NCERT Class 6 Mathematics Chapter 9 सममिति

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NCERT Class 6 Mathematics Chapter 9 सममिति

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सममिति

Chapter: 9

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 219)

1. क्या आप इस अध्याय के प्रारंभ में दी गई आकृतियों में सममिति की रेखा देख पाए हैं? बादलों की आकृति के विषय में आपका क्या विचार है?

उत्तर: यहाँ फिरकी के अतिरिक्त प्रत्येक आकृति में एक सममिति की रेखा है। बादलों के चित्र में कोई सममिति की रेखा नहीं है।

2. निम्न आकृतियों में यदि सममिति की रेखाएँ हैं, तो उन्हें पहचानिए।

उत्तर: प्रथम दो आकृतियों में सममिति की रेखाएँ खींच दी गई हैं। अन्य आकृतियों में कोई सममित रेखा (सममिति की रेखा) नहीं है।

पृष्ठ 221

1. क्या वर्ग को मोड़ने का कोई अन्य तरीका है जिससे कि दोनों आधे हिस्से एक-दूसरे को आच्छादित करें? वर्ग जैसी आकृति में कितनी सममिति की रेखाएँ हैं?

उत्तर: नहीं। वर्ग जैसी आकृति में चार सममिति की रेखाएँ होती हैं।

2. हमने देखा कि एक वर्ग का विकर्ण भी सममिति की रेखा है। आइए, उदाहरण के रूप में एक आयत को लेते हैं जोकि एक वर्ग नहीं है। क्या इसका विकर्ण सममिति की रेखा है?

उत्तर: नहीं। यह एक सममिति की रेखा नहीं है।

पृष्ठ 222

1. हम इस आकृति को A और C से होकर जाने वाले विकर्ण के अनुविश परावर्तित करें, तो क्या होगा? बिंदु A, B, C और D किन स्थानों पर जाएँगे? यदि हम इसे क्षैतिज सममिति रेखा के अनुदिश परावर्तित करें, तो क्या होगा?

उत्तर: A पर A जाएगा, C पर C जाएगा, D पर B जाएगा तथा B पर D जाएगा।

यदि हम क्षैतिज रेखा के अनुदिश परावर्तित करें, तो D पर A जाएगा, A पर D जाएगा, C पर B जाएगा तथा B पर C जाएगा।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 223-230)

1. दी गई प्रत्येक आकृति में कागज की मुड़ी हुई चौकोर शीट में एक छेद किया गया है और फिर कागज को खोल दिया गया है। उस रेखा की पहचान कीजिए जिसके साथ कागज को मोड़ा गया था।

चित्र (d) एक छेद करके बनाया गया है। ज्ञात कीजिए कागज को कैसे मोड़ा गया था।

उत्तर: प्रत्येक आकृति में रेखाएँ खींच दी गई हैं।

2. सममिति की रेखाएँ दी गई हैं, अन्य छेदों को ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रत्येक आकृति में संगत छेद खींचकर बना दिए गए हैं।

3. नीचे कागज काटने से संबंधित कुछ प्रश्न दिए गए हैं।

एक ऊर्ध्वाधर मोड़ पर विचार कीजिए। उसे हम निम्न प्रकार से दर्शाते हैं –

इसी प्रकार, क्षैतिज मोड़ को निम्न प्रकार से दर्शाते हैं –

उत्तर: यहाँ किसी उत्तर की आवश्यकता नहीं है।

4. नीचे दी गई प्रत्येक स्थिति में काटने के पश्चात् जब कागज को खोला जाए तब छेद के आकार का अनुमान लगाकर उसे सत्यापित कीजिए।

उत्तर: (a) आकृति लगभग नीचे दर्शाए अनुसार दिखाई देगी:

(b) यह नीचे दर्शाए अनुसार दिखाई देगी:

(c) और (d) में, ये पहले ही स्वयं संगत आकृति में दी हुई हैं।

5. मान लीजिए कि आपको इनमें से प्रत्येक आकार को कुछ मोड़ों और एक सीधे कट के साथ प्राप्त करना है। आप ऐसा किस प्रकार करेंगे?

