SEBA Class 9 Mathematics Chapter 10 বৃত্ত

SEBA Class 9 Mathematics Chapter 10 বৃত্ত Question Answer Assamese Medium As Per New Syllabus. to each chapter is provided in the list so that you can easily browse through different chapters SEBA Class 9 Mathematics Chapter 10 বৃত্ত Notes and select need one. SEBA Class 9 Mathematics Chapter 10 বৃত্ত Question Answers Download PDF. SEBA Class 9 General Maths Solutions in Assamese.

SEBA Class 9 Mathematics Chapter 10 বৃত্ত

Also, you can read the SEBA book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per Board of Secondary Education, Assam (SEBA) Book guidelines. SEBA Class 9 Mathematics Chapter 10 বৃত্ত are part of All Subject Solutions. Here we have given SEBA Solutions For Class 9 Maths in Assamese Medium for All Chapters, You can practice these here.

বৃত্ত

Chapter: 10

অনুশীলনীঃ 10.1

1. খালি ঠাই পূৰণ কৰা।

(i) বৃত্তৰ কেন্দ্ৰ বৃত্তটোৰ ________________ ত অৱস্থিত। (বহিঃভাগ/অন্তঃভাগ)

উত্তৰঃ অন্তঃভাগ।

(ii) এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰপৰা এটা বিন্দুৰ দূৰত্ব ইয়াৰ ব্যাসার্দ্ধতকৈ বেছি হ’লে ই বৃত্তটোৰ ________________ ত অৱস্থিত। (বহিঃভাগ/অন্তঃভাগ)

উত্তৰঃ বহিঃভাগ।

(iii) এটা বৃত্তৰ বৃহত্তম জ্যাডাল বৃত্তটোৰ ________________।

উত্তৰঃ ব্যাস।

(iv) এটা চাপৰ প্ৰান্তবিন্দু এডাল ব্যাসৰ প্ৰান্তবিন্দু হ’লে চাপটো এটা ________________।

উত্তৰঃ অর্ধবৃত্ত।

(v) এটা বৃত্তৰ বৃত্তখণ্ড বৃত্তটোৰ এটা চাপ আৰু ________________ মধ্যবৰ্তীক্ষেত্ৰ।

উত্তৰঃ জ্যা। 

(vi) এটা বৃত্তই বৃত্তটো থকা সমতলখনক ________________ ভাগত ভাগ কৰে। 

উত্তৰঃ তিনিটা।

2. সঁচা বা মিছা লিখাঃ তোমাৰ উত্তৰৰ যুক্তি দিয়া।

(i) কেন্দ্ৰ আৰু বৃত্তৰ যিকোনো এটা বিন্দু সংযোগী ৰেখাখণ্ড বৃত্তটোৰ এডাল ব্যাসার্দ্ধ।

উত্তৰঃ সঁচা।

(ii) এটা বৃত্তৰ সীমিতসংখ্যকহে সমান জ্যা থাকে।

উত্তৰঃ মিছা।

(ⅲ) এটা বৃত্তক তিনিটা সমান চাপত বিভক্ত কৰিলে প্রত্যেকেই এটা অধি চাপ হ’ব।

উত্তৰঃ মিছা।

(iv) এডাল জ্যা, যি বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধৰ দুগুণ সেয়া বৃত্তটোৰ এডাল ব্যাস।

উত্তৰঃ সঁচা।

(v) এটা বৃত্তাংশ বৃত্তৰ জ্যা আৰু ইয়াৰ অনুৰূপ চাপৰ মাজৰ ক্ষেত্র।

উত্তৰঃ মিছা।

(vi) এটা বৃত্ত সামতলিক আকাৰ।

উত্তৰঃ সঁচা।

3. এটা বৃত্তৰ পৰিধিত থকা দুটা যিকোনো বিন্দুৰ মাজৰ অংশটোৰ নাম কি ?

(a) বৃত্তখণ্ড  

(b) ব্যাস  

(c) বৃত্তচাপ  

(d) জ্যা

উত্তৰঃ (c) বৃত্তচাপ

4. বৃত্ত এটাই তাৰ সমতলখনক কেইটা অংশত ভাগ কৰে ?

(a) 4  

(b) 3  

(c) 2  

(d) 1

উত্তৰঃ (b) 3

অনুশীলনী-10.2

1. মনত পেলোৱা যে দুটা বৃত্ত সর্বসম হ’ব যদি সিহঁতৰ ব্যাসার্দ্ধ একে হয়। প্রমাণ কৰা যে, সর্বসম বৃত্তৰ সমান জ্যাই কেন্দ্রত সমান কোণ উৎপন্ন কৰে। 

উত্তৰঃ দুটা বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধবোৰ সমান হ’লে বৃত্তদ্বয় সর্বাংগসম হ’ব।

দিয়া আছেঃ PQ আৰু RS দুটা সর্বাংগসম বৃত্তৰ সমান জ্যা। 

C(O,r) আৰু C (O’,r) বৃত্ত দুটাৰ কেন্দ্ৰদ্বয়।

প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে – ∠POQ = ∠ROS

প্রমাণঃ ∆POQ আৰু ∆ROS – ৰ OP = OQ = OR = OS (ব্যাসার্দ্ধ) 

PQ = RS (প্রদত্ত)

