ASOS Class 12 Economics Chapter 7 পৰিসাংখ্যিকীয় পদ্ধতি, Question answer to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapters (Assam State Open School) ASOS Class 12 Economics Chapter 7 পৰিসাংখ্যিকীয় পদ্ধতি and select needs one.
ASOS Class 12 Economics Chapter 7 পৰিসাংখ্যিকীয় পদ্ধতি
Also, you can read the Assam State Open School book online in these sections Solutions Krishna Kanta Handique State Open School Expert by Teachers as per ASOS (CBSE) Book guidelines. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given ASOS Class 12 Economics Chapter 7 পৰিসাংখ্যিকীয় পদ্ধতি Solutions for All Subject, You can practice these here.
পৰিসাংখ্যিকীয় পদ্ধতি
Chapter : 7
7.1. পাঠ্য অন্তর্গত প্রশ্নাৱলীৰ উত্তৰঃ
7.1.1 তলত দিয়া উক্তিবোৰ সত্য নে অসত্য কোৱাঃ
(ক) অনুপাত গণনা কৰা হয় _____ (প্রথম, দ্বিতীয় সংখ্যাপদ) ক _____ (প্ৰথম, দ্বিতীয়, সংখ্যাপদৰে) _______ (ভাগ কৰি, পূৰণ কৰি)।
উত্তৰঃ অনুপাত গণনা কৰা হয় প্রথম সংখ্যাপদক দ্বিতীয়, সংখ্যাপদৰে ভাগ কৰি।
(খ) এটা অনুপাতত যাক তুলনা কৰা হয়, ইয়াক ____ (প্রথম, দ্বিতীয়) সংখ্যাপদ বোলে।
উত্তৰঃ এটা অনুপাতত যাক তুলনা কৰা হয় ইয়াক প্রথম সংখ্যাপদ বোলে।
(গ) অনুপাতত যাৰ লগত কৰা হয়, _____ (প্ৰথম, দ্বিতীয়) সংখ্যা পদ বোলে।
উত্তৰঃ অনুপাতত যাৰ লগত তুলনা কৰা হয়, দ্বিতীয় সংখ্যাপদ বোলে।
(ঙ) যেতিয়া আমি কওঁ ‘প্রথম সংখ্যাপদঃ দ্বিতীয় সংখ্যাপদ’ (তেতিয়া আমি অনুপাতটো ______ (শব্দেৰে, প্ৰতীকেৰে, ভগ্নাংশত) প্ৰকাশ কৰোঁ।
উত্তৰঃ যতিয়া আমি কওঁ ‘প্রথম সংখ্যাপদঃ দ্বিতীয় সংখ্যাপদ’ (তেতিয়া আমি অনুপাতটো প্ৰতীকেৰে প্ৰকাশ কৰোঁ।
(চ) ক আৰু খ মাহেকীয়া উপার্জ্জন ক্ৰমে 200 টকা আৰু 1000 টকা। এই তথ্যেৰে তলত দিয়া বিলাকৰ উত্তৰ দিয়া।
1. ‘ক’ৰ আয় ‘খ’ৰ আয়তকৈ — (2, 1/2)গুণ।
উত্তৰঃ ‘ক’ৰ আয় ‘খ’ৰ আয়তকৈ 2 গুণ।
2. ‘খ’ৰ আয় ‘ক’ৰ আয়তকৈ — (2,1/2)গুণ।
উত্তৰঃ ‘খ’ৰ আয় ‘ক’ৰ আয়তকৈ 1/2 গুণ।
3. অনুপাত 70 : 80 টো 80 : 70 অনুপাতৰ সৈতে _____ (একে, একে নহয়)।
উত্তৰঃ অনুপাত 70 : 80 টা 80 : 70 অনুপাতৰ সৈতে একে নহয়।
(চ) পৰিসংখ্যাত Σ চিনটো _____ বুলি পঢ়া হয় আৰু ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল______।
উত্তৰঃ পৰিসংখ্যাত Σ চিনটো চিগমা বুলি পঢ়া হয় আৰু ইয়াৰ অৰ্থ হ’ল যোগ অথবা একে ধৰণৰ সংখ্যাৰ যোগফল।
