SEBA Class 8 Mathematics Chapter 3 চতুৰ্ভূজ Question Answer, SEBA Class 8 Maths Notes in Assamese Medium, SEBA Class 8 Maths Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 8 Mathematics Chapter 3 চতুৰ্ভূজ Notes and select needs one.
SEBA Class 8 Mathematics Chapter 3 চতুৰ্ভূজ
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 8 Mathematics Chapter 3 চতুৰ্ভূজ Notes. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 8 Mathematics Chapter 3 চতুৰ্ভূজ Solutions for All Subject, You can practice these here.
চতুৰ্ভূজ
Chapter – 3
| অনুশীলনী – 3.1 |
1. নিম্ন লিখিত বহুভূজবোৰ আঁকাঃ
(i) উত্তল ষড় ভূজ।
উত্তৰঃ
চিত্ৰতঃ ABCDEF এটা উত্তল ষড়ভূজ ৷
আৰু কোণ কেইটা, ∠A, ∠B, ∠C, ∠D, ∠E, ∠F
(ii) অৱতল সপ্তভূজ।
উত্তৰঃ
চিত্ৰতঃ ABCDEFG এটা অৱতল সপ্তভূজ।
আৰু অন্তঃকোণ ∠ B ৰ মাপ > 180°
(iii) অৱতল পঞ্চভূজ।
উত্তৰঃ
চিত্রতঃ ABCDE এটা অৱতল পঞ্চভূজ।
ইয়াৰ বাহুবোৰ,
আৰু অন্তঃকোণ ∠D ৰ মাপ > 180
2. নিম্নলিখিত উত্তল বহুভূজবোৰ আঁকা আৰু প্ৰত্যেকটোৰ কৰ্ণ চিহ্নিত কৰি মুঠ কৰ্ণৰ সংখ্যা লিখা।
(i) সুষম ষড়ভূজ।
উত্তৰঃ
কাষৰ চিত্ৰটোত ABCDEF এটা সুষম ষড়ভূজ। ইয়াৰ কৰ্ণ কেইডাল হ’ল,
মুঠ কৰ্ণৰ সংখ্যা = 9
(ii) অষ্টভূজ।
উত্তৰঃ
কাষৰ চিত্ৰত, ABCDEFGH
এটা অষ্টভূজ। ইয়াৰ কৰ্ণ কেইডাল হ’ল,
মুঠ কৰ্ণৰ সংখ্যা = 20
(iii) নৱভুজ।
উত্তৰঃ
ABCDEFGHI এটা নৱৰ্ভূজ।
ইয়াৰ কৰ্ণ কেইডাল হ’ল,
মুঠ কৰ্ণৰ সংখ্যা = 27
(iv) দশভূজ।
উত্তৰঃ
কাষৰ চিত্ৰতঃ ABCDEFGHIJ এটা দশভূজ ৷
ইয়াৰ কৰ্ণ কেইডাল হ’ল–
মুঠ কৰ্ণৰ সংখ্যা = 35
3. নিম্ন লিখিত সুষম বহুভূজবোৰ আঁকা প্ৰত্যেকটোৰ কোণৰ সমষ্টি উলিওৱা আৰু বহুভূজবোৰৰ প্ৰতিটো কোণৰ পৰিমাণ কিমান হ’ব উলিওৱা-
(i) সুষম ষড়ভূজ।
উত্তৰঃ
সুষম ষড়ভূজঃ
ABCDEF এটা সুষম বহুভূজ।
ইয়াৰ AB = BC = CD = DE = EF = FA
ইয়াত বাহুৰ সংখ্যা (n) = 6
আমি জানো যে,
n টা বাহু বিশিষ্ট বহুভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি
= (2n-4) × 90°
∴ n = 6 হলে,
কোণৰ সমষ্টি = (2 × 6 – 4) × 90°
= (12 – 4) × 90°
= 8 × 90°
= 720°
আৰু প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ পৰিমাণ = (2n – 4/n) × 90°
= (2×6 – 4/6) × 90°
= 8/6 × 90°
= 8 × 15
= 120°
নিৰ্ণেয় সুষম ষড়ভূজটোৰ
প্রত্যেকটো কোণৰ সমষ্টি = 720° আৰু
প্ৰতিটো কোণৰ মাপ = 120⁰
(ii) সুষম নৱভূজ।
উত্তৰঃ
সুষম নৱভূজঃ
ABCDEFGHI এটা সুষম নৱভূজ।
ইয়াৰ, AB = BC = CD = DE = EF = FG = GH = HI
ইয়াত বাহুৰ সংখ্যা (n) = 9
আমি জানো যে,
nটা বাহু বিশিষ্ট বহুভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n –4) × 90°
