SEBA Class 10 Mathematics Chapter 13 পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন Question Answer, SEBA Class 10 Maths Notes in Assamese Medium, SEBA Class 10 Maths Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 10 Mathematics Chapter 13 পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন Notes and select needs one.
SEBA Class 10 Mathematics Chapter 13 পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 10 Mathematics Chapter 13 পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন Question Answer. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 10 Mathematics Chapter 13 পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন Solutions for All Subject, You can practice these here.
পৃষ্ঠকালি আৰু আয়তন
Chapter – 13
| অনুশীলনী – 13.1 |
অন্য ধৰণে দিয়া নাথাকিলে π = 22/7 লোৱা।
1. প্রত্যেকৰে আয়তন 64 ঘনমিঃ বিশিষ্ট দুটা ঘনক (cube) মূৰে মূৰে সংযোগ কৰা হ’ল। চৌপল বা আয়তীয় ঘনকটোৰ (Cuboid) পৃষ্ঠকালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল ঘনকটোৰ এটা বাহু ছে.মি.
∴ ঘনকটোৰ আয়তন= 64 ছে.মি.3.
∴ x³ = 64 [ঘনকটোৰ আয়তন = (বাহু)’]
⇒ (x)³ = (4)³ ⇒ x = 4
∴ ঘনকৰ এটা বাহু = 4 ছে.মি. যেতিয়া দুটা ঘনকৰ মূৰে মূৰে সংযোগ কৰা হয়।
তেতিয়া আয়ত ঘনক গঠন হয়।
∴ দৈর্ঘ্য (L) = 2x = 2 × 4 = ৪ ছে.মি.
গ্রন্থ (B) = x = 4 ছে.মি. আৰু উচ্চতা (H) x = 4 ছে.মি.
∴ আয়ত ঘনকটোৰ পৃষ্ঠাকালি = 2(LB + BH + HL)
= 2[8 × 4 + 4 × 4 + 4 × 8]
= 2[32 + 16 + 32] = 2 × 80 = 160 ছে.মি³.।
2. এটা পাত্র এটা খোলা অৰ্দ্ধগোলক আৰু তাৰ ওপৰত এটা খোলা বেলনবে গঠিত। অর্দ্ধগোেলকটোৰ ব্যাস 14 চে.মি. আৰু পাত্ৰটোৰ মুঠ উচ্চতা হ’ল 13 চে.মি.। পাত্ৰটোৰ ভিতৰ পৃষ্ঠৰ কালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
এটা অর্ধ-গোলকৰ ব্যাস = 14 ছে.মি.
⇒ 2R = 14
⇒ R = 7 ছে.মি.
অর্ধ-গোলাকৃতি পাত্ৰটোৰ সম্পূর্ণ উচ্চতা (H) = 13 ছে.মি.
∴ বৃত্তাকাৰ বেলনৰ উচ্চতা = (13 – 7) ছে.মি.
= 6 ছে.মি.
∴ পাত্ৰটোৰ বিতৰৰ ফালৰ পৃষ্ঠকালি
= বৃত্তাকাৰ বেলনৰ ভিতৰৰ ফালৰ
পৃষ্ঠকালি + অর্ধ-গোলকৰ ভিতৰৰ পৃষ্ঠকালি
= 2πRH + 2πR²
= 2R (H + R)
= 2 × 22/7 × 7(6 + 7)
= 44 × 13 = 572 ছে মি²
3. এটা পুতলা একে ব্যাসার্দ্ধযুক্ত এটা অৰ্দ্ধগোলকৰ ওপৰত 3.5 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধযুক্ত এটা শংকুৰে গঠিত। পুতলাটোৰ মুঠ উচ্চতা হ’ল 15.5 চে.মি.। পুতলাটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ শংকুটোৰ ব্যাসার্দ্ধ = অর্ধগোলটোৰ ব্যাসার্দ্ধ (R)
= 3.5 ছে.মি.
= 35/10 = 7/2 ছে.মি.
∴ শংকুৰ উল্লম্ব উচ্চতা (H) = (15.5 – 3.5) = 12 ছে.মি.
4. 7 চে.মি. কাষযুক্ত এটা ঘনকীয় টুকুৰাৰ ওপৰভাগ এটা অর্ধগোলকে আগুৰি আছে। অর্ধগোলকটোৰ সর্ব্বোচ্চ ব্যাস কিমান হ’ব পাৰে? গোটা বস্তুটোৰ পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ঘনকীয় টুকুৰাৰ এটা বাহু = 7 ছে.মি.
অর্ধগোলকৰ ব্যাস = 7 ছে.মি.
∴ 2R = 7
⇒ R = 7/2 ছে.মি.।
∴ সম্পূর্ণ ঘনকীয় টুকুৰাৰ কালি
= (ঘনকৰ পৃষ্ঠকালি)- (অর্ধ-গোলকৰ ভূমিৰ কালি)+ (অর্ধ-গোলকৰ বজ্র-পৃষ্ঠৰ কালি)
5. এটা ঘনকীয় কাঠৰ টুকুৰাৰ এটা পৃষ্ঠৰপৰা এটা অর্দ্ধগোলক আকৃতিৰ গভীৰতা কাটি লোৱা হৈছে যাতে অৰ্দ্ধগোলকৰ ব্যাস ‘l’ ঘনকৰ কাষৰ সৈতে একে হয়। অবশিষ্ট অংশৰ পৃষ্ঠকালি নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ঘনকৰ বহুদৈর্ঘ্য = l
∴ অর্ধ-গোলকৰ ব্যাস ঘনকৰ এটা বাহু
⇒ 2R = l
⇒ R = 1/2
অবশিষ্ট নিটে বা গোটা বস্তুটোৰ পৃষ্ঠকালি
= ঘনকৰ পৃষ্ঠকালি – অর্থ-গোলকৰ ভূমিৰ কালি অর্ধ-গোলকৰ ভিতৰৰ পৃষ্ঠকালি
= 6l² – πR² + 2πR²
= 6l² + πR²
= 6l² + π(1/2)²
= 6l² + (πl²)/4
= 1/4 l² (π + 24) বর্গএকক।
6. এটা ঔষধৰ কেপচুলৰ আকৃতি এটা বেলনৰ দুয়োটা মূৰত দুটা অৰ্দ্ধগোলক লগাই থোৱা সদৃশ (চিত্র 13.10)। সম্পূর্ণ কেপচুলটোৰ দৈর্ঘ্য 14 মি.মি. আৰু ব্যাস হ’ল 5 মি.মি.। পৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ অর্ধগোলকীয় অংশৰ ব্যাসার্ধ = 5/2 mm = 2.5mm
অৰ্ধগোলকীয় অংশৰ পৃষ্ঠকালি = 2πr²
⇒ অর্ধগোলকীয় দুয়োটা অংশৰ কালি
7. এটা তম্বুৰ আকৃতি এটা বেলনৰ ওপৰত এটা শংকুৰ মূধচেৰে আবৃত। যদি বেলন অংশৰ উচ্চতা আৰু ব্যাস ক্রমে 2.1 মি. আৰু 4 মি. আৰু ওপৰ অংশৰ হেলনীয়া উচ্চতা 2.8 মি., তেন্তে তম্বুটো সজাওঁতে ব্যৱহাৰ হোৱা ডাঠ কাপোৰৰ কালি উলিওৱা। প্ৰতি বৰ্গমিটাৰ ডাঠ কাপোৰৰ মূল্য 500 টকা হ’লে তম্বুটোৰ কাপোৰৰ খৰচ নিৰ্ণয় কৰা। (মন কৰিবা যে, তম্বুৰ ভূমি ডাঠ কাপোৰেৰে আবৃত নহয়)
উত্তৰঃ বেলন অংশৰ বাবে
ব্যাসার্ধ = 4/2 m = 2m
উচ্চতা (h) = 2.1m
∴ বক্রপৃষ্ঠৰ কালি = 2πrh = 2 × 22/7 × 2 × 21/10m²
শংকু অংশৰ বাবে: হেলনীয়া উচ্চতা (l) = 2.8m
ডাঠ কাপোৰৰ খৰচঃ
1 m-ত খৰচ = ‘500
44 m²ত খৰচ = ‘500 × 44 = ‘22000 টকা।
8. 2.4 চে.মি. উচ্চতা আৰু 1.4 চে.মি. ব্যাসবিশিষ্ট এটা গোটা বেলনৰ পৰা এটা একে উচ্চতাৰ আৰু ব্যাসৰ শংকু আকৃতিৰ খোল খুলি উলিওৱা হ’ল। অবশিষ্ট গোটাবস্তুটোৰ পৃষ্ঠকালি বৰ্গ চে.মি.ৰ শুদ্ধমানত নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
বেলনৰ ব্যাস (D) = 1 ছে.মি. শংকুৰ ব্যাস।
∴ বেলনৰ ব্যাসার্দ্ধ = শংকৰ ব্যাসার্ধ্ব (R) = 14/2 0.7 ছে.মি
বেলনৰ উচ্চতা (H) = 2 ছে.মি.
