SEBA Class 10 Maths Question Paper Solved 2024 Assamese Medium | দশম শ্ৰেণীৰ সাধাৰণ গণিত পুৰণি প্ৰশ্নকাকত সমাধান, SEBA Class 10 Maths Question Paper Solved PDF Download, দশম শ্ৰেণীৰ সাধাৰণ গণিত 2024 ৰ প্ৰশ্নকাকত সমাধান কৰা হৈছে to each Paper is Assam Board Exam in the list of SEBA so that you can easily browse through different subjects and select needs one. Assam Board SEBA Class 10 Maths Previous Years Question Paper Solved 2024 can be of great value to excel in the examination.
SEBA Class 10 Maths Question Paper Solved 2024 Assamese Medium
HSLC Old Question Paper provided is per the 2024 Assam Board Exam and covers all the questions from the SEBA HSLC 2024 Question Paper. Access the detailed SEBA Class 10 Maths 2024 Previous Years Question Paper Solved provided here and get a good grip on the subject. Access the SEBA Class 10 Maths Old Question Paper Solved 2024, Class 10 Maths 2024 Old Paper Question Answer of Assamese in Page Format. Make use of them during your practice and score well in the exams.
সাধাৰণ গণিত পুৰণি প্ৰশ্নকাকত সমাধান
2024
GENERAL MATHEMATICS OLD PAPER
ALL QUESTION ANSWER
ক – শাখা
শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা:
1. তলৰ তালিকাখনৰ খালী ঠাইত yৰ মান হ’ব—
| x | 1 | 2 | 4 | 8 |
| y | 32 | 16 | 8 | — |
(A) 8
(B) 6
(C) 4
(D) 2
উত্তৰঃ (C) 4
2. তলৰ কোনটো বর্গসংখ্যা নহয়?
(A) 441
(B) 572
(C) 576
(D) 729
উত্তৰঃ (B) 572
3. যদি m, n ৰ ঘনমূল হয়, তেন্তে ৰ মান হ’ব—
(A) √m
(B) 3√m
(C) m³
(D) m²
উত্তৰঃ (C) m³
4. দিয়া আছে যে, 306 আৰু 657ৰ ল.সা.গু. 22338. এতিয়া 102, 306 আৰু 6574 ল.সা.গু. কি হ’ব?
(A) 102
(B) 22338
(C) 22338×3
(D) 22338×102
উত্তৰঃ (B) 22338
5. দুটা উক্তি দিয়া আছে:
উক্তি (i) : ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা 2k+1 আৰ্হিৰ বৰ্গ সদায় 8ৰ গুণিতকতকৈ 1 বেছি।
উক্তি (ii) : ধনাত্মক অযুগ্ম সংখ্যা 2k+1 আৰ্হিৰ বৰ্গ সদায় 4ৰ গুণিতকতকৈ 1 বেছি।
শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা।
(A) (i) আৰু (ii) দুয়োটাই সত্য।
(B) (i) সত্য কিন্তু (ii) অসত্য।
(C) (i) অসত্য কিন্তু (ii) সত্য।
(D) (i) আৰু (ii) দুয়োটাই অসত্য।
উত্তৰঃ (A) (i) আৰু (ii) দুয়োটাই সত্য।
6. কি চর্তত px³ + qx² + rx + s = 0 এটা ত্রিঘাত সমীকৰণ হ’ব?