∴ ∆POQ ≅ ∆ROS (SSS স্বীকার্য্য মতে) 

∴ ∠POQ = ∠RO’S (প্রমাণিত)

2. প্ৰমাণ কৰা যে, যদি সর্বসম বৃত্তৰ জ্যাই কেন্দ্রত সমান কোণ উৎপন্ন কৰে তেন্তে জ্যাবোৰ সমান।

উত্তৰঃ

দিয়া আছেঃ দুটা সর্বাংগসম বৃত্তৰ দুটা জ্যা হ’লঃ PQ আৰু RS। C (O,r) আৰু C(O’,r’) বৃত্ত দুটাৰ কেন্দ্র। 

প্রমাণ কৰিব লাগে- PQ = RS 

প্রমাণঃ ∆POQ আৰু ∆ROS ত্রিভুজ দুটাৰ 

OP = OQ = OR = OS = r (ব্যাসার্দ্ধ)

∠POQ = ∠ROS [প্রদত্ত] 

∴ ∆POQ ≅ ∆ROS (S – A – S স্বীকার্য্য মতে] 

∴ PQ = RS (প্রমাণিত)।]

3. তলৰ কোনকেইটা উক্তি সত্য বা অসত্য ?

(P) এটা বৃত্তৰ সীমিত সংখ্যক সমান জোখৰ জ্যা থাকে।

(Q) বৃত্ত এটাৰ সমান সমান জোখৰ জ্যাবোৰে বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰত সমান জোখৰ কোণ উৎপন্ন কৰে।

(a) P সত্য, Q অসত্য

(b) P অসত্য, Q সত্য

(c) P আৰু Q দুয়োটাই সত্য

(d) P আৰু Q দুয়োটাই অসত্য

উত্তৰঃ (b) P অসত্য, Q সত্য

অনুশীলনী-10.3

1. পৰস্পৰ ছেদ কৰাকৈ আৰু নকৰাকৈ বিভিন্ন বৃত্তৰ যোৰ অংকন কৰা। প্রত্যেক যোৰ বৃত্তৰ কিমান সাধাৰণ বিন্দু আছে। বিন্দুৰ সৰ্ব্বোচ্চ সংখ্যা কি?

উত্তৰঃ 

চিত্রঃ (i), (ii), (iii) ত বৃত্তবোৰ কটাকটি কৰা নাই।

চিত্রঃ (iv) আৰু (v) – ত বৃত্তবোৰে 1 টা বিন্দুক কাটিছে (স্পর্শ কৰিছে)।

(vi), বৃত্ত দুটাই পৰস্পৰ ২টা বিন্দুত কাটিছে। 

বিন্দুৰ সৰ্বোচ্চ সংখ্যা অসীম। 

2. ধৰা হ’ল, তোমালোকক এটা বৃত্ত দিয়া আছে। বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ নির্ণয় কৰিবলৈ অংকন প্রণালী দিয়া।

উত্তৰঃ 

বৃত্তটোত তিনিটা যিকোনো বিন্দু A, B আৰু C লোৱা হ’ল।

AB জ্যাৰ লম্বদ্বিখণ্ডক, PQ অঁকা হ’ল। 

BC জ্যাৰ লম্বদ্বিখণ্ডক, ST অঁকা হ’ল।

এই দ্বিখণ্ডক দুডালে পৰস্পৰক O বিন্দুত কাটিছে। O, প্রদত্ত বৃত্তটোৰ কেন্দ্র। 

3. যদি দুটা বৃত্তই দুটা বিন্দুত কটাকটি কৰে, প্ৰমাণ কৰা যে সিহঁতৰ কেন্দ্ৰ সাধাৰণ জ্যাৰ লম্বদ্বিখণ্ডকৰ ওপৰত অৱস্থিত।

উত্তৰঃ 

O আৰু O₁ কেন্দ্ৰীয় বৃত্ত দুটাই পৰস্পৰক A আৰু ও বিন্দুত কাটিছে। PQ, AB – ৰ লম্বদ্বিখণ্ডক। প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে, O আৰু O₁, PQ – ৰ ওপৰত আছে। BO, AO, AO₁, BO₁ অঁকা হ’ল।

প্রমাণঃ ∆AOB আৰু ∆BOC – ৰ ক্ষেত্ৰত 

AO = BO (একে বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ) 

OC = CO (সাধাৰণ বাহু) 

∴ AC = BC (তৃতীয় যোৰ বাহু)

∴ ∆AOC ≅ ∆BOC (SSS স্বীকাৰ্য্য মতে] 

⇒ ∠OCA = ∠OCB

∴ ∠OCA + ∠OCB = 180° 

সেয়ে ∠OCA = 90° = ∠OCB 

অর্থাৎ OC⏊AB……….(i)

 ΔΑO₁C  আৰু ∆BO₁C – ৰ ক্ষেত্ৰত

AO₁ = BO₁ [একে বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ] 

O₁C = CO₁ [সাধাৰণ বাহু]

∴ AC = BC 

∆AO₁C ≅ ∆BO₁C 

⇒ ∠O₁CA = 90° = ∠O₁BC

⇒ CO₁⏊ AB……… …. (ii) 

(i) আৰু (ii) – ৰ পৰা প্ৰমাণিত হয় যে 

OO₁⏊AB 

অর্থাৎ PQ⏊AB (প্রমাণিত)