(ছ) এজন ছাত্র 5 টা বিষয়ত নম্বৰ হ’ল 10, 12, 12, 14, 11। এই নম্বৰবিলাকৰ গাণিতিক মাধ্য হ’ল______।
উত্তৰঃ এজন ছাত্ৰৰ 5 টা বিষয়ত নম্বৰ হ’ল 10, 12, 12, 14, 11। এই নম্বৰবিলাকৰ গাণিতিক মাধ্য হ’ল 11.8।
(ঝ) 4 জন মানুহৰ মাহেকীয়া দৰমহা হ’ল 800, 500, 1000, 1200 টকা। তেওঁলোকৰ দৰমহাৰ গাণিত্যিক মাধ্য হ’ল______।
উত্তৰঃ 4 জন মানুহৰ মাহেকীয়া দৰমহা হ’ল 800, 500, 1000, 1200 টকা। তেওঁলোকৰ দৰমহাৰ গাণিত্যিক মাধ্য হ’ল 875।
(ঞ) 10 মাধ্য হিচাপে ধৰি লৈ 12, 13, 10, 15 আৰু 17 ৰ তথ্য শ্ৰেণীটোৰ গাণিতিক মাধ্য হ’ল ______।
উত্তৰঃ 13.4
(ঢ) যদি 5, 6, 7 আৰু 10 এই সংখ্যাকেইটাৰ বাবে বাৰংবোৰতা ক্রমে 2,3,4 আৰু 1 হয়, তেন্তে গাণিতিক মাধ্য হ’লঃ
(ণ) 100 নম্বৰৰ ভিতৰত 20 পোৱা 5 জন, 30 পোৱা 6 জন 40 পোৱা 7 জন আৰু 10 পোৱা ৪ জন ছাত্র আছে। নম্বৰবিলাকৰ গাণিতিক মাধ্য হ’ল–
(ত) তলৰ শ্ৰেণীবিলাক মানবোৰ খালী ঠাই পূৰ কৰাঃ
| 10 – 20 | শ্রেণীৰ ….. |
| 15 – 20 | শ্ৰেণীৰ …… |
| 26 – 30 | শ্ৰেণীৰ …… |
উত্তৰঃ
| 10 – 20 | শ্ৰেণীৰ 15 |
| 15 – 20 | শ্ৰেণীৰ 17.5 |
| 26 – 30 | শ্ৰেণীৰ 28 |
(থ)তলৰ তালিকাখন পূৰ কৰা
(দ) গাণিতিক মধ্য নিৰ্ণয় কৰাৰ সূত্রটো লিখা আৰু 2 নং প্ৰশ্নৰ তালিকাৰ পৰা পোৱা সংখ্যাবোৰ বহুওৱা।
(ধ) এজন ছাত্ৰই গণিত, ইংৰাজী, গার্হস্থ্য বিজ্ঞান আৰু অৰ্থনীতিত পোৱা নম্বৰ হ’ল ক্ৰমে 82, 86, 90 আৰু 70। যদি প্রত্যেকটো বিষয়ত প্রত্যয় বা সুনাম নম্বৰ (ক্রেডিট) ক্ৰমে 3, 5, 3 আৰু 1 হয়, তেন্তে তলত দিয়া অঙ্কবিলাক সম্পূৰ্ণ কৰা— (
2. তলত দিয়া উক্তিবোৰ সত্যনে অসত্য কোৱাঃ
(ক) অনুপাত নির্ণয় কৰাৰ দৰেই হাৰো নিৰ্ণয় কৰা হয়।
উত্তৰঃ সত্য।
(খ) হাৰ প্ৰতি এককতহে প্ৰকাশ কৰা হয়।
উত্তৰঃ অসত্য।
(গ) শতাংশ অনুপাত বা হাৰতকৈ সম্পূৰ্ণ পৃথক।
উত্তৰঃ অসত্য।
(ঘ) শতাংশ নির্ণয় কৰোতে প্রতি 100 ভিত্তি হিচাপে লোৱা হয়।
উত্তৰঃ অসত্য।
(ঙ) এটা গড়ে কোনো এটা তথ্য শ্রেণীক প্ৰতিনিধিত্ব কৰে।
উত্তৰঃ সত্য।
(চ) এটা গড় কোনো এজন ছাত্ৰৰ কেৱল গড় নম্বৰ নিৰ্ণয় কৰিবলৈকে ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
উত্তৰঃ অসত্য।
(ছ) জনমূৰি আয় এটা গড়।
উত্তৰঃ সত্য।
(জ) ভাৰতৰ ৰাষ্ট্ৰীয় আয় এটা গড়।
উত্তৰঃ অসত্য।
2. তলত দিয়া বিলাকৰ উত্তৰ দিয়া।
(ক) 1995 আৰু 1996 চনৰ জনমুৰি আয় ক্ৰমে 1000 টকা আৰু 1200 টকা। ইয়াৰে 1995 চনৰ তুলনাত 1996 চনৰ জনমূৰি আয় কিমান শতাংশ?
উত্তৰঃ 120 শতাংশ।
(খ) 1996 চনত জনমূৰি আয় কিমান শতাংশ বৃদ্ধি হ’ল?
