# Class 10 Advanced Maths Chapter 1 সংহতি

Class 10 Advanced Maths Chapter 1 সংহতি answer to each chapter is provided in the list so that you can easily browse throughout different chapters SEBA New Syllabus Class 10 Advanced Maths Chapter 1 সংহতি Solutions and select needs one.

## Class 10 Advanced Maths Chapter 1 সংহতি

Also, you can read the SCERT book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per NCERT (CBSE) Book guidelines. These solutions are part of NCERT All Subject Solutions. Here we have given Assam Class 10 Advanced Maths Chapter 1 সংহতি Solutions for All Subject, You can practice these here.

## সংহতি

পাঠভিত্তিক অনুশীলনী:1.1

1. সংহতি A={x:x∈n  আৰু  x≤10} আৰু  ∅ ৰ বাবে তলত দিয়া বিলাক নিৰ্ণয় কৰা

(a) n(A) আৰু  n(∅)

(b) n(A∪∅)  আৰু  n(A∩∅)

সমাধানঃ দিয়া আছে,

A= {x:x∈n আৰু x≤10}

= {1,2,3……………..10}

(a) n(A) = 10

n(∅) = 0

(b) n(A∪∅) = n (A) + n(∅)

=10+0   [n (A∩∅)=0]

=0

আৰু n(A)∩∅) = 0                        [∴(A∩∅) = 0]

2. ধৰা হ’ল A আৰু B দুটা সংহতি আৰু U সিহঁতৰ সাৰ্বিক সংহতি ।

যদি n(U) = 120, n(A) = 42, n(B) = 50 আৰু  n(A)∩(B) = 21, তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা –

সমাধানঃ দিয়া আছে,

n(U) = 120

n(A) = 42

n(B) = 50

N (A∩B) = 21

আমি জানো যে,

n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)

= 42 + 50 – 21

= 92 – 21

= 71

∴ n(A∪B) = 71

n(A – B) = n(A) – n(A∪B)

= 42 – 21

= 21

n(B – A) = n(B) – n(A∩B)

= 50 – 21

= 29

আৰু n(A’∩B’) =n(A∪B)’

= n(∪) – n(A∪B)

= 120 – 71

= 49

(ii) n(B’), n(A’), n(A∪B’)

সমাধানঃ দিয়া আছে,

n(B’) = n(U) – n(B)

= 120 – 50

= 70

n(A’) = n(U) – n(A)

= 120 – 42

= 78

আৰু n(A∪’) = n(U) – n(A∪B)

= 120 – 71

= 49

(iii) n(P∪Q) আৰু m(P∩Q), যদি P = A – B, Q = A∩B

সমাধানঃ n(P∪Q) = n[(A – B) ∪ (A∩B)]

= n[(A∩B’) ∪ (A∩B)]

= n[(A∩(B’∪B)]

= [A∩(B∪B’)]

= n[A∩U]

= n(A)

= 42

n (P∩Q) = n[(A-B) ∩ (A∩B)]

= n[(A∩B) ∩ (A∩B)]

= n[(A∩A) ∩ (B’∩B)]

= [A∩ (B∩B’)]

= n[A∩∅]

= n(∅)

= 0

(iv) U – (A∩B) সংহতিটোত কিমান মৌল আছে?

সমাধানঃ

n [(U – (A∪B)] = n (A∪B)

= n (U) – n (A∪B)

= 120 – 71

= 49

3. যদি n(A∩B)=36,n(A-B)=25,n(B-A)=20 তেন্তে n(A∪B), n(A) আৰু  n(B) উলিওৱা ।

সমাধানঃ দিয়া আছে,

n(A∩B) = 36

n(A-B) = 25

n(B-A) = 20

নিৰ্ণয় কৰিব লাগে যে, n(A∪B),n(A)আৰু n(B)

আমি জানো যে,

n(A∪B)=n(A-B)+n(A∩B)+n(B-A)

= 25+36+20

= 81

গতিকে, n(A∪B) = 81

n(A) = 61

n(B) = 56

n(A) = n(A-B)+n(A∩B)

= 25+36

= 61

n(B) = n(B-A)+n(A∩B)

= 20+36

= 56

4. ওপৰত 3 নং প্ৰশ্নটোৰ সাপেক্ষে ভেনচিত্ৰ আঁকি A∩B,A-B আৰু B-A সংহতি কেইটা চিহ্নিত কৰা আৰু তাৰ সহায়ত ইতিমধ্যে পোৱা উত্তৰৰ সত্যাপন কৰা ।

সমাধানঃ ইয়াত, n(A⧵B) = 25

n(A∩B) = 36

n(B⧵A) = 20

n(A∪B) = 25+36+20

= 81

n(A) = 25+36

= 60

n(B) = 36+20

= 56

5. এটা শ্ৰেণীত পতা গণিত আৰু ইংৰাজী পৰীক্ষাৰ পৰা দেখা গ’ল যে 55 জন শিক্ষাৰ্থীয়ে গণিতত, 46 জন শিক্ষাৰ্থীয়ে ইংৰাজীত আৰু 35 জন শিক্ষাৰ্থীয়ে গণিত আৰু ইংৰাজী উভয়তে উত্তীৰ্ণ হৈছে । যদি পৰীক্ষাত অৱতাৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীয়ে সংখ্যা 100 তেন্তে তলত দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা-

(i) দুয়োটা বিষয়তে অনুত্তীৰ্ণ শিক্ষাৰ্থীৰ শতকৰা হাৰ

(ii) একমাত্ৰ গণিতত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ শতকৰা হাৰ

(iii) একমাত্ৰ ইংৰাজীত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ শতকৰা হাৰ ।

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

M = গণিতত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি।

E = ইংৰাজীত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি ।

nM=55,  nE=46

আৰু nM∩E=35

(M∪E)=nM+nE-n(M∩E)

=55+46-35

=101-35

=66

(i) M’E’= দুয়োটা বিষয়তে অনুত্তীৰ্ণ শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি ।

nM’E’= দুয়োটা বিষয়তে অনুত্তীৰ্ণ শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা ।

=n(M∪E)’

=nU-n(M∩E)

=100-66

=34

∴ দুয়োটা বিষয়তে অনুত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ শতকৰা হাৰ =34%

(ii) M-E=  মাত্ৰ গণিতত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা ।

∴ nM-E= মাত্ৰ গণিতত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা ।

=nM-nM∩E

=55-35

=20

∴ মাত্ৰ গণিতত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ শতকৰা হাৰ =20%

(iii) M-E= মাত্ৰ ইংৰাজীত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি ।

∴ nM-E= মাত্ৰ ইংৰাজীত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি ।

=nE-nE∩M

=46-35

=11

∴ একমাত্ৰ ইংৰাজীত উত্তীৰ্ণ হোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ শতকৰা হাৰ =11%

6. এখন স্কুলৰ 550 গৰাকী শিক্ষাৰ্থীৰ মাজত কৰা এটা জৰীপৰ পৰা পোৱা গ’ল যে 175 গৰাকীয়ে গাখীৰ, 300 গৰাকীয়ে চাহ আৰু 110 গৰাকীয়ে গাখীৰ আৰু চাহ দুয়োটাই খায় । গাখীৰ আৰু চাহৰ কোনো এটাও নোখোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা ।

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

M= গাখীৰ খোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি

T= চাহ খোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি

∴ nM=175,                  nT=300

nM∩T=110

M∪T= গাখীৰ অথবা চাহ খোৱা অৰ্থাৎ কমেও এবিধ পানীয়  খোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি ।