৪. স্তম্ভ মিলোৱা :

স্তম্ভ – I	স্তম্ভ – II
(P) প্রদত্ত তিনিটা একৰেখীয় নোহোৱা বিন্দুৰ মাজেদি আঁকিব পৰা বৃত্তৰ সংখ্যা _____।	1. লম্ব
(Q) এটা ত্ৰিভুজৰ শীৰ্ষবিন্দু তিনিটাৰ মাজেদি যোৱা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰটোক _____ বোলে।	2. অসংখ্য
(R) বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰ মাজেদি টনা এডাল ৰেখাই জ্যাক সমদ্বিখণ্ডিত কৰিলে ৰেখাডাল জ্যাডালৰ ওপৰত _____ হব।	3. এটা
(S) দুটা প্রদত্ত বিন্দুৰ মাজেদি _____ টা বৃত্ত আঁকিব পাৰি।	4. পৰিকেন্দ্ৰ

শুদ্ধ বিকল্পটো হ’ল —

	P	Q	R	S
(A)	4	3	2	1
(B)	3	4	1	2
(C)	2	1	4	3
(D)	1	2	3	4

উত্তৰঃ (b) 3 4 1 2

অনুশীলনী-10.4

1. 5 ছে.মি. আৰু 3 ছে.মি. ব্যাসার্দ্ধৰ বৃত্ত দুটাই দুটা বিন্দুত কটাকটি কৰিছে আৰু সিহঁতৰ কেন্দ্ৰৰ দূৰত্ব 4 ছে.মি.। সাধাৰণ জ্যাডালৰ দৈৰ্ঘ্য নির্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ

ধৰা হ’ল O কেন্দ্রীয় বৃত্তটোৰ ব্যাসার্দ্ধৰ 3 ছে.মি।

বৃত্ত দুটাই পৰস্পৰ A আৰু B বিন্দুত কৰিছে।

OO’, OA, O’A আৰু AB অঁকা হ’ল।

স্পষ্টতঃ AC⏊OO’ আৰু AC = BC 

ΔAOC – ৰ পৰা পাঁও – 

AC²  = AO² – OC² 

= 5²  –  OC²

= 25 – OC²………..(i) 

ΔΑΟ’C – ৰ পৰা পাঁও – 

AC²  AO² – O’C² 

= 3² – (OO’ – OC)² 

= 9 – (4 – OC)² 

= 9 – (16 + OC² – 8 × OC) 

= 9 – 16 – OC² + 8 × OC 

= – OC²  + 8 × OC – 7 ………. (ii) 

(i) আৰু (ii) তুলনা কৰি পাঁও – 

25 – OC²  = – OC²  + 8 × OC – 7

⇒ 25 = 8 × OC – 7 

⇒ 8 × OC = 25 + 7 = 32

⇒ OC = 32/8 = 4 

OC – ৰ মান (i) নং ত বহুৱাই পাঁও – 

AC² = 25 – 4² = 25 – 16 = 9 

⇒ AC = 3

∴ AB = 2 × 3 = 6

∴ বৃত্ত দুটাৰ উমৈহতীয়া জ্যা (AB) – ৰ দৈর্ঘ্য 6 ছে.মি।

2. যদি এটা বৃত্তৰ দুডাল সমান জ্যাই বৃত্তটোৰ ভিতৰত কটাকটি কৰে তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে, এডাল জ্যাৰ ৰেখাখও দুটা আনডালৰ অনুৰূপ ৰেখাখও দুটাৰ লগত সমান। 

উত্তৰঃ

ধৰা হ’ল O কেন্দ্ৰীয় বৃত্তটোৰ AB আৰু CD সমান জ্যা দুডালে P বিন্দুত কটাকটি কৰিছে। 

প্রমাণ কৰিব লাগে যে AP = CP আৰু BP = DP 

BC আৰু DC অংকন কৰা হ’ল।

প্ৰমাণঃ একে জ্যাৰ ওপৰত আৰু একে দিশত অৱস্থিত হোৱাৰ বাবে-

∠BAD = ∠BCD 

⇒ ∠PAD = ∠PCB…………. (i) 

একেদৰে, ∠ABC = ∠ADC

⇒ PBC = ∠PDA………..….. (ii) 

∆ABD ≅ ∆BCD 

⇒ BC = AD………….(iii)

∴ (i) (ii) আৰু (ⅲ) – ৰ পৰা পাওঁ যে – 

∆APD ≅ ∆CPB [ASA স্বীকাৰ্য্য মতে] 

∴ AP = CP আৰু BP = DP (প্রমাণিত)।

3. যদি এটা বৃত্তৰ দুডাল সমান জ্যাই বৃত্তটোৰ ভিতৰত কটাকটি কৰে, তেন্তে প্ৰমাণ কৰা যে, কেন্দ্র আৰু ছেদ বিন্দু সংযোগী ৰেখাই জ্যা দুডালৰ লগত সমান কোণ কৰে। 

উত্তৰঃ 

ধৰা হ’ল O কেন্দ্ৰীয় বৃত্তৰ AB, CD দুডাল সমান জ্যা আৰু ইহঁতে P বিন্দুত কটাকটি কৰিলে। 

প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে, 

∠AOP = ∠COP

আৰু ∠DOP = ∠BOP.

