SEBA Class 9 Mathematics Chapter 7 ত্ৰিভুজ Question Answer Assamese Medium As Per New Syllabus. to each chapter is provided in the list so that you can easily browse through different chapters SEBA Class 9 Mathematics Chapter 7 ত্ৰিভুজ Notes and select need one. SEBA Class 9 Mathematics Chapter 7 ত্ৰিভুজ Question Answers Download PDF. SEBA Class 9 General Maths Solutions in Assamese.
SEBA Class 9 Mathematics Chapter 7 ত্ৰিভুজ
Also, you can read the SEBA book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per Board of Secondary Education, Assam (SEBA) Book guidelines. SEBA Class 9 Mathematics Chapter 7 ত্ৰিভুজ are part of All Subject Solutions. Here we have given SEBA Solutions For Class 9 Maths in Assamese Medium for All Chapters, You can practice these here.
ত্ৰিভুজ
Chapter: 7
| অনুশীলনীঃ 7.1 |
1. চতুর্ভুজৰ ABCD ত AC = AD আৰু AB – য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডত কৰিছে। দেখুওৱা যে, ∆ABC ≅ ∆ARD। BC আৰু BD সম্পর্কে তুমি কি ক’বা?
উত্তৰঃ
ABCD এটা চতুর্ভুজ।
AC = AD আৰু AB, ∠A – ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে ∆ABC ≅ AABD
প্রমাণঃ ∆ABC আৰু ∆ABD – ত
AC = AD (প্রদত্ত)
∠BAC = ∠BAD [∴ AB, ∠A – ক সমদ্বিখণ্ডত কৰে]
AB = AB [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABC ≅ ∆ABD [SAS স্বীকার্য্য]
এতিয়া AC = AD আৰু AB সাধাৰণ বাহু
∴ BC = BD হ’ব।
2. ABCD এটা চতুর্ভুজ য’ত AD = BC আৰু ∠DAB = ∠CBA। প্রমাণ কৰা যে-
(i) ΔΑΒD ≅ ΔВАС
(ii) BD = AC
(iii) ∠ABD = ∠BAC
উত্তৰঃ ∆ABD আৰু ∆ABC – ত
AD = BC [প্রদত্ত]
∠DAB = ∠CBA [প্রদত্ত]
আৰু AB = AB [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABD ≅ ∆BAC [SAS স্বীকার্য্য]
∴ BD = AC আৰু ∠ABD = ∠BAC.
3. এডাল ৰেখাখণ্ড AB লৈ টনা AD আৰু BC দুডাল সমান লম্ব (চিত্র চোৱা)। দেখুওৱা যে CD য়ে AB ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ ∆BOC আৰু ∆AOD – ত
∠OBC = ∠OAD [সমকোণ (প্রদত্ত)]
∠BOC = ∠AOD [বিপ্রতীপ কোণ]
আৰু BC = DA (প্রদত্ত)
∴ ∆BOC ≅ ∆AOD [AAS স্বীকার্য্য]
∴ OB = OA আৰু OC = OD
∴ O, AB আৰু CD – ৰ মধ্যবিন্দু।
∴ CD, AB – ৰ সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)
4. l আৰু m দুডাল সমান্তৰাল ৰেখাক আন এযোৰ সমান্তৰাল ৰেখা p আৰু q য়ে ছেদ কৰিছে (চিত্র চোৱা)। দেখুওৱা যে ∆ABC ≅ ∆CDA
উত্তৰঃ
∴ ∠DAC = ∠ACB [একান্তৰ কোণ]
