NCERT Class 6 Mathematics Chapter 10 शून्य के दूसरी ओर

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NCERT Class 6 Mathematics Chapter 10 शून्य के दूसरी ओर

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शून्य के दूसरी ओर

Chapter: 10

पृष्ठ 243

1. क्या कोई ऐसी संख्या है जो शून्य से छोटी हो? क्या आप ऐसी किसी वस्तु के 0 से कम होने का कोई तरीका सोच सकते हो?

उत्तर: हाँ। शून्य से छोटी संख्याएँ हो सकती हैं। ऐसी अनेक विधियाँ हैं, जिनमें हम किसी वस्तु के 0 से कम होने के बारे में सोच सकते हैं। उदाहरणार्थ, कई स्थानों के तापमान 0°C से कम हो जाते हैं। यदि हम किसी स्तर (मान लीजिए समुद्र तल या स्तर) से ऊपर अनेक वस्तुओं की ऊँचाइयाँ (किसी भी इकाई में) 0 इकाई से अधिक मानते हैं, तो हम अनेक वस्तुओं की गहराइयों को 0 इकाई से कम मान सकते हैं, इत्यादि।

2. चार तल ऊपर जाने के लिए आप क्या दबाते हैं? तीन तल नीचे जाने के लिए आप क्या दबाते हैं?

उत्तर: +4 और -3 क्रमश: (या +, +, +, +, और -, -, – क्रमशः)।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 245)

1. +2 तल से प्रारंभ कीजिए और लिफ्ट में 3 दबाइए। आप कहाँ पहुँचेंगे? इसे पद (व्यंजक) के रूप में दर्शाइए।

उत्तर: हम तल-1 पर पहुँचेंगे; (+2) + (-3) = -1 है।

2. दिए गए पदों (व्यंजकों) को पूर्ण कीजिए। (आप प्रारंभ तल + मजेदार इमारत में गति के संदर्भ को ध्यान रखते हुए इन्हें पूर्ण कीजिए।)

(a) (+1) + (+4) = _______

उत्तर: (+1) + (+4) = +5.

(b) (+4) + (+1) = ________

उत्तर: (+4) + (+1) = +5.

(c) (+4) + (-3) = _______

उत्तर: (+4) + (-3) = +1.

(d) (-1) + (+2) = ________

उत्तर: (-1) + (+2) = +1.

(e) (-1) + (+1) = _______

उत्तर: (-1) + (+1) = 0.

(f) (0) + (+2) = __________

उत्तर: 0 + (+2) = +2.

(g) (0) + (-2) = _________

उत्तर: 0 + (-2) = -2.

3. विभिन्न तलों से शुरुआत करते हुए, तल (-5) पर पहुँचने के लिए आवश्यक गतियों को ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, यदि मैं तल + 2 से प्रारंभ करता हूँ, मुझे – 5 पर पहुँचने के लिए – 7 ही दबाना होगा। अतः अभिव्यक्ति (व्यंजक) (+2) + (-7) = -5 है।

इसी प्रकार -5 पर पहुँचने के लिए अन्य प्रारंभिक स्थितियाँ और आवश्यक गतियों को ज्ञात कीजिए और पदों (व्यंजकों) को लिखिए।

उत्तर: यदि मैं तल +3 से प्रारंभ करता हूँ, तो मुझे तल -1 पर पहुँचने के लिए 4 दबाना चाहिए यदि मैं तल +1 से प्रारंभ करता हूँ, तो मुझे +4 पर पहुँचने के लिए +3 दबाना चाहिए; यदि मैं तल -2 से प्रारंभ करता हूँ, तो तल +3 पर पहुँचने के लिए मुझे +5 दबाना चाहिए, इत्यादि।

इन गतियों के लिए संगत व्यंजक (+3) + (−4) = −1; (+1) + (+3) = +4; (-2) + (+5) = (+3), इत्यादि हैं।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 245-246)

1. संयोजित बटन दबाने से गति के परिणामों को ध्यान में रखते हुए दिए गए पदों (व्यंजकों) का मूल्यांकन (मान ज्ञात) कीजिए।

(a) (+1) + (+4) = ___________

उत्तर: (+1) + (+4) = +5

(b) (+4) + (+1) = ___________

उत्तर: (+4) + (+1) = +5

(c) (+4) + (-3) + (-2) = ___________

उत्तर: (+4) + (-3) + (-2) = -1

(d) (-1) + (+2) + (-3) = ___________

उत्तर: (-1) + (+2) + (-3) = -2

पृष्ठ 246

1. दी गई संख्याओं के योग्य प्रतिलोम बताइए।

+4, -4, -3, 0, +2, -1.