উত্তৰঃ 20 শতাংশ।
(গ) 10 লাখ জনসংখ্যাৰ এখন নগৰত বছৰটোত জন্ম আৰু মৃত্যুৰ সংখ্যা ক্রমে 11,500 আৰু 11,500 ইয়াৰ পৰা উলিওৱা—
(ঘ) প্রতি একক জন্মৰ হাৰ।
উত্তৰঃ 0.0115।
(ঙ) প্রতি 100 ত জন্ম হাৰ।
উত্তৰঃ 1.15।
(চ) প্রতি 100 ত জন্ম হাৰ।
উত্তৰঃ 11.5।
(ছ) প্রতি একক মৃত্যু হাৰ।
উত্তৰ: 0.00105।
(জ) প্রতি 100 ত মৃত্যুৰ হাৰ।
উত্তৰঃ 1.05।
পাঠ্য সমাপ্তি অনুশীলনীৰ উত্তৰঃ
1. এটা উদাহৰণৰ সহায়ত অনুপাতৰ অৰ্থ ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰঃ অনুপাত হ’ল দুটা সংখ্যাৰ পৰিমাপৰ মাজৰ এটা সম্পৰ্ক আৰু ইয়াক সংখ্যাপদ বুলি কোৱা হয়। ইয়াত প্ৰথম সংখ্যাপদক দ্বিতীয় সংখ্যাপদেৰে ভাগ কৰা হয়।
ধৰা হ’ল দুটা ব্ৰেণ্ডৰ দৰৰ তুলনা কৰা হৈছে। ইয়াৰে এটাৰ দৰ প্ৰতিটে কলমৰ দাম 6 টকা আৰু আনটোৰ 2 টকা। এই ব্ৰেণ্ড দুটাক ‘ক’ আৰু ‘খ’ নামেৰে নামাকৰণ কৰা হৈছে। ‘ক’ ব্ৰেণ্ডৰ কলমৰ দাম ‘খ’ ব্ৰেণ্ডৰ দামতকৈ 4 টকা বেছি। ‘ক’ ব্ৰেণ্ডৰ কলমৰ দাম ‘খ’ ব্ৰেণ্ডৰ কলমৰ দামতকৈ 3 গুণ বেছি। ইয়াৰ মাজত এটা অনুপাত পাবলৈ হ’লে প্ৰথম সংখ্যাপদক দ্বিতীয় সংখ্যাপদেৰে ভাগ কৰিব লাগিব।
যাক তুলনা কৰা হয় তাক প্রথম সংখ্যাপদ আৰু যাৰ লগত তুলনা কৰা হয় তাক দ্বিতীয় সংখ্যা পদ বোলে। টকা
অনুপাত = ‘ক’ কলমৰ দাম / ‘খ’ কলমৰ দাম =
6 / 2 = 3 টকা
অনুপাতটোৰ মান হ’ল 3। ইয়াৰ দ্বাৰা এইটোকে বুজায় যে ‘ক’ কলমৰ মূল্য ‘খ’ কলমৰ মূল্যতকৈ 3 গুণ বেছি।
2. অনুপাত নির্ণয়ৰ বাবে প্ৰথম আৰু দ্বিতীয় সংখ্যাপদৰ গুৰুত্ব ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰঃ সংখ্যাৰ মাজত যেতিয়া অনুপাত উলিওৱা হয়, তেতিয়া এই দুয়োটাৰ মাজৰ একক বিলাক একে হ’ব লাগে। অর্থাৎ প্রথম সংখ্যাপদ আৰু দ্বিতীয় সংখ্যাপদ এই দুয়োটা পৰিমাপৰ জোখ একে হ’ব লাগে। যেনে– টাকাঃ টকা, কিলোগ্রামঃ কিলোগ্রাম, মিটাৰঃ মিটাৰ ইত্যাদি।
দুয়োটা সংখ্যাপদ একে এককত প্ৰকাশ কৰা হওঁকেই বা নহওঁক, এটা কথা মন কৰিবলগীয়া যে দুয়োটা পদৰে এটাৰ সৈতে আনটোৰ সম্পৰ্ক থাকিব লাগিব। উদাহৰণস্বৰূপে, ধৰা কোনো এটা বছৰত ৰাষ্ট্ৰীয় আয়ৰ জনসংখ্যাৰ সৈতে অনুপাত উলিয়াব বিচৰা হৈছে। ইয়াত আয় জোখা হয় টকাত আৰু জনসংখ্যা সংখ্যাত। যদিও এই দুয়োটা পদেই বিভিন্ন এককত প্ৰকাশ কৰা হৈছে, অনুপাতটোৰ মানটোৱে আমাক জনমূৰি আয়ৰ বিষয়ে জানিবলৈ দিয়ে– অর্থাৎ, এই অনুপাতটোৰ অর্থবহ সম্পর্ক আছে।
অর্থাৎ কোনো এটা অর্থবহ অনুপাত নির্ণয় কৰিবলৈ হ’লে দুটা কথাৰ অতীব প্রয়োজন।
(ক) ‘কি তুলনা কৰা হৈছে’ সেইটো নিৰ্ধাৰণ কৰা প্ৰথম সংখ্যাপদ আৰু কাৰ সৈতে তুলনা কৰা হৈছে দ্বিতীয় সংখ্যাপদ।
(খ) প্রথম সংখ্যাপদ আৰু দ্বিতীয় সংখ্যাপদ প্রত্যেকেই প্রত্যেকৰ লগত সম্পর্কিত।
3. এটা উদাহৰণেৰে হাৰৰ অৰ্থ ব্যাখ্য কৰা।