আমি জানো, L² = R² + H²
⇒ L = 2.5 ছে.মি.।
∴ অৱশিষ্ট অংশটোৰ সম্পূর্ণ পৃষ্ঠকালি
= বেলনৰ বক্রপৃষ্ঠ ৰ কালি + বেলনৰ ভূমিৰ কালি শংকুৰ পৃষ্ঠকালি
= 2πRH + πR² + πR²
= πR(2R + R + L)
= 22/7 × 0.7[2(2.4) + 0.7 + 2.5]
= 22/7 × 7/100 [4.8 + 3.2]
= 22/10 × = 176/10 = 17.6 ছে.মি²
∴ অৱশিষ্ট অংশটোৰ সম্পূর্ণ পৃষ্ঠকালি (আসন্ন ছে.মি.²) = 17.6 ছে.মি².
9. চিত্র 13.11 ত দেখুওৱাৰ দৰে এটা গোটা বেলনৰপৰা দুয়োটা মূৰৰপৰা অৰ্দ্ধগোলক আকৃতিত কাটি এটা কাঠৰ বস্তু বনোৱা হ’ল। যদি বেলনৰ উচ্চতা 10 চে.মি. আৰু ইয়াৰ ভূমিৰ ব্যাসার্দ্ধ 3.5 চে.মি., তেন্তে বস্তুটোৰ মুঠ পৃষ্ঠ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
বেলনৰ উচ্চতা (H) = 10 ছে.মি.
বেলনৰ ব্যাসার্দ্ধ = অর্ধ-গোলকৰ ব্যাসার্দ্ধ (R)
= 3.5 ছে.মি.
∴ বস্তুটোৰ সম্পূৰ্ণ পৃষ্ঠকালি = বেলনৰ বজ্রপৃষ্ঠৰ কালি + 2 + অর্ধগোলকৰ বক্রপৃষ্ঠৰ কালি
= 2πRH + 2(2πR²) = 2πR(H + 2R)
= 2 × 22/7 × 3.5[10 + 2(3.5)]
= 44/7 × 35/10 [10 + 7]
= 44/7 × 5/10 × 17 = 44 × 1/2 × 17
= 22 × 17 = 374 ছে.মি².
| অনুশীলনী 13.2 |
অন্যধৰণে উল্লেখ নকৰিলে π = 22/7 ল’বা।
1. শংকু আকৃতিৰ এটা গোটাবস্তু এটা অৰ্দ্ধগোলকৰ ওপৰত থিয় হৈ আছে য’ত সিহঁত দুয়োটাৰ ব্যাসার্দ্ধ হ’ল 1 চে.মি. আৰু শংকুৰ উচ্চতা ইয়াৰ ব্যাসাৰ্দ্ধৰ সমান। গোটাবস্তুটোৰ আয়তন πৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ শংকুৰ ব্যাসার্দ্ধ = অর্ধ-গোলাকৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 1 ছে.মি.
শংকুৰ উচ্চতা = 1 ছে.মি.
বস্তুটোৰ আয়তনৰ = শংকুৰ আয়তনৰ অর্ধ-গোলকৰ আয়তন
= 1/3πR² + H + 2/3 πR
= 1/3πR² (H + 2R)
= 1/3π(1)² [1 × 2 × 1] = 1/3π × 3 = π cm³.
∴ বস্তুটোৰ আয়তন = π cm³
2. ৰাছেল এজন ইঞ্জিনীয়াৰিঙৰ ছাত্ৰ, তেওঁক এখন পাতল এলুমিনিয়ামৰ পাতৰ সহায়ত দুইমূৰে দুটা শংকুসহ এটা বেলন আকৃতিৰ আৰ্হি প্ৰস্তুত কৰিবলৈ কোৱা হ’ল। আৰ্হিৰ ব্যাস হ’ল 3 চে.মি. আক দৈর্ঘ্য 12 চে.মি.। যদি প্ৰতিটো শংকুৰ দৈর্ঘ্য 2 চে.মি. হয়, তেন্তে ৰাছেলে প্ৰস্তুত কৰা আর্হিত থকা বায়ুৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা। (ধৰাহওঁক, আৰ্হিৰ ভিতৰৰ আৰু বাহিৰৰ মাপ প্রায় একে)।
উত্তৰঃ শংকুৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = বেলনৰ ব্যাসার্দ্ধ = (R) = 3/2 ছে.মি.
প্রতিটো শংকুৰ উচ্চতা (h) = 2 ছে.মি.
ৰেলনৰ উচ্চতা (H) = 12 – 2 – 2 = 8 ছে.মি.