BO আৰু DO অংকন কৰা হ’ল।

প্রমাণঃ ∆COP আৰু ΔΑΟΡ – ৰ।

CO = AO [একে বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ] 

OP সাধাৰণ বাহু 

∴ CP = AP [তৃতীয়মোৰ বাহু।

∴ ΔCΟΡ ≅ ΔΑΟΡ [SSS স্বীকাৰ্য্য মতে]

∴ ∠AOP = ∠COP………….. (i) 

একেদৰে, ∆BOP আৰু ∆DOP – ৰ ক্ষেত্ৰত 

BO = DO [একে বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধ] 

OP সাধাৰণ বাহু 

⇒ BP = DP [তৃতীয়যোৰ বাহু] 

∴ ∆BOP ≅ ∆DOP [SSS স্বীকার্য্য মতে] 

∴ ∠BOP = ∠DOP………… (ii) 

(i) আৰু (ii) – ৰ পৰা প্ৰমাণিত হ’ল যে –

∠AOP = ∠COP আৰু

∠BOP = ∠DOP. (প্রমাণিত)

4. যদি এডাল ৰেখাই দুটা ঐককেন্দ্রিক বৃত্ত (একে কেন্দ্রবিন্দুবিশিষ্ট বৃত্ত), যাৰ কেন্দ্র O ক A, B, C আৰু D বিন্দুত কটাকটি কৰে তেন্তে প্রমাণ কৰা যে, AB = CD [চিত্র 10.25 চোৱা) 

উত্তৰঃ 

AO, BO, CO, DO 

আৰু OP⏊BC অঁকা হ’ল। 

প্রমাণঃ ∆AOP আৰু ∆DOP পৰা পাওঁ – 

AO = DO [একে বৃত্তৰ ব্যসার্দ্ধ)

OP সাধাৰণ বাহু

∴ BP = CP [তৃতীয়যোৰ বাহ]………..(ii) 

এতিয়া (i) – ৰ পৰা (ii) বিয়োগ কৰি – 

AP – BP = DP – CP 

⇒ AB = CD (প্রমাণিত)

5. এখন উদ্যানত থকা 5 মি. ব্যাসার্দ্ধ বৃত্ত এটাত তিনিজনী ছোৱালী ৰেজিয়া, মেৰী আৰু নীলাক্ষীয়ে থিয় হৈ এটা খেল খেলিছে। ৰেজিয়াই এটা বল মেৰীলৈ, মেৰীয়ে নীলাক্ষীলৈ আৰু নীলাক্ষীয়ে ৰেজিয়ালৈ দলিয়াইছে। যদি ৰেজিয়া আৰু মেৰীৰ মাজৰ দূৰত্ব আৰু মেৰী আৰু নীলাক্ষীৰ মাজৰ দূৰত্ব 6 মি. কৈ হয়, নীলাক্ষী আৰু ৰেজিয়াৰ মাজৰ দূৰত্ব কিমান?

উত্তৰঃ

দিয়া আছেঃ OR + OS + OM = 5 মি.

RS = SM = 6 মি 

RN – ৰ মান নির্ণয় কৰিব লাগে। 

OT⏊RM অঁকা হ’ল। 

∆STM – ৰ পৰা পাঁও – 

MT² = SM² – ST² [∴ ST⏊RM]

MT² = SM² – ST²

= SM² -b(SO + OT)²

= 6² – (5 + OT)²

= 36 – (25 + 10 × OT + OT²) 

= 11 – 10 × OT – OT²………… (i) 

ΔΟΜΤ – ৰ পৰা পাওঁ – 

MT² = OM² – OT² 

= 5² – OT²…………(ii) 

(i) আৰু (ii) – ৰ পৰা পাওঁ – 

11 – 10 × OT – OT² = 25 – OT²

⇒ 10 × OT = 25 – 11 = 14 

⇒ OT = 14/10 = 1.4 

OT – ৰ মান (ii) ত বহুৱাই পাওঁ- 

MT² = 5² – (1.4)²

= 25 – 1.96

= 23.04

∴ RM = 2 × MT 

= 2 × 4.8 = 9.6 ছে.মি.

6. এখন বসতিস্থলত 20 মি. ব্যাসার্দ্ধ এখন বৃত্তাকাৰ উদ্যান আছে। তিনিটা ল’ৰা অংকুৰ, ছৈয়দ আৰু চন্দনে হাতত তাঁৰযুক্ত পুতলাফোন লৈ ইয়াৰ সীমাত সমদূৰত্বত বহি আছে ইজনে-সিজনৰ লগত কথা পাতিবলৈ। প্রতিটো ফোনৰ তাঁৰৰ দৈর্ঘ্য নির্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ

তিনিটা ল’ৰা অংকুৰ, ছৈয়দ আৰু চন্দনৰ অৱস্থান হ’ল A, B আৰু C। এই তিনিটা বিন্দু একে দূৰত্বত আছে।

∴ AB = BC = AC = am (ধৰা হ’ল) 

∴ সমান জ্যাবোৰৰ লম্ব দূৰত্ব কেন্দ্ৰৰ পৰা সমান। 

∴ OD = OE = OF = xm ধৰা হ’ল-

AB, OB আৰু OC সংযোগ কৰা হ’ল। 

এতিয়া, তিনিটা সর্বাংগসম ΔΟΑΒ, ΔΟΒC আৰু ∆AOC পোৱা গ’ল।

∴ ΔΑΟΒ = ΔΟΒC = ∆АОС………(i)

