + 300⁰ = 360°
⇒ a = 360° – 300°
⇒ a = 60⁰
∴ a = 60°, b = 50°
(v)
উত্তৰঃ চিত্ৰত,
a + 80 + 90 + 70 + 90 = 360⁰
⇒ a + 330 = 360
⇒ a = 360-330
⇒ a = 30°
∴ a = 30°
আৰু, b + 70° = 180°
⇒ b = 180 – 70
⇒ b = 110°
∴ b = 110°
5. এটা সুষম বহুভূজৰ এটা বহিঃকোণৰ জোখ 30° হলে বহুভূজৰ বাহু সংখ্যা কিমান?
উত্তৰঃ দিয়া আছে, সুষম বহুভুজৰ এটা বহিঃকোণ = 30°
∴ বহিঃকোণৰ লগত লাগি থকা অন্তঃকোণটো = 180° – 30°
= 150⁰
∴ প্রত্যেক অন্তঃকোণৰ মাপ সমান [সুষম বহুভূজৰ ক্ষেত্ৰত]
আমি জানো যে, n বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজৰ
⇒ (2n-4)/n = 5/3
⇒ 6n – 12 = 5n
⇒ 6n – 5n = 12
⇒ n = 12
∴ নিৰ্ণেয় বহুভূজটোৰ বাহু সংখ্যা = 12
7. তলত একোটা সুষম বহুভূজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ জোখ দিয়া আছে। বহুভূজ কেইটাৰ বাহুৰ সংখ্যা উলিওৱা।
(i) 120°
উত্তৰঃ
(ii) 144°
উত্তৰঃ
(iii) 156°
উত্তৰঃ
(iv) 135°
উত্তৰঃ
(v) 165°
উত্তৰঃ
8. তলত দিয়া সংখ্যাবোৰ বহুভুজৰ বাহু সংখ্যা হ’লে প্ৰতিটো বহুভূজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি উলিওৱা।
(i) 12
উত্তৰঃ দিয়া আছে, বাহুৰ সংখ্যা, n = 12
∴ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 900
= (2 × 12 – 4) × 900
= (24 – 4) × 90⁰
= 20 × 90⁰
= 1800⁰
∴ নিৰ্ণেয় অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = 1800°
(ii) 14
উত্তৰঃ দিয়া আছে, বাহুৰ সংখ্যা, n = 14
∴ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 90°
= (2×14 – 4) × 90°
= (28 – 4) × 90⁰
= 24 × 90⁰
= 2160⁰
∴ নিৰ্ণেয় অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = 2160⁰
(iii) 20
উত্তৰঃ দিয়া আছে, বাহুৰ সংখ্যা, n = 20
∴ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 90°
= (2 × 20 – 4) × 90°
= (40 – 4) × 90⁰
= 36 × 90⁰
= 3240°
∴ নিৰ্ণেয় অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = 3240°
(iv) 24
উত্তৰঃ দিয়া আছে, বাহুৰ সংখ্যা, n = 24
∴ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 90°
= (2 × 24 – 4) × 90°
= (48 – 4) × 90⁰
= 44 × 90⁰
= 3960°
∴ নিৰ্ণেয় অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = 3960°
(v) 25
উত্তৰঃ দিয়া আছে, বাহুৰ সংখ্যা, n = 25
∴ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 900
= (2 × 25 – 4) × 90⁰
= (50 – 4) × 90⁰
= 46 × 90⁰
= 4140⁰
∴ নিৰ্ণেয় অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = 4140⁰
9. তলৰ উক্তিবোৰ সঁচা নে মিছা, যুক্তিসহকাৰে লিখা।
(i) এটা সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো বহিঃকোণৰ জোখ 25° হ’ব নোৱাৰে।
উত্তৰঃ সঁচা। [বহিঃস্থ কোণৰ সমষ্টি = 360° প্ৰতিটো বহিঃকোণ = 25°
বাহু সংখ্যা = 360/25 = 14.4 যিটো নহয়]
(ii) এটা সুষম বহুভূজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ জোখ 1°হ’ব পাৰে ৷
উত্তৰঃ মিছা।
(iii) এটা সুষম বহুভূজৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ বহিঃকোণ 90°
উত্তৰঃ মিছা।
(iv) এটা সুষম বহুভূজৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ অন্তঃকোণ 180°
উত্তৰঃ মিছা।
(v) এটা সুষম বহুভূজৰ আটাইতকৈ সৰু অন্তঃকোণ 60°
উত্তৰঃ মিছা।
| অনুশীলনী 3.2 |
1. তলত দিয়া বিভিন্ন চতুৰ্ভূৰ্জত থকা অজ্ঞাত ৰাশি (বাহু/কোন)ৰ মান উলিওৱা ৷
(i)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, চতুৰ্ভূজটো ABCD
∠ A=80°, ∠ B=75°, ∠ C=a, ∠D=110° ∠a=?