(A) p, q, r আৰু s গোটেইবোৰ অশূন্য।
(B) p ≠ 0 আৰু q ≠ 0
(C) p ≠ 0 বা q ≠ 0
(D) p ≠ 0
উত্তৰঃ (D) p ≠ 0
7. যদি x বাস্তৱ সংখ্যা হয়, তেন্তে 8x³ – 1 ত্রিঘাত বহুপদটোৰ লেখটোৱে—
(A) x-অক্ষক ছেদ নকৰে।
(B) x-অক্ষক মাত্র এটা বিন্দুতহে ছেদ কৰে।
(C) x-অক্ষক দুটা বেলেগ বিন্দুত ছেদ কৰে।
(D) x-অক্ষক তিনিটা বেলেগ বিন্দুত ছেদ কৰে।
উত্তৰঃ (D) x-অক্ষক তিনিটা বেলেগ বিন্দুত ছেদ কৰে।
8. যদি a₁x + 3y + c₁ = 0 আৰু 4x + b₂y + c₂ = 0 সমীকৰণ যোৰৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান থাকে, তেন্তে—
(A) a₁ = 3, b₂ = 4
(B) a₁ = 12, b₂ = 1
(C) a₁ = 4, b₂ = 3
(D) a₁ = 5, b₂ = 1
উত্তৰঃ (D) a₁ = 5, b₂ = 1
9. x-অক্ষৰ ওপৰত থকা যি কোনো বিন্দুৰ স্থানাংক হ’ব—
(A) (x, 0)
(B) (0, y)
(C) (x, x)
(D) (x, y)
উত্তৰঃ (A) (x, 0)
10. দ্বিঘাত বহুপদ p(x) = 4x² – 1ৰ শূন্যকেইটাৰ যোগফল হ’ব—
(A) -1
(B) 0
(C) 2
(D) 4
উত্তৰঃ (B) 0
11. √2, √8, √18, √32 সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ সাধাৰণ অন্তৰ
(A) 2, 4, 6, 8 সমান্তৰ প্রগতিটোৰ সাধাৰণ অন্তৰতকৈ ডাঙৰ।
(B) √32, √18, √8 সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ সাধাৰণ অন্তৰৰ লগত সমান।
(C) √50, √98, √162 সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ সাধাৰণ অন্তৰৰ লগত সমান।
(D) 1/√2, 0 -1√2 সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ সাধাৰণ অন্তৰতকৈ ডাঙৰ।
উত্তৰঃ (D) 1/√2, 0 -1√2 সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ সাধাৰণ অন্তৰতকৈ ডাঙৰ।
12. এটা ত্রিভুজৰ ভূমি 10% বঢ়াই দিয়া হ’ল আৰু উন্নতি 10% হ্রাস কৰা হ’ল, গতিকে ত্রিভুজটোৰ নতুন কালি
(A) একে থাকিব।
(B) 1% হ্রাস হ’ব।
(C) 10% বাঢ়িব।
(D) 11% বাঢ়িব।
উত্তৰঃ (A) একে থাকিব।
13. R বিন্দুটোৱে AB ৰেখাখণ্ডক এনেদৰে ভাগ কৰিছে যাতে AR = 3/4 AB হয়। Rএ AB ভাগ কৰা অনুপাতটো হ’ব—
(A) 3:1
(B) 3:4
(C) 4:3
(D) 4:7
উত্তৰঃ (A) 3:1
14. P(-1,0) এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ আৰু Q(2, 4) বৃত্তটোৰ ওপৰত এটা বিন্দু। বৃত্তটোৰ ওপৰত থকা আন তিনিটা বিন্দুবোৰ হ’ব
(i) (-6, 0)
(ii) (-1, 5)
(iii) (3, -3)
(iv) (0, -5)
শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা।
(A) ওপৰৰ যি কোনো তিনিটা।
(B) মাত্র (ii), (iii) আৰু (iv)
(C) মাত্র (i), (ii) আৰু (iii)
(D) মাত্র (i), (iii) আৰু (iv)
উত্তৰঃ (C) মাত্র (i), (ii) আৰু (iii)
15. বৃত্তৰ আটাইতকৈ দীঘল জ্যাডালক কোৱা হয়—
(A) ব্যাসার্ধ।
(B) চাপ।
(C) ব্যাস।
(D) মুখ্য চাপ।
উত্তৰঃ (C) ব্যাস।
16.