∴ n = 9 হ’লে,
কোণৰ সমষ্টি = (2 × 9 – 4) × 90°
= (18 – 4) × 90°
= 14 × 90°
= 1260⁰
আৰু প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ পৰিমাণ = (2n – 4/n) × 90°
= (2 × 9 – 4/9) × 90°
= 18 – 4/9 × 90
= 14/9 × 90
= 14 ×10
= 140°
নিৰ্ণেয় নৱৰ্ভূজটোৰ প্ৰত্যেক কোণৰ সমষ্টি = 1260°
আৰু প্ৰতিটো কোণৰ মাপ = 140°
(iii) 12 সংখ্যক বাহু থকা সুষম বহুভূজ।
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCDEFGHIJKL এটা
12 টা বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভূজ।
ইয়াত বাহু (n) = 12
আমি জানো যে,
n টা বাহু বিশিষ্ট বহুভুজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 90°
∴ n = 12 হ’লে,
কোণৰ সমষ্টি = (2 × 12 – 4) × 90°
= (24 – 4) × 90°
= 20 × 90°
= 1800⁰
আৰু প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ পৰিমাণ = (2n – 4/n) × 90°
= (2 × 12 – 4)/12) × 90°
= 24 – 4/12 × 90°
= 20/12 × 90°
= 5 × 30
= 150°
নির্ণেয় 12 টা বাহু বিশিষ্ট বহুভূজটোৰ কোণৰ সমষ্টি = 1800°
আৰু প্ৰতিটো কোণৰ মাপ = 150°
4. তলৰ চিত্ৰবোৰৰ a, b কোণৰ জোখ উলিওৱা।
(i)
উত্তৰঃ বহুভূজটোত বাহুৰ সংখ্যা = 5
∴ n = 5
∴ অন্তঃকোণ কেইটাৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 90°
= (2 × 5 – 4 ) × 90°
= (10 – 4) × 90⁰
= 6 × 90%
= 540⁰
এতিয়া, a + 120 + 105 + 95 + 115 = 540⁰
⇒ a + 435 = 540⁰
⇒ a = 540 – 435 = 105
∴ a = 105°
(ii)
উত্তৰঃ বহুভূজটো এটা সুষম পঞ্চভূজ
ইয়াত বাহু (n) = 5
গতিকে প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ মাপ = (2n – 4/n) × 90°
= (2 × 5 – 4)/5) × 90°
= 10 – 4/5 × 90°
= 6/5 × 90°
= 6 × 18
∴ ∠a = 108⁰
আৰু 108 + b = 180° [সৰল কোণ]
⇒ b = 180° – 180°
= 72⁰
∴ a = 108° আৰু b = 72⁰
(iii)
উত্তৰঃ বহুভূজটো এটা চতুৰ্ভূজ।
আমি জানো যে,
চতুৰ্ভূজৰ কোণ কেইটাৰ সমষ্টি = 360°
∴ a + 70° + 80° + 60⁰ = 360⁰
⇒ a + 210° = 360°
⇒ a = 360° – 210°
⇒ a = 150°
আৰু, b + 80° = 180°
⇒ b = 180 – 80
⇒ b = 100°
∴ a = 150° আৰু b = 100°
(iv)
উত্তৰঃ চিত্ৰৰ পৰা,
b + 130⁰ = 180⁰
⇒ b = 180⁰ – 130⁰
⇒ b = 50⁰
আকৌ, বহুভূজৰ আটাইকেইটা বহিঃস্থ কোণৰ সমষ্টি = 360°
∴ a + 60⁰ + 55⁰ + b + 65⁰ + 70° = 360°
⇒ a + 60 ° + 55⁰ + 50⁰ + 65⁰ + 70⁰ = 360⁰
⇒ a + 300⁰ = 360°
⇒ a = 360° – 300°
⇒ a = 60⁰
∴ a = 60°, b = 50°
(v)
উত্তৰঃ চিত্ৰত,
a + 80 + 90 + 70 + 90 = 360⁰
⇒ a + 330 = 360
⇒ a = 360-330
⇒ a = 30°
∴ a = 30°
আৰু, b + 70° = 180°
⇒ b = 180 – 70
⇒ b = 110°
5. এটা সুষম বহুভূজৰ এটা বহিঃকোণৰ জোখ 30° হলে বহুভূজৰ বাহু সংখ্যা কিমান?