∴ আর্হিটোত থকা বায়ুৰ আয়তন (v) ৰেলনৰ আয়তন + 2 + শংকুৰ আয়তন
= πR²H + 2[1/3πR²h]
= πR² [H + 2/3 h]
∴ আর্হিটোত থকা বায়ুৰ আয়তন (v) = 66 ছে.মি.।
3. এটা গোলাপ জামুনত চেনিৰ ৰসৰ পৰিমাণ ইয়াৰ আয়তনৰ 30% 15 চে.মি. দৈর্ঘ্য আৰু 2.8 চে.মি. ব্যাসৰ দুই মূৰে দুটা অৰ্দ্ধগোলক যুক্ত এটা বেলন আকৃতিৰ 45 টা গোলাপ জামুনত প্রায় কিমান ৰস থাকিব নিৰ্ণয় কৰা। (চিত্র 13.15)।
উত্তৰঃ
গোলাপ জামুনৰ দুই মূৰ অৰ্ধগোলক আকৃতিৰ
গোলাপ জামুনৰ মুঠ উচ্চতা = 5cm
ব্যাস = 2.8 cm
⇒ ব্যাসার্ধ = 1.4 cm
∴ ৰেলন অংশৰ উচ্চতা = 5 cm – (1.4 + 1.4) cm
= 5 cm – 2.8 cm = 2.2 cm
ৰেলন অংশৰ আয়তন = πr²h
অর্ধগোলকৰ আয়তন = 2/3 πr²
দুয়োটা অর্ধগোলকৰ আয়তন = 2(2/3πr³) = 4/3 πr³
∴ গোলাপ জামুনৰ আয়তন
= πr²h + 4/3 πr³ = πr² [h + 4/3 r]
= 22/7 × (1.4)² [2.2 + 4/3 (1.4)] cm³
= 22/7 × 14/10 × 14/10 [22/10 + 56/30] cm³
⇒ 45টা গোলাপ জামুনৰ আয়তন
4. চৌপল আকৃতিৰ এটা কাঠৰ পেনষ্টেন্ড (Pen stand)ত কলম ৰাখিবলৈ চাৰিটা শংকু আকৃতিৰ গাঁত আছে। চৌপলৰ জোখ হ’ল 15 চে.মি. × 10 চে.মি. × 3.5 চে.মি.। প্ৰতিটো গাঁতৰ ব্যাসার্দ্ধ 0.5 চে.মি. আৰু গভীৰতা 1.4 চে.মি.। সম্পূর্ণ ষ্টেন্ডটোত কাঠৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা (চিত্ৰ 13.16)।
উত্তৰঃ চৌপলৰ দৈর্ঘ্য (L) = 15cm
চৌপলৰ প্ৰস্থ (B) = 10cm
চৌপলৰ উচ্চতা (H) = 3.5cm
শংকু আকৃতিৰ গাঁতৰ ব্যাসার্ধ (r) = 0.5cm
শংকু আকৃতিৰ গাঁতৰ উচ্চতা (h) = 1.4cm
কাঠৰ পেনষ্টেণ্ডৰ আয়তন = চৌপলৰ আয়তন – 4 [শংকুৰ আয়তন]
= LBH – 4[1/3 πr²h] = 15 × 10 × 3.5 – 4/3 × 22/7 × 0.5 × 0.5 × 1.4
5. উলটি থকা শংকু আকৃতিৰ এটা পাত্র আছে। ইয়াৰ উচ্চতা হ’ল ৪ চে.মি. আৰু মুক্ত হৈ থকা শীর্ষভাগৰ ব্যাসার্দ্ধ 5 চে.মি.। ইয়াৰ কাণলৈকে চপ্পীয়াকৈ পানী ভৰোৱা হ’ল। যেতিয়া 0.5 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ গোলাকাৰ কেইটামান সীহৰ গুলি পাত্ৰটোত ভৰোৱা হ’ল, পাত্ৰৰ এক চতুর্থাংশ পানী ওলাই পৰিল। পাত্ৰটোত ভৰোৱা সীহৰ গুলিৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
শংকু আকৃতিৰ পাত্ৰৰ উচ্চতা (h) = 8 cm
ভূমিৰ ব্যাসার্ধ (r) = 5 cm
শংকুৰ আয়তন = 1/3πr²h
= 1/3 × 22/7 × (5)² × 8 cm³ = 4400/21 cm³
যিহেতু শংকুৰ আয়তন = [শংকৃত থকা পানীৰ আয়তন]
∴ [শংকুৰ পানীৰ আয়তন] = 4400/21 cm³
সাঁহৰ গুলীৰ আয়তন = 1/4 (শংকুৰ পানীৰ আয়তন)
= 1/4 × 4400/21 cm³ = 1100/21 cm³
যিহেতু সীহৰ গুলীৰ ব্যাসার্ধ (r) = 0.5cm
∴ 1 টা সীহৰ গুলীৰ আয়তন = 4/3 πr³ = 4/3 × 22/7 × 5/10 × 5/10 × 5/10
গতিকে নির্ণেয় সীহৰ গুলীৰ সংখ্যা = 100
6. এটা গোটা লোহাৰ খুটা 220 চে.মি. উচ্চতা আৰু 24 চে.মি. ভূমি ব্যাসবিশিষ্ট বেলনেৰে গঠিত যাৰ ওপৰভাগ 60 চে.মি. উচ্চতা আৰু ৪ চে.মি. ব্যাসার্দ্ধযুক্ত আন এটা বেলনে আবৃত কৰি আছে। খুটাটোৰ ভৰ নিৰ্ণয় কৰা, দিয়া আছে, 1 ঘন চে.মি. লোৰ ভৰ প্ৰায় 8 গ্রাম। (π = 3.14 ব্যৱহাৰ কৰা)।
উত্তৰঃ
ডাঙৰ বেলুনটোৰ উচ্চতা (h) = 220cm
ভূমিৰ ব্যাসার্ধ (r) = 24/2 cm = 12 cm
∴ ডাঙৰ বেলনটোৰ আয়তন = πr²h = π(12)² × 200 cm³
তদুপৰি সৰু বেলনটোৰ উচ্চতা (h₁) = 60cm
ভূমিৰ ব্যাসার্ধ (r₁) = 8cm
সৰু বেলনটোৰ আয়তন πr₁² h₁ = π(8)² × 60cm³
∴ লোৰ আয়তন = [ডাঙৰ বেলনৰ আয়তন] + [সৰু বেলনৰ আয়তন]
∴ = π220 × 12² + π × 60 × 8 cm³
7. এটা 60 চে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ অৰ্দ্ধগোলকৰ ওপৰত এটা 120 চে.মি. ওখ আৰু 60 চে.মি. ভূমি ব্যাসার্দ্ধ বিশিষ্ট লম্বীয় বৃত্তাকাৰ শংকু থিয় হৈ থকাকৈ গঠিত এটা গোটা বস্তু থিয়কৈ এটা পানীভর্তি লম্বীয় বৃত্তাকাৰ বেলনৰ তল স্পৰ্শ কৰাকৈ প্ৰতিষ্ঠা কৰা হৈছে। বেলনত থকা অৱশিষ্ট পানীৰ আয়তন নিৰ্ণয় কৰা, যদি বেলনৰ ব্যাসার্দ্ধ 60 চে.মি. আৰু উচ্চতা 180 চে.মি.।
উত্তৰঃ
শংকু অংশৰ উচ্চতা = 120cm
শংকু অংশৰ ভূমি ব্যাসার্ধ = 60cm
∴ শংকু অংশৰ আয়তন = 1/3 × 22/7 × 60² × 120cm³
অর্ধগোলক অংশৰ আয়তন = 2/3 × 22/7 × 60³ cm³
অর্ধগোলকৰ ভূমিৰ ব্যাসার্ধ = 60cm
∴ গোটা বস্তুটোৰ আয়তন = [শংকু অংশৰ আয়তন ] + [অর্ধগোলক অংশৰ আয়তন]
= 1.13142857142m³ = 1.131m³ (প্ৰায়)
8. এটা গোলক আকৃতিৰ কাঁচৰ পাত্ৰৰ ৪ চে.মি. দীঘল আৰু 2 চে.মি. ব্যাসৰ এটা বেলন সদৃশ ডিঙি আছে, গোলকীয় অংশৰ ব্যাস হ’ল 8.5 চে.মি.। ইয়াত ধৰা পানী জোখ-মাপ কৰি এটা শিশুৱে ইয়াৰ আয়তন 345 ঘন চে.মি. পালে। ওপৰৰ জোখ ভিতৰৰ জোখ হিচাপে লৈ আৰু π = 3.14 ধৰি, তাই শুদ্ধ আছিলনে নাই, পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ
ৰেলনাকৃতিৰ ডিঙিৰ ব্যাস = 2 ছে.মি.