उत्तर: -4, +4, +3, 0, 2, +1.

2. रेखा खींचकर योज्य प्रतिलोम से जोड़िए।

उत्तर: 

3. सबसे नीचे के तल पर कौन है?

(i) जय कला केंद्र में है, अतः वह +2 तल पर है।

उत्तर: +2

(ii) आसिन खेल केंद्र में है, अतः वह ________ तल पर है।

उत्तर: +5

(iii) बिन्नु सिनेमा केंद्र में है, अतः वह ________ तल पर है।

उत्तर: -3

(iv) अमन खिलौनों की दुकान में है, अतः वह ________ तल पर है।

उत्तर: -1

बिन्नू सबसे निचले तल पर है।

पृष्ठ 247

1. क्या हम -3 < -4 या -4 < -3 लिख सकते हैं?

उत्तर: -4 < -3 है।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 247)

1. मजेदार इमारत का प्रयोग करते हुए दी गई संख्याओं की तुलना कीजिए और बॉक्स में < या > चिह्न भरिए।

(a) -2 ____+5.

उत्तर: -2 < +5.

(b) -5 ____+4.

उत्तर: -5 < +4.

(c) -5 ____ -3.

उत्तर: -5 < -3.

(d) +6 _____ -6.

उत्तर: +6 < -6.

(e) 0 ____ -4.

उत्तर: 0 > -4.

(f) 0 _____ +4.

उत्तर: 0 < +4.

2. मजेदार इमारत में अधिक तलों की कल्पना कीजिए तथा संख्याओं की तुलना कीजिए। बॉक्स में < या > भरिए।

(a) -10 ____ -12.

उत्तर: -10 > -12.

(b) +17 ____ -10.

उत्तर: +17 > -10.

(c) 0 ____ -20.

उत्तर: 0 > -20.

(d) +9 ____ -9.

उत्तर: +9 > -9.

(e) -25 ____ -7.

उत्तर: -25 < -7.

(f) +15 _____ -17.

उत्तर: +15 > -17.

3. यहाँ दाई ओर एक रेखा के रूप में दिखाई गई इमारत में यदि तल A = -12, तल D = -1 और तल E = +1 है, तो तल B, C, F, G और H के क्रमांक बताइए।

उत्तर: तल B का क्रमांक (-12) + (+3) = -9 है;

तल C का क्रमांक (-12) + (+6) = 6 है;

तल F का क्रमांक (-1) + (+3) = +2 है;

तल G का क्रमांक (+1) + (+5) = +6 है;

तल H का क्रमांक (+6) + (+5) = +11 है।

4. यहाँ (पाठ्यपुस्तक में) दाईं ओर दिखाई गई इमारत में निम्नलिखित तलों को अंकित कीजिए।

(a) -7.

(b) -4.

(c) +3.

(d) -10.

उत्तर: आकृति में,

(a) -7 को P से अंकित किया गया है;

(b) -4 को Q से अंकित किया गया है;

(c) +3 को R से अंकित किया गया है;

(d) -10 को S से अंकित किया गया है।

पृष्ठ 248

1. इस संदर्भ में 15 – 5, 100 – 10, 74 – 34 ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 15 – 5 = ? तुल्य है 5 + ? = 15 के।

इससे ? = 10 प्राप्त होता है। अतः, 15 – 5 = 10 है।

100 – 10 = ? तुल्य है 10 + ? = 100 के ।

इससे ? = 90 प्राप्त होता है। अतः 100 – 10 = 90 है।

74 – 34 = ? तुल्य है 34 + ? = 74 के।

इससे ? = 40 प्राप्त होता है। अतः 7434 = 40 है।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 249)

1. दिए गए पदों (व्यंजकों) को पूरा कीजिए। आप इन्हें प्रारंभिक तल से लक्षित तल तक पहुँचने के लिए आवश्यक गति प्राप्त करने के रूप में सोच सकते हैं।

(a) (+1) – (+4) = _______.

