SEBA Class 10 Maths Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ Question Answer Assamese Medium As Per New Syllabus. to each chapter is provided in the list so that you can easily browse through different chapters SEBA Class 10 Maths Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ Notes and select need one. SEBA Class 10 Maths Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ Question Answer Download PDF. SEBA Class 10 General Mathematics Solutions in Assamese.
SEBA Class 10 Maths Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ
Also, you can read the SEBA book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per Board of Secondary Education, Assam (SEBA) Book guidelines. SEBA Class 10 Maths Chapter 3 দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ are part of All Subject Solutions. Here we have given SEBA Solutions For Class 10 Mathematics in Assamese Medium for All Chapters, You can practice these here.
দশম শ্ৰেণীৰ গণিত পাঠ্যক্ৰমৰ ভিডিঅ’ উপলব্ধ
সহজ ব্যাখ্যা, অধ্যায়ভিত্তিক Video আৰু নোটসমূহ পাবলৈ তলৰ বিকল্পসমূহ বাছক
দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ
Chapter: 3
| অনুশীলনীঃ 3.1 |
1. তলৰ সমস্যাবোৰত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ গঠন কৰা আৰু লৈখিকভাৱে সেইবোৰৰ সমাধান উলিওৱা।
(i) এটা গণিত কুইজত দশম শ্ৰেণীৰ 10 জন ছাত্র-ছাত্রীয়ে অংশ গ্রহণ কৰিছিল। যদি ছাত্রতকৈ ছাত্রীৰ সংখ্যা 4 বেছি, তেন্তে অংশ গ্রহণ কৰা ছাত্র আৰু ছাত্রীৰ সংখ্যা উলিওৱা।
উত্তৰঃ
ধৰা হ’ল গণিত কুইজত যোগান কৰা ছাত্ৰৰ সংখ্যা = x আৰু ছাত্ৰীৰ সংখ্যা = y
∴ চর্তমতে, x + y = 10
∴ x = 10 – y ………. (i)
তালিকা – I
| x | 10 | 3 | 0 |
| y | 0 | 7 | 10 |
y = x + 4
⇒ x = y – 4 ……….. (ii)
তালিকা – II
| x | -4 | 3 | 0 |
| y | 0 | 7 | 4 |
X অক্ষ বৰাবৰ 10 টা সৰু বর্গ = 1 একক আৰু y -অক্ষ বৰাবৰ 10 টা সৰু বৰ্গ = 2 একক ধৰি লেখ কাকতত স্থাপন কৰি
∴ কুইজত অংশ গ্রহণ কৰা ছাত্ৰৰ সংখ্যা 3 আৰু ছাত্রীৰ সংখ্যা = 7।
(ii) 5 ডাল পেঞ্চিল আৰু 7 টা পেনৰ দাম একেলগে 50 টকা আৰু 7 ডাল পেঞ্চিল আৰু 5 টা পেনৰ দাম একেলগে 46 টকা। এডাল পেঞ্চিল আৰু এটা পেনৰ দাম উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল এডাল পেঞ্চিলৰ ক্রয়মূল্য = x টকা আৰু এটা পেনৰ ক্রয়মূল্য = 7 টকা।
∴ প্রশ্নমতে, 5x + 7y = 50 ………. (i)
তালিকা – I
| x | 10 | 3 | -4 |
| y | 0 | 5 | 10 |
7x + 5y = 46 ………. (ii)
তালিকা – II
| x | 6.5 | 3 | 9.5 |
| y | 0 | 5 | -4 |
2. a1/a2, b1/b2 আৰু c1/c2অনুপাতকেইটা ৰিজাই তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰকেইটাই বুজোৱা ৰেখা দুটাই এটা বিন্দুত কাটিব, নে সমান্তৰাল হ’ব নে লগলগা, তাক নিৰ্ণয় কৰাঃ
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
উত্তৰঃ 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
ইয়াত, a1 = 5, b1 = −4, c1 = 8
a2 = 7, b2 = 6, c2 = −9
এতিয়া, a₁/a₂ = 5/7; b₁/b₂ = -4/6 = -2/3; c₁/c₂ = 8/-9
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ 8/-9