∴ ডিঙিৰ ব্যাসার্চ (r) = 1 ছে.মি.
ৰেলনাকৃতি অংশৰ উচ্চতা (h) = 8 ছে.মি.
গোলাকাৰ কাঁচৰ পাত্ৰটোৰ ব্যাস = 8.5 ছে.মি.
∴ কাঁচৰ পাত্ৰটোৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 8.5/2 ছে.মি. = 4.25
∴ ছে.মি. – পাত্ৰটোত থকা পানীৰ পৰিমাণ (v)
= গোলাকাৰ পাত্ৰৰ আয়তন বেলনাকৃতি অংশৰ আয়তন
= 4/3πR³ + πr²h
= 4/3 × 3.14 × (4.25)³ + 3.14 × (1)² × 8
= 321.39 + 25.12 = 346.51ছে.মি³.
∴ পাত্ৰটোত থকা পানীৰ পৰিমাণ= 346.51 ছে.মি³.
∴ পৰীক্ষা কৰি দিখা গ’ল যে শিশুটোৰ হিচাপ ঠিক নহয়।
| অনুশীলনীঃ 13.3 |
অন্য ধৰণে উল্লেখ নাথাকিলে, = 22/7 ল’বা।
1. 4.2 ছে.মি. ব্যাসাৰ্দ্ধৰ ধাতুৰ গোলক এটা গলাই পেলোৱা হ’ল আৰু তাক পুনৰ 6 চে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ এটা বেলন আকৃতি দিয়া হ’ল। বেলনটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ধাতুৰ-গোলকৰ ব্যাসার্দ্ধ (r) = 4.2 ছে.মি.
ৰেলনৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 6 ছে.মি.
ধৰা হ’ল বেলনৰ উচ্চতা = H ছে.মি.
ধাতুৰ-গোলকটো গলোৱাৰ পিচত, গোলকৰ আয়তন = বেলনৰ আয়তন হয়।
∴ 4/3πr³ = πR²H
∴ বেলনটোৰ উচ্চতা (H) = 2.74 ছে.মি. (প্রায়)
2. 6 চে.মি., 8 চে.মি. আৰু 10 চে.মি., ব্যাসার্দ্ধৰ তিনিটা ধাতুৰ গোলক গলাই এটা নতুন গোলক তৈয়াৰ কৰা হ’ল। নতুন গোেলকটোৰ ব্যাসার্দ্ধ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
প্রথম গোলকটোৰ ব্যাসার্দ্ধ (r₁) = 6 ছে.মি.
দ্বিতীয় গোলকটোৰ ব্যাসার্দ্ধ (r₂) = 8 ছে.মি.
তৃতীয় গোলকটোৰ ব্যাসার্ধ (r₃) = 10 ছে.মি.
ধৰা হ’ল গোলকটোৰ ব্যাসার্দ্ধ = R ছে.মি.
তিনিটা গোলক গলোৱাৰ পিছত, সিহঁতৰ আয়তন ডাঙৰ গোলকটোৰ আয়তন।
⇒ R = 2² × 3 = 12
∴ নতুন গোলকটোৰ ব্যাসার্জ 12 ছে.মি.।
3. 20 মিটাৰ গভীৰ আৰু 7 মিটাৰ ব্যাসৰ এটা কুবা খান্দি তাৰ মাটিখিনি সমভাবে বহলাই 22 মি. × 14 মি. জোখৰ প্লেটফৰ্ম এখন প্ৰস্তুত কৰা হ’ল। প্লেটফৰ্মখনৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
কুঁৱাটোৰ ব্যাস = 7 মি.
∴ কুঁৱাটোৰ ব্যাসার্চ (R) = 7/2 মি.
প্লেটফৰ্মৰ দৈর্ঘ্য (L) = 22 মি.
প্লেটফৰ্মৰ প্ৰস্থ (B) = 14 মি.
ধৰা হ’ল প্লেটফৰ্মৰ উচ্চতা = H মি.
কুঁৱাটোৰ পৰা খনন কৰা মাটি আয়তন = প্লেটফৰ্মৰ আয়তন।
4. এটা 3 মিটাৰ ব্যাসৰ কুঁৱা 14 মিটাৰ গভীৰলৈ খন্দা হ’ল। ইয়াৰ পৰা ওলোৱা মাটিখিনি সমানভাবে বহলাই 4 মিটাৰ প্ৰস্থৰ বৃত্তাকাৰ আঙঠিসদৃশ এটা ঢাপ সজোৱা হ’ল। ঢাপটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
কুঁৱাৰ গভীৰতা (h) = 14m, কুঁৱাৰ ব্যাসার্ধ (r) = 3/2 m
ইয়াৰ পৰা ওলোৱা মাটিখিনি সমানভাৱে বহলাই 4 মিটাৰ প্ৰস্থৰ বৃত্তাকাৰ আঙঠি সদৃশ এটা ঢাপ সজোৱা হ’ল।
ঢাপৰ অন্তঃভাগৰ ব্যাসার্ধ = কুঁৱাটোৰ ব্যাসার্ধ (r) = 3/2 m
ঢাপটোৰ বাহিঃভাগৰ ব্যাসার্ধ (R) =(3/2 + 4)m ⇒ R = 11/2 m = 5.5 m
খন্দা গাঁতৰ আয়তন = আঙঠি আকাৰৰ ঢাপৰ আয়তন
Πr²h = বহিঃ বেলনৰ আয়তন – অন্তঃবেলনৰ আয়তন
πι²h = πR²H – πr²Η
= πΗ[R² -r²]
গতিকে, ঢাপটোৰ উচ্চতা H = 1.125m
5. 12 চে.মি. ব্যাস আৰু 15 চে.মি. উচ্চতাৰ লম্বীয় বৃত্তাকাৰ বেলন আকৃতিৰ এটা পাত্র আইচক্রীমেৰে পূর্ণ হৈ আছে। আইচক্রীমখিনি 12 চে.মি. উচ্চতা আৰু 6 চে.মি. ব্যাসৰ ওপৰৰ ফালে অৰ্দ্ধগোলক আকৃতিৰ শংকুত ভৰাব লাগে। এই আইচক্ৰীমখিনিৰে পূৰাব পৰা এনে কিমান সংখ্যক শংকু পাম নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ৰেলনৰ ব্যাস (D)=12cm
∴ ৰেলনৰ ব্যাসার্ধ (R) = 6cm
ৰেলনৰ উচ্চতা (H) = 15cm
শংকুৰ ব্যাস = 6cm
শংকুৰ ব্যাসার্ধ (r) = 3cm
অর্ধগোলকৰ ব্যাসার্ধ (r) = 12cm
শংকুৰ উচ্চতা (h) = 12cm
ধৰাহ’ল, আইচক্ৰীমখিনিৰে পূৰ্ণ কৰা শংকুৰ সংখ্যা = n
পাত্রটোত থকা আইচক্ৰীমৰ আয়তন = n [এটা শংকুত থকা আইচক্ৰীমৰ আয়তন]
πR²H = n [শংকুৰ আয়তন + অর্ধগোলকৰ আয়তন]
6. 5.5 চে.মি. × 10 চে.মি. × 3.5 চে.মি. মাপৰ এটা চৌপল সাজিবলৈ 1.75 চে.মি. ব্যাস আৰু 2 মি.মি. ডাঠৰ কিমানটা ৰূপৰ মুদ্রা গলাব লাগিব?