उत्तर: (+1) – (+4 ) = -3.

(b) (0) – (+2) = _________.

उत्तर: (0) – (+2) = -2.

(c) (+4) – (+1) = _______.

उत्तर: (+4) – (+1) = +3.

(d) (0) – (-2) = _________.

उत्तर: (0) – (2) = +2.

(e) (+4) – (-3) = _______.

उत्तर: (+4) – (-3) = +7.

(f) (-4) – (-3) = ________.

उत्तर: (-4) – (-3) = -1.

(g) (-1) – (+2) = _______.

उत्तर: (-1) – (+2) = -3.

(h) (-2) – (-2) = ________.

उत्तर: (-2) – (-2 ) = 0.

(i) (-1) – (+1) = _______.

उत्तर: (-1) – (+1) = -2.

(j) (+3) – (-3) = ________.

उत्तर: (+3) – (-3) = +6.

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 251)

1. दिए गए पदों (व्यंजकों) को पूरा कीजिए।

 खदान कूपक (Shaft) में गति के विषय में सोचकर अपने उत्तर की जाँच कीजिए।

(a) (+40) + ______ = +200.

उत्तर: (+40) + (+160) = +200.

(b) (+40) + _______ = -200.

उत्तर: (+40) + (-240)= -200.

(c) (-50) + ______ = +200.

उत्तर: (-50) + (+250) = +200.

(d) (-50) + _______ = -200.

उत्तर: (-50) + (-150) = -200.

(e) (-200) – (-40) = ____

उत्तर: (-200) – (-40)= -160.

(f) (+200) – (+40) = _______.

उत्तर: (+200) – (+40) = +160.

(g) (-200) – (+40) = _______.

उत्तर: (-200) – (+40) = -240.

नोट- निर्देशानुसार कीजिए। उत्तर ऊपर रिक्त स्थानों में दिए गए हैं।

2. इसी प्रकार की लिफ्ट बनाकर या कल्पना करके निम्नलिखित पदों को (व्यंजकों के मान) ज्ञात करने का प्रयास कीजिए-

(a) -125 + (-30).

उत्तर: -155.

(b) +105 – (-55).

उत्तर: +160.

(c) +105 + (+55).

उत्तर: + 160.

(d) +80 – (-150).

उत्तर: + 230.

(e) +80 + (+150).

उत्तर: + 230.

(f) -99 – (-200).

उत्तर: + 101.

(g) -99 + (+200).

उत्तर: + 101.

(h) +1500 – (-1500).

उत्तर: + 3000.

पृष्ठ 252

1. पिछले अभ्यासों में आपने जो उपरोक्त कार्य किया है, क्या आपने ध्यान दिया कि एक ऋणात्मक संख्या को घटाना, उसी संगत धनात्मक संख्या के जोड़ने के समान है?

संदर्भ के रूप में ली गई ‘अनंत लिफ्ट’ पर ध्यान दीजिए। क्या यह आपको संख्या रेखा की याद दिलाती है? किस प्रकार से?

उत्तर: हाँ, इस लिफ्ट पर अंकित संख्याएँ वैसी ही दिखाई देती हैं, जैसी कि संख्या रेखा पर संख्याएँ अंकित की जाती हैं।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 253-254)

1. उपरोक्त संख्या रेखा पर 3 धनात्मक तथा 3 ऋणात्मक संख्याओं को चिह्नित कीजिए।

उत्तर: संख्याओं पर नीचे दर्शाए अनुसार घेरे लगा दिए गए हैं:

2. उपरोक्त 3 ऋणात्मक चिह्नित संख्याओं को दिए गए बॉक्स में लिखिए-

उत्तर: 

3. क्या 2 > -3? क्यों? -2 < 3? क्यों?