∴ প্রদত্ত ৰৈখিক সমীকৰণ দুটা পৰস্পৰ এটা বিন্দু ছেদ কৰে।
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
উত্তৰঃ 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
ইয়াত, a₁ = 9, b₁ = 3, c₁ = 12
a₂ = 18, b₂ = 6, c₂ = 24
এতিয়া, a₁/a₂ = 9/18 = 1/2; b₁/b₂ = 3/6 = 1/2; c₁/c₂ = 12/24 = ½
∴ a1/a2 ≠ b1/b2 ≠ c1/c2
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা সংগত।
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
উত্তৰঃ 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
ইয়াত, a₁ = 6, b₁ = -3, c₁ = 10
a₂ = 2, b₂ = -1, c₂ = 9
এতিয়া, a₁/a₂ = 6/2 = 3; b₁/b₂ = -3/-1 = 3; c₁/c₂ = 10/9
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা পৰস্পৰ লেখ পৰস্পৰ সমান্তৰাল।
3. a₁/a₂, b₁/b₂ আৰু c₁/c₂ অনুাপতকেইটা ৰিজাই নিৰ্ণয় কৰা তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰকেইটা সংগত নে অসংগত।
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 3x + 2y – 5 = 0 আৰু 2x – 3y – 7 = 0
ইয়াত, a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = -5
a₂ = 2, b₂ = -3, c₂ = -7
এতিয়া, a₁/a₂ = 3/2; b₁/b₂ = 2/-3; c₁/c₂ = -5/-7 = 5/7
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী সংগত আৰু অদ্বিতীয় সমাধানযুক্ত।
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 2x – 3y – 8 = 0 আৰু 4x – 6y – 9 = 0
ইয়াত, a₁ = 2, b₁ = -3, c₁ = -8
a₂ = 4, b₂ = -6, c₂ = -9
এতিয়া, a₁/a₂ = 2/4 = 1/2; b₁/b₂ = -3/-6 = 1/2; c₁/c₂ = -8/-9 = 8/9
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী অসংগত।
(iii) 3/2x + 5/3y = 7; 9x – 10y = 14
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 3/2x + 5/3y – 7 = 0 আৰু 9x + 10y – 14 = 0
ইয়াত, a₁= 3/2, b₁ = 5/3, c₁ = -7
a₂ = 9, b₂ = 10, C₂ = -14
b₁/b₂ = 3/10 = 5/3 × 1/10 = 1/6;
c₁/c₂ = -7/-14 = 1/2
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী অসংগত।
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + 6y = -22
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 5x – 3y – 11 = 0 আৰু -10x + 6y + 22 = 0
ইয়াত, a₁ = 5, b₁ = -3, C₁ = -11
a₂ = -10, b₂ = 6, C₂ = 22
এতিয়া, a₁/a₂ = 5/-10 = -1/2;
b₁/b₂ = -3/6 = -1/2;
c₁/c₂ = -11/22 = -1/2
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী অসংগত।
(v) 4/3x + 2y = 8; 2x + 3y = 12
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 4/3x + 2y – 8 = 0 আৰু 2x + 3y – 12 = 0
ইয়াত, a₁ = 4/3, b₁ = 2, c₁ = 8
a₂ = 2, b₂ = 3, c₂ = -12
b₁/b₂ = 2/3, c₁/c₂ = -8/-12 = 2/3
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী অসংগত।
4. তলৰ কোনবোৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ সংগত/অসংগত? যদি সংগত, লেখৰ সহায়ত সমাধান উলিওৱা।
(i) x + y = 5, 2x + 2y = 10
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ x + y – 5 = 0 আৰু 2x + 2y – 10 = 0
ইয়াত, a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = -5
a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = -10