উত্তৰঃ
ৰূপৰ মুদ্রা বেলন আকৃতিৰ।
ৰূপৰ মুদ্রাৰ ব্যাস = 1.75cm
∴ ৰূপৰ মুদ্রাৰ ব্যাসার্ধ (r) = 1.75/2 cm
ৰূপৰ মুদ্রাৰ ডাঠ = বেলনৰ উচ্চতা (H) = 2mm
i.e h = 2/10 cm
চৌপলৰ দৈর্ঘ্য (L) = 5.5cm
চৌপলৰ প্ৰস্থ (B) = 10cm
চৌপলৰ উচ্চতা (H) = 3.5cm
চৌপলটোৰ আয়তন, নতুনকৈ সাজি উলিওৱা মুদ্রাৰ আয়তনৰ সমান।
চৌপলৰ আয়তন= n [এটা ৰূপৰ মুদ্ৰাৰ আয়তন = n[πr²h]
গতিকে, ৰূপৰ মুদ্ৰাৰ সংখ্যা = 400
7. 32 চে.মি. ওখ আৰু 18 চে.মি. ভূমিব্যাসার্দ্ধ বিশিষ্ট এটা বেলন আকৃতিৰ বাল্টি বালিৰে পূৰ্ণহৈ আছে। এই বাল্টিটো মাটিত খালী কৰাত এটা শংকু আকৃতিৰ দ’ল সৃষ্টি হ’ল। শংকু আকৃতিৰ দ’লটোৰ উচ্চতা 24 চে.মি. হ’লে, শংকুটোৰ ব্যাসার্দ্ধ আৰু হেলনীয়া উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
ৰেলনাকৃতি বাল্টিৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 18 চে.মি.।
ৰেলনাকৃতি বাল্টিৰ উচ্চতা (H) = 32 চে.মি.।
শংকু আকৃতিৰ দলৰ উচ্চতা (h) = 24 ছে.মি.।
ধৰা হল শংকুৰ ভূমি ব্যাসার্দ্ধ = r
আৰু হেলনীয়া উচ্চতা = l
বাল্টিত থকা বালিৰ আয়তন = শংকৃত থকা বালিৰ আয়তন।
⇒πR²H = 1/3 πr²h
∴ নির্ণেয় হেলনীয়া উচ্চতা = 12√ ছে.মি.।
8. 6 মি. বহল আৰু 1.5 মি. গভীৰ এটা নলাৰে 10 কি.মি./ঘণ্টা বেগেৰে পানী বৈ আছে। 30 মিনিটত ই কিমান ক্ষেত্ৰত জলসিঞ্চন কৰিব পাৰিব, যদি পানীৰ স্থিৰ উচ্চতা 8 চে.মি. প্রয়োজন?
উত্তৰঃ নলাৰ প্ৰস্থ = 6m
নলাৰ পানীৰ গভীৰতা = 1.5m
বৈ যোৱাৰ পানীৰ 6% = 10km /hr
এক ঘণ্টাত বৈ যোৱা পানীৰ আয়তন = (পানী থকা নলাৰ কালি) বেগ
= (6 x 1.5m²) x 10km = 6 × 1.5 × 10 × 10 × 1000m³
∴ 1/2 ঘণ্টাত বৈ যোৱা পানীৰ আয়তন = 1/2 × 6 × 15/10 × 10000 = 45000m³
ধৰা হ’ল জলসিঞ্চন কৰা ক্ষেত্ৰত আয়তন = (x)m²
প্রশ্নমতে, 1/2 ঘণ্টাত বৈ যোৱাৰ পানীৰ আয়তন = পথাৰত থকা পানীৰ আয়তন
45000m³ = (পথাৰৰ কালি) × পানীৰ উচ্চতা
x = 56.25 হেক্টৰ
গতিকে, পথাৰৰ কালি = 56.25 হেক্টৰ
9. এজন খেতিয়কে তেওঁৰ পথাৰত থকা 10 মি. ব্যাস আৰু 2 মি. গভীৰতাৰ এটা বেলন আকৃতিৰ চৌবাচ্চাৰ লগত 20 চে.মি. ভিতৰ ব্যাসৰ এডাল পাইপ এটা নলাৰ লগত সংযোগ কৰি দিলে। যদি 3 কি.মি./ঘণ্টা হাৰত পাইপেৰে পানী বৈ যায় তেন্তে চৌবাচ্চাটো ভর্তি হ’বলৈ কিমান সময় লাগিব?
উত্তৰঃ পানীপ্রবাহৰ হাৰ = 3 কি.মি./ঘন্টা।
নলাৰ অচ্ছ্যাস = 20 ছে.মি.
∴ নলাৰ ব্যাসার্দ্ধ (r) = 10 ছে.মি. = 100/10 মি. 1/10 মি.
ৰেলনাকৃতি চৌবাচ্চাটোৰ ব্যাস = 10 মি.
ৰেলনাকৃতি চৌবাচ্চাটোৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 10/2 মি. = 5 মি.
∴ চৌবাচ্চাটোৰ উচ্চতা (H) = 2 মি.
ধৰা হ’ল নলাটো ৫ মিনিটত চৌবাচ্চাটোত পানী সম্পূর্ণ ভাবে পূর্ণ কৰে।
∴ চৌবাচ্চাটোৰ আয়তন = n মিনিটত নলাৰ দ্বাৰা সম্পূর্ণভাবে পূর্ণ কৰা পানীৰ আয়তন
= πR²H = n [খেতিপথাৰৰ কালি প্রস্থচ্ছেদ পানীৰ বেগ]
= 2 × (5)² × 2 = n(πr²) × 3 কি মি./ঘণ্টা।
⇒ n/2 =50 ⇒ n=100
∴ চৌবাচ্চাটো সম্পূর্ণভাবে পূর্ণ হ’বলৈ 100 মিনিট সময় লাগিব।
| অনুশীলনী: 13.4 |
অন্য ধৰণে উল্লেখ নাথাকিলে π = 22/7 ল’বা।
1. এটা পানীখোৱা গিলাচ এটা 14 চে.মি. উচ্চতাৰ শংকুচ্ছেদ। ইয়াৰ দুই বৃত্তাকাৰ মূৰৰ ব্যাস 4 চে.মি. আৰু 2 চে.মি.। গিলাচৰ ধাৰণ ক্ষমতা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
গিলাচ উচ্চতা (H) = 14 ছে.মি.
গিলাচৰ ওপৰৰ প্ৰাহৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 2 ছে.মি.
