SEBA Class 9 Mathematics Chapter 2 বহুপদ ৰাশি Solutions, SEBA Class 9 Maths Textbook Notes in Assamese Medium, SEBA Class 9 Mathematics Chapter 2 বহুপদ ৰাশি Solutions in Assamese to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapter Assam Board SEBA Class 9 Mathematics Chapter 2 বহুপদ ৰাশি Notes and select needs one.
SEBA Class 9 Mathematics Chapter 2 বহুপদ ৰাশি
Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per SCERT (CBSE) Book guidelines. SEBA Class 9 Mathematics Chapter 2 বহুপদ ৰাশি Question Answer. These solutions are part of SCERT All Subject Solutions. Here we have given SEBA Class 9 Mathematics Chapter 2 বহুপদ ৰাশি Solutions for All Subject, You can practice these here.
বহুপদ ৰাশি
Chapter – 2
| অনুশীলনীঃ 2.1 |
1. তলৰ কোনকেইটা ৰাশি এটা চলকযুক্ত বহুপদ আৰু কোনকেইটা নহয়? তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তি দিয়া।
(i) 4x² – 3x + 7
উত্তৰঃ 4x² – 3x + 7 এটা চলকযুক্ত বহুপদ ৰাশি, কাৰণ চলক X -ৰ সূচক বা ঘাত এটা পূর্ণসংখ্যা।
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ
ঘাত = ½ আৰু ই পূৰ্ণসংখ্যা নহয়।
(iv) y + 2/y
উত্তৰঃ y + 2/y এটা চলকযুক্ত বহুপদ ৰাশি নহয়।
উত্তৰঃ
2. তলৰ প্ৰতিটোৰে x² -ৰ সহগ লিখা।
(i) 2 + x² + x
উত্তৰঃ 2 + x² + x -ত x² -ৰ সহগ হ’ল: 1.
(ii) 2 – x² + x³
উত্তৰঃ 2 – x² + x³ -ত x² -ৰ সহগ হ’ল: 1.
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ
(v) (2x – 3)(x² – 3x + 1)
উত্তৰঃ (2x – 3)(x² – 3x + 1)
= 2x(x² – 3x + 1) – 3(x² – 3x + 1)
= 2x³ – 6x² + 2x – 3x² + 9x – 3
= 2x³ – 9x² + 11x -3
∴ x² -ৰ সহগ হ’ল: 9.
3. 35 মাত্রাযুক্ত এটা দ্বিপদ আৰু 100 মাত্রাযুক্ত এটা একপদৰ একোটাকৈ উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ 35 মাত্রা বিশিষ্ট দ্বি-পদ ৰাশিৰ এটা উদাহৰণ হ’লঃ 5x³⁵- 32 আৰু 100 মাত্ৰা বিশিষ্ট এক পদ ৰাশিৰ এটা উদাহৰণ হ’লঃ 3y¹⁰⁰ + 1.
4. তলৰ বহুপদবোৰৰ মাত্রা লিখা।
(i) 5x³ + 4x² + 7x
উত্তৰঃ P(x) -ৰ সর্বোচ্চ সূচক = 3। অর্থাৎ নির্ণেয় মাত্রা =3.
(ii) 4 – y²
উত্তৰঃ p(y) – ৰ সর্বোচ্চ সূচক = 2 । অর্থাৎ নির্ণেয় মাত্রা = 2.
(iii) 5t – √7
উত্তৰঃ f(t) -ৰ সর্বোচ্চ সূচক = 1। অর্থাৎ নির্ণেয় মাত্রা = 1.
(iv) 3
উত্তৰঃ f(x) -ৰ সর্বোচ্চ সূচক = 0। অর্থাৎ নির্ণেয় মাত্রা = 0.