আমি জানো যে,

nM∪T=nM+nT-nM∩T

=75+300-110

=475-110

=365

nM∪T’= গাখীৰ আৰু চাহৰ কোনো এটাও নোখোৱা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা ।

=nU-nM∪T

=550-365

=185

7. অসমত থকা কেন্দ্ৰীয় চৰকাৰৰ অধীনস্থ কাৰ্যালয় এটাৰ চাকৰিয়ালৰ মাজত কৰা এটা জৰীপৰ পৰা পোৱা গ’ল যে তেওঁলোকৰ 80 জনে অসমীয়া, 70 জনে ইংৰাজী আৰু 50 জনে অসমীয়া আৰু ইংৰাজী দুয়োটাই ক’ব পাৰে । জৰীপটোত অংশ লোৱা প্ৰতিজন চাকৰিয়ালেই যদি অসমীয়া অথবা ইংৰাজী অথবা এই দুয়োটা ভাষাই ক’ব পাৰে তেন্তে তলত দিয়াকেটা নিৰ্ণয় কৰা-

(i) জৰীপটোত অংশ লোৱা মুঠ চাকৰিয়ালৰ সংখ্যা কিমান ?

(ii) তেওঁলোকৰ কিমানজনে একমাত্ৰ অসমীয়াহে ক’ব পাৰে ?

(iii) তেওঁলোকৰ কিমানজনে একমাত্ৰ ইংৰাজীহে ক’ব পাৰে ?

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

অসমীয়া ভাষা ক’ব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংহতি A

ইংৰাজী ক’ব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংহতি B

∴ nA=80            nB=70,                  nA∩B=50

(i) A∪B= জৰীপটোত অংশ লোৱা মুঠ চাকৰিয়ালৰ সংখ্যা

∴ nA∪B=nA+nB-nA∩B

=80+70-50

=100

গতিকে, চাকৰিয়ালৰ মুঠ সংখ্যা =100

(ii) A-B=  মাত্ৰ অসমীয়া ভাষা ক’ব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংখ্যা

∴ nA-B     =nA-nA∩B

=80-50

=30

মাত্ৰ অসমীয়া ভাষা ক’ব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংখ্যা =30

(iii) A-B= মাত্ৰ ইংৰাজী ভাষা ক’ব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংখ্যা

∴ nB-A     =nB-nA∩B

=70-50

=20

একমাত্ৰ ইংৰাজী ভাষা ক’ব পৰা চাকৰিয়ালৰ সংখ্যা =20

8. 250 জন সদস্য থকা এটা ক্লাবৰ 130 জনে চাহ খায় আৰু 85 জনে কফি নেখায় কিন্তু চাহহে খায় । যদি সদস্যসকলৰ প্ৰতিজনেই চাহ আৰু কফিৰ ভিতৰত অতি কমেও কোনো এবিধ পানীয় সেৱন কৰে তেন্তে-

(i) কিমানজন সদস্যই কফি খায় ?

(ii) কিমানজনে চাহ নেখায় কিন্তু কফিহে খায় ?

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

চাহ খোৱা সদস্যৰ সংহতি T আৰু কফি খোৱা সদস্যৰ সংহতি C ।

ইয়াত,

nCUT=250,              nT=130                         nT-C=85

(i) আমি জানো যে,

nT=nT-C+nT∩C

⇒ 130=85+nT∩C

⇒ 45=nT∩C

nC=nT∪C-nT-C

=250-85

=165

∴ কফি খোৱা সদস্যৰ সংখ্যা =165

(ii) C-T= কফি খোৱা কিন্তু চাহ নোোখোৱা সদস্যৰ সংহতি

nC-T     =nC-nC∩T

=165-45

=120

∴ মাত্ৰ কফি খোৱা সদস্যৰ সংখ্যা =120

9. 90 জন ছাত্ৰ থকা এটা শ্ৰেণীৰ 60 জনে ভলীবল, 53 জনে বেডমিন্টন আৰু 35 জনে এই দুয়োটা খেলেই খেলে । তলত দিয়াকেইটা নিৰ্ণয় কৰা –

(i) কিমানজনে এই দুয়োটা খেলৰ কোনো এটা খেলো নেখেলে ?

(ii) কিমানজনে মাত্ৰ বেডমিন্টন খেলে, কিন্তু ভলীবল নেখেলে ?

(iii) কিমানজনে মাতিৰ ভলীবল খেলে, কিন্তু বেডমিন্টন নেখেলে ?

(iv) কিমানজনে এই দুয়োটাৰ অতি কমেও এটা খেল হ’লেও খেলে ?

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

ভলীবল খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি =A

বেডমিন্টন খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি =B

∴n=90,             nA=60                   nB=53

nA∩B=35

(i) A’∩B’→ দুয়োটা খেলৰ কোনো এটা খেলো নেখেলা ছাত্ৰ সংহতি ।

nA’B’=nA∪B’              ডি মৰ্গানৰ সূত্ৰ

=nU-nA∪B

আমি জানো যে,

nU-nA+nB-nA∩B

=90-60+53-35

=90-113-35

=90-78

=12

গতিকে, দুয়োটা খেলৰ কোনো এটা খেলো নেখেলা ছাত্ৰৰ সংখ্যা =12

(ii) A-B= মাত্ৰ বেডমিন্টন খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি ।

nB-A=nB-nA∩B

=53-35

=18

গতিকে, মাত্ৰ বেডমিন্টন খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি =18

(iii) A-B= মাত্ৰ ভলীবল খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি ।

nA-B=nA-nA∩B

=60-35

=25

∴ মাত্ৰ ভলীবল খেলা, কিন্তু বেডমিন্টন নেখেলা ছাত্ৰৰ সংখ্যা =25

(iv) A∪B→ কমেও এটা খেল হ’লেও খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি ।

আমি জানো যে,

nA∪B=nA+nB-nA∩B

=60+53-35

=78

∴ দুয়োটা খেলৰ কমেও এটা খেল হ’লেও খেলা ছাত্ৰৰ সংহতি =78 ।

10. এখন নগৰৰ 1500 পৰিয়ালৰ মাজত চলোৱা এটা পিয়লৰ পৰা জনা গৈছে যে তাৰে 1263 পৰিয়ালত টিভি, 639 পৰিয়ালত ৰেডিঅ’ আৰু 197 পৰিয়ালত টিভি আৰু ৰেডি’ৰ কোনোটোৱেই নাই । সেই নগৰখনৰ

(i) কিমান পৰিয়ালত টিভি আৰু ৰেডিঅ’ দুয়োটাই আছে ?

(ii) কিমান পৰিয়ালত মাত্ৰ টিভিহে আছে, কিন্তু ৰেডিঅ’ নাই ?

(iii) কিমান পৰিয়ালত মাত্ৰ ৰেডিঅ’হে আছে, কিন্তু টিভি নাই ?