(A) 5
(B) 1/5
(C) 0
(D) -1
উত্তৰঃ (B) 1/5
17. Q বিন্দুৰ পৰা এটা বৃত্তৰ স্পৰ্শকডালৰ দৈর্ঘ্য 24 cm আৰু বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা Q বিন্দুৰ দূৰত্ব 25 cm হ’লে বৃত্তটোৰ ব্যাসার্ধ হ’ব—
(A) 7 cm
(B) 12 cm
(C) 15 cm
(D) 24.5 cm
উত্তৰঃ (A) 7 cm
18. প্রত্যেকৰে 64 cm³ আয়তনবিশিষ্ট দুটা ঘনক মূৰে মূৰে সংযোগ কৰা হ’ল। তেনেহ’লে আয়তীয় ঘনকটোৰ পৃষ্ঠকালি হ’ব—
(A) 160 cm²
(B) 176 cm²
(C) 128 cm²
(D) 192 cm²
উত্তৰঃ (A) 160 cm²
19. ঊর্ধ্বক্রমত সজোৱা তথ্যৰাজি 25, 30, x + 30, 35 + x, 40 + x ৰ মধ্যমা 35 হ’লে, xৰ মান হ’ব—
(A) 35
(B) 5
(C) 25
(D) 10
উত্তৰঃ (A) 35
20. এটা লুডুগুটি এবাৰ মাৰিলে 2তকৈ ডাঙৰ মৌলিক সংখ্যা পোৱাৰ সম্ভাৱিতা হ’ব—
(A) 1
(B) 1/6
(C) 2/3
(D) 1/3
উত্তৰঃ (D) 1/3
21. এটা ট্রেপিজিয়ামৰ কালি 1350 m² আৰু ইয়াৰ সমান্তৰাল বাহুবোৰৰ দীঘৰ সমষ্টি উচ্চতাৰ তিনিগুণ হ’লে, উচ্চতা হ’ব—
(A) 20 m
(B) 10 m
(C) 60 m
(D) 30 m
উত্তৰঃ (D) 30 m
22. 4, 9 আৰু 10ৰে হৰণ কৰিব পৰা আটাইতকৈ সৰু পূর্ণবর্গ সংখ্যাটো হ’ব—
(A) 144
(B) 900
(C) 3600
(D) 360
উত্তৰঃ (B) 900
23. যদি f(x) = kx² – 8x + 6ৰ শূন্যৰ সমষ্টি 4 হয়, তেন্তে k ৰ মান হ’ব—
(A) 6
(B) 8
(C) 2
(D) 1
উত্তৰঃ (C) 2
24. এটা দ্বিঘাত বহুপদ ৰাশিৰ দুটা ভিন্ন শূন্য থাকিলে লেখডালে x-অক্ষক ছেদ কৰা বিন্দুৰ সংখ্যা হ’ব—
(A) 2
(B) 3
(C) 1
(D) 4
উত্তৰঃ (A) 2
25. তলত দিয়া সমীকৰণবিলাকৰ কোনটো এটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ?
(A) 2x = 3y
(B) x² – 3x + 5 = 0
(C) 3x + y = 0
(D) 3t + 7 = 8t – 2
উত্তৰঃ (D) 3t + 7 = 8t – 2
26. kx + 2y = 5 আৰু 3x + y = 1 ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ একক সমাধান থাকিব যদি
(A) k = 0
(B) k ≠ 6
(C) k = 2
(D) k = 3
উত্তৰঃ (B) k ≠ 6
27. (x + 2)³ = x³ – 4 সমীকৰণৰ মূলৰ সংখ্যা হ’ল—
(A) 3
(B) 1
(C) 4
(D) 2
উত্তৰঃ (D) 2
28. তলৰ কোনটো সমীকৰণৰ দুটা বাস্তৱ আৰু সমান মূল আছে?
(A) 3x²+14x-5=0
(B) 4x²+2x-1=0
(C) 9x²-6x+1=0
(D) x²-5x+4=0
উত্তৰঃ (C) 9x²-6x+1=0
29. এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম আৰু শেষ পদ ক্রমে 1 আৰু 11. যদি সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ পদবোৰৰ যোগফল 36 হয়, তেন্তে পদৰ সংখ্যা হ’ব—
(A) 6
(B) 8
(C) 10
(D) 12
উত্তৰঃ (A) 6
30. 42 সংখ্যাটো তলৰ কোনটো সমান্তৰ প্ৰগতিৰ এটা পদ?
(A) 92, 86, 80, …
(B) 102, 95, 88, …
(C) 2, 6, 10, …
(D) 0, 8, 16, …
উত্তৰঃ (C) 2, 6, 10, …
31. ∆ABC ত XY || BC. যদি AB = 4BX আৰু YC 2 cm হয়, তেন্তে AYৰ মান হ’ব—
(A) 4 cm
(B) 6 cm
(C) 5 cm
(D) 8 cm
উত্তৰঃ (B) 6 cm
32. যদি CM আৰু RN ক্রমে ∆ABC আৰু ∆PQRৰ মধ্যমা হয়, আৰু ∆ABC ~ ∆PQR হয়, তেন্তে তলৰ কোনটো শুদ্ধ?