আকৌ, p II q, AC ছেদক।
∠BAC = ∠ACD [একান্তৰ কোণ]
এতিয়া, ∆ABC আৰু ∆ADC – ত
∠ACB = ∠DAC
∠BAC = ∠ACD
আৰু AC = AC [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABC ≅ ∆CDA. [A.A.S. স্বীকার্য্য] (প্ৰমাণিত)
5. l ৰেখাডাল ∠A ৰ সমদ্বিখণ্ডক আৰু B, l ৰ ওপৰত যিকোনো বিন্দু। B ৰ পৰা ∠A ৰ বাহু দুটালৈ BP আৰু BQ দুডাল লম্ব (চিত্র চোৱা)। দেখুওৱা যে-
(i) ΔΑΡΒ ≅ ∆AQB
(ii) BP = BQ বা B, ∠A ৰ দুই বাহুৰ পৰা সমদূৰত্বত অৱস্থিত।
উত্তৰঃ ∴ l ৰেখাডাল, ∠A – ৰ সমদ্বিখণ্ডক কৰিছে।
∴ ∠ABP = ∠BAQ
এতিয়া, ∆ABP আৰু ∆ANQ ত
∠BAP = ∠BAQ [প্রদত্ত]
∠BPA = ∠BQA [সমকোণ (প্রদত্ত)]
AB = AB (সাধাৰণ বাহু)
∴ ΔΑΡΒ ≅ ∆AQB [AAS স্বীকার্য্য]
∴ BP = BQ অর্থাৎ B বিন্দু, ∠A – ক বাহু দুটাৰ পৰা সমদূৰৱৰ্তী।
6. চিত্রত AC = AE, AB = AD আৰু ∠BAD = ∠EAC। দেখুওৱা যে BC = DE
উত্তৰঃ ∠BAD = ∠EAC
উভয়পক্ষে ∠DAC যোগ কৰি পাওঁ-
∠BAD + ∠DAC = ∠EAC + ∠DAC
⇒ ∠BAC = ∠EAD………. (i)
এতিয়া, ∆ABC আৰু ∆AED – ৰ পৰা –
AB = AD (প্রদত্ত)
AC = AE (প্রদত্ত)
∠BAC = ∠DAE [(i) – ৰ পৰা]
∴ ∆ABC ≅ ∆ADE [AAS স্বীকার্য্য]
⇒ BC = DE [প্রমাণিত]
7. AB এডাল ৰেখাখণ্ড আৰু ইয়াৰ মধ্যবিন্দু। AB ৰ একেফালে থকা D আৰু E দুটা এনে বিন্দু যাতে ∠BAD = ∠ABE আৰু ∠EPA = ∠DPB। দেখুওৱা যে-
(i) ∆DAP ≅ ∆ΕΒΡ
(ii) AD = BE
উত্তৰঃ দিয়া আছে,
∠EPA = ∠DPB দুয়োফালে ∠EPD যোগ কৰিলে আমি পাওঁ-
∠EPA + ∠EPD = ∠DPB + ∠EPD
⇒ ∠APD = ∠BPE ………… (i)
এতিয়া, ∆APD আৰু ∆BPE – ৰ পৰা
∠PAD = ∠PBE [∴ ∠BAD = ∠ABE (প্রদত্ত)]
∠APD = ∠BPE [(i) – ৰ পৰা]
আৰু AP = PB [∴ P, AB – ৰ মধ্যবিন্দু (প্রদত্ত)]
∴ ∆DAP ≅ ∆ECP [AAS স্বীকার্য্য]
∴ AD = BE (প্রমাণিত)
8. C বিন্দুত সমকোণ সহ ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ আৰু M, অতিভুজ AB ৰ মধ্যবিন্দু। C ক M ৰ সৈতে ৰেখাৰে সংলগ্ন কৰা হ’ল আৰু D বিন্দুলৈ এনেভাৱে বঢ়াই দিয়া হ’ল যাতে DM = CM। D বিন্দুক B ৰ সৈতে ৰেখাৰে সংলগ্ন কৰা হ’ল (চিত্র চোৱা)। দেখুওৱা যে-
(i) ∆AMC ≅ ΔBMD
উত্তৰঃ ∆AMC আৰু ∆BMD – ৰ পৰা-
AM = BM [∴ M, AB অতিভূজৰ মধ্যবিন্দু]
∠AMC = ∠BMD [বিপ্রতীপ কোণ]
আকৌ, CM = DM
∴ ∆AMC ≅ ∆BMD [SAS স্বাকার্য্য]
∴ ∠ACM = ∠BDM ……..(a)
∠CAM = ∠DBM আৰু AC = BD
(ii) ∠DBC এটা সমকোণ।
উত্তৰঃ ∴ AC ll BD, DC ছেদক।
∴ ∠ACD = ∠BDC [একান্তৰ কোণ]
[∴ ∠ACM = ∠BDM…….. (a) ব্যৱহাৰ কৰি]
∴ ∠ACD = ∠BDC
∴ AC ll DB
এতিয়া, AC ll BD, DC ছেদক।
∴ ∠DBC = ∠ACB [একান্তৰ কোণ)…………….(b)