5. তলত ৰৈখিক, দ্বিঘাত আৰু ত্রিঘাত বহুপদবোৰ শ্ৰেণী বিভাজন কৰা।
(i) x² + x
উত্তৰঃ x² + x বহুপদ ৰাশিটোৰ ঘাত = 2. অর্থাৎ ই দ্বিঘাত বিশিষ্ট বহুপদ ৰাশি।
(ii) x – x³
উত্তৰঃ x – x³ বহুপদ ৰাশিটোৰ ঘাত = 3. অর্থাৎ ই ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদ ৰাশি।
(iii) y + y² + 4
উত্তৰঃ y + y² + 4 বহুপদ ৰাশিটোৰ ঘাত = 2. অর্থাৎ ই দ্বিঘাত বিশিষ্ট বহুপদ ৰাশি।
(iv) 1 + x
উত্তৰঃ 1 + x বহুপদ ৰাশিটোৰ ঘাত = 1. অর্থাৎ ই ৰৈখিক ৰাশি।
(v) 3t
উত্তৰঃ 3t ৰাশিটোৰ ঘাত = 1. অর্থাৎ ই ৰৈখিক ৰাশি।
(vi) r²
উত্তৰঃ r² ৰাশিটোৰ ঘাত = 2. অর্থাৎ ই এটা দ্বিঘাত বিশিষ্ট ৰাশি।
(vii) 7x³
উত্তৰঃ 7x³ ৰাশিটোৰ ঘাত = 2. অর্থাৎ ই এটা ত্রিঘাত বিশিষ্ট ৰাশি।
| অনুশীলনী – 2.2 |
1. 5x – 4x² + 3 বহুপদৰ মান নির্ণয় কৰা যেতিয়া-
(i) x = 0
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, f(x) = 5x – 4x² + 3
∴ f(0) = 5 × 0 – 4(0)² + 3
= 0 – 0 + 3 = 3
(ii) x = – 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, f(x) = 5x – 4x² + 3
∴ f( – 1) = 5( – 1) – 4( – 1)² + 3
= – 5 – 4 + 3 = – 9 + 3 = – 6
(iii) x = 2
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, f(x) = 5x – 4x² + 3
∴ f(2) = 5 × 2 – 4(2)² + 3
= 10 – 16 + 3 = – 3
2. তলৰ বহুপদবোৰৰ প্ৰত্যেকৰ বাবে p(0), p (1) আৰু p(2)ৰ মান নির্ণয় কৰা।
(i) p(y) = y² – y + 1
উত্তৰঃ p(y) = y² – y + 1
∴ p(0) = 0² – 0 + 1 = 1
p(1) = 1² – 1 + 1 = 1
p(2) = 2² – 2 + 1 = 3
(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
উত্তৰঃ p(t) = 2 + t + 2t² – t³
∴ p(0) = 2 + 0 + 2(0)² – (0)³
= 2 + 0 + 0 – 0 = 2
p(1) = 2 + 1 + 2(1)² – (1)³
= 2 + 1 + 2 – 1 = 4
p(2) = 2 + 2 + 2(2)² – (2)³
= 4 + 8 – 8 = 4
(iii) p(x) = x³
উত্তৰঃ p(x) = x³
∴ p(0) = 0³ = 0
p(1) = 1³ = 1
p(2) = 2³ = 8
(iv) p(x) = (x – 1)( x + 1)
উত্তৰঃ p(x) = (x – 1)(x + 1)
p(0) = (0 – 1)(0 + 1)
= – 1 × 1= – 1
p(1) = (1 – 1)(1 + 1)
= 0 × 2 = 0
p(2) = (2 – 1)(2 + 1)
=1 × 3 = 3
3. কাষত উল্লেখিত মানবোৰ বহুপদটোৰ শূন্য হয়নে নহয় সত্যাপন কৰি চোৱা।
(i) p(x) = 3x + 1, x = – ⅓
উত্তৰঃ p(x) = 3x + 1[প্রদত্ত]
= – 1 + 1 = 0
∴ ইয়াত সত্যতা প্রতিপালন কৰা হ’ল যে x = 1/3 ধৰিলে 3x + 1 বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হয়।
(ii) p(x) = 5x – π, χ = 4/3
উত্তৰঃ p(x) = 5x – π,
= 4 – π ≠ 0
∴ ইয়াত দেখা গ’ল যে x = 4/5 স্থাপন কৰিলে 5x – π বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নহয়।
(iii) p(x) = x² – 1, x = 1, – 1
উত্তৰঃ p(x) = x² – 1,
∴ p(1) = (1)² – 1 = 0
আকৌ, p(- 1) = (- 1)² – 1
= 1 – 1 = 0
∴ x = 1, – 1 ধৰিলে প্রদত্ত বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হয়।
(iv) p(x) = (x + 1)(x – 2), x = -1, 2
উত্তৰঃ p(x) = (x + 1)(x – 2)
∴ p(-) = (- 1 + 1)(- 1 – 2)
= 0(- 3) = 0
∴ p(2) = (2 + 1)(2 – 2)
= 3 × 0 = 0
∴ x = – 1, 2 স্থাপন কৰিলে প্রদত্ত বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হয়।
(v) p(x) = x², x= 0
উত্তৰঃ p(x) = x²
∴ (0) = 0² = 0
∴ x = 0 ধৰিলে প্রদত্ত ৰাশিটোৰ মান শূন্য হয়।
উত্তৰঃ P(x) – Ix I m
∴ P (- m/I) = I (- m/I) + m
= – m + m = 0
∴ X = – m/I স্থাপন কৰিলে প্ৰদত্ত বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শান্য হয়।
উত্তৰঃ
(viii) p(x) = 2x + 1, x = 1/2
উত্তৰঃ
4. তলত দিয়া বহুপদ ৰাশিবোৰৰ শূন্য নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) p(x) = x + 5
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নিৰ্ণয় কৰাৰ বাবে f(x) = 0 ধৰিব লাগিব।
∴ x + 5 = 0 ⇒ x = – 5
∴ x + 5 বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = – 5 বহুওৱা হয়।
(ii) p(x) = x – 5