এতিয়া, a₁/a₂ = 1/2; b₁/b₂ = 1/2; c₁/c₂ = -5/-10 = 1/2
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী হ’ল অসংগত। সুতৰাং লেখচিত্ৰৰ সহায়ত সমীকৰণদ্বয় সমাধান কৰা সম্ভৱ।
x + y = 5
⇒ x = 5 – y ………… (i)
তালিকা – I
| x | 5 | 2 | 0 |
| y | 0 | 3 | 5 |
2x + 2y = 10
⇒ x + y = 5
⇒ x = 5 – y ……… (ii)
তালিকা – II
| x | 5 | 3 | 0 |
| y | 0 | 2 | 5 |
লেখ কাকতৰ দহটা সৰু বৰ্গ = 1 একক ধৰি তালিকা = I আৰু তালিকা = II -ৰ বিন্দুবোৰ লেখতাতকক স্থাপন কৰি স্কেলৰ দ্বাৰা সংযোগ কৰা হ’ল। দেখা গ’ল যে ৰেখা দুডালৰ পৰিপাত ঘটিছে। অর্থাৎ ৰেখা দুডাল সমান্তৰাল। সুতৰাং প্রদত্ত সমীকৰণ দুটাৰ অসংখ্য সমাধান পোৱা যাব।
(ii) x – y = 8, 3x – 3y = 16
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ x – y – 8 = 0
আৰু 3x – 3y – 16 = 0
ইয়াত, a₁ = 1, b₁ = -1, c₁ = -8
a₂ = 3, b₂ – 3, C₂ = -16
এতিয়া, a₁/a₂ = 1/3; b₁/b₂ = -1/-3 = 1/3; c₁/c₂ = -8/-16 = 1/2
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী হ’ল অসংগত।
(iii) 2x + y – 6 = 0, 4x – 2y – 4 = 0
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ 2x + y – 6 = 0
আৰু 4x – 3y – 4 = 0
ইয়াত, a₁ = 2, b₁ = 1, C₁ = -6
a₂ = 4, b₂ = -2, C₂ = -4
এতিয়া, a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = 1/2 = 1/3; c₁/c₂ = -6/-4 = 3/2
∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ প্ৰণালী হ’ল অসংগত।
∴ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটাৰ লেখচিত্ৰৰ দ্বাৰা সমাধান কৰা সম্ভৱ।
∴ 2x + y – 6 = 0
⇒ x = 6 – y/2 ……….. (i)
তালিকা – I
| x | 5 | 3 | 0 |
| y | 0 | 2 | 5 |
আকৌ, 4x – 2y – 4 = 0
⇒ 2(2x – y – 2) = 0
⇒ 2x – y – 2 = 0
⇒ 2x = y + 2
⇒ x = y + 2/2 ………… (ii)
তালিকা – II
| x | 1 | 2 | 0 |
| y | 0 | 2 | -2 |
এতিয়া লেখকাকতৰ 10 টা সৰু বৰ্গ = 1 একক ধৰি তালিকা = I আৰু তালিকা = II -ৰ বিন্দুবোৰ লেখকাকতত স্থাপন কৰা হ’ল আৰু সংযোগ কৰি দুটা সৰলৰেখা পোৱা গ’ল। ৰেখা দুটা পৰম্পৰ (2,2) বিন্দুত ছেদ কৰিলে।
(iv) 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
উত্তৰঃ 2x – 2y – 2 = 0, 4x – 4y – 5 = 0
a₁/a₂ = 2/4 = 1/2, b₁/b₂ = -2/-4 = 1/2, c₁/c₂ = -2/-5 = 2/5
∴ সমীকৰণযোৰ অসংগত।
5. এখন আয়তাকাৰ বাগিচাৰ প্ৰস্থতকৈ দীঘ 4 মিটাৰ বেছি। ইয়াৰ পৰিসীমাৰ আধা 36 মিটাৰ। বাগিচাখনৰ দীঘ, প্রস্থ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল বাগিচাৰ দীঘ বা দৈর্ঘ্য = x মি.
আৰু প্ৰন্থ = y মি.
∴ বাগিচা খনৰ পৰিসীমা = 2(x + y) মিটাৰ।
∴ পৰিসীমাৰ আধা = (x + y) মিটাৰ
∴ প্রথম চর্তমতে, x = y + 4
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, x + y = 36
∴ x = y + 4 ………. (i)
x + y = 36 ……….. (ii)
এতিয়া, (i) আৰু (ii) ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ–
y + 4 + y = 36
⇒ 2y = 36 – 4
⇒ 2y = 32
⇒ y = 16
এতিয়া, y = 16, (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ x = 16 + 4 = 20
∴ বাগিচাটোৰ দীঘ বা দৈর্ঘ্য = 20 মিটাৰ আৰু প্ৰস্থ = 16 মিটাৰ।