গিলাচৰ তলৰ প্ৰান্থৰ ব্যাসার্দ্ধ (r) = 1 ছে.মি.
শংকুচ্ছেদ আকৃতিৰ গিলাচৰ আয়তন
= 1/3 π[R² + r² + Rr] * H
= 1/3 × 22/7[(2)² + (1)² + 2 × 1] × 14
= 1/3 × 22/7 [4 + 1 + 2] × 14
= 1/3 × 22/7 × 7 × 14
= 22 × 14/3 = 102.67 ছে.মি³.
∴ গিলাচৰ আয়তন = 102.67 ছে.মি³.
2. এটা শংকুচ্ছেদৰ হেলনীয়া উচ্চতা 4 চে.মি. আৰু ইয়াৰ বৃত্তাকাৰ মূৰৰ পৰিসীমা (পৰিধি) হ’ল 18 চে.মি. আৰু 6 চে.মি.। শংকুছেদটোৰ বক্রপৃষ্ঠকালি নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
শংকুচ্ছেদ আকৃতিৰ গিলাচৰ হেলনীয়া উচ্চতা= 4 ছে.মি.
গিলাচটোৰ ওপৰৰ অংশ আৰু তলৰ অংশৰ ব্যাসার্দ্ধ ক্রমে R আৰু ধৰা হ’ল।
∴ ওপৰৰ অংশৰ পৰিধি = 2πR = 18
⇒ R = 18/2π
⇒ R = 9/π ছে.মি.।
তলত অংশৰ পৰিধি = 6 ছে.মি.
⇒ 2πr = 6
⇒ r = 6/2x = 3/π ছে.মি.
গিলাচৰ বক্র পৃষ্ঠৰ কালি = π(R + r)l
= π(9/π + 3/π) × 4
⇒ π(12/π) × 4 = 48 ছে.মি.
∴ নির্ণেয় বক্রপৃষ্ঠৰ কালি = 48 ছে.মি.
3. তুর্কীসকলে পৰিধান কৰা এটা টুপী (fez) এটা শংকুচ্ছেদৰ নিচিনা (চিত্র 13.24 চোৱা)। ইয়াৰ খোলা মুখৰ ব্যাসার্দ্ধ 10 চে.মি., ওপৰৰ ভূমিৰ ব্যাসার্দ্ধ 4 চে.মি. আৰু হেলনীয়া উচ্চতা 15 চে.মি.। এইটো প্ৰস্তুত কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা পদাৰ্থৰ কালি উলিওৱা।
উত্তৰঃ শংকুচ্ছেদৰ তলৰ মূৰৰ ব্যাসার্ধ (R) = 10cm
শংকুচ্ছেদৰ ওপৰৰ মূৰৰ ব্যাসার্ধ (r) = 4cm
শংকুচ্ছেদৰ নতি উচ্চতা (l) = 15cm
শংকুচ্ছেদৰ বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি = π[R + r]
= 22/7 × 15[10 + 4] = 22/7 × 15 × 14 = 22 × 15 × 2 = 660 cm²
ওপৰৰ অংশৰ কালি = πr² = 22/7 × (4)² = 22/7 × 4 × 4 = 352/7 cm²
= 660 + 50.28 = 710.28 cm²
গতিকে, টুপীটো প্ৰস্তুত কৰিবলৈ ব্যৱহাৰ কৰা পদাৰ্থৰ কালি = 710.28 cm²
4. 16 চে.মি. উচ্চতাৰ শংকুচ্ছেদ এটুকুৰাৰ নিচিনা ধাতুৰ পাতেৰে নিৰ্মিত মুখৰ খোলা পাত্ৰ এটাৰ তলৰ আৰু ওপৰৰ ভূমিৰ ব্যাসার্দ্ধক্রমে ৪ চে.মি. আৰু 20 চে.মি.। প্রতিলিটাৰত 20 টকা দৰত লোৱা গাখীৰেৰে পাত্ৰটো পূৰ্ণ কৰিবলৈ কিমান খৰচ পৰিব নিৰ্ণয় কৰা। পাত্ৰটো নির্মাণ কৰোঁতে ব্যৱহাৰ কৰা ধাতুৰ পাতৰ খৰচ উলিওৱা যদি ইয়াৰ দাম প্রতি 100 বর্গ চে.মি.ত ৪ টকা। (π = 3.14 লোৱা)
উত্তৰঃ
পাত্ৰটোৰ তলৰ অংশৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 20 ছে.মি.
পাত্ৰটোৰ তলৰ অংশৰ ব্যাসার্দ্ধ (r) = 8 ছে.মি.
আৰু উচ্চতা (H) = 16 ছে.মি.
পাত্ৰটোৰ ধাৰণক্ষমতা = 1/3 πH(R² + r² + Rr)
= 1/3 × 3.14 × 16[(20)² + (8)² + 20 × 8]
= 3.14 × 16/3 [400 + 64 + 160]
= 3.14 × 16 × 624
= 10449.92 ছে.মি³.
∴ গাখীৰৰ পৰিমাণ = 10449.92 ছে.মি³.
= 10449.92/100 লিটাৰ [∴ 1ছে.মি³ = 1000 লি.
= 1045 লিটাৰ
∴ 1 লিটাৰ গাখীৰৰ মূল্য = 20 টকা
∴ 10.45 লিটাৰ গাখীৰৰ মূল্য = (10.45 × 20) টকা
= 209 টকা।
∴ পাত্ৰটোৰ বক্র-পৃষ্ঠ কালি = nl (R+ r)
= 3.14 × 20[20 + 8]
= 1758.4 ছে.মি³.
পাত্ৰটোৰ ভূমিৰ কালি= πr²
= 3.14 × (8)²
= 3.14 × 64 = 200.96 ছে.মি².
পাত্রটো প্রস্তুত কৰাৰ বাবে প্রয়োজনীয় ধাতুৰ পৰিমাণ
= বজ্রপৃষ্ঠৰ কালি + ভূমিৰ কালি
(1758.4 + 200.96) ছে.মি. = 1959.36 ছে মি².