उत्तर: हाँ, क्योंकि संख्या रेखा पर 3 के दाईं ओर 2 स्थित है। हाँ, क्योंकि संख्या रेखा पर 3 के बाईं ओर -2 स्थित है। उत्तरों को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: 2 > -3 है, क्योंकि प्रत्येक धनात्मक संख्या एक ऋणात्मक संख्या से बड़ी होती है।

-2 < 3 है, क्योंकि प्रत्येक ऋणात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या से छोटी होती है।

4. हल कीजिए:

(a) -5 + 0.

उत्तर: -5.

(b) 7 + (-7).

उत्तर: 0.

(c) -10 + 20.

उत्तर: +10.

(d) 10 – 20.

उत्तर: -10.

(e) 7 – (-7).

उत्तर: +14.

(f) -8 – (-10)?

उत्तर: +2.

पृष्ठ 255

1. अचिह्नित संख्या रेखा का उपयोग कर निम्नलिखित पदों (व्यंजकों) को पूर्ण कीजिए।

(a) -125 + (-30).

उत्तर: -125 + (-30) = -155.

(b) +105 – (-55).

उत्तर: +105 – (-55) = +160.

(c) +80 – (-150).

उत्तर: +80 – (-150) = +230.

(d) -99 – (-200).

उत्तर: -99 – (-200) = +101.

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 257)

1. टोकन का उपयोग करते हुए जोड़ को पूरा कीजिए।

(a) (+6) + (+4).

उत्तर: (+6) + (+4) = +10.

(b) (-3) + (-2).

उत्तर: (-3) + (-2) = 5.

(c) (+5) + (-7).

उत्तर: (+5) + (-7) = -2.

(d) (-2) + (+6).

उत्तर: (-2) + (+6) = +4.

2. नीचे दिए गए टोकन युग्म में से शून्य युग्म को निरस्त (रद्द) कीजिए। प्रत्येक स्थिति में लिफ्ट चालक कौन-से तल पर है? प्रत्येक स्थिति में संगत धनात्मक कथन क्या होगा?

उत्तर: 

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 258)

1. टोकन का उपयोग करके निम्नलिखित अंतरों का मूल्यांकन (के मान ज्ञात) कीजिए। यह भी जाँचिए कि आपको वही परिणाम मिलता है जो अब आप अन्य तरीकों से जानते हैं। घटाव को पूरा कीजिए-

(a) (+10) – (+7).

उत्तर: +3.

(b) (-8) – (-4).

उत्तर: -4.

(c) (-9) – (-4).

उत्तर: -5.

(d) (+9) – (+12).

उत्तर: -3.

(e) (-5) – (-7).

उत्तर: +2.

(f) (-2) – (-6).

उत्तर: +4.

2. घटाव को पूरा कीजिए-

(a) (-5) – (-7).

उत्तर: +2.

(b) (+10) – (+13).

उत्तर: -3.

(c) (-7) – (-9).

उत्तर: +2.

(d) (+3) – (+8).

उत्तर: -5.

(e) (-2) – (-7).

उत्तर: +5.

(f) (+3) – (+15).

उत्तर: -12.

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 259)

1. घटाने का प्रयास कीजिए: -3 – (+5)।

आपको कितने शून्य के जोड़े रखने होंगे? इसका परिणाम क्या होगा?

उत्तर: हमें शून्य के 5 जोड़े (युग्म) रखने होंगे।

-3 – (+5) = -8 है।

2. टोकन का उपयोग करते हुए निम्न का मूल्यांकन (के मान ज्ञात) कीजिए।

(a) (-3) – (+10).

उत्तर: -13.

(b) (+8) – (-7).

उत्तर: +15.

(c) (-5) – (+9).

उत्तर: -14.

(d) (-9) – (+10).

उत्तर: -19.

(e) (+6) – (-4).

उत्तर: +10.

(f) (-2) – (+7).

उत्तर: -9.