∴ am বাহুবিশিষ্ট ABC সমবাহু ত্রিভুজৰ কালি-

 = ΔΑΟΒ + ΔΒΟС + ∆АОС……….. (ii) 

⇒ ∆ABC – ৰ কালি = 3 ∆BOC – ৰ কালি [(i) আৰু (ii) ব্যৱহাৰ কৰি]

আকৌ, OE⏊BC

এতিয়া, সমকোণী ত্রিভুজ BEO – ৰ পৰা পাওঁ- OE² + BE² = OB² [পাইথাগোৰাছৰ সূত্রমতে]

⇒ x² = 100 

⇒ x = 10 ছে.মি. …………(iv) 

এতিয়া, (iii) – ৰ পৰা পাওঁ –

7. উক্তি (A): যদি এটা বৃত্তৰ PQ আৰু RS জ্যা দুডাল বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰৰ পৰা 5 ছেমি দূৰত্বত আছে, আৰু পোৱা গ’ল PQ = RS।

যুক্তি (R): এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰপৰা সমদূৰত থকা জ্যাবোৰ সমান।

(a) উক্তি (A) সত্য, যুক্তি (R) ও সত্য আৰু যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা। 

(b) উক্তি (A) সত্য, যুক্তি (R) ও সত্য কিন্তু যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।

(c) উক্তি (A) সত্য, যুক্তি (R) অসত্য।

(d) উক্তি (A) অসত্য, যুক্তি (R) সত্য।

উত্তৰঃ (a) উক্তি (A) সত্য, যুক্তি (R) ও সত্য আৰু যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

8. এটা বৃত্তৰ বাবে তলত দিয়া কোনবোৰ উক্তি শুদ্ধ?

(i) এটা বৃত্তৰ কেন্দ্ৰৰপৰা সমদূৰত থকা জ্যাবোৰ সমান।

(ii) সৰ্বসম বৃত্তৰ সমান জ্যাই কেন্দ্রত সমান কোণ উৎপন্ন কৰে।

(iii) প্রদত্ত তিনিটা বিন্দুৰ মাজেৰে অসংখ্য বৃত্ত অংকন কৰিব পাৰি।

(iv) বিভিন্ন কেন্দ্রযুক্ত সমান ব্যাসার্ধৰ বৃত্তবোৰক ঐককেন্দ্রিক বৃত্ত বোলা হয়।

(a) (i), (iii)

(b) (i), (ii), (iii)

(c) (i), (ii)

(d) (ii), (iii), (iv)

উত্তৰঃ (c) (i), (ii)

অনুশীলনী-10.5

1. চিত্ৰ 10.36 ত A,B আৰু C তিনিটা বিন্দু O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তত অৱস্থিত যাতে ∠BOC = 30° আৰু ∠AOB 60°। যদি বৃত্তটোৰ ABC চাপত নথকা D বিন্দু তেন্তে ∠ADC নির্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC

 ⇒ ∠ACC = 60° + 30°

 ⇒ ∠AOC = 90° 

এতিয়া, ∠AOC = 2 ∠ADC [∴ কেন্দ্রস্থ কোণ পৰিধি কোণৰ দুগুণ]

⇒ ∠ADC = 1/2∠AOC

∠ADC = 1/2 × 90°

 ∠ADC = 45°

2. এটা বৃত্তৰ এডাল জ্যা বৃত্তৰ ব্যাসার্দ্ধৰ সমান। জ্যাডালে উপ চাপটোৰ কোনো বিন্দুত আৰু অধি চাপটোৰ কোনো বিন্দুত উৎপন্ন কৰা কোণ নির্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ 

ধৰা হ’ল AB হ’ল গৌণ চাপ।

∴ জ্যা AB = OA ব্যাসার্দ্ধ OB ব্যাসার্দ্ধ 

∴ ∆AOB এটা সমবাহু ত্রিভুজ।

∴ ∠AOB = 60° [∴ সমবাহু ত্রিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ পৰিমাণ = 60°] 

এতিয়া, mAB + mBA = 360° 

⇒ 60° + ∠BOA = 360° 

⇒ ∠BOA = 300°

D হ’ল গৌণ চাপৰ ওপৰত হ’ল এটা বিন্দু। 

∴ mBA = 2∠BDA 

⇒ ∠B = 2∠BDA 

⇒ ∠BDA = 1/2∠BOA 

⇒ ∠BDA = 1/2 × 300°

⇒ ∠BDA = 150° 

∴ গৌণ চাপ AB দ্বাৰা গঠিত D বিন্দুত কোণৰ পৰিমাণ = 150° 

আকৌ, E হ’ল মুখ্যচাপ BA – ত থকা এটা বিন্দু। 

∴ m AB = 2∠AEB 

⇒ ∠AOB = 2∠AEB 

⇒ ∠AEB = 1/2 ∠AOB

⇒ ∠AEB = 1/2 × 60° 

⇒ ∠AEB = 30°

∴ E বিন্দুত গৌণ চাপ AB দ্বাৰা গঠিত কোণৰ পৰিমাণ = 30° 

3. চিত্র 10.37 ত ∠PQR = 100° য’ত P,Q আৰু R,’O’ কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তৰ বিন্দু। ∠OPR নির্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ 