(a) केंद्र में स्थित छेद एक वर्ग है।

उत्तर: वर्ग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाओं के अनुदिश मोड़िए। इसके बाद एक कोने से एक वर्ग काट लीजिए।

(b) केंद्र में स्थित छेद एक वर्ग है।

नोट- उपरोक्त दोनों प्रश्नों के लिए इसकी जाँच कीजिए कि क्या केंद्र में चार-भुजीय आकृति एक वर्ग के दोनों गुणों की विशेषताओं को इंगित करती है।

उत्तर: वर्ग को दोनों विकर्णों के अनुदिश मोड़िए तथा फिर एक कोने से एक वर्ग काट लीजिए।

6. इन आकृतियों में कितनी सममिति की रेखाएँ हैं?

(a)

उत्तर: 4 और 8.

(b) समान भुजाओं और समान कोणों वाला एक त्रिभुज:

उत्तर: 3.

(c) समान भुजाओं और समान कोणों वाला एक षट्भुज:

उत्तर: 6.

7. प्रत्येक आकृति का अक्स बनाइए तथा सममिति की रेखाएँ खींचिए, यदि कोई है तो-

उत्तर: प्रत्येक आकृति में सममिति की (सममित) रेखाएँ खींच दी गई हैं:

8. नीचे दिए गए कोलम में सममिति की रेखाएँ ज्ञात कीजिए –

उत्तर: आकृति में, सममिति की सभी रेखाएँ खींच दी गई हैं:

9. निम्नलिखित का चित्र बनाइए –

(a) एक त्रिभुज जिसमें सममिति की केवल एक रेखा हो।

उत्तर: एक त्रिभुज ABC खींचा गया है, जिसमें AB = 5 सेमी, AC = 5 सेमी और BC = 4 सेमी है। इसकी l एक सममिति की रेखा है।

(b) एक त्रिभुज जिसमें सममिति की केवल तीन रेखाएँ हों।

उत्तर: एक त्रिभुज DEF खींचा गया है, जिसमें DE = EF = FD = 4 सेमी है। p, q और r इसकी तीन सममिति की रेखाएँ हैं।

(c) एक त्रिभुज जिसमें सममिति की कोई रेखा न हो।

क्या ठीक दो सममिति की रेखाओं का त्रिभुज बनाना संभव है?

उत्तर: एक त्रिभुज PQR खींचा गया है, जिसमें PQ = 3 सेमी, QR = 6 सेमी और PR = 5 सेमी है। इसकी कोई भी सममिति की रेखा नहीं है।

ठीक दो सममिति की रेखाओं वाले किसी भी त्रिभुज को खींचना संभव नहीं है।

10. निम्नलिखित का चित्र बनाइए। प्रत्येक स्थिति में, आकृति में कम-से-कम एक घुमावदार सीमा अवश्य हो।

(a) ठीक एक सममिति की रेखा वाला चित्र।

उत्तर: एक सममिति की रेखा है।

(b) ठीक दो सममिति की रेखाओं वाला चित्र।

उत्तर: दो सममिति की रेखाएँ हैं।

(c) ठीक चार सममिति की रेखाओं वाला चित्र।

उत्तर: चार सममिति की रेखाएँ हैं।

नोट: यहाँ उत्तर अद्वितीय नहीं है।

11. निम्नलिखित आकृतियों को एक वर्गाकार कागज पर बनाइए। उन्हें इस प्रकार पूरा कीजिए कि नीले रंग की रेखा सममिति की रेखा हो। समस्या (a) को आपके लिए पूरा किया गया है।

संकेत- (c) और (f) के लिए देखिए कि क्या पुस्तक को घुमाने से कुछ सहायता प्राप्त होती है!