উত্তৰঃ অৰ্থনীতিত হাব শব্দটো প্ৰায়ে ব্যৱহাৰ কৰা হয়। যেনে— বিকাশৰ হাৰ, জনসংখ্যা বৃদ্ধিৰ হাৰ, জন্মৰ হাৰ, মৃত্যুৰ হাৰ, কৃষি উৎপাদনৰ হাৰ ইত্যাদি। তলত এটা উদাহৰণৰ সহায়ত এই কথাৰ ব্যাখ্যা কৰা হ’ল।
শস্য এবিধৰ প্ৰতি হেক্টৰত (কিলোগ্রাম হিচাপত) উৎপাদনৰ হাৰ
= শস্যবিধৰ মুঠ উৎপাদন (কেজি হিচাপত) / শস্যত ব্যৱহৃত মুঠ মাটিকালি (হেক্টৰত)
উদাহৰণটোৰ পৰা এইটো কথা বুজা যায় যে অনুপাত উলিওৱা প্ৰক্ৰিয়াৰ নৰেই হাৰো উলিওৱা হয়। ইয়াত উৎপাদনৰ হাৰটো কোনো এটা বছৰৰ উৎপাদনৰ অনুপাতৰ বাহিৰে আন একো নহয়। গতিকে হাব হ’ল কোনো এটা সময়ত দুটা মানৰ মাজত দেখুওৱা এটা অনুপাত।
5. হাৰ নিৰূপণৰ ক্ষেত্ৰ এটা সৰু ভিত্তি লোৱাতকৈ ডাঙৰ ভিত্তি লোৱাৰ প্রয়োজনীয়তা কিয় আছে? এটা উদাহৰণৰ সহায়ত দেখুওৱা।
উত্তৰঃ হাৰ নিৰূপণৰ ক্ষেত্ৰ এটা সৰু ভিত্তি লোৱাতকৈ ডাঙৰ ভিত্তি বাছি লোৱাৰ কাৰণ হ’ল প্ৰতি একক অনুপাতৰ মান ‘কোনো কোনো ক্ষেত্ৰত অতি সৰু হয় আৰু তেনেক্ষেত্ৰত ই অনুপাত বা হাৰটোৰ তাৎপৰ্য বহন কৰাত ব্যৰ্থ হয়।
ধৰা হ’ল, কোনো এখন নগৰৰ জনসংখ্যা 100,000 আৰু 1995 চনত জন্মৰ সংখ্যা হ’ল 2340। এতিয়া যদি আমি প্রতি একক জনসংখ্যাৰ পৰা জন্ম হাৰ নিৰ্ণয় কৰিব লাগে, তেন্তে প্রতি একক জনসংখ্যাত জন্মহাৰ—
তথ্যৰ পৰা জনা যায় যে প্রতি একক জনসংখ্যাত জন্মৰ হাৰ হ’ল .0234। কিন্তু এই মানটো অতিশয় সৰু আৰু তুলনাৰ বাবেও সুবিধাজনক নহয়। ধৰা যাওক, ইয়াৰ পিছৰ বছৰ অৰ্থাৎ 1996 মুঠ জন্মৰ সংখ্যা হ’ল 2520 তেন্তে প্রতি একক জনসংখ্যাৰ জন্মৰ হাৰ হ’ব।
1995 চনত প্ৰতি একক জনসংখ্যাৰ হাৰ .0234 ৰ তুলনাত 1996 চনত প্রতি একক জনসংখ্যাৰ জন্ম হাৰ হ’ল .0252। এনে তথ্য দুটাৰ পৰা 1996 চনত জন্ম হাৰ 1995 চনৰ জন্ম হাৰতকৈ কিমান বেছি, সেই কথা উলিওৱা কঠিন হৈ পৰে। তেনে ক্ষেত্ৰত ভিত্তিটো বৃদ্ধি কৰা হয়। যদি ভিত্তিটো 100 লৈ বৃদ্ধি কৰা হ’ল। তেনে ক্ষেত্ৰত 1995 আৰু 1996 চনত জন্ম হাৰ হ’ব এনে ধৰণৰঃ
এতিয়া এই দুই জন্মহাৰৰ তুলনাটো বেছি সুবিধাজনক। তথাপি তুলনাৰ ক্ষেত্ৰত কিছুমান অসুবিধা আছে। প্ৰথমতে এই দুয়োটা হাৰ ইমান সৰু যে ইহঁতৰ মাজৰ পাৰ্থক্য অনুধাৱন কৰাটো অসুবিধা আৰু ই তাৎপর্যপূর্ণও। দ্বিতীয়তে, জনসংখ্যাৰ তথ্য ভগ্নাংশত প্ৰকাশ কৰাটো এৰাই চলিব লাগে। সেইকাৰণে ভগ্নাংশ এটা এৰাই চলিবলৈ হ’লে ভিত্তিটো বহল কৰা প্ৰয়োজন। আমি ভিত্তি 1000 লৈ বৃদ্ধি কৰিল উপৰুক্ত জন্মহাৰ দুটা এনে ধৰণৰ হ’বঃ
এতিয়া দুয়োটা জন্ম হাৰৰ পাৰ্থক্য স্পষ্ট। ভগ্নাংশ এৰাই চলিবলৈ 23.4 টো গোটা সংখ্যালৈ পৰিবৰ্তন কৰি 23 কৰিব পাৰি। সেইদৰে 25.2 টো 25 ক ল’ৰ পাৰি আৰু তেতিয়া দুয়োটা প্রায়োগিক ক্ষেত্ৰত জন্মহাৰ আৰু মৃত্যু হাৰ পৰিসংখ্যা প্রতি 1000 জনসংখ্যাত নিৰ্ণয় কৰা হয়।
6. এটা উদাহৰণৰ সহায়ত শতাংশ কেনেদৰে নিৰ্ণয় কৰিব পাৰি দেখুওৱা। ই হাৰৰ পৰা কেনেদৰে পৃথক?