আমি জানো যে, চতুৰ্ভূজৰ চাৰিওটা
কোণৰ সমষ্টি 360°
∴ ∠A + ∠B + ∠ C + ∠D = 360°
⇒ 80° +75° + a + 110⁰ = 360
⇒ a + 265 = 360
⇒ a = 360-265
⇒ a = 95°
(ii)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, চতুৰ্ভূজটো ABCD।
চতুৰ্ভূজটো এটা সামান্তৰিক, যিহেতু
AB = DC আৰু AD = BC
∠B= 105°
∴ ∠D = 105°
⇒ b = 105° [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত (মুখামুখী) কোণবোৰ সমান]
আকৌ, a + b = 180° [DC || AB, AD ছেদক]
⇒ a + 1050 = 180°
∴ ∠A+∠D = 180°
⇒ a = 180° – 105°
⇒ a = 75°
∴ ∠a = 75℃ ∠c = 75°
∴ নির্ণেয় a = 75º, b = 105°, c = 75°
(iii)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD চতুৰ্ভূজ।
ইয়াৰ, AB = CD আৰু AC = BD
∴ ABCD সামান্তৰিক।
সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান ৷
∴ m∠B = m∠C = 110°
∴ m∠C = 110°
এতিয়া, ∆ACD ত্ৰিভুজৰ,
∠CAD + ∠C + ∠CDA = 180°
⇒ a + 110° + 40° = 180°
⇒ a + 150° = 180°
⇒ a = 180 – 150
⇒ a = 30°
আকৌ, ∆ACDৰ পৰা
a + ∠c+ ∠CDA = 180°
⇒ a+ 110° + 40° = 180°
⇒ a + 150° = 180°
⇒ a = 180 – 150
⇒ a = 30°
∴ a = 30°, b = 30°
(iv)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, চতুৰ্ভূজটো ABCD
দিয়া আছে, AB = DC
আৰু AD = BC
এতিয়া, AB = DC
⇒ 4a = 24
⇒ a = 24/4
∴ a = 6
আৰু, 2b + 1 = 9
⇒ 2b = 9 -1
⇒ 2b = 8
⇒ b = 8/2
∴ b = 4
(v)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD চতুর্ভূজ।
ইয়াৰ AB=BC=CD=DA
গতিকে ABCD এটা ৰম্বাছ।
∵ BC = 17
∴ AB = 17
অর্থাৎ a = 17
সমকোণী ত্রিভুজ BOC ৰ পৰা,
BC² = BO² + CO²
⇒ 17² = 15² + CO²
⇒ 17² – 152 = CO²
⇒ CO² = 289 – 225
⇒ CO² = 64
⇒ CO² = (8)²
⇒ CO = 8
∴ b = 8
আৰু, ODC সমকোণী ত্রিভুজৰ,
DC² = OD² + OC²
⇒ 17² = OD² + 8³
⇒ 17² – 8² = OD²
⇒ OD² = 289 – 64
⇒ OD² = 225
⇒ OD² = (15)²
⇒ OD = 15
∴ c = 15
∴ নির্ণেয় a = 17, b = 8 আৰু c = 15
(vi)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD চতুৰ্ভূজ।
ABCD চতুৰ্ভূজটো এটা সামান্তৰিক ৷
গতিকে, ∠A = ∠C
⇒ 75° = b
∴ b = 75° ——— (i) [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান]
আকৌ, DC || AB, AD ছেদক,
গতিকে, ∠A+ ∠D=180° [ছেদকৰ একেফালৰ অন্তঃস্থ কোণ]
⇒ ∠D = 180° – ∠A
= 180° – 75
= 105°
∴ c = 105° ——— (ii)
আৰু ∠D = ∠B
⇒ 105° = ∠B
⇒ a = 105° ——— (iii)
∴ a = 105°, b = 75°, c = 105°
(vii)
AC = 10
OA = x = ?
