SEBA Class 9 Mathematics Chapter 2 বহুপদ Question Answer Assamese Medium As Per New Syllabus. to each chapter is provided in the list so that you can easily browse through different chapters SEBA Class 9 Mathematics Chapter 2 বহুপদ Notes and select need one. SEBA Class 9 Mathematics Chapter 2 বহুপদ Question Answers Download PDF. SEBA Class 9 General Maths Solutions in Assamese.
SEBA Class 9 Mathematics Chapter 2 বহুপদ
Also, you can read the SEBA book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per Board of Secondary Education, Assam (SEBA) Book guidelines. SEBA Class 9 Mathematics Chapter 2 বহুপদ are part of All Subject Solutions. Here we have given SEBA Solutions For Class 9 Maths in Assamese Medium for All Chapters, You can practice these here.
বহুপদ
Chapter: 2
| অনুশীলনীঃ 2.1 |
1. তলৰ কোনকেইটা ৰাশি এটা চলকযুক্ত বহুপদ আৰু কোনকেইটা নহয়? তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তি দিয়া।
(i) 4x² – 3x + 7
উত্তৰঃ 4x² – 3x + 7 এটা চলকযুক্ত বহুপদ ৰাশি, কাৰণ চলক X -ৰ সূচক বা ঘাত এটা পূর্ণসংখ্যা।
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ
ঘাত = ½ আৰু ই পূৰ্ণসংখ্যা নহয়।
(iv) y + 2/y
উত্তৰঃ y + 2/y এটা চলকযুক্ত বহুপদ ৰাশি নহয়।
উত্তৰঃ
2. তলৰ প্ৰতিটোৰে x² -ৰ সহগ লিখা।
(i) 2 + x² + x
উত্তৰঃ 2 + x² + x -ত x² -ৰ সহগ হ’ল: 1.
(ii) 2 – x² + x³
উত্তৰঃ 2 – x² + x³ -ত x² -ৰ সহগ হ’ল: 1.
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ
(v) (2x – 3)(x² – 3x + 1)
উত্তৰঃ (2x – 3)(x² – 3x + 1)
= 2x(x² – 3x + 1) – 3(x² – 3x + 1)
= 2x³ – 6x² + 2x – 3x² + 9x – 3
= 2x³ – 9x² + 11x -3
∴ x² -ৰ সহগ হ’ল: 9.
3. 35 মাত্রাযুক্ত এটা দ্বিপদ আৰু 100 মাত্রাযুক্ত এটা একপদৰ একোটাকৈ উদাহৰণ দিয়া।
উত্তৰঃ 35 মাত্রা বিশিষ্ট দ্বি-পদ ৰাশিৰ এটা উদাহৰণ হ’লঃ 5x³⁵- 32 আৰু 100 মাত্ৰা বিশিষ্ট এক পদ ৰাশিৰ এটা উদাহৰণ হ’লঃ 3y¹⁰⁰ + 1.
4. তলৰ বহুপদবোৰৰ মাত্রা লিখা।
(i) 5x³ + 4x² + 7x
উত্তৰঃ P(x) -ৰ সর্বোচ্চ সূচক = 3। অর্থাৎ নির্ণেয় মাত্রা =3.
(ii) 4 – y²
উত্তৰঃ p(y) – ৰ সর্বোচ্চ সূচক = 2 । অর্থাৎ নির্ণেয় মাত্রা = 2.
(iii) 5t – √7
উত্তৰঃ f(t) -ৰ সর্বোচ্চ সূচক = 1। অর্থাৎ নির্ণেয় মাত্রা = 1.
(iv) 3
উত্তৰঃ f(x) -ৰ সর্বোচ্চ সূচক = 0। অর্থাৎ নির্ণেয় মাত্রা = 0.
5. তলৰ ৰৈখিক, দ্বিঘাত আৰু ত্রিঘাত বহুপদবোৰ শ্ৰেণী বিভাজন কৰা।
(i) x² + x
উত্তৰঃ x² + x বহুপদ ৰাশিটোৰ ঘাত = 2. অর্থাৎ ই দ্বিঘাত বিশিষ্ট বহুপদ ৰাশি।
(ii) x – x³
উত্তৰঃ x – x³ বহুপদ ৰাশিটোৰ ঘাত = 3. অর্থাৎ ই ত্রিঘাত বিশিষ্ট বহুপদ ৰাশি।
(iii) y + y² + 4
উত্তৰঃ y + y² + 4 বহুপদ ৰাশিটোৰ ঘাত = 2. অর্থাৎ ই দ্বিঘাত বিশিষ্ট বহুপদ ৰাশি।
(iv) 1 + x
উত্তৰঃ 1 + x বহুপদ ৰাশিটোৰ ঘাত = 1. অর্থাৎ ই ৰৈখিক ৰাশি।
(v) 3t
উত্তৰঃ 3t ৰাশিটোৰ ঘাত = 1. অর্থাৎ ই ৰৈখিক ৰাশি।
(vi) r²
উত্তৰঃ r² ৰাশিটোৰ ঘাত = 2. অর্থাৎ ই এটা দ্বিঘাত বিশিষ্ট ৰাশি।
(vii) 7x³
উত্তৰঃ 7x³ ৰাশিটোৰ ঘাত = 2. অর্থাৎ ই এটা ত্রিঘাত বিশিষ্ট ৰাশি।
6. তলত দুটা উক্তি দিয়া আছে –
উক্তি -1 : শূন্য বহুপদৰ মাত্ৰা সংজ্ঞাবদ্ধ নহয়।
উক্তি -2 : অশূন্য ধ্ৰুৱক বহুপদটোৰ মাত্ৰা শূন্য।
শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা-
(a) উক্তি -1 আৰু উক্তি -2 দুয়োটাই সত্য।
(b) উক্তি -1 আৰু উক্তি -2 দুয়োটাই অসত্য।
(c) উক্তি -1 সত্য কিন্তু উক্তি -2 অসত্য।
(d) উক্তি -1 অসত্য কিন্তু উক্তি -2 সত্য।
উত্তৰঃ (a) উক্তি -1 আৰু উক্তি -2 দুয়োটাই সত্য।
7 . তলৰ কোনটো ধ্ৰুৱক বহুপদ