(А) ∆АМС ~ ∆PNR
(В) ∆АМС ~ ∆PRN
(C) ∆АМС ~ ∆NRP
(D) ∆AMC ~ ∆RNP
উত্তৰঃ (А) ∆АМС ~ ∆PNR
33. এটা বৃত্তৰ ব্যাস AB. কেন্দ্ৰৰ স্থানাংক (2, -3) আৰু Bৰ স্থানাংক (1, 4) হ’লে Aৰ স্থানাংক হ’ব—
(A)
(B) (2, 8)
(C) (3, -10)
(D) (-2, 3)
উত্তৰঃ (C) (3, -10)
34. (-4, 6) বিন্দুটোৱে A (-6, 10) আৰু B(3, -8) সংযোগী ৰেধাখণ্ডক অন্তর্বিভক্ত কৰা অনুপাতটো হ’ল—
(A) 3:2
(B) 2:3
(C) 7:2
(D) 2:7
উত্তৰঃ (D) 2:7
35. যদি sinA = cos33°, A < 90° হয়, তেন্তে Aৰ মান হ’ব—
(A) 90°
(B) 33°
(C) 27°
(D) 57°
উত্তৰঃ (D) 57°
36. যদি atanθ = x, b cotθ = y হয়, তেন্তে xyৰ মান হ’ব—
(A) a + b
(B) -1
(C) 1
(D) ab
উত্তৰঃ (D) ab
37. যদি এটা বিন্দু Pৰ পৰা O কেন্দ্রযুক্ত এটা বৃত্তৰ PA আৰু PB স্পর্শককেইডালে পৰস্পৰ 80° কোণত হালি থাকে, তেন্তে ∠POAৰ মান হ’ব—
(A) 60°
(B) 50°
(C) 70°
(D) 80°
উত্তৰঃ (B) 50°
38. r ব্যাসার্ধৰ এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰত কোণটোৰ ডিগ্রী মাপ θ. বৃত্তকলাটোৰ এটা চাপৰ দৈর্ঘ্য হ’ব—
(A) θπr/90°
(B) θπr/180°
(C) θπr/270°
(D) θπr/360°
উত্তৰঃ (B) θπr/180°
39. বৃত্তৰ ভিতৰত থকা বিন্দু এটাৰ মাজেৰে টানিব পৰা স্পর্শকৰ সংখ্যা হ’ল—
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
উত্তৰঃ (A) 0
40. যদি এটা বৃত্তৰ পৰিধি 22 cm হয়, তেনেহ’লে বৃত্তটোৰ এটা চোকৰ কালি হ’ব—
(A) 77 cm²
(B) 77/2 cm²
(C) 77/8 cm²
(D) 77/4 cm²
উত্তৰঃ (C) 77/8 cm²
41. এটা গোলকৰ আয়তন আৰু পৃষ্ঠকালি সমান। গোলকটোৰ ব্যাস হ’ব—
(A) 3 একক।
(B) 6 একক।
(C) 2 একক।
(D) 4 একক।
উত্তৰঃ (B) 6 একক।
42. একে ব্যাসার্ধ আৰু একে উচ্চতাযুক্ত এটা শংকু আৰু এটা চুঙাৰ আয়তনৰ অনুপাত হ’ব—
(A) √3:1
(B) 1:3
(C) 1:2
(D) 3:1
উত্তৰঃ (B) 1:3
43. মধ্যমা আৰু বহুলকৰ পাৰ্থক্য 24, তেন্তে মাধ্য আৰু মধ্যমাৰ পার্থক্য হ’ব—
(A) 10
(B) 12
(C) 14
(D) 13
উত্তৰঃ (B) 12
44. প্রথম 100 টা স্বাভাৱিক সংখ্যাৰ পৰা এটা সংখ্যা লোৱা হ’ল। সংখ্যাটো 8ৰে বিভাজ্য হোৱাৰ সম্ভাৱিতা হ’ল—
(A) 3/25
(B) 8/25
(C) 1/6
(D) 1/100
উত্তৰঃ (A) 3/2
45. তলৰ কোনটো এটা ঘটনাৰ সম্ভাৱিতা হ’ব নোৱাৰে?