উত্তৰঃ দিয়া আছে, সুষম বহুভুজৰ এটা বহিঃকোণ = 30°
∴ বহিঃকোণৰ লগত লাগি থকা অন্তঃকোণটো = 180° – 30°
= 150⁰
∴ প্রত্যেক অন্তঃকোণৰ মাপ সমান [সুষম বহুভূজৰ ক্ষেত্ৰত]
আমি জানো যে, n বাহু বিশিষ্ট সুষম বহুভুজৰ
⇒ 2n-4/n = 5/3
⇒ 6n – 12 = 5n
⇒ 6n – 5n = 12
⇒ n = 12
∴ নিৰ্ণেয় বহুভূজটোৰ বাহু সংখ্যা = 12
6. 20 টা বাহু বিশিষ্ট এটা সুষম বহুভূজৰ প্ৰতিটো বহিঃকোণৰ জোখ কিমান হ’ব।
উত্তৰঃ বাহুৰ সংখ্যা (n) = 20
বহিঃকোণৰ সমষ্টি = 360° বা 4 সমকোণ।
এটা বহিঃকোণৰ পৰিমাণ = 360°/20 = 18°
7. তলত একোটা সুষম বহুভূজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ জোখ দিয়া আছে। বহুভূজ কেইটাৰ বাহুৰ সংখ্যা উলিওৱা।
(i) 120°
উত্তৰঃ
(ii) 144°
উত্তৰঃ
(iii) 156°
উত্তৰঃ
(iv) 135°
উত্তৰঃ
(v) 165°
উত্তৰঃ
8. তলত দিয়া সংখ্যাবোৰ বহুভুজৰ বাহু সংখ্যা হ’লে প্ৰতিটো বহুভূজৰ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি উলিওৱা।
(i) 12
উত্তৰঃ দিয়া আছে, বাহুৰ সংখ্যা, n = 12
∴ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 90°
= (2 × 12 – 4) × 90°
= (24 – 4) × 90⁰
= 20 × 90⁰
= 1800⁰
∴ নিৰ্ণেয় অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = 1800°
(ii) 14
উত্তৰঃ দিয়া আছে, বাহুৰ সংখ্যা, n = 14
∴ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 90°
= (2 × 14 – 4) × 90°
= (28 – 4) × 90⁰
= 24 × 90⁰
= 2160⁰
∴ নিৰ্ণেয় অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = 2160⁰
(iii) 20
উত্তৰঃ দিয়া আছে, বাহুৰ সংখ্যা, n = 20
∴ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 90°
= (2 × 20 – 4) × 90°
= (40 – 4) × 90⁰
= 36 × 90⁰
= 3240°
∴ নিৰ্ণেয় অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = 3240°
(iv) 24
উত্তৰঃ দিয়া আছে, বাহুৰ সংখ্যা, n = 24
∴ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 90°
= (2 × 24 – 4) × 90°
= (48 – 4) × 90⁰
= 44 × 90⁰
= 3960°
∴ নিৰ্ণেয় অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = 3960°
(v) 25
উত্তৰঃ দিয়া আছে, বাহুৰ সংখ্যা, n = 25
∴ অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = (2n – 4) × 900
= (2 × 25 – 4) × 90⁰
= (50 – 4) × 90⁰
= 46 × 90⁰
= 4140⁰
∴ নিৰ্ণেয় অন্তঃকোণৰ সমষ্টি = 4140⁰
9. তলৰ উক্তিবোৰ সঁচা নে মিছা, যুক্তিসহকাৰে লিখা।
(i) এটা সুষম বহুভুজৰ প্ৰতিটো বহিঃকোণৰ জোখ 25° হ’ব নোৱাৰে।
উত্তৰঃ সঁচা। [বহিঃস্থ কোণৰ সমষ্টি = 360°
প্ৰতিটো বহিঃকোণ = 25°
∴ বাহু সংখ্যা = 360/25 = 14.4 যিটো নহয়]
(ii) এটা সুষম বহুভূজৰ প্ৰতিটো অন্তঃকোণৰ জোখ 1° হ’ব পাৰে।
উত্তৰঃ মিছা।
(iii) এটা সুষম বহুভূজৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ বহিঃকোণ 90°
উত্তৰঃ মিছা।
(iv) এটা সুষম বহুভূজৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ অন্তঃকোণ 180°
উত্তৰঃ মিছা।
(v) এটা সুষম বহুভূজৰ আটাইতকৈ সৰু অন্তঃকোণ 60°
উত্তৰঃ মিছা।
| অনুশীলনী 3.2 |
1. তলত দিয়া বিভিন্ন চতুৰ্ভূৰ্জত থকা অজ্ঞাত ৰাশি (বাহু/কোন)ৰ মান উলিওৱা ৷
(i)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, চতুৰ্ভূজটো ABCD
∠ A = 80°, ∠ B = 75°, ∠C = a, ∠D = 110° ∠a = ?