उत्तर: आकृतियों को पूरा कर दिया गया है:

12. निम्नलिखित आकृतियों को एक वर्गाकार कागज पर बनाइए। उनमें से प्रत्येक को इस प्रकार पूरा कीजिए कि परिणामी आकृति में सममिति की रेखाओं के रूप में दो नीली रेखाएँ हो।

उत्तर: आकृतियों को पूरा कर दिया गया है:

13. निम्नलिखित रेखा आकृतियों को डॉट ग्रिड पर बनाइए। प्रत्येक आकृति के लिए दो और रेखाएँ खींचिए ताकि ऐसी एक आकृति बन सके, जिसमें सममिति की एक रेखा हो।

उत्तर: प्रत्येक आकृति में रेखाएँ खींच दी गई हैं।

पृष्ठ 235

1. क्या आप किरण-संबंधी भुजाओं को लेकर ऐसी आकृति बना सकते हैं, जिसमें-

(a) ठीक 5 सममिति के कोण हों?

(b) 6 सममिति के कोण हों? प्रत्येक आकृति का सममिति का कोण भी ज्ञात करें।

[संकेत-पहली स्थिति के लिए 5 किरण-संबंधी भुजाएँ लिखिए? दो आसन्न किरण-संबंधी भुजाओं के बीच क्या कोण होना चाहिए?]

उत्तर: (a) हाँ, दो आसन्न किरण संबंधी भुजाओं के बीच का कोण 72° होगा।

(b) हाँ, 60°, 120°, 180°, 240° 300° और 360°।

2. एक ऐसी किरण-संबंधी भुजाओं से बनी आकृति लीजिए जिसमें ठीक 7 सममिति के कोण हों? इसका न्यूनतम सममिति कोण कितना होगा? क्या इस स्थिति में कोण की माप एक पूर्ण संख्या होगी? यदि नहीं, तो उसे मिश्रित भिन्न में व्यक्त कीजिए।

उत्तर: न्यूनतम कोण = 360∘/7 है; नहीं।

360∘/7 = 51 3∘/7 है।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 235-236)

1. दी गई आकृतियों में दिए गए चिह्न (०) के परित समिमित के कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (a) 180°, 360°.

(b) 360°.

(c) 180°, 360°.

2. निम्नलिखित में से किस आकृति में एक से अधिक सममिति के कोण हैं?

उत्तर: आकृतियों (a) (4), (d) (4), (e) (2) और (f) (5) में एक से अधिक सममिति के कोण हैं।

3. प्रत्येक आकृति के लिए घूर्णन सममिति का क्रम (की कोटि) बताइए-

उत्तर: (a) 2, (b) 1, (c) 6, (d) 3, (e) 4 और (f) 5 क्रमशः

[नोट- किसी आकृति में, सममिति के कोणों की कुल संख्या, उसकी घूर्णन सममिति का क्रम (की कोटि) कहलाती है।]

पृष्ठ 236

1. प्रत्येक स्थिति में कोण, न्यूनतम कोण के गुणज हैं। आप उत्साहपूर्वक पूछ सकते हैं कि क्या ऐसा सदैव होता है? आप क्या सोचते हैं?

उत्तर: हाँ, ऐसा सदैव होगा, जबकि प्रतिबंध यह है कि हम वह न्यूनतम कोण ज्ञात कर सकें। उदाहरणार्थ, एक वृत्त की स्थिति में, हम न्यूनतम कोण ज्ञात नहीं कर पाएँगे।

सत्य या असत्य (पृष्ठ 236)

1. प्रत्येक आकृति का 360° एक सममिति का कोण होगा।

उत्तर: सत्य।

2. यदि एक आकृति की सममिति का न्यूनतम कोण एक प्राकृत संख्या है, तो वह 360° का एक गुणनखंड होगी।

उत्तर: सत्य।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 238-239)