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

টিভি থকা পৰিয়ালৰ সংহতি =T

ৰেডিঅ’ থকা পৰিয়ালৰ সমহতি= R

ইয়াত, nU=1500, nT=1263

nR=639nT’R’=197

আমি জানো যে,

nT’R’=nT∪R’

=n-nT∪R

⇒197       =1500-nTR

∴nT∪R=1303

(i) T∪R= টিভি আৰু ৰেডিঅ’ দুয়োটাই থকা পৰিয়ালৰ সংহতি

∴ nT∩R=nT+nR-nT∪R

=1263+639-1303

=1902-1303

=599

∴ nT∩R= টিভি আৰু ৰেডিঅ’ দুয়োটাই থকা পৰিয়ালৰ সংখ্যা

=599

(ii) T-R   = মাত্ৰ টিভি থকা, কিন্তু ৰেডিঅ’ নথকা পৰিয়ালৰ সংহতি ।

nT-R=nT-nT∩R

=1263-599

=664

∴ nT-R= মাত্ৰ টিভি থকা, কিন্তু ৰেডিঅ’ নথকা পৰিয়ালৰ সংখ্যা ।

=664

(iii) R-T= মাত্ৰ ৰেডিঅ’ থকা কিন্তু টিভি নথকা পৰিয়ালৰ সংহতি ।

nR-T=nR-nR∩T

=639-599

=40

∴ nR-T= মাত্ৰ ৰেডিঅ’ থকা, কিন্তু টিভি নথকা পৰিয়ালৰ সংখ্যা ।

=40

11. এটা শ্ৰেণীৰ 180 গৰাকী শিক্ষাৰ্থীৰ ভিতৰত 76 গৰাকীয়ে গণিত, 81 গৰাকীয়ে পদাৰ্থ বিজ্ঞান আৰু 80 গৰাকীয়ে ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে । তদুপৰি 34 গৰাকীয়ে গণিত আৰু পদাৰ্থ বিজ্ঞান দুয়োটাই, 30 গৰাকীয়ে গণিত আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান দুয়োটাই, 33 গৰাকীয়ে পদাৰ্থ বিজ্ঞান আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান দুয়োটাই অধ্যয়ন কৰে । যদি 18 গৰাকীয়ে এই তিনিওটা বিষয়েই অধ্যয়ন কৰে তেন্তে লতল দিয়া কেইটা নিৰ্ণয় কৰা ।

(i) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে একমাত্ৰ পদাৰ্থ বিজ্ঞানৰ অধ্যয়ন কৰে ?

(ii) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে একমাত্ৰ ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে ?

(iii) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে একমাত্ৰ গণিত অধ্যয়ন কৰে ?

(iv) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে একমাত্ৰ পদাৰ্থ বিজ্ঞানৰ অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু ৰসায়ন বিজ্ঞান  অধ্যয়ন নকৰে ?

(v) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে পদাৰ্থ বিজ্ঞান আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু গণিত  অধ্যয়ন নকৰে ?

(vi) কিমান গৰাকী শিক্ষাৰ্থীয়ে ৰসায়ন বিজ্ঞান আৰু গণিত অধ্যয়ন কৰে, কিন্তু পদাৰ্থত       অধ্যয়ন নকৰে ?

(vii) কিমানজন শিক্ষাৰ্থীয়ে এই তিনিটা বিষয়ৰ এটাও অধ্যয়ন নকৰে ?

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

U= শ্ৰেণীটোৰ সকলো বোৰ শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি

M= গণিত অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি

P= পদাৰ্থ বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি

C= ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি ।

nU=180,nM=76,nP=81,nC=80,nP∩M=34,

nM∩C=30,nP∩C=33, আৰু  nM∩C∩P=18.

(i) P∩M’C’= একমাত্ৰ পদাৰ্থ বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি ।

∴ nP∩M’C’=nP∩M’C’

=nP∩M’C’

=nP-n[P∩M∪C]

=nP-n[P∩MP∩C]

=nP-nP∩M+nP∩C-nP∩M∩C             =81-34+33-18

=81-49

=32

মাত্ৰ পদাৰ্থ বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা = 32

(ii) C∩M’P’= মাত্ৰ ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি ।

nC∩M’P’    =nC∩M’P’

=nC∩M∪P’

=nC-nC∩M∪P

=nC-nC∩MC∩P

=nC-nC∩M+nC∩P-nC∩M∩P

=80-30+33-18

=80-45

=35

∴ nC∩M’P’= মাত্ৰ ৰসায়ন বিজ্ঞানৰ অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংহতি=35

(iii) মাত্ৰ গণিত অধ্যয়ন কৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা

=nM∩P’C’

=nM∩P’C’

=nM∩P∪C’

=nM-nM∩P∪C

=nM-nM∩PM∩C

=nM-nM∩P+nM∩C-nM∩P∩C

=76-34+30-18

=76-46

=30

(iv) গণিত আৰু পদাৰ্থ বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা, কিন্তু ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন নকৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা

=nM∩PC’

=nM∩P-nM∩P∩C

=34-18

=16

(v) পদাৰ্থ বিজ্ঞান আৰু ৰসায়ন বিজ্ঞান অধ্যয়ন কৰা, কিন্তু গণিত অধ্যয়ন নকৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা

=nP∩C∩M’

=nP∩CM’

=nP∩C∩nP∩C∩M

=33-18-15

=0

(vi) ৰসায়ন বিজ্ঞান আৰু গণিত অধ্যয়ন কৰা, কিন্তু পদাৰ্থ বিজ্ঞান অধ্যয়ন নকৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা

=nC∩MP’

=nC∩M∩nC∩M∩P

=30-18=12

(vii) এই তিনিটা বিষয়ৰ এটাও অধ্যয়ন নকৰা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা

=nM’P’C’

=nM∪P∪C’

=nU-nM∪P∪C

=nU-[nM+nP+nC-nM∩P-nP∩C-nM∩C+n(M∩P∩C)]

=180-76+81+80-34-33-30+18

=180-255-97

=180-158

=22

*****

পাঠভিত্তিক অনুশীলনীঃ 1.2

1. যদি A=1,3,5 আৰু B=2,4,-1 তেন্তে A*B আৰু B*A উলিওৱা ।  A*B আৰু B*Aত কিমান মৌল আছে নিৰ্ণয় কৰা ।

সমাধানঃ ইয়াত, A=1,3,5

B=2,4,-1

A*B =1,3,5*2,4,-1

=1,2,1,4,1,-1,3,2,3,4,3,-1

5,2,5,4,5,-1}

B*A =2,4,-1*1,3,5

={2,1,2,3,2,54,1,4,3,(4,5)

-1,1,-1,3,(-1,5)}

nA*B=nA*nB

=3*3

=9

nB*A=nB*nA

=3*3

=9

2. (a) যদি A={-1,3,6} আৰু B={-3,5} তেন্তে  AB আৰু BA উলিওৱা । এই কাৰ্টেজীয় গুণফল দুটাৰ লেখ অংকন কৰা ।

সমাধানঃ  (a) দিয়া আছে,

A=-1,3,6

B=-3,5

এতিয়া, A*B =-1,3,6*-3,5

={-1,-3,-1,5,3,-3,3,5,6,-3,6,5}

B*A =-3,5*-1,3,6

={-3,-1,(-3,3},-3,65,1,5,3,(5,6)

(b) যদি A=2,4,B=-1,3,7, C={1,0} তেনেহ’লে বৃক্ষ চিত্ৰৰ সমহায় A×B, B×A আৰু A×B×C নিৰ্ণয় কৰা ।

সমাধানঃ ইয়াত,

A=2,4,B=-1,3,7

A*B→

A*B=2,1,2,3,2,7,4,-1,4,34,7

B×A=-1,3,7*2,4

=-1,2,-1,4,3,2,3,47,2,7,4

A*B*C={2,-1,1,2,-1,6,2,3,12,3,6,2,7,1,2,7,6)