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নিৰ্ণয় কৰাৰ বাবে p(x) = 0 ধৰিব লাগিব।
∴ x – 5 = 0 ⇒ x = 5
∴ x – 5 বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = 5 বহুওৱা হয়।
(iii) p(x) = 2x + 5
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি p(x) = 0 ধৰা হয়।
∴ 2x + 5 = 0
⇒ x = – 5/2
∴ x = – 5/2
∴ 2x + 5 বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = – 5/2 বহুওৱা হয়।
(iv) p(x) = 3x – 2
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নিৰ্ণয় কৰাৰ বাবে p(x) = 0 ধৰিব লাগিব।
∴ 3x – 2 = 0
⇒ x= 2/3
∴ 3x – 2 বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = 2/3 বহুওৱা হয়।
(v) p(x) = 3x
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নিৰ্ণয় কৰাৰ বাবে p(x) = 0 ধৰিব লাগিব।
∴ 3x = 0
⇒ x = 0/3 = 0
∴ 3x বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = 0 বহুওৱা হয়।
(vi) p(x) = ax, a ≠ 0
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি p(x) = 0 ধৰা হয়।
∴ p(x) = 0
⇒ ax = 0 ⇒ x = 0/a = 0
∴ ax -ৰ মান শূণ্য হ’ব যদি x = 0 বহুওৱা হয়।
(vii) p(x) = cx + d, c ≠ 0, c, d দুটা হ’ল বাস্তৱ সংখ্যা।
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নিৰ্ণয় কৰাৰ বাবে p(x) = 0 ধৰিব লাগিব।
∴ cx + d = 0
⇒ cx = – d
⇒ x = – d/c
∴ cx + d বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = – d/c বহুওৱা হয়।
| অনুশীলনী – 2.3 |
1. x³ + 3x² + 3x + 1 ক তলৰ বহুপদেৰে হৰণ কৰিলে পোৱা ভাগশেষ নির্ণয় কৰাঃ
(i) x + 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
(x + 1) -ৰে P(x) -ক হৰণ কৰিলে
ভাগশেষ = (- 1)³ + 3(-1)² + 3(- 1) + 1
= – 1 + 3 – 3 + 1
= 0
(ii) x – 1/2
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
(iii) x
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
x -ৰে p(x) -ক হৰণ কৰিলে
ভাগশেষ p(0) = 0³ +3(0)² + 3 × 0 + 1 = 1
(iv) x + π
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
(x + π) -ৰে p(x) -ক হৰণ কৰিলে
ভাগশেষ p(π) = (- π)³ + 3(- π)² + 3(- π) + 1
= – π³ + 3π² -3π + 1
(v) 5 + 2x
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
(5 + 2x) -ৰে p(x) -ক হৰণ কৰিলে
2. x³ – ax² + 6x – a ক x – a -ৰে হৰণ কৰিলে পোৱা ভাগশেষ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল P(x) = x³ – ax² + 6x – a
ভাগশেষ p(a) = a³ – a(a)² + 6 × a – a
= a³ – a³ + 6a – a = 5a
3. 7+ 3x, 3x³ + 7x -ৰ এটা উৎপাদক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল P(x) = 3x³ + 7x
ভাজক = 7 + 3x ধৰা হ’ল 7 + 3x = 0 ⇒ x = – 7/3
যিহেতু, ভাগশেষ শূন্য নহয়। অর্থাৎ (7+3x), 3x³ + 7x) -ৰ উৎপাদক নহয়।
4. ভাগফল আৰু ভাগশেষ নির্ণয় কৰাঃ
(i) x³ – 4x² + 2x + 5 ক x – 2 ৰে ভাগ কৰিলে।
উত্তৰঃ
∴ ভাগফল = x² – 2x – 2; ভাগশেষ = 1.
(ii) 4x³ – 2x² – 3 ক 2x² – 1 ৰে ভাগ কৰিলে।
উত্তৰঃ
(iii) 3x³ – 5x² + 10x – 3 ক 3x + 1 ৰে ভাগ কৰিলে।
উত্তৰঃ
(iv) x¹¹ – 5 ক x + 1ৰে ভাগ কৰিলে।
উত্তৰঃ
∴ ভাগশেষ = – 6
5. (i) 3x² – 2x – 40 ক 3x + 10 ৰে হৰণ কৰা।
উত্তৰঃ
∴ ভাগফল x – 4; ভাগশেষ = 0.
(ii) 4+ 7x + 7x² + 2x³ ক 2x + 1 ৰে হৰণ কৰা।
উত্তৰঃ
∴ ভাগফল x² + 3x + 2; ভাগশেষ = 2.
6. (i) – 14x² – 13x + 12 বহুপদটো 2x + 3 দ্বাৰা সম্পূৰ্ণকৈ বিভাজ্য হয়নে?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = -14x² – + 12
ভাজক = 2x + 3
ধৰা হ’ল 2x + 3 = 0
⇒ 2x = – 3
⇒ x = – 3/2
∴ – 14x² – 13x + 12 বহুপদটো 2x + 3 দ্বাৰা সম্পূৰ্ণকৈ বিভাজ্য।
(ii) x – 7 ৰাশিটো x³ + 2x² – 3x + 4 বহুপদটোৰ এটা উৎপাদক হয়নে পৰীক্ষা কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ + 2x² – 3x + 4
ভাজক = x – 7
ধৰা হ’ল x – 7 = 0
⇒ x = 7
∴ p(7) = (7)³ + 2(7)² – 3(7) + 4
= 364 + 98 – 21+ 4
= 466 – 21
= 445.