(A) 0.225
(B) 0.6
(C) 1.2
(D) 1/3
উত্তৰঃ (C) 1.2
খ – শাখা
46. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা: 4x⁴ + 1
উত্তৰঃ 4x⁴ + 1
= 4x⁴ + 4x² + 1 – 4x²
= (2x²)² + 2 × 2 × x² × 1 + 1² – (2x)²
= (2x² + 1)² – (2x)²
= (2x² + 1 + 2x) (2x² + 1 – 2x)
47. দুডাল ৰছীৰ দৈর্ঘ্য ক্রমে 64 cm আৰু 80 cm. দুয়োডালৰ পৰা সমান দৈর্ঘ্যৰ টুকুৰা কাটি উলিৱাব লাগে। অকনো ৰৈ নোযোৱাকৈ দুয়োডাল ৰছীৰ পৰা কাটি উলিয়াব পৰা তেনে টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈর্ঘ্য কিমান হ’ব?
উত্তৰঃ 64 আৰু 80 ৰ গঃসাঃউঃ হব টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য।
80 = 64 × 1 + 16
64 = 16 × 4 + 0
∴ কাটি উলিয়াব পৰা ৰছীৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য = 16 ছে.মি.
48. যদি সমকোণী ত্রিভুজ ABC আৰু PQRৰ ∠B আৰু ∠Q সূক্ষ্মকোণ দুটা এনেধৰণৰ যে sinB = sinQ, তেন্তে প্রমাণ কৰা যে ∠B = ∠Q.
উত্তৰঃ
∴ SinB = AC/AB
SinQ = PR/PQ
∴ SinB = SinQ
⇒ AC/AB = PR/PQ
AC/PR = AB/PQ = BC/RQ = k
∵ AC/PR = AB/PQ = BC/RQ
∴ ∆ABC ~ ∆PQR
∴ ∠B = ∠Q
49. ∆PQRৰ Q কোণটো 90°. যদি PQ = 3 cm আৰু PR = 6 cm, তেন্তে ∠QPR আৰু ∠PRQ নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ
∆PQR ৰ, ∠Q = 90°
∴ Sin∠QPR = 3∫3/6 = ∫3/2 = Sin60°
⇒ ∠QPR = 60°
∴ ∠PRQ = 30°
50. এটা নীলা আৰু এটা ছাই ৰঙৰ দুটা লুডুগুটি একেলগে মাৰি পঠিওৱা হ’ল। সকলো সম্ভাৱ্য ফলাফল লিখা। লুডুগুটি দুটাত ওলোৱা সংখ্যাৰ সমষ্টি 13 হোৱাৰ সম্ভাৱিতা কিমান?
উত্তৰঃ সকলো সম্ভাৱ্য ফলাফলবিলাক হ’ল-
সংখ্যাদুটাৰ সমষ্টি 13 ৰ সপক্ষে কোনো ফলাফল নাই।
গতিকে, P(Sum = 13) = 0/36 = 0
51. তলৰ সমীকৰণ যোৰক ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰলৈ ৰূপান্তৰ কৰি সমাধান কৰা:
উত্তৰঃ
⇒ 7x/xy – 2y/xy = 5, 8x/xy + 2y/xy = 15
⇒ 7/y – 2/x = 5, 8/y + 2/x = 5
ধৰাহ’ল, 1/x = u, 1/y = v
∴ 7v – 2u = 5 → (1)
8v + 2u = 15 → (2)
(1) + (2) ⇒ 7v – 2u + 8v + 24 = 5 + 15
⇒ 15v = 20
⇒ v = 20/15
⇒ v = 4/3
⇒ 1/y = 4/3
⇒ y = 3/4
∴ (1) ⇒ 7 × 4/3 – 2u = 5
⇒ 28/3 – 2u = 5
⇒ -2u = 5 – 28/3
⇒ -2u = 15 – 28/3
⇒ -2u = -13/3
⇒ u = 13/6
⇒ 1/x = 13/6
⇒ x = 6/13
52. দুটা ক্রমিক অযুগ্ম যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা উলিওৱা যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 290.