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 260)

1. माना आप ₹ 0 के साथ अपना बैंक खाता खोलते हैं, इसके पश्चात् आप उसमें ₹ 30, ₹ 40, और ₹ 50 जमा करवाते हैं और ₹ 40, ₹ 50 और ₹ 60 की निकासी करते हैं। अब आपके बैंक खाते में कितनी जमा राशि शेष है?

उत्तर: शेष राशि = ₹ 30 + ₹ 40 + ₹50 – ₹40 – ₹ 50 – ₹ 60 = ₹ -30 है।

2. माना आप ₹ 0 के साथ अपना बैंक खाता खोलते हैं और अपने उसी खाते में से ₹ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 और 128 निकाल लेते हैं, इसके पश्चात् आप एक बार में ₹ 256 जमा कर देते हैं। अब आपके बैंक खाते में कितनी जमा राशि शेष है?

उत्तर: शेष राशि = ₹ [(-1) + (-2) + (-4) + (-8) + (-16) + (-32) + (-64) + (-128) + (+256)] = ₹ 1 है।

3. आपके बैंक खाते में प्रायः धनात्मक जमा राशि अधिक अच्छी क्यों मानी जाती है? ऐसी कौन-सी परिस्थितियाँ हो सकती हैं, जिनके तहत अस्थायी रूप से ऋणात्मक (निकासी) शेष जमा राशि सार्थक हो सकती है?

उत्तर: अपने बैंक खाते में प्रायः धनात्मक शेष राशि बेहतर रहती है ताकि हम उस खाते में कुछ ब्याज अर्जित करते रहें तथा साथ ही आवश्यकता के समय उसमें से कुछ राशि निकाल भी सकें। यदि आपको कभी धनराशि की अकस्मात आवश्यकता पड़ जाती है तथा आप यदि किसी स्थान या स्रोत से कुछ दिनों बाद धनराशि प्राप्त करने की आशा कर रहे हैं, तो ऐसी स्थिति में अपनी शेष राशि से अधिक राशि निकाल कर अपने खाते में ऋणात्मक राशि अस्थायी रूप से रखकर इसे सार्थक बना सकते हैं।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 260-261)

1. भौगोलिक प्रतिच्छेद को देखते हुए उनकी संबंधित ऊँचाइयाँ लिखिए-

उत्तर: (a) +1500 मी।

(b) -500 मी।

(c) +250 मी।

(d) -1250 मी।

(e) +1250 मी।

(f) -250 मी।

(g) +100 मी।

2. इस भौगोलिक प्रतिच्छेद में सबसे उच्चतम बिंदु एवं सबसे निम्नतम बिंदु कौन-सा है?

उत्तर: A उच्चतम बिंदु है तथा D निम्नतम बिंदु है।

3. क्या आप बिंदुओं A, B,….., G को ऊँचाइयों के अवरोही (घटते क्रम में लिख सकते हैं?

क्या आप बिंदुओं को ऊँचाइयों के आरोही (बढ़ते) क्रम में लिख सकते हैं?

उत्तर: घटता क्रम: A, E, C, G, F, B, D है।

बढ़ता क्रम: D, B, F, G, C, E, A है।

4. पृथ्वी पर समुद्र तल से सबसे ऊँचा स्थान कौन-सा है? इसकी ऊँचाई कितनी हैं?

उत्तर: माउंट एवरेस्ट की चोटी।

इसकी ऊँचाई + 8848 मीटर है।

5. भूमि या महासागर तल पर समुद्र तल के सापेक्ष सबसे निम्नतम बिंदु क्या है? इसकी ऊँचाई कितनी है? (यह ऊँचाई ऋणात्मक होनी चाहिए।)

उत्तर: मृत सागर अवसाद है। इसकी ऊँचाई लगभग -430 मीटर है।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 262)

1. क्या आप जानते हैं कि भारत में कुछ ऐसे स्थान भी हैं जहाँ कभी-कभी तापमान 0°C से नीचे चला जाता है? भारत में ऐसे स्थानों का पता लगाइए जहाँ तापमान सामान्यतः कई बार 0°C से भी नीचे पहुँच जाता है। इन स्थानों में क्या समानता है? अन्य स्थानों की तुलना में यहाँ अधिक ठंड क्यों होती है?