OB = y = ?
উত্তৰঃ চিত্ৰত ABCD এটা আয়ত।
ইয়াৰ, AC আৰু BD কৰ্ণই ‘O’ ত কটাকটি কৰিছে।
AC = 10 হ’লে, x আৰু y নিৰ্ণয় কৰিব লাগে।
আমি জানো যে,
আয়তৰ কৰ্ণই পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত কৰে ৷
∴ DO = BO = AO = CO
DO = 1/2 BD
= 1/2 AC [AC = BD]
= 1/2 × 10
= 5
∴ x = 5
গতিকে, y = 5
∴ নির্ণেয় x = 5 আৰু y = 5
(viii)
উত্তৰঃ ABCD এটা বৰ্গ। ইয়াৰ,
AB = BC = CD = DA = 6
∴ x + y + z = 6 + 6 + 6
= 18
(ix)
x + y + z = ?
উত্তৰঃ
চিত্রত ABCD চতুৰ্ভূজটোৰ, AB = BC = CD = DA
গতিকে চতুৰ্ভূজটো এটা ৰম্বাছ ৷
গতিকে, AB = BC = CD =DA= 7
∴ x + y + z = 7+7+7
= 21
(x)
উত্তৰঃ ABCD চতুৰ্ভুজটোৰ AB = CD আৰু AD = BC
গতিকে ABCD এটা সামান্তৰিক ৷
∴ ∠A + ∠B + ∠C + D = 360°
⇒ (2x – 3) + (3x – 2) + (2x – 3) + (3x – 2) = 3600
⇒ 10x – 10 = 360
⇒ 10x = 360 + 10
⇒ 10x = 370
⇒ x = 370/10
∴ x = 37
(xi)
উত্তৰঃ ABCD চতুৰ্ভূজটোৰ AB = BC = CD = DA
গতিকে, ABCD এটা ৰম্বাছ ৷
চিত্ৰৰ পৰা, ∆DAC ৰ,
DA = DC (দিয়া আছে)
∴ ∠DCA = ∠DAC = y
∴ ∠D + ∠DCA + ∠DAC =180°
⇒ 68° + y + y = 180
⇒ 2y = 180-68
⇒ 2y = 112
⇒ y = 112/2
∴ y = 56
আকৌ, x = y= 56° [একান্তৰ কোণ]
∴ x = 56°
∴ নির্ণেয় x = y = 56°
(xii)
উত্তৰঃ চিত্ৰৰ পৰা বহুভূজটোৰ বহিঃস্থ কোণ কেইটাৰ সমষ্টি = 360° বা 4 সমকোণ।
গতিকে, x + 60° + 90° + 90° + 40° = 360°
⇒ x + 280° = 360°
⇒ x = 360 – 280
= 80⁰
∴ x = 80°
2. এটা সামান্তৰ্কিৰ দুটা সন্নিহিত কোণৰ জোখৰ অনুপাত 4 : 5 হ’লে সামান্তৰিকৰ কোণৰ জোখ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল,
কোণ দুটাৰ মাপ ক্ৰমে 4x আৰু 5x
যিহেতু কোণ দুটা সামান্তৰিক এটাৰ সন্নিহিত কোণ।
গতিকে, 4x + 5x = 180°
⇒ 9x = 180
⇒ x = 180/9
⇒ x = 20
∴ সন্নিহিত কোণ দুটা হ’ল, 4 × 20 = 80°
আৰু 5 × 20 = 100°
আকৌ, সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ পৰস্পৰ সমান।
গতিকে সামান্তৰিকটোৰ কোণবোৰ হ’ল, 80°, 100°, 80°, 100°
3. এটা সামান্তৰিক দুটা সন্নিহিত কোণৰ এটা আনটোতকৈ 30° বেছি হ’লে সামান্তৰিকৰ প্ৰতিটো কোণৰ জোখ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল,
সামান্তৰিকৰ সন্নিহিত কোণ দুটাৰ এটাৰ মাপ x°
∴ আনটোৰ মাপ = (x° + 30°)