1. वृत्त के त्रिज्यखंडों में इस प्रकार रंग भरिए कि आकृति में (i) सममिति के कोण हों। (ii) 4 सममिति के कोण हों। (iii) सममिति के संभव कोणों की संख्या क्या होगी, यदि इन त्रिज्यखंडों को अलग-अलग रंगों से अलग-अलग विधियों द्वारा भरा जाए तो।

उत्तर: 

(iii) इन त्रिज्यखंडों में विभिन्न विधियों से रंग भरकर, हम 2, 3, 4 या 6 सममिति के कोण प्राप्त कर सकते हैं।

2. वृत्त और वर्ग को छोड़कर, ऐसी अन्य दो आकृतियाँ बनाइए, जिनमें परावर्तीय सममिति और घूर्णन सममिति दोनों हों।

उत्तर: दो आकृतियाँ नीचे दी गई हैं:

समबाहु त्रिभुज में तीन सममिति की (सममित) रेखाएँ होती हैं तथा तीन सममिति के कोण होते हैं। आयत में सममिति की दो रेखाएँ होती हैं तथा सममिति के दो कोण होते हैं।

3. जहाँ भी संभव हो, निम्नलिखित का एक कच्चा स्कैच खींचिए-

(a) एक त्रिभुज, जिसमें न्यूनतम दो सममिति की रेखाएँ हों तथा न्यूनतम दो सममिति के कोण हों।

उत्तर: समबाहु त्रिभुज, जिसमें तीन (न्यूनतम दो) सममिति की रेखाएँ हैं तथा तीन (न्यूनतम दो) सममिति के कोण हैं।

(b) एक त्रिभुज, जिसमें केवल एक सममिति की रेखा हो लेकिन कोई घूर्णन सममिति न हो।

उत्तर: त्रिभुज PQR, जिसमें PQ = PR है, परंतु PQ ≠ QR है। इसमें केवल एक सममिति की AR रेखाl हैं, परंतु कोई घूर्णन सममिति नहीं है।

(c) घूर्णन सममिति वाला ऐसा चतुर्भुज, जिसमें कोई परावर्तीय (परावर्तन) सममिति न हो।

उत्तर: समांतर चतुर्भुज ABCD, जिसमें घूर्णन सममिति है, परंतु कोई परावर्तीय (परावर्तन) सममिति नहीं है।

(d) एक परावर्तीय सममिति वाला चतुर्भुज, जिसमें कोई घूर्णन सममिति न हो।

उत्तर: पतंग PQRS, जिसमें परावर्तीय (परावर्तन) सममिति है, परंतु कोई घूर्णन सममिति नहीं है।

4. एक आकृति में सममिति का न्यूनतम कोण 60° है। इस आकृति के अन्य सममिति के कोण क्या हैं?

उत्तर: ये कोण 120°, 180°, 240°, 300° और 360° हैं।

5. एक आकृति में एक सममिति का कोण 60° है। इस आकृति के दो सममिति के कोण 60° से कम हैं। सममिति का न्यूनतम कोण क्या होगा?

उत्तर: यह 15° है।

6. क्या हम घूर्णन सममिति के साथ एक ऐसी आकृति प्राप्त कर सकते हैं, जिसमें सममति का न्यूनतम कोण –

(a) 45° है?

उत्तर: हाँ।

(b) 17° है?

उत्तर: नहीं।

7. यह दिल्ली में स्थित नए संसद भवन का चित्र है।

(a) क्या इस चित्र की बाहरी परिसीमा (boundary) में परावर्तन सममिति है? यदि ऐसा है, तो समिमित की रेखाएँ खींचिए। वे कितनी हैं?