(i) 5
(ii) x
(iii) 0
(iv) 5x
শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা-
(a) (i) আৰু (ii)
(b) (iii) আৰু (iv)
(c) (i) আৰু (iii)
(d) (i) আৰু (iv)
উত্তৰঃ (c) (i) আৰু (iii)
8. স্তম্ভ-I ৰ লগত স্তম্ভ -II মিলোৱা।
| স্তম্ভ-I | স্তম্ভ-II |
| (A) শূন্য বহুপদৰ শূন্য | (P) শূন্য |
| (B) √2 বহুপদটোৰ মাত্রা | (Q) সংজ্ঞাবদ্ধ নহয় |
| (C) শূন্য বহুপদটোৰ মাত্ৰা | (R) যিকোনো বাস্তৱ সংখ্যা |
শুদ্ধ বিকল্পটো বাচি উলিওৱা-
(a) A→P, B→ Q, C→R
(b) A → R, B → Q, C → Q
(c) A → P, B → Q ,C → P
(d) A → P, B → R, C →Q
উত্তৰঃ (a) A→P, B→ Q, C→R
9. যদি (3x – 1)7 = a7x² + a6x6 + a5x5 + a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0 তেন্তে a7 +
(a) 0
(b) 128
(c) 1
(d) 64
(ইংগিত: বহুপদ ৰাশি p(x) ত x = 1 বহুৱালে বহুপদটোৰ সহগবোৰৰ যোগফল পোৱা যায়।)
উত্তৰঃ p(x)=(3x−1)7
সহগসমূহৰ যোগফল
= p(1) = (3×1−1)7 = 27
= 128
a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0
= 128
শুদ্ধ উত্তৰ: (b) 128
| অনুশীলনী-2.2 |
1. 5x – 4x² + 3 বহুপদৰ মান নির্ণয় কৰা যেতিয়া-
(i) x = 0
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, f(x) = 5x – 4x² + 3
∴ f(0) = 5 × 0 – 4(0)² + 3
= 0 – 0 + 3 = 3
(ii) x = – 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, f(x) = 5x – 4x² + 3
∴ f( – 1) = 5( – 1) – 4( – 1)² + 3
= – 5 – 4 + 3 = – 9 + 3 = – 6
(iii) x = 2
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, f(x) = 5x – 4x² + 3
∴ f(2) = 5 × 2 – 4(2)² + 3
= 10 – 16 + 3 = – 3
2. তলৰ বহুপদবোৰৰ প্ৰত্যেকৰ বাবে p(0), p (1) আৰু p(2)ৰ মান নির্ণয় কৰা।
(i) p(y) = y² – y + 1
উত্তৰঃ p(y) = y² – y + 1
∴ p(0) = 0² – 0 + 1 = 1
p(1) = 1² – 1 + 1 = 1
p(2) = 2² – 2 + 1 = 3
(ii) p(t) = 2 + t + 2t² – t³
উত্তৰঃ p(t) = 2 + t + 2t² – t³
∴ p(0) = 2 + 0 + 2(0)² – (0)³
= 2 + 0 + 0 – 0 = 2
p(1) = 2 + 1 + 2(1)² – (1)³
= 2 + 1 + 2 – 1 = 4
p(2) = 2 + 2 + 2(2)² – (2)³
= 4 + 8 – 8 = 4
(iii) p(x) = x³
উত্তৰঃ p(x) = x³
∴ p(0) = 0³ = 0
p(1) = 1³ = 1
p(2) = 2³ = 8
(iv) p(x) = (x – 1)( x + 1)
উত্তৰঃ p(x) = (x – 1)(x + 1)
p(0) = (0 – 1)(0 + 1)
= – 1 × 1= – 1
p(1) = (1 – 1)(1 + 1)
= 0 × 2 = 0
p(2) = (2 – 1)(2 + 1)
=1 × 3 = 3
3. কাষত উল্লেখিত মানবোৰ বহুপদটোৰ শূন্য হয়নে নহয় সত্যাপন কৰি চোৱা।
(i) p(x) = 3x + 1, x = – ⅓
উত্তৰঃ p(x) = 3x + 1[প্রদত্ত]
= – 1 + 1 = 0
∴ ইয়াত সত্যতা প্রতিপালন কৰা হ’ল যে x = 1/3 ধৰিলে 3x + 1 বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হয়।
(ii) p(x) = 5x – π, χ = 4/5
উত্তৰঃ p(x) = 5x – π,
= 4 – π ≠ 0
∴ ইয়াত দেখা গ’ল যে x = 4/5 স্থাপন কৰিলে 5x – π বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নহয়।
(iii) p(x) = x² – 1, x = 1, – 1
উত্তৰঃ p(x) = x² – 1,
∴ p(1) = (1)² – 1 = 0
আকৌ, p(- 1) = (- 1)² – 1
= 1 – 1 = 0
∴ x = 1, – 1 ধৰিলে প্রদত্ত বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হয়।
(iv) p(x) = (x + 1)(x – 2), x = -1, 2
উত্তৰঃ p(x) = (x + 1)(x – 2)
∴ p(-) = (- 1 + 1)(- 1 – 2)
= 0(- 3) = 0
∴ p(2) = (2 + 1)(2 – 2)
= 3 × 0 = 0
∴ x = – 1, 2 স্থাপন কৰিলে প্রদত্ত বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হয়।
(v) p(x) = x², x= 0
উত্তৰঃ p(x) = x²
∴ (0) = 0² = 0
∴ x = 0 ধৰিলে প্রদত্ত ৰাশিটোৰ মান শূন্য হয়।
উত্তৰঃ P(x) – Ix I m
∴ P (- m/I) = I (- m/I) + m
= – m + m = 0
∴ X = – m/I স্থাপন কৰিলে প্ৰদত্ত বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শান্য হয়।