∵ কোণ দুটা সামান্তৰিকৰ সন্নিহিত কোণ,
∴ x + (x + 30) = 180°
⇒ 2x + 30 = 180°
⇒ 2x = 180° – 30°
⇒ 2x = 150°
⇒ x = 150/2
⇒ x = 75
∴ x = 75
∴ সামান্তৰিকৰ সন্নিহিত কোণ দুটা 75 আৰু 75 + 30 = 105°
সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ পৰস্পৰ সমান৷
∴ কোণকেইটা ক্ৰমে, 75°, 105°, 75°, 105°
4. ABCD এটা সামান্তৰিকৰ AC আৰু BD কৰ্ণ, m∠a=37° আৰু m∠ABC=120° হ’লে, m∠b ৰ জোখ কিমান?
উত্তৰঃ ABCD সামান্তৰিকৰ চিত্ৰত
m∠a=37 আৰু m∠ABC=120° হলে,
m∠b ৰ মাপ উলিয়াব লাগে ৷
যিহেতু ABCD এটা সামান্তৰিক।
গতিকে, m ∠ABC = m ∠ADC [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান]
⇒ m ∠ADC = 120°
⇒ m∠a+ m∠b = 120°
⇒ 37° + m∠b = 120°
⇒ m∠b = 120° – 37°= 83°
∴ m∠b = 83°
5. ABCD আয়তত AC কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য 6x – 2 আৰু BD কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য 4x + 2 হলে, x ৰ মান আৰু AC ৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD আয়ত।
ইয়াৰ AC কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য 6x – 2 আৰু
BD কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য 4x + 21 x ৰ মান
আৰু ACৰ দৈৰ্ঘ্য উলিয়াব লাগে ৷
আমি জানো যে, আয়ৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ সমান ৷
গতিকে, AC কৰ্ণ = BD কর্ণ
⇒ 6x – 2 = 4x + 2
⇒ 6x – 4x = 2 + 2
⇒ 2x = 4
⇒ x = 4/2
⇒ x = 2
∴ x = 2
এতিয়া,
AC = 6x – 2
6. ABCD আয়তৰ দুডাল কৰ্ণই বিন্দুত মিলিত হয়। AC আৰু BD ৰ দৈৰ্ঘ্য 3x + 1 আৰু 8x – 24 হলে, x, AO আৰু BO মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ABCD আয়ত। ইয়াৰ AC = 3x + 1
আৰু BD = 8x – 24 আৰু ইহঁতে O বিন্দুত
মিলিত হয়। x , AO আৰু BO ৰ মান উলিয়াব লাগে।
আমি জানো যে,
আয়তৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ সমান আৰু ইহঁত পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
গতিকে, AC = BD
⇒ 3x+1 = 8x – 24
⇒ 3x – 8x = -24 – 1
⇒ -5x = -25
⇒ x = -25/-5
⇒ x = 5
∴ x = 5
আকৌ, AO = 1/2 AC
= 1/2 (3x + 1)