4,-1,1,4-1,6,4,3,1,4,3,6,(4,7,1)(4,7,6)}

3. যদি A=x,y,u,v আৰু B={a,b,l,m} তেন্তে A×B উলিওৱা আৰু এই কাৰ্টেজীয় গুণফলক এটা স্থানাংক চিত্ৰৰ দ্বাৰা প্ৰতিনিধিত্ব কৰা ।

সমাধান,

A=x,y,u,v

B=a,b,l,m

A*B  =x,y,u,v*a,b,l,m

=x,a,x,b,x,l,x,m

y,a,y,b,y,l,y,m

u,a, u,b, u, l, u,m

v,a, v,b, v,l, (v,m)}

4. যদি A=3,5,B=1,2,4,C={3,4,6} তেন্তে দেখুওৱা যে-

iA×B∪C=A×BA×C

iiA×B∩C=A×BA×C

সমাধানঃ  দিয়া আছে,

,                  A=3,5,B=1,2,4 আৰু C=3,4,6

∴ B∪C=1,2,3,4,6

L.H.S =A*B∪C

=3,5*1,2,3,4,6

=3,1,3,23,3,3,4,3,6,5,1,5,2,5,3,5,4,5,6

R.H.S   =A*BA*C

=3,5*1,2,43,5*3,4,6

=3,1,3,2,3,4,5,1,5,2,5,4

3,3,3,4,3,6,5,3,5,4,5,6

=3,1,,3,2,3,33,4,3,6,5,1,5,2,5,35,4,5,6

∴ L.H.S=R.H.S

(ii) B∩C   =4

A*B  =3,5*1,2,4

=3,1,3,2,3,4,5,1,5,2,5,4

A*C  =3,5*3,4,6

=3,3,4,4,3,6,5,3,5,4,5,6

L.H.S.    =A*B∩C

=3,5*4

=3,4,5,4

R.H.S     =A*BA*C

=3,4,5,4

∴ L.H.S=R.H.S

5. A={x:x∈I আৰু -2∠x∠4} আৰু B={y:y∈I হ’ল y2-9=0 ৰ মূল্য} সংহতি দুটাৰ বাবে A×B ৰ লেখ অংকন কৰা আৰু n(A×B) উলিওৱা ।

সমাধানঃ দিয়া আছে,

A={x:x∈I আৰু -2∠x∠4}

আৰু B={y:y∈I হ’ল y2-9=0 ৰ মূল্য}

∴ A=-1,0,1,2,3

B=-3,3                              ∴y2-9=0⇒y=±3

∴   A*B=-1,-3,0,-3,1,-3,2,-3,3,-3,-1,3,0,3,1,3,2,3,3,3

A*B ৰ চিত্ৰ

ইয়াত,

nA=5,nB=2

∴ nA*B=5*2=10             ∴nA*B=nA*nB

6. যদি A={-3,0,3} আৰু B={-1,1} তেন্তে দুখন বেলেগ বেলেগ স্থানাংক তলত A×B আৰু B×A ৰ লেখ অংকন কৰা ।

সমাধানঃ দিয়া আছে,

A=-3,0,3,  B=-1,1

∴ A*B=-3,-1,-3,1,0,-1,0,13,-1,3,1

B*A=-1,1*-3,0,3

={-1,-3,-1,0,(-1,3)

1,0,1,-3,(1,3)}

A*B ৰ লেখ

B*A ৰ লেখ

7. (i) যদি A=∅ আৰু B={-1,1} তেন্তে A×B, B×A আৰু B2 ৰ ঘাত সংহতি (Power set) নিৰ্ণয় কৰা ।

সমাধানঃ দিয়া আছে,

A=∅ আৰু B=-1,1

∴ A*B=∅

B*A=∅

B2=B*B=-1,1*(-1,1}

=-1,-1,-1,11,-1,1,1

∴ P(A*B)={∅}

PB*A=∅

PB2={∅, -1,-1, -1,1, 1,-1,

1,1,-1,-1,-1,1,

-1,-1,1,-1,-1,-1.1,1

1,-1,1,1, {-1,-1,(-1,1)

{1,-1)}, {-1,,-1,-1,1,(1,1)},

-1,1,1,-1,1,1

-1,-1,1,-1,1,1B*B}

(ii) যদি A={0)আৰু B=1 তেন্তে A×B আৰু B×A নিৰ্ণয় কৰা । লগতে P (A×B) আৰু P(B×A) উলিওৱা ।

সমাধানঃ দিয়া আছে,

A=0, B=1

A*B=0,1

B*A=1,0

PA*B=∅,0,1

PB*A=∅,1,0

8. যদি A={2,4} আৰু B=4,2, তেনেহে’লে আমি A×B=A2 আৰু B×A=B2 বুলি লিখিব পাৰিমনে ?

সমাধানঃ দিয়া আছে,

A=2,4 আৰু B=4,2

এতিয়া A*B=2,4*4,2

=2,4,2,2,4,4,4,2  ……………………..i

A2=A*A=2,4*2,4

=2,2,2,4,4,2,4,4 ………….ii

(i) আৰু (ii) ৰ পৰা

A*B*A2

অৰ্থাৎ, আমি লিখিব পাৰো যে A*B*A2

B*A   =4,2*2,4

=4,2,4,4,2,2,2,4 ……………………..iii

B2=B*B=4,2*4,2

=4,4,4,2,2,4,2,2    →iv

(iii) আৰু (iv) ৰ পৰা  পাওঁ,

B*A*B2

গতিকে,

B*A*B2

9. যদি nA=3 আৰু A×A ত থকা দুটা মৌল (a,a) আৰু (b,c), তেন্তে A আৰু A×A সংহতি দুটা নিৰ্ণয় কৰা ।

সমাধানঃ দিয়া আছে,

nA=3

∴ A=a,b,c

এতিয়া, A*A  =a,b,c*a,b,c

={a,a,a,b,(a,c)

b,a,b,b,b,c

c,a,cb, (c,c)}

10. যদি A⊆B আৰু C⊆D তেন্তে দেখুওৱা যে A×C⊆B×D ।

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

x,y∈A*C

=> x∈A,y∈C

=>x∈B,y∈D

=> x,y∈B*D

∴ A*C⊆B*D

11. যদি A×B={m,1,n,3,m,3,n,1,m,2,n,2} তেন্তে A আৰু B সংহতি দুটা উলিওৱা ।

সমাধানঃ ইয়াত,

A*B=m,1,n,3,m,3,n,1,m,2,n,2

∴ A=m,n আৰু B=1,2,3

12. যদি A আৰু B দুটা অৰিক্ত সংহতি আৰু A×B=A×C তেন্তে দেখুওৱা যে B=C ।

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

y হৈছে B ৰ কোনো এটা যাদৃচ্ছিক মৌল

∴ y∈B

x,y∈A*B∀x∈A

x,y∈A*C∴A*B=A*C

⇒y∈C

∴ B⊂C   ………………….i

আকৌ, ধৰা হ’ল x হৈছে Cৰ কোনো এটা যাদৃচ্ছিক মৌল

∴x∈C

y,x∈A*C∀y∈A

y,x∈A*B

⇒x∈B

∴ C⊂B ……………………ii

(i) আৰু (ii) ৰ পৰা  পাওঁ,

∴ B=C

13. A=1,2,B=1,3,2 আৰু C=4,2,1 তেন্তে দেখুওৱা যে A3=B2C2

সমাধানঃ দিয়া আছে,

A=1,2

B=1,3,2

C=4,2,1

A2   =A*A

=1,2*1,2

=1,1,1,2,2,1,2,2 ……………………….i

B2    =B*B=1,3,2*1,3,2

={1,1,1,3,1,2,3,1,3,3,3,2,

2,1,2,3,(2,2)}

C2   =C*C=4,2,1*4,2,1

={4,4,4,2,4,1,2,4,2,2,(2,1)