উত্তৰঃ
(viii) p(x) = 2x + 1, x = ½
উত্তৰঃ
4. তলত দিয়া বহুপদ ৰাশিবোৰৰ শূন্য নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) p(x) = x + 5
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নিৰ্ণয় কৰাৰ বাবে f(x) = 0 ধৰিব লাগিব।
∴ x + 5 = 0 ⇒ x = – 5
∴ x + 5 বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = – 5 বহুওৱা হয়।
(ii) p(x) = x – 5
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নিৰ্ণয় কৰাৰ বাবে p(x) = 0 ধৰিব লাগিব।
∴ x – 5 = 0 ⇒ x = 5
∴ x – 5 বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = 5 বহুওৱা হয়।
(iii) p(x) = 2x + 5
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি p(x) = 0 ধৰা হয়।
∴ 2x + 5 = 0
⇒ x = – 5/2
∴ x = – 5/2
∴ 2x + 5 বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = – 5/2 বহুওৱা হয়।
(iv) p(x) = 3x – 2
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নিৰ্ণয় কৰাৰ বাবে p(x) = 0 ধৰিব লাগিব।
∴ 3x – 2 = 0
⇒ x= 2/3
∴ 3x – 2 বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = 2/3 বহুওৱা হয়।
(v) p(x) = 3x
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নিৰ্ণয় কৰাৰ বাবে p(x) = 0 ধৰিব লাগিব।
∴ 3x = 0
⇒ x = 0/3 = 0
∴ 3x বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = 0 বহুওৱা হয়।
(vi) p(x) = ax, a ≠ 0
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি p(x) = 0 ধৰা হয়।
∴ p(x) = 0
⇒ ax = 0 ⇒ x = 0/a = 0
∴ ax -ৰ মান শূণ্য হ’ব যদি x = 0 বহুওৱা হয়।
(vii) p(x) = cx + d, c ≠ 0, c, d বাস্তৱ সংখ্যা।
উত্তৰঃ বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য নিৰ্ণয় কৰাৰ বাবে p(x) = 0 ধৰিব লাগিব।
∴ cx + d = 0
⇒ cx = – d
⇒ x = – d/c
∴ cx + d বহুপদ ৰাশিটোৰ মান শূন্য হ’ব যদি x = – d/c বহুওৱা হয়।
5. তলৰ কোনকেইটা x² – x – 6 বহুপদটোৰ শূন্য
(i) 3
(ii) – 3
(iii) 2
(iv) – 2
শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা –
(a) (i) আৰু (ii)
(b) (ii) আৰু (iii)
(c) (i) আৰু (iv)
(d) (iii) আৰু (iv)
উত্তৰঃ (c) (i) আৰু (iv)
| অনুশীলনী -2.3 |
1. তলৰ কোনটো বহুপদৰ এটা উৎপাদক (x+1) তাক নিৰ্ণয় কৰা।
(i) x³ + x² + x + 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ + x² + x + 1
∴ p(- 1) = (- 1)³ + (- 1)² + (- 1) + 1
= – 1 + 1 – 1 + 1 = 0
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা মতে (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
(ii) x⁴ + x³ + x² + x + 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1
∴ p(- 1) = (- 1)⁴ + (- 1)³ +(- 1)² + (- 1) + 1
= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা মতে (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক নহয়।
(iii) x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x⁴ + 3x³ + 3x² + x + 1
∴ p(- 1) = (-1)⁴ + 3(- 1)³ + 3(- 1)² + (- 1) + 1
= 1 – 3 + 3 – 1 + 1 = 1 ≠ 0
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা মতে (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক নহয়।
উত্তৰঃ
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা মতে (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক নহয়।
2. উৎপাদক উপপাদ্য ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ প্রতিটো ক্ষেত্ৰতে g(x), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা।
(i) p(x) = 2x³ + x² + 2x – 1,g(x) = x + 1
উত্তৰঃ p(x) = 2x³ + x² + 2x – 1,g(x) = x + 1