= 1/2 × (3 × 5 + 1)
= 1/2 × (15 + 1)
= 1/2 × 16
= 8
আৰু BO = 1/2 BD
= 1/2 (8x – 24)
= 1/2 × (8 × 5 – 24)
= 1/2 × (40 – 24)
= 1/2 × 16
= 8
∴ x = 5, AO = 8 আৰু BO = 8
7. ABCD বৰ্গত m∠A = 4x + 30° হলে, x ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ABCD বৰ্গ। গতিকে ইয়াৰ,
∠A=∠B=∠C = ∠ D = 90°
দিয়া আছে, m∠A = 4x + 30°
⇒ 90° = 4x + 30°
⇒ 4x = 90° – 30°
⇒ 4x = 60°
⇒ x = 60/4
⇒ x = 15
∴ x = 15°
8. ABCD আয়তৰ AB = 2x + 5, BC = 20 আৰু AD = 3x + 5 হ’লে আয়তৰ চাৰিটা বাহুৰ যোগফল নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ABCD আয়ত। ইয়াৰ
AB = 2x + 5, BC = 20,
AD = 3x + 5 হ’লে আয়তটোৰ বাহু চাৰিটাৰ
যোগফল উলিয়াব লাগে।
আমি জানো যে,
আয়তৰ বিপৰীত বাহুবোৰ পৰস্পৰ সমান।
∴ AB = CD আৰু BC = AD
AD = BC
⇒ 3x + 5 = 20
⇒ 3x = 20 – 5
⇒ 3x = 15
⇒ x = 15/3
⇒ x = 5
∴ x = 5
এতিয়া, AB + BC + CD + DA = 2x + 5 + 20 + 2x + 5 + 3x + 5
= 7x + 35
= 7 × 5 + 35
= 35 + 35
= 70
∴ আয়তটোৰ বাহু চাৰিটাৰ যোগফল = 70
9. ABCD সামান্তৰিক এটাৰ m∠B = 2x + 10° আৰু m∠D = 3x – 13° হলে সামান্তৰিকৰ আটাইকেইটা কোণৰ পৰিমাণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD সামান্তৰিকৰ,
m∠B = 2x + 10° আৰু
m∠D = 3x – 13° সামান্তৰিকটোৰ আটাইবোৰ কোণৰ মাপ উলিয়াব লাগে।
আমি জানো যে,
সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ পৰস্পৰ সমান আৰু সন্নিহিত কোণ দুটাৰ সমষ্টি 180°।
∴ ∠B = ∠D
⇒ 2x + 10 = 3x – 13°
⇒ 2x – 3x = -13 – 10
⇒ -x = – 23
⇒ x = 23
∴ ∠B = 2x + 10
= 2 × 23 + 10
= 46 + 10
= 56⁰
∴ ∠D = 3 × 23 – 13
= 69 – 13
= 56⁰
আকৌ, ∠B + ∠C = 180°
⇒ 56° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° – 56°
⇒ ∠C = 124°
∴ ∠C = ∠A = 124°
∴ ABCD সামান্তৰিকৰ কোণবোৰ হ’ল, 56°, 124°, 56°, 124°
10. এটা বৰ্গৰ চাৰিটা বাহুৰ যোগফল 36 চে.মি. হলে বৰ্গৰ বাহুৰ দীঘ উলিওৱা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ 4 টা বাহুৰ যোগফল = 36 চে.মি.
4 × (বাহু) = 36
বাহু = 36/4
⇒ বাহু = 9
∴ নিৰ্ণেয় বৰ্গটোৰ বাহুৰ দীঘ = 9 চে.মি.