আমি জানো যে, চতুৰ্ভূজৰ চাৰিওটা
কোণৰ সমষ্টি 360°
∴ ∠A + ∠B + ∠ C + ∠D = 360°
⇒ 80° + 75° + a + 110⁰ = 360
⇒ a + 265 = 360
⇒ a = 360-265
⇒ a = 95°
(ii)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, চতুৰ্ভূজটো ABCD।
চতুৰ্ভূজটো এটা সামান্তৰিক, যিহেতু
AB = DC আৰু AD = BC
∠B = 105°
∴ ∠D = 105°
⇒ b = 105° [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত (মুখামুখী) কোণবোৰ সমান]
আকৌ, a + b = 180° [DC || AB, AD ছেদক]
⇒ a + 105° = 180°
∴ ∠A +∠D = 180°
⇒ a = 180° – 105°
⇒ a = 75°
∴ ∠a = 75℃ ∠c = 75°
∴ নির্ণেয় a = 75º, b = 105°, c = 75°
(iii)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD চতুৰ্ভূজ।
ইয়াৰ, AB = CD আৰু AC = BD
∴ ABCD সামান্তৰিক।
সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান ৷
∴ m ∠B = m ∠C = 110°
∴ m ∠C = 110°
এতিয়া, ∆ACD ত্ৰিভুজৰ,
∠CAD + ∠C + ∠CDA = 180°
⇒ a + 110° + 40° = 180°
⇒ a + 150° = 180°
⇒ a = 180 – 150
⇒ a = 30°
আকৌ, ∆ACDৰ পৰা
a + ∠c + ∠CDA = 180°
⇒ a + 110° + 40° = 180°
⇒ a + 150° = 180°
⇒ a = 180 – 150 = 30°
∴ a = 30°, b = 30°
(iv)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, চতুৰ্ভূজটো ABCD
দিয়া আছে, AB = DC
আৰু AD = BC
এতিয়া, AB = DC
⇒ 4a = 24
⇒ a = 24/4 = 6
∴ a = 6
আৰু, 2b + 1 = 9
⇒ 2b = 9 -1
⇒ 2b = 8
⇒ b = 8/2
∴ b = 4
(v)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD চতুর্ভূজ।
ইয়াৰ AB = BC = CD = DA
গতিকে ABCD এটা ৰম্বাছ।
∵ BC = 17
∴ AB = 17
অর্থাৎ a = 17 ………. (i)
সমকোণী ত্রিভুজ BOC ৰ পৰা,
BC² = BO² + CO²
⇒ 17² = 15² + CO²
⇒ 17² – 152 = CO²
⇒ CO² = 289 – 225
⇒ CO² = 64
⇒ CO² = (8)²
⇒ CO = 8
∴ b = 8
আৰু, ODC সমকোণী ত্রিভুজৰ,
DC² = OD² + OC²
⇒ 17² = OD² + 8³
⇒ 17² – 8² = OD²
⇒ OD² = 289 – 64
⇒ OD² = 225
⇒ OD² = (15)²
⇒ OD = 15
∴ c = 15
∴ নির্ণেয় a = 17, b = 8 আৰু c = 15
(vi)
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD চতুৰ্ভূজ।
ABCD চতুৰ্ভূজটো এটা সামান্তৰিক ৷
গতিকে, ∠A = ∠C
⇒ 75° = b
∴ b = 75° ——— (i) [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান]
আকৌ, DC || AB, AD ছেদক,
গতিকে, ∠A + ∠D = 180° [ছেদকৰ একেফালৰ অন্তঃস্থ কোণ]
⇒ ∠D = 180° – ∠A
= 180° – 75°
= 105°
∴ c = 105° ——— (ii)
আৰু ∠D = ∠B
⇒ 105° = ∠B
⇒ a = 105° ——— (iii)
∴ a = 105°, b = 75°, c = 105°
(vii)
AC = 10
OA = x = ?