p(x) = 2x³ + x² + 2x – 1
p(- 1) = 2(- 1)³ + (- 1)² + 2(- 1)- 1
= – 2 + 1 – 2 – 2 – 1 = – 4
∴ g(x), p(x) – অৰ এটা উৎপাদক নহয়।
(ii) p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1,g(x) = x + 2
উত্তৰঃ p(x) = x³ + 3x² + 3x + 1, g(x) = x + 2
p(-) = (- 2)³ + 3(- 2)² + 3(- 2) + 1
= – 8 + 12 – 6 + 1 = – 1
∴ g(x), p(x) – অৰ এটা উৎপাদক নহয়।
(iii) p(x) = x³ – 4x² + x + 6,g(x) = x – 3
উত্তৰঃ p(x) = x³ – 4x² + x + 6,g(x) = x – 3
p(3) = (3)³ – 4(3)² + 3 + 6
= 27 – 36 + 3 + 6 = 0
∴ g(x), p(x) – অৰ এটা উৎপাদক।
3. যদি (x – 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক হয় তেন্তে তলৰ প্রতিটো ক্ষেততে k – ৰ মান নির্ণয় কৰাঃ
(i) p(x) = x² + x + k
উত্তৰঃ ∴ (x – 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা দ্বাৰা, p(1) = 0 হ’ব।
∴ (1)² + 1 + k = 0 ⇒ k = – 2
উত্তৰঃ ∴ (x – 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা দ্বাৰা, p (1) = 0 হ’ব।
উত্তৰঃ ∴ (x – 1), p(x)-ৰ এটা উৎপাদক।
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা দ্বাৰা, p(1) = 0 হ’ব।
(iv) p(x) = kx² – 3x + k
উত্তৰঃ ∴ (x – 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ উৎপাদক প্রতিজ্ঞা দ্বাৰা, p(1) = 0 হ’ব।
∴ k(1)² – 3(1) + k = 0
4. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ
(i) 12x² – 7x + 1
উত্তৰঃ 12x² – 7x + 1
⇒ 12x² – 4x – 3x + 1
[∴ সমষ্টি = – 4 – 3 = – 7,
গুণফল = (- 4) (- 3) = 12
আৰু অন্ত্যপদ দুটাৰ গুণফল = 12 × 1 = 12]
⇒ 4x(3x – 1) – 1(3x – 1) ⇒ (3x – 1)(4x – 1)
(ii) 2x² + 7x + 3
উত্তৰঃ 2x² + 7x + 3
⇒ 2x² + 6x + x + 3
⇒ 2x(x + 3) + 1(x + 3) ⇒ (2x + 1)(x + 3)
(iii) 6x² + 5x – 6
উত্তৰঃ 6x² + 5x – 6
⇒ 6x² + 9x – 4x – 6
⇒ 3x(2x + 3) – 2(2x + 3) ⇒ (2x + 3)(3x – 2)
(iv) 3x² – x – 4
উত্তৰঃ 3x² – x – 4
⇒ 3x² – 4x + 3x – 4
⇒ x(3x – 4) +1(3x – 4) ⇒ (3x – 4)(x + 1)
(v) 2x² + x – 45
উত্তৰঃ 2x² + x – 45
⇒ 2x² + 10x – 9x – 45
⇒ 2x(x + 5) – 9(x + 5) ⇒ (x + 5) (2x – 9)
(vi) y² + 18y + 65
উত্তৰঃ y² + 18y + 65
⇒ y² + 13y + 5y + 65 ⇒ y(y +13) + 5(y +13)
⇒ (y + 13)(y + 5) ⇒ (y + 13)(y + 5)
(vii) p² + 14p + 13
উত্তৰঃ p² + 14p + 13
⇒ p² + 13p + p + 13
⇒ p(p + 13) + 1(p + 13) ⇒ (p + 1)(p + 13)
(viii) – 18 + 11x – x²
উত্তৰঃ – 18 + 11x – x²
⇒ – x² + 11x – 18 ⇒ – x² + 9x + 2x – 18
⇒ – x(x – 9) + 2(x – 9) ⇒(x – 9)(2 – x)
(ix) 8a² – 22ab + 15b²
উত্তৰঃ 8a² – 22ab + 15b²
⇒ 8a² – 12ab – 10ab + 15b²
⇒ 4a(2a – 3b) – 5b(2a – 3b)
⇒ (2a – 3b)(4a – 5b)
5. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।
(i) x³ – 2x²- x + 2
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) x³ – 2x² – x + 2
∴ p(- 1) = (- 1)³ – 2(- 1)² – 1 + 2
= – 1 – 2 + 1 + 2 = 0
∴ (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
(ii) x³ – 3x² – 9x – 5
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ – 3x² – 9x – 5
∴ p(- 1) = (- 1)³ – 3(- 1)² – 9(- 1) – 5
= – 1 – 3 + 9 – 5
= – 9 + 9
= 0
∴ (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
(iii) x³ + 13x² + 32x + 20
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল p(x) = x³ + 13x² + 32x + 20
∴ p(- 1) = (-1)³ + 13(- 1)² + 32(- 1) + 20
= – 1 + 13 – 32 + 20
= 33 – 33
= 0
∴ (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
(iv) 2y³ + y² – 2y – 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, p(y) = 2y³ + y² – 2y – 1