1,4,1,2,(1,1)}

∴ B2C2=1,1,1,2,2,1,2,2…………………….ii

(i) আৰু (ii) ৰ পৰা  পাওঁ,

A2=B2C2

14. যদি A={0,1} তেন্তে A×A×A নিৰ্ণয় কৰা ।

সমাধানঃ দিয়া আছে,

A=0,1

A*A*A

{0,0,0,0,0,1

0,1,0,0,1,1

1,0,0,1,0,1

1,1,0,(1,1,1)}

*****

পাঠভিত্তিক অনুশীলনীঃ 1.3

1.যদি A=1,3, তেন্তে I:A→A এই তৎসমক সম্পৰ্কটো লিখা । তদুপৰি A ৰ ওপৰত সাৰ্বিক সংহতিটো লিখা ।

সমাধানঃ ইয়াত, A=1,3

∴ তৎসমক সম্পৰ্ক I:A→A        1,1,3,3

আৰু সাৰ্বিক সংহতিটো হৈছে 1,1,1,3,3,1,3,3

2. যদি A=1,2 তেন্তে Aৰ ওপৰত হ’ব পৰা সকলোবোৰ সম্পৰ্ক লিখা ।

সমাধানঃ আমি জানো যে,

Aৰ পৰা Aলৈ হ’ব মুঠ সম্পৰ্কৰ সংখ্যা

=PA*B=2pq, য’ত, nA=p আৰু nB=q

ইয়াত, A=1,2

A×A =1,2*1,2

=1,1,1,2,2,12,2

Aৰ ওপৰত আটাইকেইটা সম্পৰ্ক

=PA*A

={∅,1,1,1,2,2,1,{2,2}

1,1,1,2,1,1,2,1,1,1,2,2

1,2,2,1,1,2,2,2,2,1,2,2

1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,2,2,{1,2,2,1,

(2,2)},{1,1,2,1,2,2,A*A}

3.যদি A={1,2,3} তেন্তে Aৰ ওপৰত গঠিত R={x,y:x=y আৰু x,y∈A} সম্পৰ্কটো মৌলিকবিলাক লিখা ।

সমাধানঃ ইয়াত,

A=1,2,3

আৰু R={x,y:x=y আৰু x,y∈A}

=1,1,2,2,3,3

4. Z+ ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতি আৰু R:Z+Z+ সম্পৰ্কটোৰ সংজ্ঞা হ’ল R={(a,b)│a,b∈Z+ আৰু a-b>2} । ই এটা সসীম সম্পৰ্কনে ? Rক তালিকাকৰণ পদ্ধতিত প্ৰকাশ কৰা ।

সমাধানঃ ইয়াত,

R={(a,b)│a,b∈Z+ আৰু a-b>2}

ই এটা অসীম সম্পৰ্ক ।

R=4,1,51,6,1,7,1,8,1………….

5.A={2,3,4,5} আৰু B={3,6,7,10} দুটা সংহতি আৰু R সম্পৰ্কটোৰ সংজ্ঞা হ’ল R={x,y:x ৰ দ্বাৰা y সম্পূৰ্ণকৈ হৰণ যায় আৰু x∈A আৰু y∈B} ।সম্পৰ্ক Rক তালিকাকৰণ পদ্ধতিত লিখা য তদুপৰি R কাঁড় চিত্ৰ আৰু মেট্ৰিক তালিকাৰ দ্বাৰ প্ৰকাশ কৰা ।

সমাধানঃ ইয়াত,

A=2,3,4,5

B=3,6,7,10

দিয়া আছে যে,

R={x,y:x ৰ দ্বাৰা y সম্পূৰ্ণকৈ হৰণ যায় আৰু x∈A আৰু y∈B}

∴ R=2,6,2,10,3,3,3,6,5,10

6. 5নং প্ৰশ্নত দিয়া R সম্পৰ্কটোৰ পৰা R-1 নিৰ্ণয় কৰা । লগতে d(R-1) আৰু r(R-1) উলিওৱা।

সমাধানঃ ইয়াত,

R=2,6,2,10,3,3,3,6,5,10

∴     R-1=6,2,10,2,3,3,6,3,10,5

∴   d(R-1)=3,6,10

r(R-1)={2,3,5}

7.A={3,6,8,9} সংহতিটোৰ বাবে aRb হয় যদি আৰু যদিহে a-b,3 ৰে বিভাজ্য য’ত a,b∈A তেন্তে-

(i) Rক সংহতি ৰূপত লিখা আৰু ইয়াৰ কাঁড় চিত্ৰ অংকন কৰা

(ii) d(R) আৰু r(R) নিৰ্ণয় কৰা ।

(iii) Rৰ বিপৰীত সম্পৰ্কটো উলিয়াব পাৰিবানে ?

সমাধানঃ ইয়াত,

A=3,6,8,9

(i) আমি জানো যে,

R={aRb যদিহে a-b,3 ৰে বিভাজ্য য’ত a,b∈A}

=3,3,3,6,3,9,9,3,6,6,6,9,9,3,9,6,9,9

(ii) dR=3,6,9

আৰু rR=3,6,9

(iii) R-1=3,3,6,3,9,3,3,6,6,6,9,6,3,9,6,9,9,9

8. A={1,2,3,4} আৰু B={a,b,c,d} দুটা সংহতি । তলৰ কোনকেইটা A ৰ পৰা B লৈ সম্পৰ্ক হ’ব পাৰে বাছি উলিওৱা ।

(i) 1,a,1,b,2,c,4,d

(ii) 1,1,1,a,3,c

(iii) A×B

(iv) a,1,b,2,c,3

(v) {∅)

(vi) 1,c,2,c,3,c,4,c

সমাধানঃ ইয়াত,

A={1,2,3,4} আৰু B={a,b,c,d}

∴ A*B   =1,2,3,4*a,b,c,d

={1,a,1,b,1,c,(1,d)

2,a,2,b,2,c,2,d

3,a,3,b,3,c,3,d

4,a,4,b,4,c,(4,d)}

(i) ∴ 1,a,1,b,2,c,4,d⊂A*B

∴ এইটো এটা সম্পৰ্ক ।

(ii) ∴ {(1,1)∉A*B

∴ 1,1,1,b,2,c,4,d⊄A×B

গতিকে, এইটো এটা সম্পৰ্ক নহয় ।

(iii) যদি, R:A→B এটা সম্পৰ্ক তেন্তে

R={(a,b)│aRb, a∈A,b∈B} হৈছে A*B ৰ এটা বিষয়

গতিকে, A*B ৰ এটা সম্পৰ্ক ।

(iv) ∴ a,1∉A*B

∴ a,1,b,2,c,3⊄A×B

গতিকে Aৰ পৰা B লৈ সম্পৰ্ক নহয় ।

(v) ∅, ই এটা সম্পৰ্ক নহয় ।

(vi) ই এটা সম্পৰ্ক ।

9. স্বাভাৱিক সংখ্যা Nৰ ওপৰত এটা সম্পৰ্ক R এনেভাৱে সংজ্ঞাৱদ্ধ কৰা হ’ল যে aRb হয় যদি a=b2 আৰু a,b∈N । R সম্পৰ্কটো লিখা । তদুপৰি বিধি নিৰ্দিষ্ট পদ্ধতিত (set builder method) R-1 লিখা ।