OB = y = ?
উত্তৰঃ চিত্ৰত ABCD এটা আয়ত।
ইয়াৰ, AC আৰু BD কৰ্ণই ‘O’ ত কটাকটি কৰিছে।
AC = 10 হ’লে, x আৰু y নিৰ্ণয় কৰিব লাগে।
আমি জানো যে,
আয়তৰ কৰ্ণই পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
∴ DO = BO = AO = CO
DO = 1/2 BD
= 1/2 AC [AC = BD]
= 1/2 × 10
= 5
∴ x = 5
গতিকে, y = 5
∴ নির্ণেয় x = 5 আৰু y = 5
(viii)
উত্তৰঃ ABCD এটা বৰ্গ। ইয়াৰ,
AB = BC = CD = DA = 6
∴ x + y + z = 6 + 6 + 6
= 18
(ix)
x + y + z = ?
উত্তৰঃ
চিত্রত ABCD চতুৰ্ভূজটোৰ, AB = BC = CD = DA
গতিকে চতুৰ্ভূজটো এটা ৰম্বাছ ৷
গতিকে, AB = BC = CD = DA= 7
∴ x + y + z = 7 + 7 + 7
= 21
(x)
উত্তৰঃ ABCD চতুৰ্ভুজটোৰ AB = CD আৰু AD = BC
গতিকে ABCD এটা সামান্তৰিক ৷
∴ ∠A + ∠B + ∠C + D = 360°
⇒ (2x – 3) + (3x – 2) + (2x – 3) + (3x – 2) = 3600
⇒ 10x – 10 = 360
⇒ 10x = 360 + 10
⇒ 10x = 370
⇒ x = 370/10
∴ x = 37
(xi)
উত্তৰঃ ABCD চতুৰ্ভূজটোৰ AB = BC = CD = DA
গতিকে, ABCD এটা ৰম্বাছ ৷
চিত্ৰৰ পৰা, ∆DAC ৰ,
DA = DC (দিয়া আছে)
∴ ∠DCA = ∠DAC = y
∴ ∠D + ∠DCA + ∠DAC =180°
⇒ 68° + y + y = 180°
⇒ 2y = 180 – 68
⇒ 2y = 112
⇒ y = 112/2 = 56
∴ y = 56°
আকৌ, x = y = 56° [একান্তৰ কোণ]
∴ x = 56°
∴ নির্ণেয় x = y = 56°
(xii)
উত্তৰঃ চিত্ৰৰ পৰা বহুভূজটোৰ বহিঃস্থ কোণ কেইটাৰ সমষ্টি = 360° বা 4 সমকোণ।
গতিকে, x + 60° + 90° + 90° + 40° = 360°
⇒ x + 280° = 360°
⇒ x = 360° – 280°
= 80⁰
∴ x = 80°
2. এটা সামান্তৰ্কিৰ দুটা সন্নিহিত কোণৰ জোখৰ অনুপাত 4 : 5 হ’লে সামান্তৰিকৰ কোণৰ জোখ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল,
কোণ দুটাৰ মাপ ক্ৰমে 4x আৰু 5x
যিহেতু কোণ দুটা সামান্তৰিক এটাৰ সন্নিহিত কোণ।
গতিকে, 4x + 5x = 180°
⇒ 9x = 180°
⇒ x = 180/9
⇒ x = 20
∴ সন্নিহিত কোণ দুটা হ’ল, 4 × 20 = 80°
আৰু 5 × 20 = 100°
আকৌ, সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ পৰস্পৰ সমান।
গতিকে সামান্তৰিকটোৰ কোণবোৰ হ’ল, 80°, 100°, 80°, 100°
3. এটা সামান্তৰিক দুটা সন্নিহিত কোণৰ এটা আনটোতকৈ 30° বেছি হ’লে সামান্তৰিকৰ প্ৰতিটো কোণৰ জোখ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল,
সামান্তৰিকৰ সন্নিহিত কোণ দুটাৰ এটাৰ মাপ x°
∴ আনটোৰ মাপ = (x° + 30°)