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল, ক্ৰমিক অযুগ্ম সংখ্যা দুটা x আৰু x + 2
প্ৰশ্নৰ মতে, x² + (x + 2)² = 290
⇒ x² + x² + 2 × x × 2 + 2² = 290
⇒ 2x² + 4x + 4 – 290 = 0
⇒ 2x² + 4x – 286 = 0
⇒ x² + 2x – 143 = 0
⇒ x² + 13x – 11x – 143 = 0
⇒ x(x + 13) – 11(x + 13) = 0
⇒ (x – 11) (x – 13) = 0
∴ x – 11 = 0 নাইবা, x + 13 = 0
⇒ x = 11 ⇒ x = -13 (অসম্ভৱ)
∴ নিৰ্ণেয় সংখ্যা দুটা 11 আৰু 13
53. 1,000 টকা বছৰি 8% সৰল সুতৰ হাৰত বিনিয়োগ কৰা হ’ল। প্রতি বছৰৰ অন্তত সুত কিমান হ’ব, গণনা কৰা। সুতৰ এই পৰিমাণসমূহে এটা সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰেনে? যদি কৰে, এই তথ্যখিনিৰ সহায়ত 30 বছৰৰ অন্তত সুতৰ পৰিমাণ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ মূলধন = 1000 টকা।
১ম বছৰত সুত = 1000 × 8/100 = 80 টকা।
২য় বছৰত সুত = 2 × 1000 × 8/100 = 160 টকা।
৩ম বছৰত সুত = 3 × 1000 × 8/100 = 240 টকা।
∴ a₃ – a₂ = a₂ – a₁
⇒ 240 – 160 = 160 – 80
⇒ 80 = 80
∴ ইয়ে AP গঠন কৰিছে
a₃₀ = a + (30 – 1)d
= 80 + 29 × 80
= 80 + 2320
= 2400 টকা।
54. প্রমাণ কৰা যে যদি এটা ত্রিভুজৰ এটা কোণ আন এটা ত্রিভুজৰ এটা কোণৰ সমান হয় আৰু সেই কোণকেইটা গঠন কৰা বাহুকেইটা সমানুপাতিক হয়, তেন্তে ত্রিভুজ দুটা সদৃশ।
উত্তৰঃ দিয়া আছে,
∆ABC আৰু ∆DEF ৰ ∠A = ∠D
AB/DE = AC/DF
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে ∆ABC ~ ∆DEF
অংকন: P আৰু Q বিন্দু দুটা ক্ৰমে DE আৰু DF ৰ ওপৰত এনেদৰে লোৱা হ’ল যাতে DP = AB আৰু DQ = AC
PQ সংযোগ কৰা হ’ল।
প্ৰমাণ: ∆ABC আৰু ∆DPQ ৰ
∠A = ∠D (দিয়া আছে)
গতিকে, ∆ABC ≌ ∆DPQ (S. A. A চৰ্তমতে)
AB/DE = AC/DF (দিয়া আছে)
থেলদৰ বিপৰীত উপপাদ্য মতে
PQ || EF
∆DPQ ~ ∆DEF (A. A সাদৃশ্য চৰ্ত মতে)
∠A = ∠D
∠B = ∠E = ∠P
∠C = ∠F = ∠Q
∴ ∆ABC ~ ∆DEF (A A A চৰ্ত মতে)
55. এটা বৰ্গক্ষেত্ৰৰ বিপৰীত শীর্ষবিন্দু দুটা হ’ল (-1, 2) আৰু (3, 2). বাকী শীর্ষবিন্দু দুটাৰ স্থানাংক উলিওৱা।
উত্তৰঃ ABCD বৰ্গৰ দুটা বিপৰীত শীর্ষবিন্দুৰ স্থানাংক (-1, 2) আৰু (3, 2)। ধৰা হ’ল C শীর্ষ বিন্দু স্থানাংক (x, y)।
∴ বর্গ প্রতিটো বাহু সমান।
∴ AC = BC
⇒ (AC)² = (BC)²
⇒ (x + 1)² + (y – 2)² = (x – 3)² + (y – 2)²
⇒ (x + 1)² = (x – 3)²
⇒ x² + 2x + 1 = x² – 6x + 9
⇒ 8x = 8
⇒ x = 8/8 = 1 …………… (1)
এতিয়া, ACB সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ:
AC² + BC² = AB²
⇒ (x + 1)² + (y – 2)² + (x – 3)² + (y – 2)² = (3 + 1)² + (2 – 2)²
⇒ x² + 2x + 1 + y² – 4y + 4 + x² + 6x + 9 + y² – 4y + 4 = 16
⇒ 2x² + 2y² – 4x – 8y + 2 = 0
⇒ x² + y² – 2x – 4y + 1 = 0 ……………. (ii)
এতিয়া, x = 1, (ii) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ:
(1)² + y² – 2 × 1 – 4y + 1 = 0
⇒ y² – 4y = 0
⇒ y(y – 4) = 0
∴ y = 0 ,4
∴ নির্ণেয় শীর্ষবিন্দু দিটাৰ স্থানাংক (1, 4) আৰু (1, 0)।
56. বহিঃস্থ বিন্দু Tৰ পৰা কেন্দ্রীয় বৃত্তলৈ TP আৰু TQ দুডাল স্পর্শক টনা হ’ল। প্রমাণ কৰা যে ∠PTQ = 2∠OPQ.