কিন্তু ∆ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ, য’ত ∠C = 90°
∴ ACB = 90°…….. (c)
(iii) ∆DBC ≅ ΔАСВ
উত্তৰঃ এতিয়া, ∆DBC আৰু ∆ABC – ত
DB = AC
∠DBC = ∠ACB = 90°
আৰু BC = BC [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆DBC ≅ ∆ACB [SAS স্বীকার্য্য মতে]
(iv) CM = ½ AB
উত্তৰঃ ∴ ∆DBC ≅ ∆АСВ
∴ DC = AB
⇒ DM + CM = AB
⇒ CM + CM = AB [ ∴ DM = CM (প্রদত্ত)]
⇒ 2CM = AB
⇒ CM = 1/2AB (প্রমাণিত)।
9. দিয়া আছে △ABC ≅ △FDE আৰু AB = 5 ছে.মি., ∠B = 40°, ∠A = 80° আৰু DE = 6 ছে.মি. হ’লে তলৰ কোনকেইটা শুদ্ধ ?
(i) DF = 5 ছে.মি., ∠F = 60°
(ii) DF = 5 ছে.মি., ∠E = 60°
(iii) DE = 6 ছে.মি., ∠E = 60°
(iv) DE = 6 ছে.মি., ∠D = 40°
(a) (i), (ii)
(b) (ii), (iii)
(c) (iii), (iv)
(d) (ii), (iii), (iv)
উত্তৰঃ (d) (ii), (iii), (iv)
10. এই প্ৰশ্নটোত এটা উক্তি (A) ব বিপৰীতে এটা যুক্তি (R) দিয়া আছে—
উক্তি (A) : যদি ABC আৰু PQR ত্ৰিভুজৰ, BC = QR, ∠B = ∠Q, AB = PQ হয় তেতে △ABC ≅ △PQR.
গতিকে CA = RP, ∠BCA = ∠QRP, ∠BAC = ∠QPR (CPCT)
যুক্তি (R) : সৰ্বসম ত্ৰিভুজ ক্ষেত্ৰত অনুৰূপ অংশসমূহ সমান হয় আৰু আমি ‘CPCT’ লিখোঁ সৰ্বসম ত্ৰিভুজৰ অনুৰূপ অংশসমূহৰ কাৰণে।
তলত দিয়া বিকল্প কেইটাৰ পৰা শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা।
(a) উক্তি (A) সত্য, যুক্তি (R) সত্য। কিন্তু যুক্তি (R) উক্তি (A) ব শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।
(b) উক্তি (A) সত্য, যুক্তি (R) সত্য। যুক্তি (R) উক্তি (A) ব শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
(c) উক্তি (A) সত্য, যুক্তি (R) অসত্য।
(d) উক্তি (A) অসত্য, যুক্তি (R) সত্য।
উত্তৰঃ (b) উক্তি (A) সত্য, যুক্তি (R) সত্য। যুক্তি (R) উক্তি (A) ব শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
| অনুশীলনী- 7.2 |
1. এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC ত AB = AC আৰু ∠B আৰু ∠C ৰ সমদ্বিখণ্ডক দুডালে O বিন্দুত পৰস্পৰ কটাকটি কৰে। A ক O সৈতে ৰেখাৰে সংলগ্ন কৰা। দেখুওৱা যে-
(i) OB = OC
উত্তৰঃ ∆АВС – ৰ AB = AC
∴ ∠C = ∠B
∠OCA + ∠OCB = ∠OBA + ∠OBC
⇒ ∠OCB + ∠OCB = ∠OBC + ∠OBC
[∴ OB, ∠B – ৰ সমদ্বিখণ্ডক আৰু OC, ∠C – ৰ সমদ্বিখণ্ডক]
⇒ 2∠OCB = 2∠OBC
⇒ ∠OCB = ∠OBC
এতিয়া, ∆OBC – ত
∠OCB = ∠OBC [প্রমাণিত হৈছে]
(ii) AO য়ে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ এতিয়া, ∆AOB আৰু ∆AOC – ৰ
AB = AC [প্রদত্ত]
∴ ∠OBA = ∠OCA ⇒∠B = ∠C
∴ BO, ∠B আৰু CO∠C – ৰ সমদ্বিখণ্ডকদ্বয়।
⇒ ∠OBA = ∠OCA