∵ কোণ দুটা সামান্তৰিকৰ সন্নিহিত কোণ,
∴ x + (x + 30) = 180°
⇒ 2x + 30 = 180°
⇒ 2x = 180° – 30°
⇒ 2x = 150°
⇒ x = 150/2 = 75
∴ x = 75
∴ সামান্তৰিকৰ সন্নিহিত কোণ দুটা 75 আৰু 75 + 30 = 105°
সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ পৰস্পৰ সমান ৷
∴ কোণকেইটা ক্ৰমে, 75°, 105°, 75°, 105°
4. ABCD এটা সামান্তৰিকৰ AC আৰু BD কৰ্ণ, m ∠a = 37° আৰু m∠ABC = 120° হ’লে, m ∠b ৰ জোখ কিমান?
উত্তৰঃ ABCD সামান্তৰিকৰ চিত্ৰত
m ∠a = 37° আৰু m ∠ABC = 120° হলে,
m ∠b ৰ মাপ উলিয়াব লাগে ৷
যিহেতু ABCD এটা সামান্তৰিক।
গতিকে, m ∠ABC = m ∠ADC [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান]
⇒ m ∠ADC = 120°
⇒ m ∠a + m ∠b = 120°
⇒ 37° + m ∠b = 120°
⇒ m ∠b = 120° – 37°= 83°
∴ m ∠b = 83°
5. ABCD আয়তত AC কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য 6x – 2 আৰু BD কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য 4x + 2 হলে, x ৰ মান আৰু AC ৰ দৈৰ্ঘ্য উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD আয়ত।
ইয়াৰ AC কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য 6x – 2 আৰু BD কৰ্ণৰ দৈৰ্ঘ্য 4x + 2 ৷ x ৰ মান আৰু ACৰ দৈৰ্ঘ্য উলিয়াব লাগে ৷
আমি জানো যে, আয়ৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ সমান ৷
গতিকে, AC কৰ্ণ = BD কর্ণ
⇒ 6x – 2 = 4x + 2
⇒ 6x – 4x = 2 + 2
⇒ 2x = 4
⇒ x = 4/2
⇒ x = 2
∴ x = 2
এতিয়া,
AC = 6x – 2
= 6 × 2 – 2
= 12 – 2
= 10
নির্ণেয়, x = 2 আৰু AC = 10
6. ABCD আয়তৰ দুডাল কৰ্ণই বিন্দুত মিলিত হয়। AC আৰু BD ৰ দৈৰ্ঘ্য 3x + 1 আৰু 8x – 24 হলে, x, AO আৰু BO মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ABCD আয়ত। ইয়াৰ AC = 3x + 1 আৰু BD = 8x – 24 আৰু ইহঁতে O বিন্দুত মিলিত হয়। x , AO আৰু BO ৰ মান উলিয়াব লাগে।
আমি জানো যে,
আয়তৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ সমান আৰু ইহঁত পৰস্পৰ সমদ্বিখণ্ডিত হয়।
গতিকে, AC = BD
⇒ 3x+1 = 8x – 24
⇒ 3x – 8x = -24 – 1
⇒ -5x = -25
⇒ x = -25/-5
⇒ x = 5
∴ x = 5
আকৌ, AO = 1/2 AC