উত্তৰঃ
দিয়া আছে, ‘O’ কেন্দ্রীয় বৃত্তৰ T বহিঃবিন্দু আৰু TP আৰু TQ দুডাল স্পর্শর্ক।
প্ৰমান কৰিব লাগে যে, ∠PTQ = 2∠OPQ
প্ৰমান: Let, ∠PTQ = θ
TP = TQ [বহিঃবিন্দুৰ পৰা বৃত্তলৈ টনা স্পর্শবোৰৰ দৈৰ্ঘ্য সমান]
সেয়ে ∆TPQ এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভূজ।
∴ ∠TPQ = ∠TQP
∠PTQ + ∠TPQ + ∠TQP = 180°
⇒ θ + ∠TPQ + ∠TPQ = 180°
⇒ 2∠TPQ = 180 – θ
⇒ ∠TPQ = 90 – θ/2
আকৌ, ∠OPT = 90°
⇒ ∠OPQ + ∠TPQ = 90°
⇒ ∠OPQ + 90° – θ/2 = 90°
⇒ ∠OPQ = 90 – 90 + θ/2
⇒ ∠OPQ = θ/2
⇒ 2∠OPQ = θ
⇒ 2∠OPQ = ∠PTQ
∴ ∠PTQ = 2∠OPQ
বৃত্তৰ যিকোনো বিন্দুত টনা স্পৰ্শক ডাল স্পর্শবিন্দুৰ মাজেৰে যোৱা ব্যাসাৰ্ধৰ লম্ব।
57. প্রতি মিটাৰত 24 টকা হাৰত এখন বৃত্তাকাৰ পথাৰৰ বেৰ দিয়া কামত 5,280 টকা খৰছ হয়। পথাৰখন প্রতি বর্গমিটাৰত 0.50 টকা হাৰত হাল বাব লাগে। পথাৰখনৰ হাল বোৱা খৰছ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ পথাৰখনৰ দৈৰ্ঘ্য = 5280/24 = 220 m
⇒ পৰিধি = 220 m
⇒ 2πr = 220
⇒ 2 × 22/7 × r = 220
⇒ r = (220 × 7)/(2 × 22)
⇒ r = 35 m
∴ কালি = πr²
= 22/7 × 35 × 35
= 22 × 5 × 35 m²
∴ মুঠ খৰছ = 22 × 5 × 35 × 0.50
= 1925 টকা।
58. 12 cm উচ্চতা আৰু 5 cm ব্যাসার্ধবিশিষ্ট এটা গোটা বেলনত এটা শংকু আকৃতিৰ গাঁত এটা তৈয়াৰ কৰা হ’ল। যদি শংকুটোৰ উচ্চতা আৰু ব্যাসার্ধ বেলনটোৰ লগত একে হয়, তেন্তে অৱশিষ্ট গোটা বস্তুটোৰ পৃষ্ঠকালি উলিওৱা।
উত্তৰঃ ইয়াত, r = 5 cm
h = 12 cm
∴ অৱশিষ্ট গোটা বস্তুটোৰ মুঠ পৃষ্ঠকালি = 2πrh + πr² + πrl
= 2π × 5 × 12 + π × 5² + π × 5 × 13
= 120π + 25π + 65π
= 210π cm²
59. তলত দিয়া তালিকাখনে 50 নম্বৰৰ ভিতৰত পোৱা 100 ছাত্ৰৰ এটা টেষ্টৰ তথ্য দিছে। মধ্যমা নির্ণয় কৰা:
| লাভ কৰা নম্বৰ | 20 | 29 | 28 | 33 | 42 | 38 | 43 | 25 |
| ছাত্ৰৰ সংখ্যা | 6 | 28 | 24 | 15 | 2 | 4 | 1 | 20 |
উত্তৰঃ
| লাভ কৰা নম্বৰ | ছাত্ৰৰ সংখ্যা | সঞ্চয়ী বাৰংবাৰতা |
| 20 | 6 | 6 |
| 25 | 20 | 6 + 20 = 26 |
| 28 | 24 | 26 + 24 = 50 |
| 29 | 28 | 50 + 28 = 78 |
| 33 | 15 | 78 + 15 = 93 |
| 38 | 4 | 93 + 4 = 97 |
| 42 | 2 | 97 + 2 = 99 |