AO = AO [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ΑΟΒ ≅ ∆AOC [SAS স্বীকার্য্য মতে]
⇒ ∠OAB = ∠OAC
∴ AO, ∠A – ৰ সমদ্বিখণ্ডক। (প্রমাণিত)।
2. ত্রিভুজ ABC ত AD, BC ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক। দেখুওৱা যে ∆ABC টো সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, য’ত AB = AC।
উত্তৰঃ
দিয়া আছে – ∆ABC – ৰ AD, BC বাহুৰ সদ্বিখণ্ডক।
দেখুৱাব লাগে যে- AB = AC
প্রমাণঃ ∆ABD আৰু ∆ACD – ৰ
BD = CD
[∴ AD, BC বাহুৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক]
∠ADB = ∠ADC = 90° [∴ AD⏊BC (প্রদত্ত)]
আৰু AD = AD [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD (SAS স্বীকাৰ্য্য মতে]
⇒ AB = AC
∴ ∆ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
3. ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আৰু ইয়াৰ সমান বাহু AC আৰু AB লৈ ক্ৰমে BE আৰু CF উন্নতি অঁকা হৈছে। দেখুওৱা যে এই উন্নতি দুডাল পৰস্পৰ সমান।
উত্তৰঃ বিশেষ সূত্রঃ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ সমান বাহুদ্বয়ৰ (AB আৰু AC) ওপৰত যথাক্রমে BE আৰু CF দুটা উন্নতি কোণ অংকন কৰা হৈছে।
দেখুৱাব লাগে যে – BE = CF.
প্রমাণঃ ∆ABE আৰু ∆ACF – ৰ
∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]
∠ABE = ∠AFC = 90° [প্রদত্ত]
AB = AC [প্রদত্ত]
∴ ∆ABE ≅ ∆ACF [AAS স্বীকাৰ্য্য মতে]
⇒ BE = CF [প্রমাণিত]
4. ABC ত্রিভুজৰ AC আৰু AB বাহুলৈ টনা উন্নতি ক্রমে BE আৰু CF পৰস্পৰ সমান। দেখুওৱা যে-
(i) ΔΑΒΕ ≅ ΔΑCF
(ii) AB = AC, অর্থাৎ ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
উত্তৰঃ ∆ABE আৰু ∆ACF – ৰ
∠A = ∠A [সধাৰণ কোণ]
∠AEB = ∠AFC = 90° [প্রদত্ত]
[∴ BE⏊AC আৰু CF⏊AB]
BE = CF [প্রদত্ত]
(i) ∴ ∆ABE ≅ ∆ACF [AAS স্বীকার্য্য মতে]
(ii) ∴ AB = AC
∴ ∆ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
5. একেডাল ভূমি BC ৰ ওপৰত ABC আৰু DBC দুটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ আঁকা হৈছে। দেখুওৱা যে- ∠ABD = ∠ACD
উত্তৰঃ ∆ABC – ত AB = AC [সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ]
∴ ∠ABC = ∠ACB [∴ AB = AC]
আকৌ, ∆BDC – ত BD = CD [∴ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ]
∴ ∠DBC = ∠DCB
[∴ BD = CD]
∆ABC আৰু ∆BDC – ৰ BC সাধাৰণ বাহু
∴ ∠DCB + ∠ACB = ∠DBC + ∠ABC
∴ ∠ABD = ∠ACD [প্রমাণিত]
6. ∆ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, য’ত AB = AC। বাহু BA ক D বিন্দুলৈ এনেভাৱে বর্ধিত কৰা হৈছে যাতে AD = AB। দেখুওৱা যে, ∠BCD সমকোণ।