उत्तर: ये स्थान शिमला, नैनीताल, श्रीनगर, इत्यादि हैं। इनमें समानता यह है कि ये सभी पर्वतीय क्षेत्रों में स्थित हैं। बर्फ के पिघलने के कारण, जो अन्य स्थानों पर नहीं होता है।

2. लद्दाख के लेह क्षेत्र में सर्दी के समय अत्यधिक ठंड हो जाती है। नीचे दी गई सारणी को देखिए, यह लेह के नवंबर माह के एक दिन के विभिन्न समयों के तापमान को दर्शाती है। साथ दिन और रात के सही समय के साथ संबंधित तापमान का मिलान कीजिए।

उत्तर: तापमान का मिलान नीचे दर्शाया गया है:

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 263)

1. उपरोक्त दूसरे ग्रिड के लिए गणना कीजिए और सीमा योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: ऊपरी पंक्ति: 5 + (-3) + (-5) = -3.

निचली पंक्ति: (-8) + (-2) + 7 = -3.

बायाँ स्तंभ: 5 + 0 + (-8) = -3.

दायाँ स्तंभ: (-5) + (-5) + 7 = -3.

2. आवश्यक सीमा योग बनाने के लिए ग्रिड को पूर्ण कीजिए।

उत्तर: 

[नोट: उत्तर अद्वितीय होना आवश्यक नहीं।]

3. उपरोक्त अंतिम ग्रिड में -4 सीमा योग प्राप्त करने के लिए एक से अधिक तरीके बताइए।

उत्तर: अंतिम ग्रिड के लिए एक और विधि:

[नोट: इस ग्रिड को निर्देशानुसार कुछ और विधियों से भी भरने का प्रयास कीजिए।]

4. कौन-सी अन्य ग्रिड विभिन्न विधियों से भरी जा सकती है? इसके क्या कारण हो सकते हैं?

उत्तर: वे ग्रिड जिनमें अधिक संख्या में बॉक्सों को बिना भरे छोड़ दिया गया है, क्योंकि ऐसी स्थिति में बॉक्सों को संख्याओं से भरने के विकल्प अधिक होते हैं।

उदाहरणार्थ, दूसरी ग्रिड को यहाँ किसी अन्य विधि से नहीं भरा जा सकता है।

5. एक सीमा पूर्णांक वर्ग पहेली बनाइए और इसे पूर्ण करने के लिए सहपाठियों को चुनौती दीजिए।

उत्तर: विद्यार्थी स्वयं करें।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 264)

1. पुनः प्रयास कीजिए, इस बार अलग संख्याएँ चुनिए। आपको इन संख्याओं का क्या योग प्राप्त हुआ? क्या यह पहले से भिन्न है? कुछ और बार प्रयास कीजिए।

उत्तर: 

यहाँ, गोला लगी हुई संख्याएँ -2, 2, -10 और 9 हैं।

इनका योग = -2 + 2 – 10 + 9 = -1 हैं।

नहीं, यह वही है, जो पहले था। इस अभ्यास को निर्देशानुसार कई बार कीजिए।

2. नीचे दी गई ग्रिड के साथ भी इसी तरह का खेल खेलिए। आप क्या उत्तर प्राप्त करते हैं?

उत्तर: 

पहली ग्रिड में, गोला लगी हुई संख्याएँ -11, 4, -11 और 10 हैं।

इनका योग = -11 + 4 – 11 + 10 = -8 है।

प्रत्येक बार योग -8 आएगा।

दूसरी ग्रिड में, गोला लगी हुई संख्याएँ -7, -1, -10 और 4 हैं।

इनका योग = -7 – 1 – 10 + 4 = -14 है।

प्रत्येक बार योग -14 आएगा।

3. इन ग्रिडों में क्या विशेष हो सकता है? क्या संख्याओं में जादू है या इन्हें व्यवस्थित करने के तरीके में जादू है या दोनों में हैं? क्या आप ऐसे और ग्रिड बना सकते हैं?