| 43 | 1 | 99 + 1 = 100 |
| n = 100 | ||
∴ নিৰ্ণেয় মধ্যমা 28.5
60. BC = 7 , ∠B = 45°, ∠A = 105° যুক্ত ABC এটা ত্রিভুজ আঁকা। তাৰ পিছত এটা ত্রিভুজ আঁকা যাৰ বাহুবোৰ ∆ABCৰ অনুৰূপ বাহুবোৰৰ 4/3 গুণ।
উত্তৰঃ অংকন প্ৰণালীৰ চাপ:
(1) ABC সমকোণী ত্রিভুজ অংকন কৰা হ’ল যাৰ AB = 7 ছে.মি. ∠A = 105° আৰু ∠B = 45°
ত্রিভুজৰ কোণৰ সমষ্টি ধৰ্মৰ পৰা আমি পাওঁ-
∠A+ ∠B+ ∠C = 180°
⇒ 105° + 45° + ∠C = 180°
⇒ ∠C = 180° – 150° = 30°
(2) BC বাহুৰ তলত, B-বিন্দুত সূক্ষ্মকোণ CBX অংকন কৰা হ’ল।
(3) BX বাহুৰ ওপৰত চাৰিটা বিন্দু B₁, B₂, B₃, (4/3 অনুপাতত, 4 আৰু 3-ৰ মাজত ডাঙৰটো) এনেদৰে স্থাপন কৰা হ’ল
যাতে BB₁ = B₁B₂ = B₂B₃ = B₄B₅ হয়।
(4) B₃ আৰু C সংযোগ কৰা হ’ল।
(5) B₄ কিন্দুগামী, B₃C ৰেখাৰ সমাৰাল আৰু এটা ৰেখা BC অংকন কৰা হ’ল। ই. BC -ক C’ বিন্দুত ছেদ কৰে।
(6) C’ বিন্দুগামী, CA ৰেখাৰ সমাৰাল আৰু এটা ৰেখা অংকন কৰা হ’ল। ই, (বর্ধিত) ক বিন্দুত ছেদ কৰে। অর্থাৎ আঁকিবলগীয়া ত্রিভুজ।
অংকন প্ৰণালীৰ যুক্তিযুক্ততা:
∆A’B’C’ আৰু ∆ABC
এই ত্রিভুজ দুটাত ∠B = ∠B (সাধাৰণ কোণ)
∠A’ C’ B = ∠ACB (অংকন কোণ)
∴ ∆B’BC’ ≅ ∆ABC (A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য)
∴ A’B/AB = BC’/BC = C’A’/CA…………….(1)
আকৌ, ∆B₄BC’ আৰু ∆B₃BC ৰ
∠B = ∠B (সাধাৰণ কোণ)
∠C’B₄B = ∠CB₃B (অংকন কোণ)
∴ ∆B₄BC’ ≅ ∆B₃BC (A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য)
∴ B₄B/B₃B = BC’/BC = C’B₄/CB₃
BC’/BC = B₄B/B₃B
কিন্তু, B₄B/B₃B = 4/3 (অংকন মতে)
∴ BC’/BC = 4/3 ……………(2)
এতিয়া, (1) আৰু (2)-ৰ পৰা আমি পাওঁঃ
∴ অংকন প্রণালী যুক্তিযুক্ত। (প্রমাণিত)
61. যদি x² + bx + c বহুপদটোৰ দুটা শূন্য α, β হয়, তেন্তে দেখুওৱা যে cx² – (b² – 2c)x + c বহুপদটোৰ এটা শূন্য α/β.
উত্তৰঃ ইয়াত, α + β = -b/a
⇒ α + β = -b/1
⇒ α + β = -b
α × β = c/a
⇒ α × β = c/1
⇒ α × β = c
Ca² – (b² – 2c) × x + c
∴ শূন্য দুটাৰ যোগফল = -{-b² – 2c)}/c
= b² – 2c/c
= (-b)² – 2c/c
= (α + β)² – 2αβ/αβ
= α² + β²/αβ
= (α × α)/αβ + (β × β)/αβ
= α/β + β/α
∴ Ca² – (b² – 2c) × x + c ৰ এটা শূন্য α/β