= 1/2 (3x + 1)
= 1/2 × (3 × 5 + 1)
= 1/2 × (15 + 1)
= 1/2 × 16
= 8
আৰু BO = 1/2 BD
= 1/2 × (8x – 24)
= 1/2 × (8 × 5 – 24)
= 1/2 × (40 – 24)
= 1/2 × 16
= 8
∴ x = 5, AO = 8 আৰু BO = 8
7. ABCD বৰ্গত m ∠A = 4x + 30° হলে, x ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ABCD বৰ্গ। গতিকে ইয়াৰ,
∠A =∠B =∠C = ∠D = 90°
দিয়া আছে, m ∠A = 4x + 30°
⇒ 90° = 4x + 30°
⇒ 4x = 90° – 30°
⇒ 4x = 60°
⇒ x = 60/4 = 15°
∴ x = 15°
8. ABCD আয়তৰ AB = 2x + 5, BC = 20 আৰু AD = 3x + 5 হ’লে আয়তৰ চাৰিটা বাহুৰ যোগফল নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ABCD আয়ত। ইয়াৰ
AB = 2x + 5, BC = 20,
AD = 3x + 5 হ’লে আয়তটোৰ বাহু চাৰিটাৰ যোগফল উলিয়াব লাগে।
আমি জানো যে,
আয়তৰ বিপৰীত বাহুবোৰ পৰস্পৰ সমান।
∴ AB = CD আৰু BC = AD
AD = BC
⇒ 3x + 5 = 20
⇒ 3x = 20 – 5
⇒ 3x = 15
⇒ x = 15/3 = 5
∴ x = 5
এতিয়া, AB + BC + CD + DA = 2x + 5 + 20 + 2x + 5 + 3x + 5
= 7x + 35
= 7 × 5 + 35
= 35 + 35
= 70
∴ আয়তটোৰ বাহু চাৰিটাৰ যোগফল = 70
9. ABCD সামান্তৰিক এটাৰ m ∠B = 2x + 10° আৰু m ∠D = 3x – 13° হলে সামান্তৰিকৰ আটাইকেইটা কোণৰ পৰিমাণ উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD সামান্তৰিকৰ,
m ∠B = 2x + 10° আৰু
m ∠D = 3x – 13° সামান্তৰিকটোৰ আটাইবোৰ কোণৰ মাপ উলিয়াব লাগে।
আমি জানো যে,
সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ পৰস্পৰ সমান আৰু সন্নিহিত কোণ দুটাৰ সমষ্টি 180°।
∴ ∠B = ∠D
⇒ 2x + 10 = 3x – 13°
⇒ 2x – 3x = -13 – 10
⇒ -x = – 23
⇒ x = 23
∴ ∠B = 2x + 10
= 2 × 23 + 10
= 46 + 10
= 56⁰
∴ ∠D = 3 × 23 – 13
= 69 – 13
= 56⁰
আকৌ, ∠B + ∠C = 180°
⇒ 56° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° – 56°
⇒ ∠C = 124°
∴ ∠C = ∠A = 124°
∴ ABCD সামান্তৰিকৰ কোণবোৰ হ’ল, 56°, 124°, 56°, 124°
10. এটা বৰ্গৰ চাৰিটা বাহুৰ যোগফল 36 চে.মি. হলে বৰ্গৰ বাহুৰ দীঘ উলিওৱা।
উত্তৰঃ বৰ্গৰ 4 টা বাহুৰ যোগফল = 36 চে.মি.
4 × (বাহু) = 36
বাহু = 36/4
⇒ বাহু = 9
∴ নিৰ্ণেয় বৰ্গটোৰ বাহুৰ দীঘ = 9 চে.মি.