∴ p(1) = 2(1)³ + (1)² – 2(1) – 1
= 2 + 1 – 2 – 1
= 3 – 3
= 0
∴ (y – 1), p(y) – ৰ এটা উৎপাদক।
(v) x³ + 2x² – x – 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, x³ + x² – x – 1
∴ P(x) = 1³ + 1² – 1 – 1 = 2 – 2 = 0
∴ (x – 1) , P(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ P(x) = (x -1)(x² + 2x + 1)
= (x – 1){(x)² + 2. x. 1+1}²
= (x – 1)(x + 1)² = (x – 1)(x + 1)(x + 1)
(vi) x³ + x² + x + 1
উত্তৰঃ x³ + x² + x + 1
= x²(x + 1) + 1(x + 1)
= (x + 1)(x² + 1)
(vii) x³ + 2x² – x – 2
উত্তৰঃ x³ + 2x² – x – 2
ধৰা হ’ল p(x) = x³ + 2x² – x – 2
∴ p(- 1) = (- 1)³ + 2(- 1)² – 1 – 2
= – 1 + 2 + 1 – 2 = 0
∴ (x + 1), p(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
(viii) x³ + 3x² -7x – 6
উত্তৰঃ x³ + 3x² – 7x – 6
ধৰা হ’ল P(x) = x³ + 3x² – 7x – 6
∴ P(1) = (1)³ + 3(1)² – 7 × 1 – 6
= 1 + 3 – 7- 6 = – 9 ≠ 0
∴ p(2) = (2)³ + 3(2)² – 7(2) – 6
= 8 + 12 – 14 – 6
= 20 – 20
= 0
∴ (x – 2), P(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ x³ + 3x² + 7x – 6 = (x – 2)(x² + 5x + 3)
(ix) 3x³ + 5x² – 16x – 2
উত্তৰঃ 3x³ + 5x² – 16x – 2
ধৰা হ’ল p(x) = 3x³ + 5x² – 16x – 12
∴ P(1) = 3(1)³ + 5(1)² – 16 × 1 – 12
= 3 + 5 – 16 – 12 = – 20≠0
∴ P(2) = 3(2)³ + 5(2)² – 16 × 2 – 12
= 24 + 20 – 32 – 12 = 44 – 44 = 0
∴ (x – 1), P(x) – ৰ এটা উৎপাদক।
∴ 3x³ + 5x² – 16x – 12
= (x – 2)(3x² + 11x + 6)
=(x-2) {(3x² + 9x + 2x + 6}0
= (x – 2){3x(x + 3) + 2(x + 3)}
= (x – 2)(x + 3)(3x + 2)
6. যদি x² + px + q আৰু x² + mx + n বহুপদ দুটা x + a এটা সাধাৰণ উৎপাদক তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে – a = n – q / p – m
উত্তৰঃ ∴ x² + px + q আৰু x² + mx + n – ৰ এটা সাধাৰণ উৎপাদক।
∴ x + a = 0
⇒ = – a
∴ x² – ap + q = 0
± x² ± am ± n = 0
(বিয়োগ কৰি) am – ap + q – n = 0
⇒ a(m – p) = n – q
7. 2x² – x – 45 ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাৰ তলত খোলমেলিকৈ দিয়া আছে—
(i) 2x(x – 5) + 9(x – 5)
(ii) 2x² – (10 – 9)x – 45
(iii) (x – 5)(2x + 9)
(iv) 2x² – 10x + 9x – 45
শুদ্ধ ক্ৰমটো বাছি উলিয়াও—
(a) (ii) → (i) → (iii) → (iv)
(b) (i) → (iv) → (ii) → (iii)
(c) (ii) → (iv) → (i) → (iii)
(d) (i) → (ii) → (iv) → (iii)
উত্তৰঃ (c) (ii) → (iv) → (i) → (iii)
8. তলৰ বিবৃতি দুটাৰ এটা উক্তি (A) আৰু আনটো যুক্তি (R) আৰু লগতে চাৰিটা বিকল্প (a), (b),(c) আৰু (d) দিয়া আছে। শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিয়াও—
উক্তি (A) : যদি a ≠ 0 আৰু ax² + bx + a, (x – a) ৰ সম্পূৰ্ণ বিভাজ্য হয় তেন্তে
a² + b + 1 = 0
যুক্তি (R) : যদি (x – a) বহুপদ ৰাশি f(x) ৰ উৎপাদক হয়, তেন্তে f(a) = 0
(a) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য আৰু যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
(b) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য কিন্তু যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।
(c) উক্তি (A) সত্য কিন্তু যুক্তি (R) অসত্য।
(d) উক্তি (A) অসত্য কিন্তু যুক্তি (R) সত্য।
উত্তৰঃ (a) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য আৰু যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
9. যদি (x + 1) আৰু (x-1), P(x) = ax3 + bx2 + cx + d ৰ উৎপাদক হয়, তেন্তে
(a) a+d=0
(b) b + d = 0
(c) b+c=0
(d) a + b = 0
উত্তৰঃ (b) b + d = 0
| অনুশীলনী- 2.4 |
1. তলৰ পূৰণফলকেইটা নিৰ্ণয় কৰিবলৈ উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰা।