সমাধানঃ ইয়াত, R=a,b:a=b2∀a,b∈N

∴ R=1,1,4,2,9,3,16,4,……………

∴ R-1={b,a:b2=a∀a,b∈N)

=1,1,2,4,3,9,4,16,………

10.A=1,2,3,6 এটা সংহতি আৰু R সম্পৰ্কটোৰ সংজ্ঞা হ’ল R={(x,y):y টো x ৰ দ্বাৰা সম্পূৰ্ণকৈ হৰণ যায় । য’ত x,y∈A}

(i) Rত থকা মৌলৰ সংখ্যা কিমান আৰু সেইবোৰৰ তালিকা দিয়া ।

(ii) R-1 উলিওৱা ।

(iii) dR,rR,d(R-1) আৰু r(R-1) নিৰ্ণয় কৰা ।

সমাধানঃ ইয়াত,

A=1,2,3,6

আৰু R={(x,y):y টো x ৰ দ্বাৰা সম্পূৰ্ণকৈ হৰণ যায় x,y∈A}

(i) R1,1,1,2,1,3,1,4,1,6,2,2,2,4,2,6,3,3,3,6,4,4,6,6

(ii) R-1={1,1,2,1,3,1,4,1,6,1,(2,2)4,2,6,2, 3,3,6,3,4,4,(6,6)}

(iii) dR=1,2,3,4,6

rR=1,2,3,4,6

dR-1=1,2,3,4,6

rR-1=1,2,3,4,6

11.ধৰা হ’ল A={10,11,12,13} আৰু B={1,2,3,4} দুটা সংহতি । তলৰ প্ৰতি ক্ষেত্ৰত উল্লেখ কৰা সংজ্ঞা মতে Aৰ পৰা B লৈ সম্পৰ্ক লিখা ।

(i) R1={a,b:a∈A আৰু b∈B হ’লে a-b অযুগ্ম }

(ii) R2={a,b:a∈b আৰু b∈B a+b,4 ৰ গুণিতক }

(iii) R3={a,b:a∈A,b∈B আৰু a<10 হ’লে a-b∈N}

সমাধানঃ দিয়া আছে,

A={10,11,12,13} আৰু

B=1,2,3,4

(i) R1={a,b:a∈A আৰু b∈B হ’লে a-b অযুগ্ম }

={10,1,10,3,11,2,11,4,(12,1)12,3,13,2,(13,4)}

(ii) R2={a,b:a∈b আৰু b∈B a+b,4 ৰ গুণিতক }

=10,2,11,1,12,4,13,3

(iii) R3={a,b:a∈A,b∈B আৰু a<10 হ’লে a-b∈N}

{a∈A আৰু b∈B}

=

=∅

12. অখণ্ড সংখ্যাৰ সংহতি Z ৰ ওপৰত R1 আৰু R2 ৰ সংজ্ঞা হ’ল-

R1={a,b:a2=b2 আৰু a,b∈z} আৰু

R2={a,b:a আৰু b দুয়োটা 10 তকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যা হ’লে a-b ধনাত্মক}

এই সম্পৰ্ক দুটাৰ প্ৰতিটোৰে আদিক্ষেত্ৰ আৰু পৰিসৰ উলিওৱা ।

সমাধানঃ ইয়াত,

R1={a,b:a2=b2 আৰু a,b∈z}

∴ R1={………-2,-2,-1,-1,……………

-2,2,-1,1………2,-2

1,-1,…………….2,2,1,1……………}

∴ dR1=z আৰু rR1=z

R2={a,b:a আৰু b দুয়োটা 10 তকৈ সৰু মৌলিক সংখ্যা হ’লে a-b ধনাত্মক}

=3,2,5,2,7,2,5,3,7,3,7,5

d(R2)  =3,5,7,rR2={2,3,5}

13. যদি কোনো সংহতি Aৰ ওপৰত R আৰু S দুটা সম্পৰ্ক, তেন্তে দেখুওৱা যে-

(i) যদি R⊂S তেন্তে R-1S-1

(ii) (R∪T)-1=R-1T-1

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

x,yR1

y,x∈R

y,x∈S∴R⊂S

x,yS-1

∴ R-1S-1

(ii) ধৰা হ’ল, x,y∈(R∪T)-1

y,x∈R∪T

y,x∈R বা y,x∈T

x,yR-1 বা x,yT-1

x,yR-1T-1

∴ (R∪T)-1R-1T-1……………i

বিপৰীতভাৱে, ধৰা হ’ল, x,yR-1T-1

⇒ x,yR-1 বা x,yT-1

y,x∈R বা y,x∈T

y,x∈R∪T

x,y∈(R∪T)-1

∴ R-1T-1⊆(R∪T)-1……………i

(i) আৰু (ii) ৰ পৰা পাওঁ,

(R∪T)-1=R-1T-1

14. যদি স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ সংহতি N ৰ ওপৰত গঠিত R সম্পৰ্কটো সংজ্ঞা এনে যে R={a,b:3a+b=10 আৰু a,b∈N}, তেন্তে R-1 ক তালিকাকৰণ পদ্ধতিত সংহতি হিচাপে লিখা ।

সমাধানঃ দিয়া আছে,

R={a,b:3a+b=10 আৰু a,b∈N}

=1,7,2,43,1

∴R-1  =7,1,4,21,3

15. A={1,2,3} সংহতিৰ ওপৰত R সম্পৰ্কটোৰ সংজ্ঞা হ’ল aRb যদি আৰু যদিহে a≤b য’ত a,b∈A । Rক সংহতিৰ তালিকাকৰণৰ পদ্ধতিত লিখা । A ওপৰত হ’ব পৰা ক্ষুদ্ৰতম আৰু বৃহত্তম সম্পৰ্ক উলিওৱা ।

সমাধানঃ দিয়া আছে,

A=1,2,3

আৰু R=a,b:a≤b for, a, b∈A

=1,1,1,2,1,3,2,2,2,3,3,3

Aৰ ওপৰত হ’ব পৰা ক্ষুদ্ৰতম সম্পৰ্ক =∅ আৰু Aৰ ওপৰত হ’ব পৰা বৃহত্তম সম্পৰ্ক =A*A

পাঠভিত্তি অনুশীলনীঃ 1.4

1. সম্পৰ্ক Rৰ এটা উদাহৰণ দিয়া যাতে-

(a) R স্বতুল্য, কিন্তু সমমিত আৰু সংক্ৰামক নহয়

(b) R সমমিত, কিন্তু স্বতুল্য আৰু সংক্ৰামক নহয়

(C) R সমমিত, কিন্তু স্বতুল্য আৰু সমমিত নহয়

সমাধানঃ (a) ধৰা হ’ল,

A=x,y,z

∴         R=x,x,y,y,z,zx,yy,z

স্বতুল্যঃ       স্পষ্টভাৱে x,x,y,y,z,z∈R, গতিকে, R স্বতুল্য, সমমিত ।

ইয়াত (x,y)∈R কিন্তু (y,x)∉R, গতিকে, R,A সংক্ৰামকৰ ওপৰত সমমিত নহয় ।

স্পষ্টভাৱে পাওঁ (x,y)∈R আৰু (y,z)∈R

কিন্তু(x,y)∉R গতিকে, R,Aৰ ওপৰত সংক্ৰামক নহয় ।

(b)ধৰা হ’ল,

R=x,x,y,x,x,zz,x

সমমিতঃ      Rৰ ক্ৰমিক যুগলৰ অংগবোৰ সালসলনি কৰি পোৱা ক্ৰমিক যুগলবিলাকো Rত আছে, গতিকে, Aৰ ওপৰত R সমমিত সম্পৰ্ক ।