∴ প্রতি 100 ছে.মি². পাতৰ মূল্য = 8 টকা।
∴ 1 ছে.মি². পাতৰ মূল্য = 8/100 টকা।
∴ 1959.36 ছে.মি². পাতৰ মূল্য = (8/100 × 1959.36)টকা।
= 156.75 টকা।
∴ ব্যৱহৃত ধাতব-পাতৰ মূল্য = 156.75 টকা আৰু গাখীৰৰ মূল্য 209.00 টকা।
5. 20 চে.মি. ওখ আৰু 60° শীর্ষকোণ বিশিষ্ট ধাতুৰ লম্বীয়বৃত্তাকাৰ শংকু এটাক ভূমিৰ সমান্তৰালকৈ 1 এখন সমতলে মাজতে দুটা ভাগ কৰি কাটিছে। যদি এনেদৰে পোৱা শংকুচ্ছেদটোৰপৰা 16 চে.মি. ব্যাসৰ তাঁৰ প্ৰস্তুত কৰা হয়, তাঁৰডালৰ দৈর্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
শংকুৰ শীর্ষকোণৰ পৰিমাণ = 60°। শংকুৰ উন্নতি শীর্ষকোণক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
∴ EOF = 30°
∴ ∆OBD -ত , BD/OD = tan 30°
⇒ r/10 = 1 √3 ⇒ r = 10/√3 cm
আকৌ, ∆OEF -ত
EF/OE = tan 30°
⇒ R/20 = 1/√3
⇒ R = 20/√3 cm
∴ শংকুচ্ছেদৰ আয়তন
= π/3 h[R² + r² + Rr]
শংকুচ্ছদৰ পৰা 1/6 ছে.মি. ব্যাসাযুক্ত তাঁৰ প্ৰস্তুত কৰা হয়।
∴ ৰেলনাকাৰ তাঁৰৰ ব্যাসার্দ্ধ (r₁) = 1/2 × 1/16 = 1/32 cm
ধৰা হ’ল বেলনটোৰ উচ্চতা = H cm
যিহেতু, ক্ষেত্রত আয়তন একে থাকে, অর্থাৎ শংকপৰ আয়তন = ৰেলনাকাৰ তাঁৰৰ আয়তন
⇒ 22/9 × 100 = πr1²H
⇒ 22/9 × 100 = 22/7 × (1/32)² × H
| অনুশীলনী: 13.5 |
1. 3 মি.মি. ব্যাসৰ এডাল তামৰ তাঁৰ, 12 চে.মি. ওখ আৰু 10 চে.মি. ব্যাসৰ এটা বেলনৰ বাহিৰফালে মেৰিওৱা হৈছে যাতে বেলনটোৰ বক্রপৃষ্ঠ সম্পূৰ্ণৰূপে ঢাক খায়। তাঁৰডালৰ দৈৰ্ঘ্য আৰু ভৰ, তামৰ ঘনত্ব 8.88 গ্রাম প্রতিঘনচে.মি. ধৰি লৈ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ তাঁৰৰ ব্যাস (d) = 3 মি.মি.
∴ তাঁৰৰ ব্যাসার্দ্ধ (n) = মি.মি. = 3/20 ছে.মি.
ৰেলনৰ ব্যাস = 10 ছে মি.।
ৰেলনৰ ব্যাসার্দ্ধ (R) = 5 ছে.মি.।
ৰেলনৰ উচ্চতা (H) = 12 ছে.মি.।
ৰেলনৰ পৰিধি = এক পাক তাঁৰৰ দৈৰ্ঘ্য।
⇒ 2πR = এক পাক তাঁৰৰ দৈর্ঘ্য।
∴ তাঁৰৰ পাক (turn) ৰ সংখ্যা = ৰেলনৰ উচ্চতা/তাঁৰৰ ব্যাসার্দ্ধ
∴ তাঁৰৰ দৈর্ঘ্য = তাঁৰৰ পাকৰ সংখ্যা × একপাক তাঁৰৰ দৈর্ঘ্য
⇒ H = 40 × 220/7 ছে.মি.। = 1257.14 ছে.মি.। ..
∴ তাঁৰৰ আয়তন = πr²Η
= 22/7 × 3/20 × 3/20 × 1257.14 ছে.মি³.।
= 88.89 ছে.মি³.।
∴ 1 ছে.মি³. আয়তন বিশিষ্ট তাঁৰৰ ভৰ = 8.88 গ্রাম
∴ 88.89 ছে.মি³. আয়তন বিশিষ্ট তাঁৰৰ ভৰ = (8.88 × 88.89) গ্রাম
= 789.41 গ্রাম।
∴ ব্যৱহৃত তাঁৰৰ দৈর্ঘ্য = 1257.14 ছে.মি. আৰু তাঁৰৰ ভৰ = 789.41 গ্রাম।
2. এটা সমকোণী ত্রিভুজ যাৰ বাহু 3 চে.মি. আৰু 4 চে.মি. (অতিভুজৰ বাদে), ইয়াৰ অতিভুজৰ সাপেক্ষে ঘূৰোৱা হৈছে। এনেদৰে ঘূর্ণনৰ ফলত গঠিত দ্বৈত শংকুৰ আয়তন আৰু পৃষ্ঠকালি নির্ণয় কৰা (πৰ মান সুবিধামতে লোৱা)।
উত্তৰঃ
∆ABC ত্রিভুজৰ ∠A = 90° AB = 3 ছে.মি. আৰু AC = 4 ছে.মি.। BC হ’ল অত্রিভুজ।
দ্বি-শঙ্কৰ ব্যাসার্দ্ধ হ’ল AO (অথবা AO)।
BAA শংকুৰ উচ্চতা = BO আৰু হেলনীয়া উচ্চতা= 3 ছে. ছে.মি.।
CAA শংকুৰ উচ্চতা = CO আৰু হেলনীয়া উচ্চতা= 4 ছে.মি.।
এতিয়া, ∆AOB ≅ ∆CAB [ A – A সদশ্য উপপাদ্য)
∴ AO/4 = 3/5
⇒ AO = 4 × 3/5 = 12/5 ছে.মি.
আৰু BO/3 = 3/5
⇒ BO= 9/5 ছে.মি
∴ CO = BC – OB
= (5 – 9/5) ছে.মি = 16/5 ছে.মি
এতিয়া, দ্বি-শংকুৰ আয়তন
= [ABA শংকুৰ আয়তন]+ [ACA শংকুৰ আয়তন]
= 1/3 πOA² . OB + 1/3 πOA² .OC
= 1/3π. OA² (OB + OC)
= 1/3 × 22/7 × 12/5 × 12/5 × (9/5 + 16/5)
আকৌ, দ্বি-শংকুৰ বক্র-পৃষ্ঠৰ কালি
= [ABA শংকুৰ পৃষ্ঠকালি] + [ACA শংকুৰ পৃষ্ঠকালি]
= π.AO.AB + π.AO. A’C
3. এটা জলাধাৰৰ ভিতৰৰ জোখ 150 চে.মি. × 120 চে.মি. × 110 চে.মি., ইয়াত থকা পানীৰ পৰিমাণ 129600 ঘন চে.মি.। ইয়াত ছিদ্রযুক্ত ইটাৰ টুকুৰা এনেভাবে ভাৰোৱা হয় যে পানী কাষলৈকে পূর্ণ হয়। প্রতিটুকুৰা ইটাই ইয়াৰ নিজৰ আয়তনৰ এক সপ্তদশাংশ পানী শোষণ কৰে। প্রতিটুকুৰা ইটাৰ জোখ 22.5 চে.মি. × 7.5 চে.মি. × 6.5 চে.মি. হ’লে পানী বাগৰি নোযোৱালৈ কিমান টুকুৰা ইটা ভৰাব পৰা যাব?