উত্তৰঃ ∆ABC – ত
∠ABC = ∠ACB ………. (i)
এতিয়া ∆ADC – ত
AD = AC [∴ AB = AC আৰু AB = AD]
⇒ ∠ADC = ∠ACD…………..(ii)
চিত্ৰৰ পৰা আমি পাওঁ…………
∠BAC + ∠CAD =180° [সৰলৰৈখিক যুগ্ম কোণ]………..(iii)
আমি জানো যে, এটা ত্রিভুজৰ বহিঃকোণ, বিপৰীত অন্তঃস্থ কোণদ্বয়ৰ সমষ্টিৰ সমান।
∴ ABC – ত
∠CAD = ∠ABC + ∠ACB
= ∠ACB + ∠ACB [(i) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒∠CAD = 2∠ACB……… (iv)
অনিৰূপভাৱে, ∆ADC – ৰ পৰা-
∠BAC = ∠ACD + ∠ADC
= ∠ACD + ∠ACD [(ii) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒∠BAC = 2∠ACD…………..(v)
∴ (iii), (iv) আৰু (v) – ৰ পৰা আমি পাঁও-
2∠ACB + 2∠ACD = 180°
⇒ 2(∠ACB + ∠ACD) = 180°
⇒ ∠ACB + ∠ACD = 180/2 = 90°
⇒ ∠BCD = 90° [প্রমাণিত]
7. ABC এটা সমকোণী ত্রিভুজ, য’ত ∠A = 90° আৰু AB = AC। ∠B আৰু ∠C নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ABC সমকোণী ত্রিভুজত,
∠A = 90°
আৰু AB = AC
⇒ ∠C = ∠B…….. (i)
এতিয়া, ∆ABC – ত
∠A + ∠B + ∠C = 180°
[∴ A = 90° (প্রদত্ত) আৰু ∠B = ∠C [(i) – ৰ পৰা]
⇒ 2∠B = 180° – 90°
⇒ 2∠B = 90°
আকৌ, ∠C = ∠B
⇒ ∠C = 45°
∴ ∠B = 45°
∠C = 45°
8. দেখুওৱা যে সমবাহু ত্রিভুজ এটাৰ প্ৰতিটো কোণেই 60°ৰ সমান।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ABC এটা সমবাহু ত্রিভুজ
∴ AB = BC = AC
⇒ AB = BC
⇒ ∠C = ∠A…………… (i)
অনুৰুপভাৱে, AB = AC
⇒ ∠C = ∠B………. (ii)
(i) আৰু (ii) – ৰ পৰা-
∠A = ∠B = ∠C…….. (iii)
এতিয়া, ∆ABC – ৰ পৰা-
∠A + ∠B + ∠C = 180°…………… (iv)
⇒ ∠A + ∠A + ∠A = 180°
⇒ 3∠A = 180°
⇒ ∠A = 180°/3 = 60°
∴ (iii) – ৰ পৰা আমি পাওঁ-
∠A = ∠B = ∠C
⇒ ∠A = ∠B = ∠C = 60°
∴ সমবাহু ত্রিভুজৰপ্ৰতিটো কোণৰ পৰিমাণ = 60° [প্রমাণিত]
9. ∠ABC ৰ সমদ্বিখণ্ডক ওপৰত P এটা বিন্দু। P বিন্দুৰ মাজেদি BA ৰ সমান্তৰালকৈ টনা ৰেখাডালে BC ক Q বিন্দুত কাটিছে। BPQ ত্ৰিভুজটো কি প্ৰকাৰৰ হ’ব।
(a) সমকোণী ত্ৰিভুজ
(b) সমবাহু ত্ৰিভুজ
(c) সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ
(d) বিষমবাহু ত্ৰিভুজ
উত্তৰঃ BP হৈছে ∠ABC-ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
∴ ∠1 = ∠2 …………………….. (i)
আকৌ, AB ∥ PQ
∴ ∠1 = ∠3 (অনুৰূপ কোণ) ………. (ii)
আৰু,
∠3 = ∠4 (শীৰ্ষবিপৰীত কোণ) ………. (iii)
(i), (ii) আৰু (iii) ৰ পৰা পোৱা যায়,
∴ ∠2 = ∠4
সেয়ে, △BPQ ত সমান কোণৰ বিপৰীত বাহুদুটা সমান।
∴ PQ = BQ
অতএব, △BPQ এটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
