NIOS Class 12 Economics Chapter 8 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप

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NIOS Class 12 Economics Chapter 8 केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप

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केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप

Chapter: 8

पाठगत प्रश्न 8 .1

1. एक शोधार्थी ने निम्नलिखित व्यक्तिगत आंकड़े इस प्रकार एकत्र किए हैं- 

5, 12, 6, 8, 5, 6, 7, 5, 12, 4 आंकड़ों का अंकगणितीय माध्य है।

(i) 5.

(ii) 6.

(iii) 7.

(iv) 8.

उत्तर: (iii) 7.

2. नीचे दी गई संख्याओं का अंकगणितीय माध्य ज्ञात कीजिए- 

3, 4, – 1, 22, 14, 0, 9, 18, 7, 0, 1.

उत्तर: 7.

पाठगत प्रश्न 8.2

1. नीचे की उम्र तालिका सैट से माध्य ज्ञात कीजिए-

आयु (वर्षो में)	आवृत्तियां
10	0
11	8
12	3
13	2
14	7

उत्तर:

आयु (वर्षो में)	आवृत्तियां	fx
10	0	0
11	8	88
12	3	36
13	2	26
14	7	98

∑f = 0 + 8 + 3 + 2 + 7 = 20.

∑fx = 0 + 88 + 36 + 26 + 98 = 248.

माध्य: Mean = 248/20 = 12.4.

माध्य = 12.4 वर्ष.

2. पद विचलन विधि द्वारा उदाहरण नं. 3 में दी गई औसत साप्ताहिक आय का अंकगणितीय माध्य निकालिए।

उत्तर: विद्यार्थी स्वयं करें।

पाठगत प्रश्न 8.3

1. नीचे एक कंपनी के 180 कर्मचारियों द्वारा प्रति माह किए गए ओवर टाइम का विवरण दिया गया है-अंकगणितीय माध्य ज्ञात करो:

ओवर टाइम (घंटों में)	0-10	10-30	30-40	40-50	50-60
कर्मचारियों की संख्या	10	60	50	40	20

उत्तर:

ओवर टाइम (घंटों में)	f	Mid-point (x)	fx
0-10	10	5	50
10-30	60	20	1200
30-40	50	35	1750
40-50	40	45	1800
50-60	20	55	1100

∑f = 10 + 60 + 50 + 40 + 20 =  180. 

∑fx = 50 + 1200 + 1750 + 1800 + 1100 = 5900.

Mean = ∑fx​ / ∑f.

Mean = 5900​/180. 

Mean = 32.78.

पाठगत प्रश्न 8.4

उचित उत्तर चुनिए:

1. व्यक्तिगत श्रेणी में माध्य से विचलनों का योग जोड़ होता है-

(i) सदैव शून्य से अधिक।

(ii) सदैव शून्य से कम।

(iii) शून्य से कभी अधिक कभी कम। यह समंक तत्वों पर निर्भर करता है।

(iv) सदैव शून्य।

उत्तर: (iv) सदैव शून्य।

2. एक समूह 12 अंकों का है। सबसे बड़ा स्कोर 36 अंक अधिक है। इसका स्कोर के माध्य पर क्या प्रभाव पड़ेगा?

(i) यह भी 12 अंक बढ़ जाएगा।

(ii) यह अपरिवर्तनीय रहेगा।

(iii) यह 3 अंकों तक बढ़ेगा।

(iv) यह 36 अंकों तक बढ़ जाएगा।

(v) कोई उचित तरीका नहीं है, जिससे जाना जा सके कि माध्य कितने बिंदु तक बढ़ेगा?

उत्तर: (iii) यह 3 अंकों तक बढ़ेगा।

पाठगत प्रश्न 8.5

1. कुछ मदों का औसत 40 है। यदि दो या अधिक मद, जिनका मान 50 और 64 है, इन आंकड़ों में जोड़ा जाए तो औसत बढ़कर 42 बन जाता है। मौलिक समंकों की मदों की संख्या ज्ञात करो।

उत्तर: मान लेते हैं कि मूल मदों की संख्या = n.

तो, मूल कुल योग = औसत × संख्या।

40n

दो नए मद जोड़ने पर:

नया कुल योग = 40n + 50 + 64 = 40n + 114.

नई कुल मदों की संख्या = n + 2.

नया औसत = 42.

इसलिए, 

40n + 114​/n + 2 = 42.

40n + 114 = 42n + 84.

114 − 84 = 42n − 40n. 

30 = 2n.

N = 15.

मूल मदों की संख्या = 15.