∴ p(x) ≠ 0.
∴ (x – 7) ৰাশিটো x³ + 2x² – 3x + 4 বহুপদটোৰ এটা উৎপাদক নহয়।
7. ax³ + 3x² + 5x – 4 আৰু x³ – 4x – a বহুপদ দুটাক x – 2 ৰে ভাগ কৰাত সমান ভাগশেষ পোৱা গ’ল। a -ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) ax³ + 3x² + 5x – 4
F(x) = x³- 4x – a
আৰু Q(x) = x – 2
ধৰা হ’ল, x – 2 = 0 ⇒x = 2
∴ p(2) = a(2)³ + 3(2)² +5 × 2 – 4
= 8a +12 + 10 – 4 = 8a + 18
F(2) = 2³- 4 × 2 – a
= 8 – 8 – a = – a
∴ প্রশ্নমতে, ৪a + 18 = – a
⇒ 9a + 18 = 0
⇒ 9a – 18
⇒ a = – 2
| অনুশীলনী – 2.4 |
1. তলৰ কোনটো বহুপদৰ এটা উৎপাদক (x+1) তাক নিৰ্ণয় কৰা।
(i) x³ + x² + x + 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ + x² + x + 1
∴ p(- 1) = (- 1)³ + (- 1)² + (- 1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা মতে (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
∴ p(- 1) = (- 1)⁴ + (- 1)³ +(- 1)² + (- 1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা মতে (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক নহয়।
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
∴ p(- 1) = (-1)⁴ + 3(- 1)³ + 3(- 1)² + (- 1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা মতে (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক নহয়।
উত্তৰঃ
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা মতে (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক নহয়।
2. উৎপাদক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ প্রতিটো ক্ষেত্ৰতে g(x), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
(i) p(x) = 2x³ + x² + 2x – 1,g(x) = x + 1
উত্তৰঃ p(x) = 2x³ + x² + 2x – 1,g(x) = x + 1
p(x) = 2x³ + x² + 2x – 1
p(- 1) = 2(- 1)³ + (- 1)² + 2(- 1)- 1
= – 2 + 1 – 2 – 2 – 1 = – 4
∴ g(x), p(x) – অৰ এটা উৎপাদক নহয়।
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1,g(x) = x + 2
উত্তৰঃ p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
p(-) = (- 2)³ + 3(- 2)² + 3(- 2) + 1
= – 8 + 12 – 6 + 1 = – 1
∴ g(x), p(x) – অৰ এটা উৎপাদক নহয়।
(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6,g(x) = x – 3
উত্তৰঃ p(x) = x³ – 4x² + x + 6,g(x) = x – 3
p(3) = (3)³ – 4(3)² + 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6 = 0
∴ g(x), p(x) – অৰ এটা উৎপাদক।
3. যদি (x – 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক হয় তেন্তে তলৰ প্রতিটো ক্ষেততে k – ৰ মান নির্ণয় কৰাঃ
(i) p(x) = x² + x + k
উত্তৰঃ ∴ (x – 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা দ্বাৰা, p(1) = 0 হ’ব।
∴ (1)² + 1 + k = 0 ⇒ k = – 2
উত্তৰঃ ∴ (x – 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা দ্বাৰা, p (1) = 0 হ’ব।
উত্তৰঃ ∴ (x – 1), p(x)-ৰ এটা উৎপাদক।
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা দ্বাৰা, p(1) = 0 হ’ব।
(iv) p(x) = kx² – 3x + k
উত্তৰঃ ∴ (x – 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা দ্বাৰা, p(1) = 0 হ’ব।
∴ k(1)² – 3(1) + k = 0
4. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ
(i) 12x² – 7x + 1
উত্তৰঃ 12x² – 7x + 1
⇒ 12x² – 4x – 3x + 1
[∴ সমষ্টি = – 4 – 3 = – 7,
গুণফল = (- 4) (- 3) = 12
আৰু অন্ত্যপদ দুটাৰ গুণফল = 12 × 1 = 12]
⇒ 4x(3x – 1) – 1(3x – 1) ⇒ (3x – 1)(4x – 1)
(ii) 2x² + 7x + 3
উত্তৰঃ 2x² + 7x + 3
⇒ 2x² + 6x + x + 3
⇒ 2x(x + 3) + 1(x + 3) ⇒ (2x + 1)(x + 3)
(iii) 6x² + 5x – 6
উত্তৰঃ 6x² + 5x – 6
⇒ 6x² + 9x – 4x – 6
⇒ 3x(2x + 3) – 2(2x + 3) ⇒ (2x + 3)(3x – 2)
(iv) 3x² – x – 4
উত্তৰঃ 3x² – x – 4