(i) (x + 4)(x + 10)
উত্তৰঃ (x + 4)(x + 10)
= x² + (4 + 10)x + 4 × 10[(x + a) (x + b)
= x² + (a + b)x + ab
= x² + 14x + 40
[ব্যৱহাৰ কৰি ইয়াত, a = 4, b = 0 ধৰা হৈছে।]
(ii) (x + 8)(x – 10)
উত্তৰঃ (x + 8)(x – 10)
= x² + [8 + (- 10)]x + 8 × (- 10)
= x² – 2x – 80
(iii) (3x + 4)(3x – 5)
উত্তৰঃ (3x + 4)(3x – 5)
= (3x)² + [4 + (- 5)]3x + 4 × (- 5)
= 9x² – 3x – 20
উত্তৰঃ
(v) (3 – 2x) (3 + 2x)
উত্তৰঃ (3 – 2x)(3 + 2x)
= (3)² + (- 2x + 2x) × 3 + (- 2x)(2x)
= 9 + 0 × 3 – 4x²
= 9 – 4x²
2. প্ৰত্যক্ষভাৱে পূৰণ নকৰি তলৰ পূৰণফলসমূহ নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) 103 × 107
উত্তৰঃ (i) 103 × 107
= (100 + 3) × (100 + 7)
= (100)² + (3 + 7) × 10 + (3 × 7)
[(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab ব্যৱহাৰ কৰি]
= 10000 + 1000 + 21
= 11021
(ii) 95 × 96
উত্তৰঃ 95 × 96
= (100 – 5) × (100 – 4)
= (100)² + [(- 5) + (- 4)] × 10 + (- 5) × (- 4)
= 10000 – 900 + 20 = 9120
(iii) 104 × 96
উত্তৰঃ 104 × 96
= (100 + 4) × (100 – 4)
= (100)² + [4 + (- 4)] × 100 + (14x – 4)
= 1000 + 0 × 100 – 16
= 10000 – 16 = 9984
3. উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ
(i) 9x² + 6xy + y²
উত্তৰঃ 9x² + 6xy + y²
= (3x)² + 2.3x.y + (y)² = (3x + y)²
[(a+b² = a² + 2ab + b² ব্যৱহাৰ কৰি। ইয়াত a = 3x আৰু b = y]
(ii) 4y² – 4y + 1
উত্তৰঃ 4y² – 4y + 1
= (2y)² – 2.2y.1 + (1)² = (2y – 1)²
উত্তৰঃ
4. উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ ৰাশিবোৰ বিস্তাৰ কৰাঃ
(i) (x + 2y + 4z)²
উত্তৰঃ (x + 2y + 4z)²
= x² + (2y)² + (4z)² + 2x(2y) + 2(2y)(4z) + 2(4z)x
= x² + 4y² + 16z² + 4xy + 16yz + 8xz
[(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2be + 2ca অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি।]
(ii) (2x – y + z)²
উত্তৰঃ (2x – y + z)²
= (2x)² + (- y)² + (z)² + 2 × 2x (- y) + 2(- y)z + 2 × z × 2x
= 4x² + y² + z² – 4zy – 2yz + 4xz
(iii) (- 2x + 3y + 2z)²
উত্তৰঃ (- 2x + 3y + 2z)²
= (- 2x)² + (3y)² + (2z)² + 2(- 2x)3y + 2 × 3y × 2z + 2 × 2z(- 2x)
= 4x² + 9y² + 4z² – 12xy + 11yz – 8xz
(iv) (3a – 7b – c)²
উত্তৰঃ (3a – 7b – c)²
= [3a + (- 7b) + (- c)]²
= (3a)² + (- 7b)² + (- c)² + 2(3a)(- 7b) + 2(- 7b)(- c) + 2 (- c)(3a)
= 9a² + 49b² + c² – 42ab + 14bc – 6ca
(v) (2x + 5y – 3z)²
উত্তৰঃ (2x + 5y – 3z)²
= (- 2x + 5y – 3z)²
= (- 2x)² + (5y)² + (- 3z)² + 2(- 2x)(5y) + 2(5y)(- 3z) + 2(- 3z)(- 2x)
= 4x² + 25y² + 92² – 20xy – 30yz + 12zx
উত্তৰঃ
5. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ
(i) 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz -16xz
উত্তৰঃ 4x² + 9y² + 16z² + 12xy – 24yz – 16xz
= (2x)² + (3y)² + (- 4z)² + 2(2x)(3y) + 2(3y)(- 4z) + 2(2x)(- 4z)
= (2x + 3y – 4z)
[(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca ব্যৱহাৰ কৰা হল]
উত্তৰঃ
6. তলৰ ঘনকেইটা বিস্তাৰিত কৰি লিখাঃ
(i) (2x + 1)³
উত্তৰঃ (2x + 1)³
= (2x)³ + (1)³ + 3(2x)1(2x + 1)
= 8x³ + 1 + 12x² + 6x
= 8x³ + 12x² + 6x + 1
[(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) ব্যৱহাৰ কৰি]
(ii) (2a – 3b)³
উত্তৰঃ (2a – 3b)³ = (2a)³ – (3b)³- 3(2a)(3b)(2a – 3b)
= 8a³ – 27b³ + 36a²b + 54ab²
[(a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b) ব্যৱহাৰ কৰি]
উত্তৰঃ
উত্তৰঃ
7. উপযুক্ত অভেদ ব্যৱহাৰ কৰি তলৰ ৰাশিবোৰৰ মান নির্ণয় কৰা।