उत्तर: हाँ। इसे आकृति में खींच दिया गया है।

(b) क्या इसकी अपने केंद्र के परित घूर्णन सममिति है? यदि ऐसा है, तो घूर्णन सममिति के कोण ज्ञात कीजिए।

उत्तर: नहीं।

8. अध्याय 1, सारणी 3 में पहले आकृति अनुक्रम नियमित बहुभुज आकार अनुक्रम आकृतियों में सममिति की कितनी रेखाएँ हैं? आपको कौन-सा संख्या अनुक्रम मिलता है।

उत्तर: पहले आकृति अनुक्रम में, 3, 4, 5, 6,….. हैं। हम संख्या अनुक्रम 3, 4, 5, 6,…. प्राप्त करते हैं।

9. अध्याय 1 की सारणी 3 में पहले आकृति अनुक्रम नियमित बहुभुज के आकार अनुक्रम की आकृतियों में सममिति के कितने कोण हैं? आपको कौन-सा संख्या अनुक्रम प्राप्त होता है?

उत्तर: पहले आकार अनुक्रम में सममिति के कोणों की संख्याएँ 3, 4, 5, 6,….. हैं।

प्राप्त संख्या अनुक्रम 3, 4, 5, 6,……. है।

10. अध्याय 1 की सारणी 3 में अंतिम आकृति अनुक्रम कोच स्नोफ्लेक के आकार अनुक्रम में आकृतियों में सममिति की कितनी रेखाएँ है? सममिति के कितने कोण हैं?

उत्तर: कोच स्नोफ्लेक (हिमकण) के आकार अनुक्रम में, प्रथम आकृति (त्रिभुज) को छोड़कर, जिसमें सममिति की रेखाएँ 3 हैं, सममिति की रेखाओं की संख्या 6, 6, 6,…… हैं।

कोच स्नोफ्लेक अनुक्रम में प्रथम आकृति को छोड़कर, जिसमें सममिति के 3 कोण हैं, सममिति के कोणों की संख्याएँ 6, 6, 6,…… हैं।

11. अशोक चक्र में कितनी समिमित की रेखाएँ और सममिति के कोण होते हैं?

उत्तर: अशोक चक्र में 24 सममिति की रेखाएँ हैं। अशोक चक्र में 24 सममिति के कोण हैं, जो 15°, 30°, 45°, 60°, 75°, 90°, 105°, 120°, 135°, 150°, 165°, 180°, 195°, 210°, 225°, 240°, 255°, 270°, 285°, 300°, 315°, 330°, 345° और 360° हैं।

टाइल्स के साथ खेलिए (पृष्ठ 239)

(a) पुस्तक के अंत में दी गई रंगीन टाइल्स का उपयोग करके इस आकृति को पूरा कीजिए जिससे इसकी केवल दो समिमित की रेखाएँ हों।

(b) 16 ऐसी ही टाइल्स का प्रयोग करके ऐसी आकृति बनाइए जिसमें ठीक – 

(i) एक सममिति की रेखा हो।

(ii) दो सममिति की रेखाएँ हो।

(c) इन टाइल्स का प्रयोग करके रचनात्मक सममित डिजाइन बनाइए।

उत्तर: विद्यार्थी स्वयं करें।

खेल (पृष्ठ 241)

1. एक 6 × 6 का ग्रिड (grid) खींचिए। दो खिलाड़ी दो आसन्न वर्गों को भरते हुए, बारी-बारी से एक रेखा खींचते हैं। यह रेखा क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर किसी भी रूप में खींची जा सकती है। ये रेखाएँ अतिआच्छदित नहीं हो सकती हैं। यह खेल तब तक जारी रहता है, जब तक कि कोई खिलाड़ी कोई और रेखा नहीं खींच पाता है। वह खिलाड़ी जो आगे रेखा नहीं खींच पाता, खेल में हार जाता है।

इस खेल को जीतने की क्या रणनीति होनी चाहिए?

उत्तर: विजेता द्वारा दो आसन्न वर्गों में एक रेखा ऐसे खींचने की रणनीति (युक्ति) अपनाई जानी चाहिए कि इन वर्गों के आसन्न एक वर्ग शेष रहे।

Parimol

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