 চিত্রত, PQR গৌণ চাপত Q এটা বিন্দু। 

∴ MRP = 2∠PQR 

⇒ ∠ROP = 2∠PQR

⇒ ∠ROP = 2 × 100° 

⇒ ∠ROP = 200° 

এতিয়া, mPR + mRP = 360° 

⇒ ∠POR + ∠ROP = 360°

⇒ ∠POR + 200° = 360°

⇒ ∠POR =  360° – 200°

⇒∠POR = 160°………… (i) 

∴ ∆OPR এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ। 

∴ OP = OR (বৃত্তৰ ব্যাসার্ধ)

∴ ∠OPR = ∠ORP………. (ii) 

∆OPR সমদ্বিবাহু ত্রিভুজত- 

∠OPR + ∠ORP + ∠POR = 180° 

⇒ ∠OPR + ∠ORP + 160° = 180° [(ⅰ) আৰু (ii) ব্যৱহাৰ কৰি] 

⇒ 2∠OPR = 180 – 160° 

⇒ 2∠OPR = 20° 

⇒ ∠OPR = 20°/2 

⇒ ∠OPR = 10°

4. চিত্র 10.38  ∠ABC = 69°, ∠ACB = 31°, ∠BDC নির্ণয় কৰা। 

উত্তৰঃ ∆ABC – ত 

∠RAC + ∠ABC + ∠ACB = 180° 

∠BAC + 69° + 31° = 180° 

∠BAC = 180°- 69° – 31° 

∠BAC = 80°………. (i)

∴ A আৰু D বিন্দু একেই বৃত্ত চাপত অৱস্থিত। 

∴ ∠BDC  = ∠BAC

⇒ ∠BDC = 80° [(i) ব্যৱহাৰ কৰি] 

5. চিত্র 10.39 ত A, B, C আৰু এটা বৃত্তৰ চাৰিটা বিন্দু। AC আৰু BD এ  E বিন্দু কটাকটি কৰিছে যাতে ∠BEC = 130° আৰু ∠ECD = 20° হয়। ∠BAC নির্ণয় কৰা। 

উত্তৰঃ চিত্ৰৰ পৰা পাওঁ- 

⇒ ∠CED + ∠BED = 180° [সৰলৰৈখিক কোণ]

⇒ ∠CED + 130° – 180°

⇒ ∠CED = 180° – 130° 

⇒ ∠CED = 50°……….(i) 

∴ ∠AEB = ∠CED [বিপ্রতীপ কোণ] 

⇒ ∠AEB = 50° [(i) ব্যৱহাৰ কৰি] 

এতিয়া, ∠AEB = ∠CED 

 [∴ একে চাপে পৰিধিত উৎপন্ন কৰা কোণ দুটা সমান] 

⇒ ∠ABD = 20º   [∴ ACD = 20° (প্রদত্ত)] 

∴ ΔΑΕΒ – ৰ

∠BAE + ∠ABE + ∠AEB = 180° 

⇒ ∠BAE + 20° + 50° – 180° 

⇒ ∠BAE = 180° – 70° = 110°

6. ABCD এটা চক্রীয় চতুর্ভুজ যাৰ কর্ণকেইডালে E বিন্দুত কটাকটি কৰে। যদি ∠DBC = 70°, ∠BAC = 30°, ∠BCD নির্ণয় কৰা। ইয়াৰোপৰি, যদি AB = BC, ∠ECD উলিওৱা।

উত্তৰঃ 

∠BDC = ∠BAD

 [∴ একে চাপে পৰিধিত উৎপন্ন কৰা কোণ দুটা সমান] 

⇒ ∠BDC = 30° [∴ ∠BAC = 30°] 

এতিয়া, ∆BCD – ৰ

∠BCD + ∠DBC + ∠BDC = 180° 

⇒ ∠BCD + 70° + 30° = 180° [∴ ∠DBC = 70°]

⇒ ∠BCD = 180° -100° 

⇒ ∠BCD = 80° 

∴ AB = BC

∴ ∠ACB = ∠BAC 

∴ ∠ACB = 30°…………(ii)

এতিয়া, ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD 

⇒ 80° = 30° + ∠ACD [(ⅰ) আৰু (ii) ব্যৱহাৰ কৰি] 

⇒ ∠ACD = 80° – 30°

⇒ ∠ACD = 50°

⇒ ∠AECD = 50° 

∴ ∠BCD = 80° 

আৰু ∠ECD = 50°

7. যদি এটা চক্ৰীয় চতুর্ভুজৰ কৰ্ণ দুডাল ইয়াৰ শীর্ষবিন্দুৱেদি যোৱা বৃত্তৰ ব্যাস হয়, তেন্তে প্রমাণ কৰা যে ই এটা আয়ত।

উত্তৰঃ ∆AOB আৰু ∆OCD ত,

OA = OC  | বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ

OB = OD  | বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ

∠AOB = ∠COD  | উলম্ব বিপৰীত কোণ

∴ ∆AOB ≅ ∆OCD  | SAS নিয়ম অনুসৰি

∴ AB = CD  | c.p.c.t. অনুসৰি

⇒ চাপ (Arc) AB = চাপ (Arc) CD  …(1)