11. ABCD ৰম্বাছত AB = 3x + 4 আৰু BC = 2x + 7 হ’লে DC আৰু AD বাহুৰ দীঘ কিমান?
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD ৰম্বাছ।
ইয়াৰ, AB = BC = CD = DA
যদি AB = 3x + 4, BC = 2x + 7
তেন্তে DC আৰু AD বাহুৰ দীঘ উলিয়াব লাগে।
AB = BC [ৰম্বাছৰ বাহু]
⇒ 3x + 4 = 2x +7
⇒ 3x – 2x = 7 – 4
⇒ x = 3
∴ AB = 3 × 3 + 4 = 13
DC = 2 × 3 + 7 = 13
∴ DC = AD = 13 হ’ব।
12. ABCD সামান্তৰিকত AC আৰু BD কৰ্ণই E বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত হয়। যদি AE = 10x তেন্তে AC ৰ জোখ উলিওৱা যদি x = 3 হয়।
উত্তৰঃ
ABCD সামান্তৰিকৰ AC আৰু BD কৰ্ণই E বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত হয়। AE = 10x হ’লে AC ৰ জোখ উলিয়াব লাগে যদি x = 3 হয়।
AE = 10x
= 10 × 3
= 30 [∵ x = 3]
∴ AC = 2 × AE
= 2 × 30
= 60
13. ABCD সামান্তৰিকত BD কৰ্ণৰ ওপৰত AE আৰু CF লম্ব ৰেখাখণ্ড হ’লে দেখুওৱা যে
∆AED ≅ ∆CFB।
উত্তৰঃ
ABCD সমান্তৰিকৰ BD কৰ্ণ।
AE ⊥ BD আৰু CF ⊥ BD
দেখুৱাব লাগে যে, ∆AED ≅ ∆CFB
প্ৰমাণঃ ∆AED আৰু ∆CFB ৰ পৰা,
∠AED = ∠CFB (=90°)
AD = BC [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু]
∠ADE = ∠FBC (একান্তৰ কোণ)
∴ ∆AED ≅∆CFB (প্রমাণিত)
14. ABCD চতুৰ্ভূজৰ AB আৰু CD বাহুক যথাক্রমে P আৰু Q বিন্দুলৈ বৰ্ধিত কৰা হ’ল, প্ৰমাণ কৰা যে,∠ADQ + ∠CBP = ∠A + ∠C
উত্তৰঃ AC সংযোগ কৰা হ’ল ৷
∆ ADC ৰ পৰা,
∠ADQ = ∠DAC + ∠DCA ———— (i)
আৰু ∆ABC ৰ পৰা,
∠CBP = ∠BAC+ ∠ACB ———— (ii)
[ত্ৰিভুজৰ বহিঃকোণটো ইয়াৰ দুৰবৰ্ত্তী অন্তঃকোণদ্বয়ৰ সমষ্টিৰ সমান]
(i) আৰু (ii) ক যোগ কৰি পাওঁ,
∠ADQ + ∠CBP = ∠DAC + ∠DCA + ∠BAC + ∠ACB
= (∠DAC + ∠BAC) + (∠DCA + ∠ACB)
= ∠A + ∠C
∴ ∠ADQ + ∠CBP = ∠A + ∠C (প্রমাণিত)
15. ABCD সামান্তৰিকত ∠A আৰু ∠B কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক যদি O বিন্দুত মিলিত হয় তেন্তে ∠AOB জোখ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ABCD সামান্তৰিক।
∠A আৰু∠B ৰ সমদ্বিখণ্ডকো O বিন্দুত মিলিত হয়।
∠AOB ৰ জোখ উলিয়াব লাগে।
∠A+∠B=180° [AD || BC, ABCD সামান্তৰিক। AB ছেদক গতিকে ∠A আৰু ∠B ছেদকৰ একেফালৰ অন্তঃস্থ কোণ]
∠0AB = 1/2∠A
∠OBA =1/2∠B
∴ ∠OAB + ∠OBA = 1/2∠A + 1/2 ∠B
= 1/2 (∠A + ∠B)
= 1/2 × 180°
= 90° ———— (i)
এতিয়া, ∆OAB ৰ,
∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180° [ত্ৰিভুজৰ কোণ তিনিটাৰ সমষ্টি]
⇒ ∠AOB + 90° = 180° [(i) পৰা]
⇒ ∠AOB = 180° – 90% থেকে
⇒ ∠AOB = 90°
∴ ∠AOB = 90°
16. এটা চতুৰ্ভূজৰ চাৰিটা কোণৰ অনুপাত 3 : 4 : 5 : 6 হ’লে চতুৰ্ভূজটোৰ কোণবোৰৰ জোখ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল, চতুৰ্ভূজটোৰ কোণ কেইটা ক্ৰমে, 3x, 4x, 5x আৰু 6x
∴ 3x + 4x + 5x + 6x = 360° [চতুৰ্ভূজৰ কোণকেইটাৰ সমষ্টি 360°]
⇒ 18x = 360°
⇒ x = 360/18
⇒ x = 20
∴ x = 20
∴ চতুৰ্ভূজটোৰ কোণকেইটা হ’ব, 3 × 20 = 60°
4 × 20 = 80°
5 × 20 = 100°
6 × 20 = 120°
∴ নির্ণেয় কোণ কেইটা, 60°, 80°, 100°, 120°