সঠিক উত্তৰঃ (C) সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ।
10. P ৰ পৰা S লৈ উক্তিসমূহ মন কৰা —
P. সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ এটাৰ এটা সূক্ষ্মকোণৰ জোখ।
Q. এটা ত্ৰিভুজৰ কোণকেইটাৰ সমষ্টি।
R. সমকোণী ত্ৰিভুজৰ আটাইতকৈ ডাঙৰ কোণটোৰ জোখ।
S. সমবাহু ত্ৰিভুজৰ প্ৰতিটো কোণৰ জোখ।
শুদ্ধ বিকল্প বাছি উলিওৱা যিটোত কোণবিলাকৰ জোখ উৰ্ধ্বক্ৰমত আছে।
(a) R, Q, S, P
(b) Q, P, S, R
(c) P, S, R, Q
(d) S, R, Q, P
উত্তৰঃ (c) P, S, R, Q
| অনুশীলনী- 7.3 |
1. একে ভূমি BC ৰ ওপৰত ∆ABC আৰু ∆DBC দুটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এনেকৈ অঁকা হৈছে যাতে শীৰ্ষবিন্দু A আৰু D, BC ৰ একেফালে থাকে। যদি AD ক বর্দ্ধিত কৰিলে BC – ক P বিন্দুত কাটে তেন্তে দেখুওৱা যে,
(i) ∆ABD ≅ ∆ACD
উত্তৰঃ ∆ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ।
∴ AB = AC
আকৌ, ∆DBC আৰু ∆ACD – ৰ পৰা-
AB = AC (প্রদত্ত)
BD = CD (প্ৰদত্ত)
AD = AD (সাধাৰণ বাহু)
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD [S – S – S স্বীকার্য্য মতে]
(ii) ∆АВР ≅ ∆АСP
উত্তৰঃ ∴ ΔΑΒD ≅ ΔACD
∴ ∠BAD = ∠CAD……..(a)
এতিয়া, ∆ABP আৰু ∆ACP – ত
AB = AC (প্রদত্ত)
∠BAD = ∠CAD [(a) ব্যৱহাৰ কৰি]
AP = AP [সাধাৰণ বাহ]
∴ ΔΑΒΡ ≅ ∆ACP [SAS স্বীকার্য্য মতে]
(iii) AP য়ে ∠A আৰু ∠D উভয়কে সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ ∴ ΔΑΒΡ ≅ ∆АСР
∴ ∠BAP = ∠CAP
[∴ AP, ∠A – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে]
আকৌ, ∴ ∆ADB ≅ ∆ACD
∴ ∠ADB = ADC………..(b)
∴ ∠ADB + ∠BDP = 180° [সৰলৰৈখিক যুগ্মকোণ]…….. (c)
আৰু ∠ADC + ∠CDP = 180° [সৰলৰৈখিক যুগ্মকোণ]………. (d)
এতিয়া (c) আৰু (d) – ৰ পৰা পাওঁ-
∠ADB + ∠BDP = ∠ADC + ∠CDP
⇒ ∠ADB + ∠BDP = ∠ADB + ∠CDP [(b) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ ∠BDP = ∠CDP
∴ DP, ∠D – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে। অর্থাৎ, AP, ∠D – ৰ সমদ্বিখণ্ডক।
(iv) AP, BC – ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডক।
উত্তৰঃ ∴ ∆ABP ≅ ∆АСР
∴ BP = PC………(e)
আৰু ∠APB = ∠APC………….. (f)
এতিয়া, ∠APB + ∠APC = 180° [সৰলৰৈখিক যুগ্ম কোণ]
⇒ ∠APB + ∠APB = 180° [(f) ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ 2∠APB = 180°
⇒ ∠APB = 180°/2
⇒ ∠APB = 90°
AP⏊BC…….. (g)
∴ (e) – ৰ পৰা BP = PC আৰু (g) – ৰ পৰা AP⏊BC পাইছোঁ। অর্থাৎ AP, BC – ৰ লম্ব সমদ্বিখণ্ডিক।
2. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজটোৰ AD এডাল উন্নতি য’ত AB = AC। দেখুওৱা যে-
(i) AD য়ে BC ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
(ii) AD যে ∠A ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
উত্তৰঃ
∆ABD আৰু ∆ACD – ৰ পৰা পাওঁ-
AB = AC (প্রদত্ত)
∠ADB = ∠ADC = 90° [∴ AD⏊BC]
আৰু AD = AD [সাধাৰণ বাহু]
∴ ∆ABD ≅ ∆ACD [SAS স্বীকার্য্য মতে]
∴ BD = DC
∴ AD, BC – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
আকৌ, ∠BAD = ∠CAD
∴ AD – য়ে ∠A – ক সমদ্বিখণ্ডিত কৰে।
3. এটা ত্রিভুজ ABC ৰ দুই বাহু AB আৰু BC আৰু মধ্যমা AM যথাক্রমে আন এটা ত্রিভুজ PQR ৰ দুই বাহু PQ আৰু QR আৰু মধ্যমা PN ৰ সমান। দেখুওৱা যে –
(i) ΔΑΒΜ ≅ ∆PQN
(ii) ΔΑΒC ≅ ∆PQR
উত্তৰঃ ∴ AM, ∆ABC – ৰ মধ্যমা।
∴ BM = MC = 1/2BC ……. (a)
আকৌ, PN, ∆PQR – ৰ মধ্যমা।
∴ QN = NR = 1/2QR……..(b)
এতিয়া, BC = QR (প্রদত্ত)
⇒ BM = QN [(a) আৰু (b) ব্যৱহাৰ কৰি]……… (c)
(i) এতিয়া ∆ABM আৰু APQN – ৰ পৰা পাওঁ-
AB = PQ [প্রদত্ত]
AM = PN [প্রদত্ত]
BM = QN [(c) – ৰ পৰা]
∴ ΔΑΒΜ ≅ ΔΡQΝ [SSS স্বীকাৰ্য্য মতে]
∴ ∠B = ∠Q…….(b)
(ii) ∆ABC আৰু ∆PQR – ৰ
AB = PQ [প্রদত্ত]
∠B =∠Q [(d) – ৰ পৰা]
BC = QR [প্রদত্ত]
∴ ∆ABC ≅ ∆PQR [SAS স্বীকার্য্য মতে] (প্রমাণিত)
4. BE আৰু CF এটা ত্রিভুজ ABC ৰ দুডাল সমান উন্নতি। সর্বসমতাৰ স-অ-বা বিধি ব্যৱহাৰ কৰি প্ৰমাণ কৰা যে ABC ত্রিভুজটো সমদ্বিবাহু।
উত্তৰঃ
∆BEC আৰু ∆CFB – ৰ
∴ ∠BEC = ∠CFB [প্রতিটো কোণ = 90°]
BE⏊AC আৰু CF⏊AB
BC = BC [সাধাৰণ বাহু]
BE = CF [প্রদত্ত]
∴ ∆BEC ≅ ∆CFB [ASS স্বীকার্য্য]
∴ EC = FB … … (i)
এতিয়া, ∆ΑΕΒ আৰু ∆AFC – ৰ
∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]
∠AEB = ∠AFC [প্রদত্ত]
আৰু EB = FC [প্রদত্ত]
∴ ΔΑΕΒ ≅ ∆AFC. [AAS স্বীকাৰ্য্য মতে]
∴ AE = AF……… (ii)
এতিয়া, (i) + (ii) ⇒ EC + AE = FB + AF
⇒ AC = AB
এতিয়া, ∆ABC – ৰ পৰা পাওঁ-
AB = AC
∴ ∆ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ (প্রমাণিত)
5. ABC এটা সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ য’ত AB = AC। AP⏊ BC আঁকি দেখুওৱা যে ∠B = ∠C
উত্তৰঃ ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ AB = AC
প্ৰমাণ কৰিব লাগেঃ ∠B = ∠C
অংকনঃ AP⏊BC অংকন কৰা হ’ল।
প্রমাণঃ ΔΑΒΡ আৰু ∆ACP – ৰ পৰা পাওঁ-
∴ APB = ∠APC = 90°
AB = AC প্রদত্ত।
আৰু AP = AP [সাধাৰণ বাহু]
∴ ΔΑΒΡ ≅ ΔACΡ [RHS স্বীকার্য্য মতে]
∴ ∠B = ∠C [প্রমাণিত]
7. তলৰ কোনকেইটা উক্তি সত্য বা অসত্য?