⇒ 3x² – 4x + 3x – 4
⇒ x(3x – 4) +1(3x – 4) ⇒ (3x – 4)(x + 1)
(v) 2x² + x – 45
উত্তৰঃ 2x² + x – 45
⇒ 2x² + 10x – 9x – 45
⇒ 2x(x + 5) – 9(x + 5) ⇒ (x + 5) (2x – 9)
(vi) y² + 18y + 65
উত্তৰঃ y² + 18y + 65
⇒ y² + 13y + 5y + 65 ⇒ y(y +13) + 5(y +13)
⇒ (y + 13)(y + 5) ⇒ (y + 13)(y + 5)
(vii) p² + 14p + 13
উত্তৰঃ p² + 14p + 13
⇒ p² + 13p + p + 13
⇒ p(p + 13) + 1(p + 13) ⇒ (p + 1)(p + 13)
(viii) – 18 + 11x – x²
উত্তৰঃ – 18 + 11x – x²
⇒ – x² + 11x – 18 ⇒ – x² + 9x + 2x – 18
⇒ – x(x – 9) + 2(x – 9) ⇒(x – 9)(2 – x)
(ix) 8a² – 11ab + 15b²
উত্তৰঃ 8a² – 11ab + 15b²
⇒ 8a² – 12ab – 10ab + 15b²
⇒ 4a(2a – 3b) – 5b(2a – 3b)
⇒ (2a – 3b)(4a – 5b)
5. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।
(i) x³ – 2x²- x + 2
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) x³ – 2x² – x + 2
∴ p(- 1) = (- 1)³ – 2(- 1)² – 1 + 2
= – 1 – 2 + 1 + 2 = 0
∴ (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ – 3x² – 9x – 5
∴ p(- 1) = (- 1)³ – 3(- 1)² – 9(- 1) – 5
= – 1 – 3 + 9 – 5
= – 9 + 9
= 0
∴ (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20
∴ p(- 1) = (-1)³ + 13(- 1)² + 32(- 1) + 20
= – 1 + 13 – 32 + 20
= 33 – 33
= 0
∴ (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, p(y) = 2y³ + y² – 2y – 1
∴ p(1) = 2(1)³ + (1)² – 2(1) – 1
= 2 + 1 – 2 – 1
= 3 – 3
= 0
∴ (y – 1), p(y) – ৰ এটা উৎপাদক।
(v) x³ + 2x² – x – 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, x³ + x² – x – 1
∴ P(x) = 1³ + 1² – 1 – 1 = 2 – 2 = 0
∴ (x – 1) , P(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ P(x) = (x -1)(x² + 2x + 1)
= (x – 1){(x)² + 2. x. 1+1}²
= (x – 1)(x + 1)² = (x – 1)(x + 1)(x + 1)
(vi) x³ + x² + x + 1
উত্তৰঃ x³ + x² + x + 1
= x²(x + 1) + 1(x + 1)
= (x + 1)(x² + 1)
(vii) x³ + 2x² – x – 2
উত্তৰঃ x³ + 2x² – x – 2
ধৰা হ’ল p(x) = x³ + 2x² – x – 2
∴ p(- 1) = (- 1)³ + 2(- 1)² – 1 – 2
= – 1 + 2 + 1 – 2 = 0
∴ (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
(viii) x³ + 3x² -7x – 6
উত্তৰঃ x³ + 3x² – 7x – 6
ধৰা হ’ল P(x) = x³ + 3x² – 7x – 6
∴ P(1) = (1)³ + 3(1)² – 7 × 1 – 6
= 1 + 3 – 7- 6 = – 9 ≠ 0
∴ p(2) = (2)³ + 3(2)² – 7(2) – 6
= 8 + 12 – 14 – 6
= 20 – 20
= 0
∴ (x – 2), P(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ x³ + 3x² + 7x – 6 = (x – 2)(x² + 5x + 3)
(ix) 3x³ + 5x² – 16x – 2
উত্তৰঃ 3x³ + 5x² – 16x – 2
ধৰা হ’ল p(x) = 3x³ + 5x² – 16x – 12
∴ P(1) = 3(1)³ + 5(1)² – 16 × 1 – 12
= 3 + 5 – 16 – 12 = – 20≠0
∴ P(2) = 3(2)³ + 5(2)² – 16 × 2 – 12
= 24 + 20 – 32 – 12 = 44 – 44 = 0
∴ (x – 1), P(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ 3x³ + 5x² – 16x – 12
= (x – 2)(3x² + 11x + 6)
=(x-2) {(3x² + 9x + 2x + 6}0
= (x – 2){3x(x + 3) + 2(x + 3)}
= (x – 2)(x + 3)(3x + 2)
6. যদি x² + px + q আৰু x² + mx + n বহুপদ দুটা x + a এটা সাধাৰণ উৎপাদক তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে – a = n – q / p – m
উত্তৰঃ ∴ x² + px + q আৰু x² + mx + n – ৰ এটা সাধাৰণ উৎপাদক।
∴ x + a = 0
⇒ = – a
∴ x² – ap + q = 0
± x² ± am ± n = 0
(বিয়োগ কৰি) am – ap + q – n = 0
⇒ a(m – p) = n – q
| অনুশীলনী – 2.5 |
1. তলৰ পূৰণফলকেইটা নিৰ্ণয় কৰিবলৈ উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰা।
(i) (x + 4)(x + 10)
উত্তৰঃ (x + 4)(x + 10)
= x² + (4 + 10)x + 4 × 10[(x + a) (x + b)
= x² + (a + b)x + ab
= x² + 14x + 40