স্বতুল্যঃ        যিহেতু, (x,)(y,y),(z,z)R ত নাই, গতিকে এইটো এটা স্বতুল্য সম্পৰ্ক নহয় ।

সংক্ৰামকঃ    ইয়াত (x,y)∈R আৰু  (y,x)∈R কিন্তু (x,x)∉R গতিকে ই সংক্ৰামক সম্পৰ্ক নহয় ।

(c)ধৰা হ’ল

R=x,y,y,x,x,xz,x

সংক্ৰামকঃ       ইয়াত (x,y)∈R আৰু  (y,x)∈R কিন্তু (x,x)R গতিকে, R সংক্ৰামক সম্পৰ্ক ।

স্বতুল্যঃ          যিহেতু,y,yz,z∉R.

∴ গতিকে এইটো এটা স্বতুল্য সম্পৰ্ক ।

সমমিতঃ

∴ z,x∈R কিন্তু x,z∉R

∴ R সমমিত নহয় ।

2. শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱাঃ

(a) এটা অৰিক্ত সংহতিৰ ওপৰত গঠিত সাৰ্বিক সম্পৰ্কটো

(i) স্বতুল্য (ii) সমমিত

(iii) সংক্ৰামক (iv) এই আটাইবোৰেই

(b) এটা অৰিক্ত সংহতিৰ ওপৰত গঠিত তৎসমক সম্পৰ্কটো

(i) স্বতুল্য (ii) সমমিত

(iii) সংক্ৰামক (iv) এই আটাইবোৰেই

উত্তৰঃ (a). (iv) (b).(iv)

3.   সংহতি A=a,b,c ৰ ওপৰত কেইটামান সম্পৰ্ক তলত দিয়া হ’ল । ইয়াৰে কোনবিলাক স্বতুল্য, সমমিত, সংক্ৰামক বা ইয়াৰে এটাও পৰীক্ষা কৰা ।

iR1=a,b

iiR2=a,a,c.ca,c,c,a

iiiR3=a,a,a,b,a,c,b.b,c,a,b,a

ivR4={a,a,a.b,a,c,b,a,b,b,b,c,c,a,c,b,c,c

সমাধানঃ iR1=কেৱল সংক্ৰামক

iiR2= স্বতুল্য নহয় [∴(b,b)∈R2]

iiiR3= স্বতুল্য নহয় [∴(c,c)∈R3]

ivR4= সমতুল্য সম্পৰ্ক ।

4. A={1,2,3}ৰ ওপৰত কেইটামান সম্পৰ্ক তলত দিয়া হ’ল | ইয়াৰে কোনবিলাক স্বতুল্য কোৱা ।

(a) R={(1,2), (3,2)9(2,2),(2,3)}

(b) S={(3,1)}

(c) T={(1,1),(3,1),(3,3)(2,1),(2,2)}

সমাধান: কেৱল (c) স্বতুল্য |

5. A={1,2,3} ৰ ওপৰত গঠিত তলত দিয়া সম্পৰ্কবিলাকৰ ক্ষেত্ৰত সঁচা নে মিছা কোৱা-

(a) R1={1,1,2,1,2,2,3,2,2,3} সমমিত সম্পৰ্ক ।

সমাধানঃ মিছা, ∴2,1R1 কিন্তু 1,2R1

(b) R2=3,3সমমিত, কিন্তু স্বতুল্য নহয় ।

সমাধানঃ সঁচা, ∴1,1, 2,2R2

(c) R3={1,2} প্ৰতিসমমিত সম্পৰ্ক ।

সমাধানঃ সঁচা, ∴1,2R কিন্তু 2,1∉R

d) R4={1,13,2,2,3} সমমিত, কিন্তু প্ৰতিসমমিত নহয় ।

সমাধানঃ সঁচা, ∴3,2R আৰু 2,3∈R

(e) R5={2,2} প্ৰতিসমমিত, কিন্তু স্বতুল্য নহয় ।

সমাধানঃ সঁচা, ∴1,1, 3,3R5

(f) R6={1,2,2,3,1,3,1,1,2,1} সংক্ৰামক ।

সমাধানঃ মিছা, ∴1,2,∈R6

(g) R7={(1,3) আৰু R8={2,2} এই দুয়োটাই সংক্ৰমক ।

সমাধানঃ মিছা ।

(h) R=A×A এটা সমতুল্য সম্পৰ্ক । কিন্তু ই প্ৰতিসমমিত নহয় ।

সমাধানঃ সঁচা ।

6. উদাহৰণৰ সহায়ত দেখুওৱা যে এটা অৰিক্ত সংহতিৰ ওপৰত গঠিত সৎসমক সম্পৰ্কটো সদায় স্বতুল্য । কিন্তু এটা স্বতুল্য সম্পৰ্ক তৎসমক নহ’বও পাৰে ।

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

A=1,2,3

আৰু 1A={1,12,23,3} যিটো এটা স্বতুল্য সম্পৰ্ক কিন্তু তৎসমক নহয় ।

R={1,1,2,2,3,3,1,2} যিটো এটা স্বতুল্য সম্পৰ্ক কিন্তু তৎসমক নহয় ।

7. প্ৰাকৃতিক সংখ্যাৰ সংহতি Nৰ ওপৰত গঠিত এটা সম্পৰ্ক R ৰ সংজ্ঞা হ’ল ‘সকলো x,y∈N ৰ বাবে (x,y)∈R যদি আৰু যদিহে x এ y ক ভাগ কৰে । দেখুওৱা যে R সম্পৰ্কটো সমতুল্য নহয় ।

সমাধানঃ দিয়া আছে,

R={ সকলো x,y,∈N ৰ বাবে x,y∈R, যদি আৰু যদিহে x এ y ভাগ কৰে ।}

=1,1,2,23,32,43,64,8,………..