11. ABCD ৰম্বাছত AB = 3x + 4 আৰু BC = 2x + 7 হ’লে DC আৰু AD বাহুৰ দীঘ কিমান?
উত্তৰঃ
ধৰাহ’ল, ABCD ৰম্বাছ।
ইয়াৰ, AB = BC = CD = DA
যদি AB = 3x + 4, BC = 2x + 7
তেন্তে DC আৰু AD বাহুৰ দীঘ উলিয়াব লাগে।
AB = BC [ৰম্বাছৰ বাহু]
⇒ 3x + 4 = 2x + 7
⇒ 3x – 2x = 7 – 4
⇒ x = 3
∴ AB = 3 × 3 + 4 = 13
DC = 2 × 3 + 7 = 13
∴ DC = AD = 13 হ’ব।
12. ABCD সামান্তৰিকত AC আৰু BD কৰ্ণই E বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত হয়। যদি AE = 10x তেন্তে AC ৰ জোখ উলিওৱা যদি x = 3 হয়।
উত্তৰঃ
ABCD সামান্তৰিকৰ AC আৰু BD কৰ্ণই E বিন্দুত সমদ্বিখণ্ডিত হয়। AE = 10x হ’লে AC ৰ জোখ উলিয়াব লাগে যদি x = 3 হয়।
AE = 10x
= 10 × 3
= 30 [∵ x = 3]
∴ AC = 2 × AE
= 2 × 30
= 60
13. ABCD সামান্তৰিকত BD কৰ্ণৰ ওপৰত AE আৰু CF লম্ব ৰেখাখণ্ড হ’লে দেখুওৱা যে
∆AED ≅ ∆CFB।
উত্তৰঃ
ABCD সমান্তৰিকৰ BD কৰ্ণ।
AE ⊥ BD আৰু CF ⊥ BD
দেখুৱাব লাগে যে, ∆AED ≅ ∆CFB
প্ৰমাণঃ ∆AED আৰু ∆CFB ৰ পৰা,
∠AED = ∠CFB (=90°)
AD = BC [সামান্তৰিকৰ বিপৰীত বাহু]
∠ADE = ∠FBC (একান্তৰ কোণ)
∴ ∆AED ≅ ∆CFB (প্রমাণিত)
14. ABCD চতুৰ্ভূজৰ AB আৰু CD বাহুক যথাক্রমে P আৰু Q বিন্দুলৈ বৰ্ধিত কৰা হ’ল, প্ৰমাণ কৰা যে, ∠ADQ + ∠CBP = ∠A + ∠C
উত্তৰঃ AC সংযোগ কৰা হ’ল ৷
∆ADC ৰ পৰা,
∠ADQ = ∠DAC + ∠DCA ———— (i)
আৰু ∆ABC ৰ পৰা,
∠CBP = ∠BAC+ ∠ACB ———— (ii)
[ত্ৰিভুজৰ বহিঃকোণটো ইয়াৰ দুৰবৰ্ত্তী অন্তঃকোণদ্বয়ৰ সমষ্টিৰ সমান]
(i) আৰু (ii) ক যোগ কৰি পাওঁ,
∠ADQ + ∠CBP = ∠DAC + ∠DCA + ∠BAC + ∠ACB
= (∠DAC + ∠BAC) + (∠DCA + ∠ACB)
= ∠A + ∠C
∴ ∠ADQ + ∠CBP = ∠A + ∠C (প্রমাণিত)
15. ABCD সামান্তৰিকত ∠A আৰু ∠B কোণৰ সমদ্বিখণ্ডক যদি O বিন্দুত মিলিত হয় তেন্তে ∠AOB জোখ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ABCD সামান্তৰিক।
∠A আৰু∠B ৰ সমদ্বিখণ্ডকো O বিন্দুত মিলিত হয়।
∠AOB ৰ জোখ উলিয়াব লাগে।
∠A+∠B = 180° [AD || BC, ABCD সামান্তৰিক। AB ছেদক গতিকে ∠A আৰু ∠B ছেদকৰ একেফালৰ অন্তঃস্থ কোণ]
∠OAB = 1/2∠A
∠OBA = 1/2∠B
∴ ∠OAB + ∠OBA = 1/2∠A + 1/2 ∠B
= 1/2 (∠A + ∠B)
= 1/2 × 180°
= 90° ———— (i)
এতিয়া, ∆OAB ৰ,
∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180° [ত্ৰিভুজৰ কোণ তিনিটাৰ সমষ্টি]
⇒ ∠AOB + 90° = 180° [(i) পৰা]
⇒ ∠AOB = 180° – 90% থেকে
⇒ ∠AOB = 90°
∴ ∠AOB = 90°
16. এটা চতুৰ্ভূজৰ চাৰিটা কোণৰ অনুপাত 3 : 4 : 5 : 6 হ’লে চতুৰ্ভূজটোৰ কোণবোৰৰ জোখ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল, চতুৰ্ভূজটোৰ কোণ কেইটা ক্ৰমে, 3x, 4x, 5x আৰু 6x
∴ 3x + 4x + 5x + 6x = 360° [চতুৰ্ভূজৰ কোণকেইটাৰ সমষ্টি 360°]
⇒ 18x = 360°
⇒ x = 360/18
= 20°
∴ চতুৰ্ভূজটোৰ কোণকেইটা হ’ব, 3 × 20 = 60°
4 × 20 = 80°
5 × 20 = 100°
6 × 20 = 120°
∴ নির্ণেয় কোণ কেইটা, 60°, 80°, 100°, 120°