[ব্যৱহাৰ কৰি ইয়াত, a = 4, b = 0 ধৰা হৈছে।]
(ii) (x + 8)(x – 10)
উত্তৰঃ (x + 8)(x – 10)
= x² + [8 + (- 10)]x + 8 × (- 10)
= x² – 2x – 80
(iii) (3x + 4)(3x – 5)
উত্তৰঃ (3x + 4)(3x – 5)
= (3x)² + [4 + (- 5)]3x + 4 × (- 5)
= 9x² – 3x – 20
উত্তৰঃ
(v) (3 – 2x)(3 + 2x)
উত্তৰঃ (3 – 2x)(3 + 2x)
= (3)² + (- 2x + 2x) × 3 + (- 2x)(2x)
= 9 + 0 × 3 – 4x²
= 9 – 4x²
2. প্ৰত্যক্ষভাৱে পূৰণ নকৰি তলৰ পূৰণফলসমূহ নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) 103 × 107
উত্তৰঃ (i) 103 × 107
= (100 + 3) × (100 + 7)
= (100)² + (3 + 7) × 10 + (3 × 7)
[(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab ব্যৱহাৰ কৰি]
= 10000 + 1000 + 21
= 11021
(ii) 95 × 96
উত্তৰঃ 95 × 96
= (100 – 5) × (100 – 4)
= (100)² + [(- 5) + (- 4)] × 10 + (- 5) × (- 4)
= 10000 – 900 + 20 = 9120
(iii) 104 × 96
উত্তৰঃ 104 × 96
= (100 + 4) × (100 – 4)
= (100)² + [4 + (- 4)] × 100 + (14x – 4)
= 1000 + 0 × 100 – 16
= 10000 – 16 = 9984
3. উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ
(i) 9x² + 6xy + y²
উত্তৰঃ 9x² + 6xy + y²
= (3x)² + 2.3x.y + (y)² = (3x + y)²
[(a+b² = a² + 2ab + b² ব্যৱহাৰ কৰি। ইয়াত a = 3x আৰু b = y]
(ii) 4y² – 4y + 1
উত্তৰঃ 4y² – 4y + 1
= (2y)² – 2.2y.1 + (1)² = (2y – 1)²
উত্তৰঃ
4. উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ ৰাশিবোৰ বিস্তাৰ কৰাঃ
(i) (x + 2y + 4z)²
উত্তৰঃ (x + 2y + 4z)²
= x² + (2y)² + (4z)² + 2x(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)x
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8xz
[(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2be + 2ca অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি।]
(ii) (2x – y + z)²
উত্তৰঃ (2x – y + z)²
= (2x)² + (- y)² + (z)² + 2 × 2x (- y) + 2(- y)z + 2 × z × 2x
= 4x² + y² + z² – 4zy – 2yz + 4xz
(iii) (- 2x + 3y + 2z)²
উত্তৰঃ (- 2x + 3y + 2z)²
= (- 2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(- 2x)3y + 2 × 3y × 2z + 2 × 2z(- 2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 11yz – 8xz
(iv) (3a – 7b – c)²
উত্তৰঃ (3a – 7b – c)²
= [3a + (- 7b) + (- c)]²
= (3a)² + (- 7b)² + (- c)² + 2(3a)(- 7b) + 2(- 7b)(- c) + 2 (- c)(3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab + 14bc – 6ca
(v) (2x + 5y – 3z)²
উত্তৰঃ (2x + 5y – 3z)²
= (- 2x + 5y – 3z)²
= (- 2x)² + (5y)² + (- 3z)² + 2(- 2x)(5y) + 2(5y)(- 3z) + 2(- 3z)(- 2x)
= 4x² + 25y² + 92² – 20xy – 30yz + 12zx
উত্তৰঃ
5. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz -16xz
উত্তৰঃ 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)² + (3y)² + (- 4z)² + 2(2x)(3y) + 2(3y)(- 4z) + 2(2x)(- 4z)
= (2x + 3y – 4z)
[(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ব্যৱহাৰ কৰা হল]
উত্তৰঃ
6. তলৰ ঘনকেইটা বিস্তাৰিত কৰি লিখাঃ
(i) (2x + 1)³
উত্তৰঃ (2x + 1)³
= (2x)³ + (1)³ + 3(2x)1(2x + 1)
= 8x³ + 1 + 12x² + 6x
= 8x³ + 12x² + 6x + 1
[(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) ব্যৱহাৰ কৰি]
(ii) (2a – 3b)³
উত্তৰঃ (2a – 3b)³ = (2a)³ – (3b)³- 3(2a)(3b)(2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ + 36a²b + 54ab²
[(a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b) ব্যৱহাৰ কৰি]
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ
7. উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ ৰাশিবোৰৰ মান নির্ণয় কৰা।
(i) (99)³
উত্তৰঃ (99)³
= (100 – 1)³
= (100)³ – 1³ – 3(100)1(100 – 1)