উত্তৰঃ শতাংশ হৈছে এক প্ৰকাৰৰ অনুপাত বা হাৰ আৰু ইয়াৰ ভিত্তি হ’ল 100। প্ৰতি এককৰ প্ৰতিটো অনুপাত 100 ৰে পূৰণ কৰিলে শতাংশলৈ ৰূপান্তৰিত কৰা হয়। শতাংশক এনেদৰে নিৰ্ণয় কৰা হয়। দ্বিতীয় সংখ্যাপদ
শতাংশ = প্রথম সংখ্যাপদ / দ্বিতীয় সংখ্যাপদ × 100
অর্থনীতিত ব্যৱহৃত কিছুমান শতাংশ হ’ল —
(ক) অৰ্থনৈতিক বিকাশৰ শতাংশ হাৰ।
(খ) সুদৰ শতাংশ হাব।
(গ) কৰৰ শতাংশ হাৰ। আৰু
(ঘ) মূলধন গঠনৰ শতাংশ হাৰ।
শতাংশ হাৰ হাৰ অনুপাতৰ পৰা দুটা কথাত পৃথক।
(ক) হাৰ হ’ল কোনো এয়া সময়ত দুটা মানৰ অনুপাত।
(খ) হাৰৰ প্ৰতি এককৰ বাহিৰেও প্ৰতি 100 একক, প্রতি 1000, প্রতি 10,000 প্রতি লাখ বা ততোধিক একেত প্রকাশ কৰা হয়।
7. গাণিতিক মাধ্য কি? বিচিছন্ন শ্রেণীৰ বাৰংবাৰতা তথ্যক প্ৰত্যক্ষ আৰু পৰোক্ষ পদ্ধতিৰ সহায়ত গাণিতিক মাধ্য নিৰ্ণয় কৰাৰ পদ্ধতি ব্যাখ্যা কৰা।
উত্তৰঃ গড় বুলিলে গাণিতিক মাধ্যকে বুজোৱা হয়। ই আটাইতকৈ বহলভাৱে ব্যৱহৃত হয়। কোনো এটা তথ্য শ্রেণীৰ সকলোবোৰ তথ্যকে অন্তৰ্ভূক্ত কৰি ইয়াক গণনা কৰা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, ধৰি লোৱা যাওক এজন ছাত্ৰই 10 ৰ ভিতৰত চাৰিটা বিষয়ৰ প্রত্যেক বিষয়তে সর্বোচ্চ নম্বৰ 5, 6, 7 আৰু ৪ পালে, তেন্তে তেওঁৰ গড় নম্বৰ হ’ব।
গাণিতিক মাধ্য হ’ল সকলো পৰ্যবেক্ষিত মানৰ যোগফলক ইয়াৰ মুঠ সংখ্যাৰে ভাগ কৰা হয়।
বিচিছন্ন শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰ্তা তথ্যক প্ৰত্যক্ষ আৰু পৰোক্ষ পদ্ধতিৰ সহায়ত গাণিতিক মাধ্য নির্ণয় কৰিব পাৰি।
প্রত্যক্ষ পদ্ধতিঃ এই পদ্ধতিত আমি f(x) ৰ মান উলিয়াবলৈ x ৰ সৈতে f ৰ পূৰণফল উলিয়াও। কিন্তু যিহেতু x ইয়াত এটা শ্ৰেণীৰ চলক, সেয়ে ইয়াত আমি মধ্যমান উলিয়াও। এই মধ্যমানটোৱেই x। কোনো এটা শ্ৰেণী যেনে (1– 3) ক f বা বাৰংবাৰতাৰে পূৰণ কৰিব পৰা নাযায়। সেই কাৰণে শ্ৰেণীটোৰ মধ্যমান উলিওৱা হয় আৰু ইয়াক ইয়াৰ বাৰংবাৰতা f ৰে পূৰণ কৰোঁ। এই মধ্যানটো শ্ৰেণীটোৰ নিম্নসীমা (L1) আৰু উচ্চসীমা (L2) এই দুয়োটাৰে গড় লৈ কৰা হয়। উদাহৰণস্বৰূপে, (1–3) শ্ৰেণীটোৰ মধ্যামান হ’ল