(i) (99)³
উত্তৰঃ (99)³
= (100 – 1)³
= (100)³ – 1³ – 3(100)1(100 – 1)
[(a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b) ব্যৱহাৰ কৰি]
(ii) (102)³
উত্তৰঃ (102)³
= (100 + 2)³
= (100)³ + (2)³ + 3(100)(2)(100 + 2)
[(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) ব্যৱহাৰ কৰি]
= 1000000 + 8 + 60000 + 1200 = 1061208
(iii) (998)³
উত্তৰঃ (998)³
= (1000 – 2)³
= (1000)³ – (2)³ – 3(1000)(2)(100 – 2)
= 1000000000 – 8 – 6000000 + 12000
= 1000012000 – 6000000 + 12000
= 1000012000 – 6000008
= 994011992
8. তলৰ প্ৰতিটোৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ
(i) 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
উত্তৰঃ 8a³ + b³ + 12a²b + 6ab²
(2a)³ + b³ + 3(2a)b(2a + b) = (2a + b)³
[(x + y)³ = x³ +y³ + 3xy(x + y) ব্যৱহাৰ কৰি]
(ii) 8a³ – b³ – 12a²b – 6ab²
উত্তৰঃ 8a³ – b³ – 12a²b – 6ab²
= (2a)³ – b³ – 3.2a.b(2a – b) = (2a – b)³
[(x – y)³ = x³ – y³ – 3xy(x – y) ব্যৱহাৰ কৰি]
(iii) 27 – 125a³ – 135a + 225a²
উত্তৰঃ 27 – 125a³ – 135a + 225a²
= (3)³ – (5a)³ – 3. (3) (5a)(3 – 5a) = (3 – 5a)³
(iv) 64a³ – 27b³ – 144a²b + 108ab²
উত্তৰঃ 64a3 − 27b3 −144a2b+108ab2
= (4a)3 − (3b)3 − 3 (4a)(3b) (4a−3b)
= (4a−3b)3
উত্তৰঃ
9. সত্যাপন কৰাঃ
(i) x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²)
উত্তৰঃ R.H.S. = (x + y)(x² – xy + y²)
= x(x² – xy + y²) + y(x² – xy + y²)
= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³
= x³ + y³ = L.H.S. [সত্যতা প্রতিপাদন কৰা হ’ল]
(ii) x³ – y³ = (x – y)(x² + xy + y²)
উত্তৰঃ R.H.S = (x – y)(x² + xy + y²)
= x(x² + xy + y²) – y(x² + xy + y²)
= x³ + x²y + xy² – x²y – xy² – y³
= x³ – y³ = L.H.S. [সত্যতা প্রতিপাদন কৰা হ’ল]
10. উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰাঃ
(i) 27y³ + 125z³
উত্তৰঃ 27y³ + 125z³
= (3y)³ + (5z)³
= (3y + 5z)[(3y)² – (3y)(5z) + (5z)²]
[a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²) ব্যৱহাৰ কৰি]
(ii) 64m³ – 343n³
উত্তৰঃ 64m³ – 343n³
= 64m³ – 343n³
= (4m)³ – (7n)³
= (4m-7n)[(4m)² + (4m)(7n) + (7n)²]
= (4m – 7n)(16m² + 28mn + 49n²)
11. 27x³ + y³ + z³ – 9xyz – ৰ উৎপাদক বিশ্লেষণ কৰা।
উত্তৰঃ 27x³ + y³ + z³- 9xyz
= (3x)³ + y³ + z³ – 3(3x).y.z
= (3x + y + z)[(3x)² + y² + z² – (3x)y – yz – (3x)z]
= (3x + y + z)(9x² + y² + z² – 3xy – yz – 3xz)
[a³ + b³ + c³ – 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² – ab – bc – ca) বাৱহাৰ কৰি]
12. সত্যাপন কৰা যে
x³ + y³ + z³ – 3xyz = ½ (x + y + z) [(x – y)² +(y – z)² (z−x)²]
উত্তৰঃ R.H.S. = 1/2(x + y + z)[(x – y)² + (y – z)² + (z – x)²]
= 1/2(x + y + z)[x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – 2xz + x²]
= 1/2(x + y + z) [2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx)
= 1/2(x + y + z) × 2[x² + y² + z² – xy – yz – zx]
= (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x(x² + y² + z² – xy – yz – zx) + y(x² + y² + z² – xy – yz – zx) +z(x² + y² + z² – xy – yz – zx)
= x³ + xy² + xz² – x²y – xyz – zx² + yx² + y³ + yz² – xy² – y²z – xyz + x²z + zy² + z³ – xyz – yz² – z² x
= x³ + (xy² – xy²) + (xz² – xz²) + (- x²y + x²y) + (zx² – x²z) +(yz² – yz²) + (zy² – y²z) + y³ + z³ – 3xyz
= x³ + y³ + z³ – 3xyz = L. H.S. [সত্যতা প্ৰতিপাদন কৰা হ’ল]
13. (i) যদি x + y + z = 0, তেন্তে দেখুওৱা যে x³ + y³ + z³ = 3xyz.