[(a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b) ব্যৱহাৰ কৰি]
(ii) (102)³
উত্তৰঃ (102)³
= (100 + 2)³
= (100)³ + (2)³ + 3(100)(2)(100 + 2)
[(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) ব্যৱহাৰ কৰি]
= 1000000 + 8 + 60000 + 1200 = 1061208
(iii) (998)³
উত্তৰঃ (998)³
= (1000 – 2)³
= (1000)³ – (2)³ – 3(1000)(2)(100 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000
= 1000012000 – 6000000 + 12000
= 1000012000 – 6000008
= 994011992
8. তলৰ প্ৰতিটো উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ
(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
উত্তৰঃ 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
(2a)³ + b³ + 3(2a)b(2a + b) = (2a + b)³
[(x + y)³ = x³ +y³ + 3xy(x + y) ব্যৱহাৰ কৰি]
(ii) 8a³ – b³ – 12a²b – 6ab²
উত্তৰঃ 8a³ – b³ – 12a²b – 6ab²
= (2a)³ – b³ – 3.2a.b(2a – b) = (2a – b)³
[(x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y) ব্যৱহাৰ কৰি]
(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
উত্তৰঃ 27 – 125a³ – 135a + 225a²
= (3)³ – (5a)³ – 3. (3) (5a)(3 – 5a) = (3 – 5a)³
(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 10Bab²
উত্তৰঃ
9. সত্যাপন কৰাঃ
(i) x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)
উত্তৰঃ R.H.S. = (x + y)(x² – xy + y²)
= x(x² – xy + y²) + y(x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + y³ = L.H.S. [সত্যতা প্রতিপাদন কৰা হ’ল]
(ii) x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)
উত্তৰঃ R.H.S = (x – y)(x² + xy + y²)
= x(x² + xy + y²) – y(x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³
= x³ – y³ = L.H.S. [সত্যতা প্রতিপাদন কৰা হ’ল]
10. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ
(i) 27y³ + 125z³
উত্তৰঃ 27y³ + 125z³
= (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z)[(3y)² – (3y)(5z) + (5z)²]
[a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) ব্যৱহাৰ কৰি]
(ii) 64m³ – 343n³
উত্তৰঃ 64m³ – 343n³
= 64m³ – 343n³
= (4m)³ – (7n)³
= (4m-7n)[(4m)² + (4m)(7n) + (7n)²]
= (4m – 7n)(16m² + 28mn + 49n²)
11. 27x³ + y³ + z³ – 9xyz – ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।
উত্তৰঃ 27x³ + y³ + z³- 9xyz
= (3x)³ + y³ + z³ – 3(3x).y.z
= (3x + y + z)[(3x)² + y² + z² – (3x)y – yz – (3x)z]
= (3x + y + z)(9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz)
[a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca) বাৱহাৰ কৰি]
12. সত্যাপন কৰা।
x³ + y³ + z³ – 3xyz = 1/2(x + y + z) [(x – y)² +(y – z)² (z−x)²]
উত্তৰঃ R.H.S. = 1/2(x + y + z)[(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= 1/2(x + y + z)[x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2xz + x²]
= 1/2(x + y + z) [2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx)
= 1/2(x + y + z) × 2[x² + y² + z² – xy – yz – zx]
= (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x(x² + y² + z² – xy – yz – zx) + y(x² + y² + z² – xy – yz – zx) +z(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x³ + xy² + xz² – x²y – xyz – zx² + yx² + y³ + yz² – xy² – y²z – xyz + x²z + zy² + z³ – xyz – yz² – z² x
= x³ + (xy² – xy²) + (xz² – xz²) + (- x²y + x²y) + (zx² – x²z) +(yz² – yz²) + (zy² – y²z) + y³ + z³ – 3xyz
= x³ + y³ + z³ – 3xyz = L. H.S. [সত্যতা প্ৰতিপাদন কৰা হ’ল]
13. (i) যদি x + y + z = 0, তেন্তে দেখুওৱা যে x³ + y³ + z³ = 3xyz.