একেদৰে, আমি দেখুৱাব পাৰোঁ যে

চাপ (Arc) AD = চাপ (Arc) CB  …(2)

(1) আৰু (2) যোগ কৰিলে, আমি পাওঁ—

চাপ AB + চাপ AD = চাপ CD + চাপ CB

⇒ চাপ BAD = চাপ BCD

⇒ BD এ বৃত্তটোক দুটা সমান অংশত (প্ৰতিটো অৰ্ধবৃত্ত) বিভক্ত কৰে।

∴ ∠A = 90° আৰু ∠C = 90°  | অৰ্ধবৃত্তত অৱস্থিত কোণ 90°

একেদৰে, আমি দেখুৱাব পাৰোঁ যে

∠B = 90° আৰু ∠D = 90°

সেয়ে,

∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°

∴ ABCD এটা আয়তক্ষেত্ৰ (Rectangle)।

৪. যদি এটা ট্ৰেপিজিয়ামৰ অসমান্তৰাল বাহুযোৰ সমান, তেন্তে প্রমাণ কৰা যে ই চক্রীয়।

উত্তৰঃ 

ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB ll CD আৰু AD = BC 

প্রমাণ কৰিব লাগে যে ABCD এটা চক্রীয় ট্রেপিজিয়াম। 

অংকনঃ DE II CB অংকন কৰা হ’ল।

প্রমাণঃ ∴ DE II CB আৰু EB ll DC

∴ EBCD এটা সামান্তৰিক।

∴ DE = CB আৰু ∠DEB = ∠DCB

 [∴ সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান] 

এতিয়া, ∴ AD = BC আৰু BC = DE 

∴ DA = DE ⇒ ∠DAE = ∠DEA

কিন্তু ∠DEA + ∠DEB = 180° [∴ সৰল কোণ]

⇒ ∠DAE + ∠DCB = 180° 

[∴ ∠DEA = ∠DAE আৰু ∠DEB = ∠DCB] 

⇒ ∠DAB + ∠DCB = 180° 

⇒ ∠A + ∠C = 180°

∴ ABCD ট্রেপিজিয়ামটো চক্রীয় (প্রমাণিত)।

9. দুটা বৃত্তই দুটা বিন্দু B আৰু C ত কটাকটি কৰিছে। B ৰ মাজেৰে দুডাল ৰেখাখণ্ড ABD আৰু PBQ টনা হ’ল যাতে, ইহঁতে ক্রমে A, D আৰু P. Q বিন্দুত বৃত্তদুটাক কাটিছে (চিত্র 10.40 চোৱা)। প্রমাণ কৰা যে ∠ACP = ∠QCD

উত্তৰঃ বৃত্তৰ চাপ BC ∠1 আৰু ∠2 উৎপন্ন কৰিছে। 

∴ ∠1 = ∠2 [∴ একে চাপে পৰিধিৰ উৎপন্ন কৰা দুটা সমান]

আকৌ, বৃত্ত ll – ৰ চাপ BC ∠3 আৰু ∠4 উৎপন্ন কৰিছে।

 ∴ ∠3 = ∠4 

এতিয়া, ∆ACD – ৰ

∴ ∠A + ∠C + ∠D = 180° 

⇒ ∠1 + ∠5 + ∠6 + ∠3 = 180º………….(i) 

∆PCQ – j 

∠P + ∠C + ∠Q = 180° 

∴ ∠1 + ∠5 + ∠7 + ∠4 = 180º…………. (ii)

⇒ (i) আৰু (ii) – ৰ পৰা পাওঁ – 

∠1 + ∠5 + ∠6 + ∠3 = ∠2 + ∠ + ∠7 + ∠4………………… (iii)

∴ (iii) – ৰ পৰা পাওঁ –

 ∠1 + ∠5 + ∠6 + ∠3 = ∠1 + ∠5 + ∠7 + ∠3

∴ ∠6 = ∠7

⇒ ∠ACP = ∠QCD (প্রমাণিত) 

10. যদি এটা ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহুক ব্যাস হিচাপে লৈ বৃত্ত দুটা আঁকা হয়, প্রমাণ কৰা যে, বৃত্ত দুটাই কটাকটি কৰা বিন্দু তৃতীয় বাহুত থাকিব। 

উত্তৰঃ 

দিয়া আছে, দুটা বৃত্ত পৰস্পৰ A আৰু B বিন্দুত ছেদ কৰিছে। AP আৰু AQ দুট ব্যাস। 

প্রমাণ কৰিব লাগে যে- B বিন্দু, ∆APQ – ৰ তৃতীয় বাহুৰ ওপৰত অৱস্থিত।

অংকনঃ A আৰু ৪ সংযোগ কৰা হ’ল। 

প্রমাণঃ ∴ AP এটা ব্যাস।

∴ ∠1 = 90° (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ)………. (i) 

আকৌ, AQ এটা ব্যাস। ব্যাসার্দ্ধৰ 

∠2 = 90°………. (ii)

∴ (i) + (ii) ⇒

∠1 + ∠2 = 90° + 90°

⇒ ∠PBQ = 180°

 ⇒ PBQ এটা সৰলৰেখা।

∴ বিন্দু B বৃত্ত দুটাৰ ছেদবিন্দু আৰু ত্রিভুজ APQ – ৰ তৃতীয় বাহুৰ ওপৰত অৱস্থিত। (প্রমাণিত)