উত্তৰঃ জলাধাৰৰ আয়তন = (150 × 120 × 110)cm³ = 1980000cm³
ইতিমধ্যে জলাধাৰত থকা পানীৰ আয়তন = 129600cm³
জলাধাৰৰ বাকী থকা আয়তন = (1980000-129600)cm³ = 1860400cm³
প্রতি টুকুৰা ইটাই শোষণ কৰি লোৱা পানী = 1/17 × 1096.875cm³ = 64.52 cm³ (প্রায়)
এটা ইটাৰ আয়তন = (1096.875 – 64.52)cm³ = 1593.24cm³
নির্ণেয় ইটাৰ সংখ্যা = 1850400/1593.24 = 1792 (প্রায়)
4. এটা মাহৰ এটা পষেকত” নদী এখনৰ উপত্যকাত 10 চে.মি. বৰষুণ হৈছিল। অঞ্চলটোৰ কালি 97280 বর্গ কিলোমিটাৰ, দেখুওৱা যে মুঠ বৰষুণৰ পৰিমাণ প্রায় 1072 কি.মি. দীঘল, 75 মিঃ বহল আৰু 3 মিঃ গভীৰতাৰ তিনিখন নদীত থকা স্বাভাৱিক পানীৰ মুঠ পানীৰ সমান।
উত্তৰঃ অঞ্চলটোৰ কলি = 97280km²
অঞ্চলটোত পৰা বৰষুণৰ পৰিমাণ = 10cm
মুঠ বৰষুণৰ আয়তন = 97280 × 10/100 × 1/1000 km³ = 9728 km³
5. টিনপাতেৰে বনোৱা এটা তেলৰ চুপিৰ বেলন আকৃতিৰ অংশৰ দৈৰ্ঘ্য 10 চে.মি., এটা শংকুচ্ছেদৰ লগত সংযোগ কৰা হৈছে। যদি মুঠ উচ্চতা 22 চে.মি., বেলন অংশৰ ব্যাস 8 চে.মি. আৰু চুপিৰ ওপৰৰ অংশৰ ব্যাস 18 চে.মি., তেন্তে চুপিটো নিৰ্মাণ কৰিবলৈ প্ৰয়োজন হোৱা টিনপাতৰ কালি উলিওৱা (চিত্র 13.25)।
উত্তৰঃ তেলৰ চুপীৰ ওপৰৰ ব্যাস = 18cm
∴ তেলৰ চুপীৰ ওপৰৰ অংশৰ ব্যাসার্ধ (R) = 18/3 = 9 cm
তেলৰ চুপীৰ তলৰ অংশৰ ব্যাস = 8cm
তেলৰ চুপীৰ তলৰ অংশৰ ব্যাসার্ধ (r) = 4cm
বেলন আকৃতিৰ অংশৰ উচ্চতা (h) = 10cm
শংকুচ্ছেদৰ উচ্চতা (H) = (22 – 10) = 12cm
শংকুচ্ছেদৰ নতি উচ্চতা (l)
শংকুচ্ছেদৰ নতি উচ্চতা (l) = 13cm
প্ৰয়োজন হোৱা টিনপাতৰ কালি = বেলন আকৃতিৰ অংশৰ বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি + শংকুচ্ছেদৰ বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি
= 2nrh + πl[R + r]
= 2 × 22/7 × 4 ×10 + 212/7 × 13[9 + 41]cm²
= 251.42 + 531.14 = 782.56 cm²
গতিকে, প্রয়োজন হোৱা মুঠ টিনপাতৰ কালি = 782.56 cm².
6. 13.5 অনুচ্ছেদত দিয়া শংকুচ্ছেদৰ বক্ৰপৃষ্ঠৰ কালি আৰু মুঠ পৃষ্ঠকালিৰ বাবে দিয়া সূত্রকেইটা নির্ণয় কৰা (প্রতিষ্ঠা কৰা), ব্যাখ্যা কৰা মতে চিহ্ন ব্যবহাৰ কৰিবা।
উত্তৰঃ
শংকুচ্ছেদ হ’ল দুটা অসমান বৃত্তাকাৰ ভূমি বিশিষ্ট লম্ব বৃত্তাকাৰ শংকু। ACDB হ’ল শংকুচ্ছেদ। OP হ’ল হেলনীয়া তীষক-উচ্চতা।
ধৰা হ’ল R আৰু যথাক্রমে শংকুৰ বৃতীয় তলৰ ব্যাসার্দ্ধ (R > r)। শংকু আকৃতি অংশ VCD সম্পূর্ণ কৰা হ’ল।
h আৰু l যথাক্রমে উল্লম্ব উচ্চতা আৰু হেলনীয়া উচ্চতা। তেনেহ’লে, OP = h আৰু AC = BD = l ধৰা হ’ল VAB শংকুৰ
উচ্চতা = h₁ আৰু হেলনীয়া উচ্চতা= l₁। অর্থাৎ VP = h₁ আৰু A = VB = L.
এতিয়া, ∆DEB সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ –
DB² = DE² + BE²
⇒ l² = h² + (R – r)²
শংকুচ্ছেদৰ বক্রপৃষ্ঠ কালি
= πRl₁ – πr(l₁ – l)
= πR. lR/R – r – πr × lr/R – r
= πl(R + r) বর্গএকক।
∴ লম্ব বৃত্তাকাৰ শংকুৰ বক্রপৃষ্ঠৰ কালি = πl(R + r) বর্গএকক, য’ত
আৰু শংকুচ্ছেদৰ লম্ববৃত্তাকাৰ শংকুৰ বক্রপৃষ্ঠ কালি = বক্রপৃষ্ঠ কালি + ভূমি তলৰ কালি+ ওপৰৰ অংশৰ কালি
= πl(R + r) + πR² + πr²
= π[R² + r² + (R + r)] বর্গএকক।
7. 13.5 অনুচ্ছেদত দিয়া শংকুচ্ছেদৰ আয়তন সম্বন্ধীয় সূত্রটো ব্যাখ্যা কৰা, ব্যাখ্যাত ব্যৱহাৰ কৰা চিহ্ন ব্যৱহাৰ কৰিবা।
উত্তৰঃ
এটা লম্ব-বৃত্তীয় শংকু AVB-ৰ পৰা VCD অংশ বাদ দিলে কর্তীত-শীর্ষ শংকুচ্ছেদ পোৱা যায়।
OP = উচ্চতা, AC আৰু BD যথাক্রমে ACDB
শংকুচ্ছেদৰ হেলনীয়া উচ্চতা। R আৰু r. ACDB
শংকুৰ বৃত্তাকাৰ ভূমিৰ ব্যাসার্দ্ধদ্বয় (R > r)। h আৰু l থাক্রমে উল্লম্ব উচ্চতা আৰু হেলনীয়া উচ্চতা।
তেনেহ’লে OP= h আৰু AC = BD = l
চিত্ৰত h. VAB শংকুৰ হেলনীয়া উচ্চতা আৰু 1₁ হ’ল VCD সংকুৰ তীৰ্ষক উচ্চতা।
অর্থাৎ, VP = h₁ আৰু VA = VB = 1₁
∴ VCD শংকুৰ উচ্চতা = VP – OP = h₁-h
∆VOD ≅ ∆VPB
⇒ VO/VP = OD/PB = h₁- h/h₁ = π/R
⇒ 1 – h/h₁ = rR = r/h ⇒ h/h₁ = 1- r/R = R-r/R
⇒ h¹ = hR/R – r
∴ VCD শংকুৰ উচ্চতা = h₁ – h
∴ ACDB শংকুৰচ্ছেদৰ আয়তন
= VAB শংকুৰ আয়তন- VCD শংকুৰ আয়তন
আকৌ, দুটা বৃত্তাকাৰ ভূমিৰ পৃষ্ঠকালি যথাক্রমে A₁ আৰু A₂ (A₁ > A₂) A₁ = πr² আৰু A₂ = πr²
এতিয়া, শংকুচ্ছেদৰ আয়তন
= 1/3 πh(R² + r ² + Rr)