উত্তৰঃ ∴ x + y + z = 0
⇒ x + y = – z……(i)
⇒ (x + y)³ = (- z)³ [ঘন কৰি]
⇒ x³ + y³ + 3xy(x + y) = – z³
⇒ x³ + y³ + z³ + 3xy(- z) = 0 [(i) – ৰ পৰা]
⇒ x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0
∴ x³ + y³ + z³ = 3xyz [প্রমাণিত]
(ii) যদি a + b + c = 0, তেন্তে দেখুওৱা যে- a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b) + 3abc = 0
উত্তৰঃ ∴ a + b + c = 0 ∴ a + b = – c, b, b + c = – a
প্ৰমাণ কৰিব লাগে, a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b) + 3abc = 0
⇒ a²b + a²c + b²c + b²a + c²a + c²b + 3abc = 0
⇒ a²b + b²a + a²c + c²a + b²c + c²b + 3abc = 0
⇒ ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 3abc = 0
⇒ ab(- c) + ac(- b) + bc(- a) + 3abc = 0
⇒ – abc – abc – abc + 3abc = 0
⇒ – 3abc + 3abc = 0 [প্রমাণিত]
(iii) যদি 2a – b + c = 0, তেন্তে দেখুওৱা যে 4a² – b² + c² + 4abc = 0
উত্তৰঃ ∴ 2a – b + c = 0
⇒ 2a + c = b
∴ বাঁওপক্ষ = 4a² – b² + c² + 4ac
= 4a² + 4ac + c² – b²
= {(2a)² + 2.2a.c + c²} – b²
= (2a + c)² – b²
= b² – b² = 0 = সৌপক্ষ (প্রমাণিত)
(iv) যদি a + b + c = 0, তেন্তে দেখুওৱা যে 
উত্তৰঃ ∴ a + b + c = 0
⇒ a + b = – c ⇒ a + c = – b ⇒ b + c = – a
(v) যদি a² + b² + c²- ab – bc – ca = 0 তেন্তে দেখুওৱা যে a = b = c.
উত্তৰঃ ∴ a² + b² + c² – ab – bc – ca = 0
⇒ 1/2(2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2bc – 2ca = 0
⇒ {(a² – 2ab + b²) + (a² – 2ca + c²) + (b² – 2bc + c²)} = 0
⇒ {(a – b)² + (a – c)² + (b – c)²} = 0
⇒ (a – b)² = 0, (a – c)² = 0, (b – c)² = 0
⇒ a – b = 0 ⇒ a – c = 0 ⇒ b – c = 0
⇒ a = b ⇒ a = c ⇒ b = c
∴ a = b = c (প্রমাণিত)
14. ঘনফল প্ৰকৃতৰ্থত নিৰ্ণয় নকৰাকৈ তলৰ প্ৰতিটোৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
(i) (- 12)³ + (7)³ + (5)³
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল, a = – 12, b = 7, c = 5
যেতিয়া, a + b + c = 0 হয়, তেতিয়া, a² + b² + c² = 3abc হ’ব।
ইয়াত, a + b + c = -12 + 7 + 5 = 0
∴ (-12)³ + (7)³ + (5)³
= 3(- 12) (7) (5) = – 1260
(ii) (28)³ + (- 15)³ + (- 13)³
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, a = 28, b = -15 আৰু c = – 13
এতিয়া, a + b + c = 28 + (- 15) + (- 13)
= 28 – 15 – 13 = 28 – 28 = 0
⇒ a + b + c = 0
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc
⇒ (28)³ + (- 15)³ + (- 13)³ = 3(28)(- 15) (- 13) = 16380
15. তলত কালি দিয়া আয়তবিলাকৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থৰ বাবে সম্ভাব্য ৰাশিবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ আয়তক্ষেত্ৰৰ কালি L × B = 25a² – 35a + 12
⇒ L × B = 25a² – 15a – 20a + 12
= 5a(5a – 3) – 4(5a – 3) = (5a – 4)(5a – 3)
∴ যদি দৈর্ঘ্য (L) = (5a – 4) হয় তেন্তে প্রস্থ (5a – 3)
আকৌ, দৈর্ঘ্য = (5a – 3) হ’ল, প্রস্থ = (5a – 4) হ’ব।
উত্তৰঃ ∴ আয়তক্ষেত্ৰৰ কালি L × B
⇒ L × B = 35y² + 13y – 12 = 35y² + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 43) = (5y + 4) (7y – 3)
∴ যদি দৈর্ঘ্য = (5y – 4) হ’য় তেন্তে প্রস্থ (7y – 3)
আকৌ, দৈর্ঘ্য = (7y – 3) হল, প্রন্থ = (5y + 4) হ’ব।
16. তলত আয়তন দিয়া ঘনকৰ মাত্ৰা তিনিটাৰ বাবে সম্ভাব্য ৰাশিকেইটা কি কি হ’ব?
উত্তৰঃ আয়তীয় ঘনকৰ ক্ষেত্ৰফল = 3x² – 12x [প্রদত্ত]
⇒ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = 3x(x – 4)
∴ আয়তীয় ঘনকৰ এটা সম্ভৱপৰ আকৃতি হ’লঃ 3, x আৰু (x – 4)
উত্তৰঃ আয়তীয় ঘনকৰ ক্ষেত্ৰফল = 12ky² + 8ky – 20k
⇒ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = 4k(3y² + 2y – 5)
= 4k[(3y² + 5y – 3y – 5)]
= 4k[y(3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k[(3y + 5)(y – 1)]
⇒ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = 4k(3y + 5)(y – 1)
∴ আয়তীয় ঘনকৰ এটা সম্ভৱপৰ আকৃতি হলঃ 4k, (3y + 5) আৰু (y – 1)
Hi, I’m Dev Kirtonia, Founder & CEO of Dev Library. A website that provides all SCERT, NCERT 3 to 12, and BA, B.com, B.Sc, and Computer Science with Post Graduate Notes & Suggestions, Novel, eBooks, Biography, Quotes, Study Materials, and more.
Itz black bodir
Januki rai