11. ABC আৰু ADC সমকোণী ত্রিভুজ দুটাৰ সাধাৰণ অতিভুজ AC, প্রমাণ কৰা যে, ∠ACD = ∠CBD।

উত্তৰঃ 

ABC আৰু ADC দুটা সমকোণী ত্রিভুজ। ত্রিভুজ দুটাৰ ∠B = ∠D = 90°

∠ABC = ∠ADC = 90°

যদি সাধাৰণ অতিভুজ AC (বৃত্তৰ ব্যাস) বিশিষ্ট এটা বৃত্ত অংকন কৰা হয়, তেতিয়া সেই বৃত্তটো B আৰু D বিন্দুগামী হ’ব। 

এতিয়া, CD চাপ ∠CBD আৰু ∠CAD কোণদ্বয় উৎপন্ন কৰিছে। 

∴ ∠CAD = ∠CBD (প্রমাণিত)

12. প্ৰমাণ কৰা যে এটা চক্ৰীয় সামান্তৰিক এটা আয়ত।

উত্তৰঃ

ধৰা হ’ল ABCD এটা চক্রীয় সামান্তৰিক। 

প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে – ABCD সামান্তৰিকটো এটা আয়ত।

প্রমাণঃ ∴ ABCD এটা সামান্তৰিক। 

∴ ∠B = ∠D [∴ সামান্তৰিকৰ বিপৰীত কোণবোৰ সমান)………. (i) 

আকৌ, ∴ ABCD সামান্তৰিকটো চক্ৰীয়। 

∴ ∠B + ∠D = 180°…………..(ii)

∴ (i) আৰু (ⅱ) – ৰ পৰা পাওঁ-

 ∠B + ∠B = 180° 

⇒ 2∠B = 180°

∴ ∠B∠D = 90° 

∴ ABCD এটা আয়ত (প্রমাণিত)

13. কাষৰত থকা চিত্ৰ 10.41 ত ‘O’ বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ আৰু ∠OAD = 50° । উক্ত P ৰ পৰা S লৈ বিবেচনা কৰা।

(P) ∠DOA ৰ মাপ

(Q) ∠BCD ৰ মাপ

(R) ∠ODA ৰ মাপ

(S) ∠BOD ৰ মাপ

কোণসমূহৰ মাপ অৰ্ধক্ৰমত সজাই নিৰ্দেশ কৰা বিকল্পটো বাছি উলিওৱা।

(a) S, Q, R, P

(b) Q, S, P, R

(c) R, P, Q, S

(d) P, R, S, Q

উত্তৰঃ (b) Q, S, P, R

14. কাষৰ চিত্ৰ 10.42 ত ‘O’ বৃত্তটোৰ কেন্দ্ৰ। ABC চাপে বৃত্তৰ কেন্দ্ৰত কৰা কোণ 100°। ∠ABC – ∠ADC ৰ জোখ কিমান হ’ব?

(a) 30°

(b) 50°

(c) 80°

(d) 130°

উত্তৰঃ (c) 80°

15. 3 জন বিশেষভাৱে সক্ষম ব্যক্তিয়ে চিত্ৰ 10.43 ত দেখুওৱা ধৰণে A, B আৰু C স্থানত ৩ খন অত্যাৱশ্যকীয় সামগ্ৰীৰ দোকান দিলে। দোকান তিনিখন প্ৰত্যেকৰে এখনৰ পৰা সমদূৰত্বত আছে। A ৰ পৰা B, B ৰ পৰা C, আৰু C ৰ পৰা A লৈ মুঠ দূৰত্ব 21 মিটাৰ।

(i) ∠BAC ৰ মাপ নিৰ্ণয় কৰা।

(ii) BC ৰ দৈৰ্ঘ্য নিৰ্ণয় কৰা।

(iii) ∠BCO ৰ মাপ নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ (i) যিহেতু তিনিখন দোকান পৰস্পৰৰ পৰা সমদূৰত্বত অৱস্থিত,

AB = BC = CA → (i)

সেয়েহে, ∆ABC এটা সমবাহু ত্ৰিভুজ।

∴ ∠BAC = 60° → (ii)

(ii) পুনৰ,

AB + BC + CA = 21 cm

⇒ BC + BC + BC = 21 cm [সমীকৰণ (i) অনুসৰি]

⇒ 3BC = 21 cm

∴ BC = 21/3 cm

   = 7 cm

∴ BC ৰ দৈৰ্ঘ্য = 7 cm

(iii)

∠BOC = 2∠BAC

(কাৰণ কেন্দ্ৰত উৎপন্ন হোৱা কোণ বৃত্তত একে চাপৰ ওপৰত উৎপন্ন হোৱা কোণৰ দুগুণ।)

= 2 × 60° [সমীকৰণ (ii) অনুসৰি]

= 120°

∆BOC ত,

OB = OC

(একেটা বৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধ)

∴ ∠CBO = ∠BCO → (iii)

এতিয়া,

∠BOC + ∠BCO + ∠CBO = 180°

⇒ 120° + ∠BCO + ∠BCO = 180° [সমীকৰণ (iii) অনুসৰি]

⇒ 120° + 2∠BCO = 180°

⇒ 2∠BCO = 60°

∴ ∠BCO = 30°

∴ ∠BCO ৰ মান = 30°