উত্তৰঃ ∴ x + y + z = 0
⇒ x + y = – z……(i)
⇒ (x + y)³ = (- z)³ [ঘন কৰি]
⇒ x³ + y³ + 3xy(x + y) = – z³
⇒ x³ + y³ + z³ + 3xy(- z) = 0 [(i) – ৰ পৰা]
⇒ x³ + y³ + z³ – 3xyz = 0
∴ x³ + y³ + z³ = 3xyz [প্রমাণিত]
(ii) যদি a + b + c = 0, তেন্তে দেখুওৱা যে- a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b) + 3abc = 0
উত্তৰঃ ∴ a + b + c = 0 ∴ a + b = – c, b, b + c = – a
প্ৰমাণ কৰিব লাগে, a²(b + c) + b²(c + a) + c²(a + b) + 3abc = 0
⇒ a²b + a²c + b²c + b²a + c²a + c²b + 3abc = 0
⇒ a²b + b²a + a²c + c²a + b²c + c²b + 3abc = 0
⇒ ab(a + b) + ac(a + c) + bc(b + c) + 3abc = 0
⇒ ab(- c) + ac(- b) + bc(- a) + 3abc = 0
⇒ – abc – abc – abc + 3abc = 0
⇒ – 3abc + 3abc = 0 [প্রমাণিত]
(iii) যদি 2a – b + c = 0, তেন্তে দেখুওৱা যে 4a² – b² + c² + 4abc = 0
উত্তৰঃ ∴ 2a – b + c = 0
⇒ 2a + c = b
∴ বাঁওপক্ষ = 4a² – b² + c² + 4ac
= 4a² + 4ac + c² – b²
= {(2a)² + 2.2a.c + c²} – b²
= (2a + c)² – b²
= b² – b² = 0 = সৌপক্ষ (প্রমাণিত)
(iv) যদি a + b + c = 0, তেন্তে দেখুওৱা যে
উত্তৰঃ ∴ a + b + c = 0
⇒ a + b = – c ⇒ a + c = – b ⇒ b + c = – a
(v) যদি a² + b² + c²- ab – bc – ca = 0 তেন্তে দেখুওৱা যে a = b = c.
উত্তৰঃ ∴ a² + b² + c² – ab – bc – ca = 0
⇒ 1/2(2a² + 2b² + 2c² – 2ab – 2bc – 2ca = 0
⇒ {(a² – 2ab + b²) + (a² – 2ca + c²) + (b² – 2bc + c²)} = 0
⇒ {(a – b)² + (a – c)² + (b – c)²} = 0
⇒ (a – b)² = 0, (a – c)² = 0, (b – c)² = 0
⇒ a – b = 0 ⇒ a – c = 0 ⇒ b – c = 0
⇒ a = b ⇒ a = c ⇒ b = c
∴ a = b = c (প্রমাণিত)
14. ঘনফল প্ৰকৃতৰ্থত নিৰ্ণয় নকৰাকৈ তলৰ প্ৰতিটোৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
(i) (- 12)³ + (7)³ + (5)³
উত্তৰঃ ধৰাহ’ল, a = – 12, b = 7, c = 5
যেতিয়া, a + b + c = 0 হয়, তেতিয়া, a² + b² + c² = 3abc হ’ব।
ইয়াত, a + b + c = -12 + 7 + 5 = 0
∴ (-12)³ + (7)³ + (5)³
= 3(- 12) (7) (5) = – 1260
(ii) (28)³ + (- 15)³ + (- 13)³
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, a = 28, b = -15 আৰু c = – 13
এতিয়া, a + b + c = 28 + (- 15) + (- 13)
= 28 – 15 – 13 = 28 – 28 = 0
⇒ a + b + c = 0
∴ a³ + b³ + c³ = 3abc
⇒ (28)³ + (- 15)³ + (- 13)³ = 3(28)(- 15) (- 13) = 16380
15. তলত কালি দিয়া আয়তবিলাকৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থৰ বাবে সম্ভাব্য ৰাশিবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ আয়তক্ষেত্ৰৰ কালি L × B = 25a² – 35a + 12
⇒ L × B = 25a² – 15a – 20a + 12
= 5a(5a – 3) – 4(5a – 3) = (5a – 4)(5a – 3)
∴ যদি দৈর্ঘ্য (L) = (5a – 4) হয় তেন্তে প্রস্থ (5a – 3)
আকৌ, দৈর্ঘ্য = (5a – 3) হ’ল, প্রস্থ = (5a – 4) হ’ব।
উত্তৰঃ ∴ আয়তক্ষেত্ৰৰ কালি L × B
⇒ L × B = 35y² + 13y – 12 = 35y² + 28y – 15y – 12
= 7y(5y + 4) – 3(5y + 43) = (5y + 4) (7y – 3)
∴ যদি দৈর্ঘ্য = (5y – 4) হ’য় তেন্তে প্রস্থ (7y – 3)
আকৌ, দৈর্ঘ্য = (7y – 3) হল, প্রন্থ = (5y + 4) হ’ব।
16. তলত আয়তন দিয়া ঘনকৰ মাত্ৰা তিনিটাৰ বাবে সম্ভাব্য ৰাশিকেইটা কি কি হ’ব?
উত্তৰঃ আয়তীয় ঘনকৰ ক্ষেত্ৰফল = 3x² – 12x [প্রদত্ত]
⇒ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = 3x(x – 4)
∴ আয়তীয় ঘনকৰ এটা সম্ভৱপৰ আকৃতি হ’লঃ 3, x আৰু (x – 4)
উত্তৰঃ আয়তীয় ঘনকৰ ক্ষেত্ৰফল = 12ky² + 8ky – 20k
⇒ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = 4k(3y² + 2y – 5)
= 4k[(3y² + 5y – 3y – 5)]
= 4k[y(3y + 5) – 1(3y + 5)]
= 4k[(3y + 5)(y – 1)]
⇒ দৈর্ঘ্য × প্রস্থ × উচ্চতা = 4k(3y + 5)(y – 1)
∴ আয়তীয় ঘনকৰ এটা সম্ভৱপৰ আকৃতি হলঃ 4k, (3y + 5) আৰু (y – 1)
Subject Ka Complete Video Solution Dekhein
Step-by-step easy concept explanation aur full questions Answer ke liye watch karein ya app download karein:
Buy Now