2. आठ सिक्के एक साथ उछाले गए और जितनी बार वे सिर के बल गिरे, उसे देखा गया। यह क्रिया 256 बार संपन्न हुई। x की माप की बारंबारता (जितने बार सिर के बल गिरी) नीचे की तालिका में दिखाई गई है। माध्य की गणना प्रत्यक्ष विधि और लघु विधि से कीजिए।

X:	0	1	2	3	4	5	6	7	8
f:	1	9	26	59	72	52	29	7	1

उत्तर: प्रत्यक्ष विधि:

∑f = 1 + 9 + 26 + 59 + 72 + 52 + 29 + 7 + 1= 256.

Xˉ = ∑(fx)​/∑f.

X:	f:	fx
0	1	0
1	9	9
2	26	52
3	59	177
4	72	288
5	52	260
6	29	174
7	7	49
8	1	8
Σf = 256		Σfx = 1,017

Xˉ = 1017/256.

Xˉ = 3.97.

प्रत्यक्ष विधि से माध्य = 3.97.

(B) लघु विधि:

Assume A = 4 (क्योंकि 4 मध्य के आसपास है और उसकी आवृत्ति सर्वाधिक है)

Xˉ = A+∑(fu)/∑f​⋅h.

यहाँ

h = 1 (क्योंकि x के बीच अंतर 1 है)

u = (x − A) / h = x − 4.

X:	f	u = x−4	fu
0	1	-4	-4
1	9	-3	-27
2	26	-2	-52
3	59	-1	-59
4	72	0	0
5	52	1	52
6	29	2	58
7	7	3	21
8	1	4	4
Σf = 256			Σfu = −7

Xˉ = 4+−7/256.

​xˉ = 4−0.0273.

Xˉ = 3.97.

लघु विधि से माध्य = 3.97.

अंतिम उत्तर :

प्रत्यक्ष विधि से माध्य = 3.97.

लघु विधि से माध्य = 3.97.

3. नीचे के आंकड़ों से किसी कंपनी के कर्मचारियों की औसत आयु की गणना कीजिए-

आय (वर्ष) से कम	25	30	35	40	45	50	55	60
f:	8	23	51	81	103	113	117	120

उत्तर: वर्तमान cf − पूर्व cf = वास्तविक आवृत्ति (f)।

आय (वर्ष) से कम	cf	f = अंतर
20–25	8	8
25–30	23	23−8 = 15
30–35	51	51−23 = 28
35–40	81	81−51 = 30
40–45	103	103−81 = 22
45–50	113	113−103 = 10
50–55	117	117−113 = 4
55–60	120	120−117 = 3

∑f = 120.

∑fx = 180 + 412.5 + 910 + 1125 + 935 + 475 + 210 + 172.5.

∑fx = 4420.

Xˉ = ∑fx​/∑f.

Xˉ = 4420/120. 

Xˉ = 36.83.

कंपनी के कर्मचारियों की औसत आयु = 36.83 वर्ष (लगभग 36.8 वर्ष)।

पाठगत प्रश्न 8.6

1. एक बड़ा मॉल अपने प्रथम 10 दिन की बिक्री का अंतिम समायोजन करता है। मॉल उस उत्पाद की 2000 इकाइयों के विक्रय मूल्य का भारित माध्य जानना चाहता है। नीचे की तालिका में अंतिम मूल्य और विक्रय की गई इकाइयों का संबंध दिखाया गया है –

कीमत प्रति इकाई	विक्रय की गई इकाइयों की संख्या	कीमत प्रति इकाई	विक्रय की गई इकाइयों की संख्या
₹ 24.20	354	₹ 24.14	288
₹ 24.10	258	₹ 24.06	240
₹ 24.00	209	₹ 23.95	186
₹ 23.90	133	₹ 23.84	121
₹ 23.82	110	₹ 23.75	101

इस उत्पाद की औसत कीमत और भारित औसत बिक्री कीमत दोनों की गणना कीजिए।

उत्तर: (क) साधारण औसत कीमत:

कीमतें:

24.20, 24.10, 24.00, 23.90, 23.82,

24.14, 24.06, 23.95, 23.84, 23.75.

कुल कीमत:

Σ𝑃 = 239.76.

औसत कीमत:  10239.76​/10 = 23.976.

साधारण औसत कीमत = ₹ 23.98 प्रति इकाई।

(ख) भारित औसत बिक्री कीमत:

यहाँ कीमतें,

𝑋𝑖 हैं और इकाइयाँ  𝑊𝑖  (weights) हैं।

𝑊𝑖 = 2000  𝑋𝑖𝑊𝑖 = 48071.51.

भारित औसत कीमत:

48071.51​/2000 = 24.0357 or 24.04.