उत्तर: यहाँ, कोई जादू नहीं है। संख्याओं को एक विशेष विधि से व्यवस्थित किया गया है।

उदाहरणार्थ, प्रश्न 2 की पहली ग्रिड में, विकर्ण वर्गों में संख्याओं को इस प्रकार व्यवस्थित किया गया है कि चारों संख्याओं का योग -8 है।

7 + 1 – 5 – 11 = -8 और -20 – 8 + 4 + 16 = -8 है।

अन्य ग्रिडों में भी इसी प्रकार की तरकीबों का उपयोग किया गया है।

हाँ, हम ऐसी और अधिक ग्रिडों को बना सकते हैं।

नोट- निर्देशानुसार कीजिए।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 265-266)

1. दिए गए युग्मों के बीच सभी पूर्णांकों को बढ़ते क्रम में लिखिए।

(a) 0 और -7.

उत्तर: -6, -5, -4, -3, -2 और -1.

(b) -4 और 4.

उत्तर: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

(c) -8 और -15.

उत्तर: -14, -13, -12, -11, -10, -9.

(d) -30 और -23.

उत्तर: -29, -28, -27, -26, -25, -24.

2. ऐसी तीन संख्याएँ बताइए जिनका योग -8 है।

उत्तर: ये तीन संख्याएँ -12, +8 और -4 हो सकती हैं।

(ऐसी अन्य अनेक संख्याएँ हो सकती हैं।)

3. यहाँ दो पासे हैं जिनके फलकों पर संख्याएँ दर्शाई गई हैं: -1, 2, -3, 4, -5, 6 इन पासों को उछालने पर सबसे छोटा संभावित योग -10 = (-5) + (-5) है और सबसे बड़ा संभावित योग 12 = (6) + (6) है। इन दो पासों पर संख्याओं को जोड़ने से (-10) और (+12) के बीच की कुछ संख्याएँ प्राप्त करना संभव नहीं है। ऐसी संख्याओं का पता लगाइए।

उत्तर: इन संख्याओं को जोड़ने से, (-10) और (+12) के बीच प्राप्त नहीं होने वाले योग के रूप में संख्याएँ -9, -7, 5, 0, 2, 7, 9 और 11 हैं।

4. इन्हें हल कीजिए-

उत्तर: 8 – 13 = -5.

(-8) – (13) = -21.

(-13) – (-8) = -5.

(-13) + (-8) = -21.

8 + (-13) = -5.

(-8) – (-13) = 5.

(13) – 8 = 5.

13 – (-8) = 21.

5. निम्नलिखित के वर्ष ज्ञात कीजिए?

(a) वर्तमान वर्ष से 150 वर्ष पूर्व कौन सा वर्ष था? __________.

उत्तर: 2024 – 150 = 1874.

(b) वर्तमान वर्ष से 2200 वर्ष पूर्व कौन-सा वर्ष था? __________.

[संकेत- याद रखिए कि कोई 0 वर्ष नहीं था।]

उत्तर: 2024 – 2200 = -176.

(c) 680 ईसा पूर्व से 320 वर्ष बाद कौन-सा वर्ष होगा? __________.

उत्तर: (680 – 320) = 360 BCE.

6. निम्नलिखित अनुक्रम को पूरा कीजिए-

(a) (-40), (-34), (-28), (-22), ____, ____, ____.

उत्तर: (-40), (-34), (-28), (-22), -16, -10, -4.

(b) 3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, ____, ____, ____.

उत्तर: 3, 4, 2, 5, 1, 6, 0, 7, -1, 8, -2, 9.

(c) ____, ____, 12, 6, 1, (-3), (-6), ____, ____, ____, ____.

उत्तर: 27, 19, 12, 6, 1, (-3), (-6), (-8), (-9), (-9).

7. यहाँ छह पूर्णांक कार्ड हैं: (+1), (+7), (+18), (-5), (-2), (-9).