গতিকে শ্ৰেণীটোৰ মধ্যমান 2 অর্থাৎ প্রতীকেৰে x বুলি কোৱা হয়।
পৰোক্ষ পদ্ধতিঃ পৰোক্ষ পদ্ধতিত দুটা মার্গ আছে। ইয়াত এটা ইচ্ছাধীন গড় ধৰি লোৱা কাৰ্যক অতিৰিক্ত পদক্ষেপ হিচাপে লোৱা হয়। আনটো খাপ বিচলনৰ ৰূপত আৰু এটা অতিৰিক্ত পদক্ষেপ গ্ৰহণ কৰা হয়।
ধৰিলোৱা লোৱা গড়ৰ ভিত্তিতঃ
(ক) প্ৰত্যেকটো শ্ৰেণীৰ মধ্যমান (x) উলিয়াব লাগে।
(খ) x ৰ কোনো এটা মান মাধ্য হিচাপে (A) ধৰি ল’ব লাগে।
(গ) x ৰ পৰা A পার্থক্য (dx) উলিয়াব লাগে।
(ঘ) dx বিলাকক f ৰে পূৰণ কৰি fdx পাব লাগে।
(ঙ) Σfdx ক Σf ৰে ভাগ কৰি x পাব পাৰি।
পৰোক্ষ পদ্ধতিৰ আন এটা খাপ হ’ল খাপ বিচলন পদ্ধতি। যদি x ৰ মানবোৰ ডাঙৰ হয়, তেন্তে dx = ( x – A) ৰ মানবিলাকো ডাঙৰ হ’ব। তেনে ক্ষেত্ৰত গণনাবিলাক সহজ কৰিবৰ বাবে আমি এটা সাধাৰণ সংখ্যা লওঁ যিটোৱে dx ৰ মানবিলাক হৰণ কৰিব পাৰে। তেনে ক্ষেত্ৰত গণনাবিলাক অধিক সহজ হৈ পৰে। যিটো সংখ্যাৰ দ্বাৰা এই dx বিলাক হৰণ কৰা যায় তাক i ৰে সূচিত কৰা হয়। অৱশ্যে পিছৰ পদক্ষেপত dx ৰ মানক আকৌ i ৰে পূৰণ কৰা হয় যাতে গাণিতিক মাধ্যৰ শেষ ফলাফল উলিওৱাত বিৰূপ প্ৰভাৱ নপৰে। ইয়াৰ প্রধান পদক্ষেপসমূহ হ’ল–
(ক) প্রথমে শ্রেণীবিলাক (x) মধ্যমান উলিওৱা।
(খ) ইয়াৰে এটা মান মাধ্য হিচাপে ধৰি লোৱা।
(গ) x ৰ পৰা A বিয়োগ কৰা আৰু dx উলিওৱা।
(ঘ) dx ৰ মানবিলাকৰ পৰা এটা সাধাৰণ সংখ্যা i বাছি লোৱা আৰু dx ৰ
(ঙ) dxi ক f ৰে পূৰণ কৰা আৰু fdxi পোৱা।
(চ) fdxi ৰ যোগফল উলিওৱা আৰু Σfdxi পোৱা।
(ছ) গাণিতিক মাধ্য পাবলৈ X = A + Σfx / Σf × i সূত্র ব্যৱহাৰ কৰা হয়।
8. অর্থনীতিত 5 জন ছাত্ৰই পোৱা নম্বৰ হ’ল এনেধৰণৰ 50, 52, 55, 60 আৰু 65 । ইয়াৰে (ক) প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতি আৰু (খ) পৰোক্ষ পদ্ধতিৰ সহায়ত গাণিতিক মাধ্য নিৰূপণ কৰা?
উত্তৰঃ প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিঃ
9. চাৰিজন মানুহৰ বাৰ্ষিক দৰমহা হ’ল 5000 টকা, 6000 টকা আৰু 3000 টকা। ইয়াৰে (ক) তেওঁলোকৰ দৰমহাৰ গাণিতিক মাধ্য নিৰূপণ কৰা।
(খ) যিটো গড় পোৱা যাব ই প্ৰতিনিধিত্বমূলক হয়নে?