2,4∈R কিন্তু 4,2∉R

∴ R এটা সমমিত সম্পৰ্ক নহয় ।

∴ R এটা সমমিত সম্পৰ্ক নহয় ।

∴ A সমতুল্য সম্পৰ্ক স্বতুল্য, সমমিত আৰু সংক্ৰামক হ’ব লাগে ।

8. R সম্পৰ্কটোৰ সংজ্ঞা হ’ল R={x,y:x,y∈Z ৰ বাবে x-y ক 5 ৰে হৰণ যায় } । দেখুওৱা যে R এটা সমতুল্য সম্পৰ্ক ।

সমাধানঃ দিয়া আছে,

R={x,y│x-y ক 5 ৰে হৰণ যায় য’ত x,y∈z}

(i) ধৰা হ’ল a∈R

∴a-a=0, 5 ৰে বিভাজ্য ।

∴a,a∈R ∀ a∈R

⇒R স্বতুল্য ।

(ii) ধৰা হ’ল (a,b)∈R

⇒a-b, 5 ৰে বিভাজ্য

⇒b-a, 5 ৰে বিভাজ্য

b-a∈R

∴a,b∈R⇒b,a∈R

∴R সমমিত ।

⇒R স্বতুল্য ।

(iii) ধৰা হ’ল (a,b)∈R আৰু b,c∈R

a-b,b-c,5 ৰে বিভাজ্য

⇒a-b+b-c, 5ৰে বিভাজ্য

(b-c), 5 ৰে বিভাজ্য

∴a-b∈R আৰু  b-c∈R⇒(a-c)∈R

∴R সমমিত ।

⇒R প্ৰতিসমমিত ।

9. ধৰা হ’ল সংহতি Aৰ ওপৰত R আৰু S দুটা সম্পৰ্ক । তলৰ উক্তিবিলাক সঁচা নে মিছা পৰীক্ষা কৰা

(a) R স্বতুল্য, তেন্তে R-1 স্বতুল্য ।

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

A=a,b,c

তেন্তে, R=a,a,b,bc,cb,a

∴a,a,b,b আৰু c,c∈R

⇒R স্বতুল্য

∴R-1=a,a,b,b,c,c,a,b

স্পষ্টভাৱে, a,a,b,b,c,cR-1

R-1 স্বতুল্য

প্ৰদত্ত উক্তিটো সত্য ।

(b) যদি R সমতুল্য সম্পৰ্ক, তেন্তে R-1 সমতুল্য সম্পৰ্ক ।

সমাধানঃ ইয়াত,

R এটা সমতুল্য সম্পৰ্ক ।

ধৰা হ’ল, A={a,b,c)}

∴ R=a,a,b,b,c,c,b,a

∴ R-1=a,a,b,b,c,a,a,b

∴ a,a,b,b আৰু c,c∈R

∴          R স্বতুল্য

⇒         a,a,b,b আৰু c,cR-1

⇒          R-1 স্বতুল্য

(ii) সমমিতঃ

ধৰা হ’ল,

a,bR-1  ⇒b,a∈R

a,b∈R                    [∴R সমমিত ]

b,aR-1

∴ a,bR-1b,aR-1∀a,b∈A.

∴ R-1, A ৰ ওপৰত সমমিত ।

(iii) সংক্ৰামতাঃ

ধৰা হ’ল, a,bR-1 আৰু b,cR-1

এতিয়া, b,cR-1⇒(c,b)∈R আৰু

a,bR-1b,a∈R

∴ c,b∈R, আৰু b,a∈R⇒c,a∈R

এতিয়া, c,a∈Ra,cR-1

∴ a,bR-1,b,cR-1a,cR-1

∴ R-1 সমমিত

R-1 এটা সমতুল্য সম্পৰ্ক ।

গতিকে, প্ৰদত্ত উক্তিটো সত্য ।

(c) যদি R আৰু S সমমিত তেন্তে R∪S টোও সমমিত ।

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

a,b∈R আৰু b,a∈S

a,b∈R বা b,aS-1                                 ∴S=S-1

a,bR∪S

b,aR-1S-1

b,a∈R∪S

∴  R∪S টোও সমমিত ।

গতিকে, প্ৰদত্ত উক্তিটো সত্য ।

(d) যদি R আৰু S স্বতুল্য তেন্তে R∩S  স্বতুল্য ।

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

R আৰু S স্বতুল্য

গতিকে, আটাইকেইটা ‘a’ ৰ ক্ষেত্ৰত ।

a,a∈R আৰু a,a∈S

∴ a,a∈R∩S

∴ R∩S স্বতুল্য

গতিকে, প্ৰদত্ত উক্তিটো সত্য ।

10.‘যদি R আৰু S দুয়োটা সংক্ৰামক সম্পৰ্ক তেন্তে R∪S টোও সংক্ৰামক’- এই উক্তিটো সত্য নহয় বুলি দেখুৱাবলৈ এটা উদাহৰণ দিয়া । [ইংগিতঃ R=1,3,S={3,2} দুয়োটাই সংক্ৰামক । কিন্তু R∪S={1,3,3,2} সংক্ৰামক নহয় ]

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

R={(1,3) আৰু S={(3,2} দুয়োটাই সংক্ৰামক

কিন্তু R∪S={1,3,3,2} সংক্ৰামক নহয়

গতিকে, R আৰু S দুয়োটাই সংক্ৰামক সম্পৰ্ক হ’লে  R∪S টোও সংক্ৰামক ।

11.ধৰা হ’ল আয়তীয় কাৰ্টেজীয় সমতলৰ সৰলৰেখা বিলাকৰ সংহতিটো L । যদি  L ৰ ওপৰত এটা সম্পৰ্ক  Rৰ সংজ্ঞা  ‘x,y∈L ৰ বাবে x টো y ৰ লম্ব’ তেন্তে হয় নে নহয় কোৱা যে R

(i) স্বতুল্য (ii) সমমিত

(iii) সংক্ৰামক (iv) প্ৰতিসমমিত

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

আয়তীয় কাৰ্টেজীয় সমতলৰ সৰলৰেখা বিলাকৰ সংহতি L

(i) সম্পৰ্কটো সমমিত কাৰণ L ⏊ m⇒L

(ii) যিহেতু কোনো ৰেখা পৰস্পৰ লম্ব নহয়, গতিকে ই স্বতুল্য নহয়

(iii) ধৰা হ’ল, L ⏊ m আৰু m ⏊ n⇒L ⏊ n য’ত m,n সৰলৰেখা

গতিকে, ই সংক্ৰামক নহয় ।

ওপৰৰ পৰা এইটো স্পষ্ট যে প্ৰদত্ত সম্পৰ্কটো সমমিত ।

(iv) L ⏊ m⇒m ⏊ L কিন্তু L ≠m

∴ এইটো এটা প্ৰতিসমমিত ।

12. প্ৰশ্ন 11 ত R ৰ সংজ্ঞা সলনি কৰি ‘x টো y ৰ সমান্তৰাল’ বুলি লৈ তাত দিয়া চৰ্তবোৰৰ সত্য়াপন কৰা ।

সমাধানঃ ধৰা হ’ল,

প্ৰদত্ত সম্পৰ্কটো x,y∈L,x টো y ৰ সমান্তৰাল ।

(i) সম্পৰ্কটো স্বতুল্য কাৰণ l ‖ l⇒l,l∈R কিয়নো আটাইবোৰ l∈L

⇒R স্বতুল্য

(ii) ধৰা হ’ল, (l1,l2l3 ∈L যাতে (l1,l2)∈R আৰু (l2,l3)∈R তেন্তে

l1,l2∈R আৰু l2,l3∈R

⇒ l1‖ l2 আৰু 12‖l3

⇒ l1‖ l3 11,l3∈R

গতিকে, Lৰ ওপৰত r সংক্ৰামক

যিহেতু, R স্বতুল্য, সমমিত আৰু সংক্ৰামক ।

13. তলত দিয়া সম্পৰ্ক কেইটা লেখ অংকন কৰা ।

(i) R=x,y∈R×R:y=2x+1

iiS=x,y∈R×R:y≥x-1

সমাধানঃ (i) দিয়া আছে,

R=x,y∈R*R:y=2x+1

y=2x+1

PQ য়েই হৈছে প্ৰদত্ত ,ম্পৰ্কৰ লেখ ।

(ii) ইয়াত, y=x-1

ছাঁ দিয়া অংশটোৱেই হৈছে সমীকৰণটোৰ লেখ ।

*****

Scroll to Top