△ABC ৰ দুটা বাহু AC আৰু BC আৰু মধ্যমা AM যদি যথাক্ৰমে △PQR ৰ দুটা বাহু PR আৰু QR আৰু মধ্যমা PN ৰ সমান হয়, তেন্তে (চিত্ৰ 7.43) তলৰ উক্তিকেইটা বিচাৰ কৰা আৰু শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা।
(i) △ACM ≅ △PRN
(ii) △ABC ≅ △PQR
(a) (i) সত্য, (ii) অসত্য
(b) (i) অসত্য, (ii) সত্য
(c) (i) আৰু (ii) দুয়োটাই সত্য
(d) (i) আৰু (ii) দুয়োটাই অসত্য
উত্তৰঃ (c) (i) আৰু (ii) দুয়োটাই সত্য
8. প্ৰতিযোৰ ত্ৰিভুজৰ বাবে (P) ৰ পৰা (S) লৈ সৰ্বসমতাৰ চৰ্ত অনুসৰি স্তম্ভ A আৰু B মিলোৱা।
| স্তম্ভ A | স্তম্ভ B | |
(P) | (i) ASA | |
| (Q) | (ii) RHS | |
| (R) | (iii) SSS | |
| (S) | (iv) SAS |
(a) P → (i) Q → (ii) R → (iii) S → (iv)
(b) P → (iv) Q → (i) R → (ii) S → (iii)
(c) P → (iii) Q → (i) R → (i) S → (ii)
(d) P → (ii) Q → (iv) R → (i) S → (iii)
উত্তৰঃ
9. ভাজ কৰি পঠাৰ পৰা এলুমিনিয়ামৰ জৰণা এডাল চিত্ৰত দেখুওৱা হৈছে। জৰণাৰ ভৰি AB আৰু AC প্ৰত্যেকৰে জোখ 90 ছে.মি. আৰু দুয়োখন ভৰিৰ মাজৰ কোণ চিত্ৰত দেখুওৱা ধৰণে 50°। ওপৰৰ তথ্য অনুসৰি তলৰ প্ৰশ্নসমূহৰ উত্তৰ লিখা।
(i) ∠ACB সমান
(a) 60°
(b) 65°
(c) 70°
(d) 75°
উত্তৰঃ (b) 65°
(ii) যদি ∠CAB = 60° তেন্তে BC =
(a) 75 ছে.মি.
(b) 80 ছে.মি.
(c) 85 ছে.মি.
(d) 90 ছে.মি.
উত্তৰঃ (d) 90 ছে.মি.
(iii) △ACB
(a) সমবাহু ত্ৰিভুজ
(b) সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ
(c) বিষমবাহু ত্ৰিভুজ
(d) সমকোণী ত্ৰিভুজ
উত্তৰঃ (b) সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ
(iv) যদি দুটা ত্ৰিভুজ ABC আৰু DEF ৰ ∠A = ∠D, AB = DE আৰু AC = DF হয় তেন্তে কি বিধি অনুসৰি ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বসম হ’ব?
(a) SSS
(b) SAS
(c) ASA
(d) RHS
উত্তৰঃ (b) SAS
Subject Ka Complete Video Solution Dekhein
Step-by-step easy concept explanation aur full questions Answer ke liye watch karein ya app download karein:
Buy Now