आप इनमें से किसी भी कार्ड का चयन कर सकते हैं। तुथा जोड़ और घटा के उपयोग द्वारा एक पद (व्यंजक) बनाइए।

यहाँ एक पद (व्यंजक) है: (+18) + (+1) – (+7) – (-2) जिसका मान (+14) है। दिए गए कार्ड्स से एक से अधिक कार्ड का चयन कीजिए और एक पद (व्यंजक) बनाइए जिसका मान (-30) के आस-पास हो।

उत्तर: (-9) – (+18) + (-5)-(-2) – (+1) = -31.

8. दो धनात्मक पूर्णांकों का योग सदैव धनात्मक होता है लेकिन एक (धनात्मक पूर्णांक) – (धनात्मक पूर्णांक) धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है। आप निम्न के विषय में क्या कह सकते हैं-

(a) (धनात्मक) – (ऋणात्मक)।

उत्तर: धनात्मक।

(b) (धनात्मक) + (ऋणात्मक)।

उत्तर: धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

(c) (ऋणात्मक) + (ऋणात्मक)।

उत्तर: ऋणात्मक।

(d) (ऋणात्मक) – (ऋणात्मक)।

उत्तर: धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

(e) (ऋणात्मक) – (धनात्मक)।

उत्तर: ऋणात्मक।

(f) (ऋणात्मक) + (धनात्मक)।

उत्तर: धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है।

9. इस लड़ी में 100 टोकन हैं, जो एक विशेष पैटर्न में व्यवस्थित किए गए हैं, इस लड़ी का मान क्या है?

उत्तर: इसका मान 1 धनात्मक + 1 धनात्मक + 1 धनात्मक = 3 धनात्मक हो सकता है।

परंतु प्रत्येक धनात्मक या प्रत्येक ऋणात्मक का वास्तविक मान ज्ञात होने के बिना लड़ी के वास्तविक मान के बारे में कुछ भी नहीं कहा जा सकता है।

आइए पता लगाएँ (पृष्ठ 268)

1. क्या आप ब्रह्मगुप्त के नियमों को बेला की मजेदार इमारत या संख्या रेखा के अनुसार स्पष्ट कर सकते हो?

उत्तर: योग के लिए नियम:

(i) (+2) + (+1) = +3 (दो धनात्मक पूर्णांकों का योग धनात्मक होता है।)

(ii) (-3) + (-2) = -5 (दो ऋणात्मक पूर्णांकों का योग ऋणात्मक होता है।)

(iii) (+3) + (-5) = -(5 – 3) = -2.

या (+4) + (-3) = +(4 – 3) = +1 है।

[एक धनात्मक संख्या और एक ऋणात्मक संख्या को जोड़ने के लिए, छोटी संख्या (बिना चिह्न के) को बड़ी संख्या (बिना चिह्न के) में से घटाइए तथा बड़ी संख्या का चिह्न लगा दीजिए।]

+4 + (-4) = 0; -3 + (+3) = 0, इत्यादि।

(एक संख्या और उसके योज्य प्रतिलोम का योग शून्य होता है।)

घटाने के लिए नियम:

(i) +5 – (+3) = 2.

(यदि एक बड़ी धनात्मक संख्या में से एक छोटी धनात्मक संख्या को घटाया जाता है, तो परिणाम एक धनात्मक संख्या आता है।)

(ii) (+8) – (+17) = -9.

(यदि एक बड़ी धनात्मक संख्या को एक छोटी धनात्मक संख्या में से घटाया जाता है, तो परिणाम एक ऋणात्मक संख्या आता है।)

(iii) (+9) – (-3) = 9 + 3.

(एक ऋणात्मक संख्या को घटाना उसकी संगत धनात्मक संख्या, अर्थात उसके योज्य प्रतिलोम को जोड़ने के समान है।)

(iv) (-6 – (-6) = 0.

(किसी संख्या को स्वयं में से घटाने पर शून्य प्राप्त होता है।)

(v) (+7) – 0 = +7, (-8) – 0 = -8.

(किसी संख्या में से शून्य घटाने पर स्वयं वह संख्या ही प्राप्त होती है।)

उत्तर: विद्यार्थी स्वयं करें।

Parimol

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