উত্তৰঃ বাৰ্ষিক দৰমহাৰ গাণিতিক মাধ্য
এই গড় নম্বৰটোৱে তথ্যবিলাক প্রতিনিধিত্ব নকৰে। ই অত্যধিক মানৰ দ্বাৰা প্ৰভাৱান্বিত হোৱা বাবে মাধ্যটো প্ৰতিনিধিত্বমূলক নহয়।
10. এটা শ্ৰেণীৰ 60 জন ছাত্ৰই পোৱা নম্বৰ দেখুওৱা হৈছে।
(ক) প্ৰত্যক্ষ। আৰু
(খ) পৰোক্ষ পদ্ধতিৰ সহায়ত গাণিতিক মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা।
| অৰ্থনীতিত নম্বৰ (100 ৰ ভিতৰত) | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 |
| ছাত্ৰৰ সংখ্যা | 8 | 12 | 20 | 10 | 6 | 4 |
উত্তৰঃ পৰোক্ষ পদ্ধতিঃ
11. অবিচ্ছিন্ন (শ্রেণীযুক্ত) শ্ৰেণীৰ বাৰংবাৰতা বিভাজনত গাণিতিক মাধ্য কেনেদৰে নিৰ্ণয় কৰা হয়? ইয়াৰ বাবে প্ৰত্যক্ষ আৰু পৰোক্ষ পদ্ধতি দুটা বর্ণনা কৰা।
উত্তৰঃ অবিচ্ছিন্ন শ্রেণীৰ বাৰংবাৰতা বিভাজনৰ ক্ষেত্ৰত x গাণিতিক মাধ্য নিৰ্ণয় কৰাৰ বাবে ব্যৱহাৰ কৰা প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিটো হ’ল—
ইয়াত X মানে গাণিত্যিক মাধ্য, fএ পর্যবেক্ষণৰ বাৰংবাৰতা আৰু x এ চলকটোৰ মান বুজায়।
বাৰংবাৰতা ক্ৰমতো মাধ্য নিৰ্ণয়ৰ দুটা পদ্ধতি আছে। তলত পদ্ধতি দুটা বৰ্ণনা কৰা হ’ল—
প্রত্যক্ষ পদ্ধতিঃ প্রত্যক্ষ পদ্ধতিৰ পদক্ষেপ সমূহ হ’ল—
(i) x ৰ প্ৰতিটো মানক ইয়াৰ বাৰংবাৰ্তা (f) ৰে পূৰণ কৰা আৰু fx = (f × x)।
(ii) সকলোবোৰ fx মানৰ সমষ্টি উলিয়াব লাগে অৰ্থাৎ Σfx পাব লাগে।
(iii) Σfxক পর্যবেক্ষণৰ মুঠ সংখ্যা (N) ৰে ভাগ কৰিব লাগে ৷ পৰ্যবেক্ষণৰ সংখ্যা পাবলৈ ‘f’ ৰ মান বিলাক যোগ কৰা হয়। অর্থাৎ Σf পাওঁ। Σfx ক Σf ৰে হৰণ কৰি আমি x পাওঁ। অর্থাৎ
পৰোক্ষ পদ্ধতিঃ পৰোক্ষ পদ্ধতিৰ পদক্ষেপসমূহ হ’ল—
(i) এটা উপযুক্ত গড় ধৰি লোৱা A হয়।
(ii) প্ৰত্যেকটো তথ্যৰ পৰা ধৰি লোৱা গড়ৰ পাৰ্থক্য উলিওৱা আৰু dx = (x–A) পোৱা হয়।
(iii) প্ৰত্যেকটো dx ক f ৰে অৰ্থাৎ নিজ নিজ বাৰংবাৰতৰে পূৰণ কৰা হয়। আৰু fdx পোৱা হয়।
(iv) সকলোবোৰ fdx যোগ কৰি Σdx উলিওৱা হয়।
(v) গাণিতিক মাধ্য উলিয়াবলৈ তলৰ সূত্ৰটো ব্যৱহাৰ কৰা হয়—
12. বুৰঞ্জীৰ ছাত্ৰবিলাকে পোৱা নম্বৰ দিয়া আছে। (ক) প্রত্যক্ষ পদ্ধতি আৰু (খ) পৰোক্ষ পদ্ধতিৰ সহায়ত গাণিতিক মাধ্য নিৰ্ণয় কৰা। (35 সংখ্যাটো মাধ্য হিচাপে ধৰি লোৱা।)
| বুৰঞ্জীত পোৱা নম্বৰৰ শ্ৰেণী | ছাত্ৰৰ সংখ্যা |
| 0–10 | 5 |
| 10–20 | 10 |
| 20–30 | 25 |
| 30–40 | 30 |
| 40–50 | 20 |
| 50–60 | 10 |
উত্তৰঃ প্ৰত্যক্ষ পদ্ধতিঃ
পৰোক্ষ পদ্ধতিঃ
13. ভৰযুক্ত গাণিতিক মাধ্যৰ প্ৰয়োজনীয়তা ব্যাখ্যা কৰা? ইয়াক কেনেকৈ নিৰ্ণয় কৰা হয়?
উত্তৰঃ এটা ভৰযুক্ত গাণিতিক মাধ্য হ’ল এনে এটা গড় য’ত যিবিলাক মানৰ গড় উলিওৱা হয়, সিবিলাকৰ বিভিন্নতা অনুসৰি গুৰুত্ব আৰোপ কৰা হয়।
ধৰা হ’ল এজন দোকানীয়ে ‘ক’ ব্ৰেণ্ডৰ কলম 5 টকাত আৰু ‘খ’ ব্রেণ্ডৰ কলম 15 টকাত আৰু ‘গ’ ব্ৰেণ্ডৰ কলম প্ৰতিটোতে 25 টকাত বিক্ৰী কৰে।
ইয়াৰ পৰা বুজা যায় যে কিছুমান কলম অতি সস্তা আৰু কিছুমান দামী। দোকানীজনে বিভিন্ন ব্ৰেণ্ডৰ পৰিমাণ বিক্ৰী কৰিব পাৰে। দোকানীজনে ‘ক’ ব্ৰেণ্ডৰ কলম 100 টা, ‘খ’ ব্ৰেণ্ডৰ কলম 40 টা আৰু ‘গ’ ব্ৰেণ্ডৰ কলম 20 টা বিক্ৰী কৰে। ইয়াৰ পৰা দেখা যায় যে প্রত্যেক ব্ৰেণ্ডৰ কলমৰ আপেক্ষিকভাৱে বিভিন্ন গুৰুত্ব আছে। পৰিসংখ্যাত এই গুৰুত্বটোকে ভৰ (w) বুলি কোৱা হয়।
ভযুক্ত গাণিতিক মাধ্য উলিয়াবলৈ হ’লে তলৰ পদক্ষেপসমূহ অৱলম্বন কৰা হয়।
প্ৰথমতে, প্রত্যেকটো সংখ্যা বা পৰিমাণ (x) ক ইয়াৰ ভৰ (w) ৰে পূৰণ কৰি প্ৰত্যেকৰে পূৰণফলবিলাক উলিয়াব লাগে।
দ্বিতীয়তে এইদৰে পোৱা পূৰ্ণফলবিলাক যোগ কৰি Σwx উলিয়াব লাগে।
তৃতীয়তে এই পূৰ্ণফলবিলাকৰ যোগফল অর্থাৎ Σwx ক ভৰ বিলাক যোগ কৰি পোৱা অংকৰে অৰ্থাৎ Σw ৰে হৰণ কৰিলেই ভৰযুক্ত গাণিতিক মাধ্য পোৱা যায়। অর্থাৎ ভৰযুক্ত গাণিতিক মাধ্যৰ সূত্ৰটো হ’ল—
14. ভৰযুক্ত মাধ্য নিৰ্ণ কৰাঃ
| সংখ্যাঃ | 12 | 29 | 14 | 41 |
| ভৰঃ | 6 | 4 | 5 | 2 |
উত্তৰঃ
∴ ভৰযুক্ত গাণিতিক মাধ্যৰ সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ
15. কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাত (তথ্যৰ) মাপ হিচাপে গাণিতিক মাধ্যৰ সুবিধা আৰু অসুবিধাসমূহ বৰ্ণনা কৰা।
উত্তৰঃ কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ পৰিমাসমূহৰ ভিতৰত গাণিতিক মাধ্যয়েই আটাইতকৈ বহুলভাৱে ব্যৱহাৰ হয়। ইয়াৰ কাৰণ হ’ল পদ্ধতিবিলাকৰ তুলনাত ইয়াৰ কিছুমান সুবিধা আছে। ইয়াৰ সুবিধাসমুহ হ’ল—
(i) ইয়াক সহজে নির্ণয় আৰু বুজিব পাৰি। অৰ্থাৎ পর্যবেক্ষণৰ সমষ্টিক ইয়াৰ সংখ্যাৰে ভাগ কৰা হয়।
(ii) ই তথ্য শ্রেণীৰ প্ৰতিটো তথ্য বা সংখ্যাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰশীল। অর্থাৎ ই সকলোবোৰ তথ্যকে সামৰি লয়।
(iii) ইয়াক বীজগণিতীয় সমাধান কৰিব পৰা যায়।
যদিও গাণিতিক মাধ্যৰ তথ্যৰ কেন্দ্ৰীয় প্ৰৱণতাৰ পদ্ধতিবিলাকৰ তুলনাত কিছুমান সুবিধা আছে তথাপি ইয়াৰ প্ৰধানকৈ দুটা ত্রুটি দেখা যায়।
(i) ইয়াৰ অত্যধিক বেছি বা কম মানবিলাকৰ দ্বাৰা বাৰুকৈয়ে বিৰূপভাৱে প্রভাৱান্বিত হয়। অতি বেছি বা অতি কম মানবিলাকৰ এটা অত্যন্ত ডাঙৰ আৰু আনটো অত্যন্ত সৰু। এনে ক্ষেত্ৰত গাণিতিক মাধ্যই প্রতিনিধিত্বমূলক কার্য আগনবঢ়ায়। উদাহৰণস্বৰূপে, এটা তথ্য শ্রেণীত 5 জন ছাত্ৰই 100 ৰ ভিতৰত 40, 45, 50, 55 আৰু 60 নম্বৰ পাইছে। তেন্তে তেওঁলোকৰ গড় নম্বৰ হ’ব 50। ধৰা হ’ল শ্ৰেণীটোত দুজন নতুন ছাত্ৰ ভৰ্তি হ’লহি আৰু তেওঁলোকে প্রত্যেকেই ৷
1 নম্বৰকৈ পালে, তেন্তে শ্ৰেণীটোৰ 7 জন ছাত্ৰৰ গড় নম্বৰ হ’ব 36। অৰ্থাৎ গড় নম্বৰ বহুত তললৈ নামি গ’ল, যিটোৱে আচলতে আন 5 জন ছাত্ৰৰ নম্বৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা নাই।
(ii) গাণিতিক মাধ্য বা গড় কিছুমান নম্বৰক প্ৰতিনিধিত্ব নকৰে। যেতিয়া শ্রেণীবিলাক অসমান হয় যেনে — 0–5, 5–10, 10–20, 20–40, 40–50। আৰু যেতিয়া শ্ৰেণীবিলাক মুকলি সীমাৰ (মুক্ত শ্রেণী) হয় যেনে 5 তকৈ কম, 5–10, …. 30–35, 35 আৰু ইয়াৰ ওপৰৰ ইত্যাদি।