6. 2x + 3y – 8 = 0 ৰৈখিক সমীকৰণটো দিয়া আছে। দুটা চলকত অইন এটা ৰৈখিক সমীকৰণ নিৰ্ণয় কৰা যাতে এইদবে গঠন হোৱা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটোৰ জ্যামিতিক প্রদর্শনটো হ’ব–
(i) কটাকটি ৰেখা।
উত্তৰঃ চৰ্ত – I: পৰস্পৰছেদী সৰলৰেখাৰ বাবেঃ
প্রদত্ত সৰলৰৈখিক সমীকৰণটো হ’ল 2x + 3y 8 = 0 ………. (i)
a₁x + b₁ + c₁ = 0 আৰু a₂x + b₂y + C₂ = 0 সমীকৰণৰ লেশদ্বয় অসমান্তৰাল হ’লে, ইহঁতে পৰস্পৰ এটা বিন্দুত ছেদ কৰিব। অর্থাৎ ইহঁতৰ এটা সমাধান থাকিব।
এই চর্তটো হ’ল: ∴ a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂
এতিয়া, দ্বিতীয় সমীকণটো ধৰা হ’লঃ
3x – 2y – 6 = 0 ……….. (ii)
∴ (i) ⇒ x = 8 – 3y/2
তালিকা – I
| x | 4 | 7 | 1 |
| y | 0 | -2 | 2 |
(ii) ⇒ x 6 + 2y/3
তালিকা – II
| x | 2 | 0 | 4 |
| y | 0 | -2 | 2 |
এতিয়া, লেখকাকতৰ 10 টা সৰু বর্গ = 1 একক ধৰি লেখকাকতত তালিকা – I আৰু তালিকা – II – ৰ পৰা বিন্দুবোৰ স্থাপন কৰি স্কেলৰে সংযোগ কৰি দুটা ৰেখা পোৱা গ’ল। ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ G বিন্দুত ছেদ কৰে।
(ii) সমান্তৰাল ৰেখা।
উত্তৰঃ চর্ত – II: সমাচ্ছাল ৰেখাৰ বাবেঃ
ধৰা হ’ল দুটা ৰেখাঃ 2x + 3y – 8 = 0
আৰু 2x + 3y – 5 = 0
ইয়াত, a₁x + b₁y + c₁ = 0 আৰু a₂x + b₂y + c₂ = 0 ৰ ক্ষেত্রত যদি a₁/a₂ ≠ b₁/b₂ ≠ c₁/c₂ হয়, তেন্তে সমীকৰণ দুটা অসংগত অর্থাৎ সিহঁতৰ সমাধান নাথাকে।
∴ 2x + 2y – 8 = 0
⇒ x = 8 – 3y/2 ……….. (i)
তালিকা – I
| x | 4 | 7 | 1 |
| y | 0 | -2 | 2 |
2x + 3y – 5 = 0
⇒ x = 5 – 3y/2 ………… (ii)
তালিকা – II
| x | 2.5 | -2 | 7 |
| y | 0 | 3 | -3 |
এতিয়া, লেখতাতকৰ 10 টা সৰু বর্গ = 1 একক (x – অক্ষ বৰাবৰ) আৰু 10 টা সৰু বৰ্গ = 2 একক (y – অক্ষ বৰাবৰ) ধৰি তালিকা দুটাৰ বিন্দুবোৰ লেখ কাকতত স্থাপন কৰি স্কেলৰ দ্বাৰা সংযোগ কৰা হ’ল। লেখচিত্ৰৰ পৰা দেখা যায় যে, ৰেখা দুডাল পৰস্পৰ সমান্তৰাল।
(iii) মিলি যোৱা ৰেখা।
উত্তৰঃ চৰ্ত-III: দুটা ৰেখাৰ পৰস্পৰ মিলনঃ
a₁x + b₁y + c₁ = 0 আৰু a₂x + b₂y + c₂ = 0 ৰেখাদ্বয় পৰস্পৰ মিলিত হোৱা চর্ত হ’ল a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂
ধৰা হ’ল সমীকৰণ দুটাঃ 2x + 3y – 8 = 0
আৰু 6x + 9y – 8 = 0 …………… (i)
∴ (i) ⇒ x 8 – 3y
তালিকা – I
| x | 4 | 7 | 1 |
| y | 0 | -2 | 2 |
6x + 9y – 24 = 0 …………. (ii)
∴ (ii) ⇒ x = 24 – 9y/6
তালিকা – II
| x | 4 | 1 | 7 |
| y | 0 | 2 | -2 |
এতিয়া, লেখতাতকৰ 10 টা সৰু বৰ্গ = 1 একক ধৰি তালিকা – I আৰু তালিকা – II ৰ বিন্দুবোৰ স্থাপন কৰি স্কেলৰ দ্বাৰা সংযোগ কৰা হ’ল। লেখ -চিত্ৰৰ পৰা দেখা যায় যে, দুটা ৰেখা পৰস্পৰ মিলিত হৈছে।
7. x – y + 1 = 0 আৰু 3x + 2y – 12 = 0 সমীকৰণ দুটাৰ লেখ অংকন কৰা। এই ৰেখা দুটাই x-অক্ষৰ লগত কৰা ত্রিভুজটোৰ শীর্ষবিন্দুকেইটাৰ স্থানাংক উলিওৱা। ত্রিভুজীয় ক্ষেত্রটো প্রচ্ছাদিত কৰা।
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হলঃ x – y + 1 = 0 ………… (i)
আৰু 3x + 2y – 12 = 0 ………….. (ii)
∴ (i) ⇒ x = y – 1
তালিকা – I
| x | -1 | 2 | 0 |
| y | 0 | 3 | 1 |
(ii) ⇒ x = 12 – 2y/3
তালিকা – II
| x | 4 | 2 | 0 |
| y | 0 | 3 | 6 |
এতিয়া, লেখতাতকৰ 10 টা সৰু বর্গ = 1 একক ধৰি তালিকা – I আৰু তালিকা – II ৰ বিন্দুবোৰ লেখ কাকতত স্থাপন কৰি স্কেলৰ দ্বাৰা সংযোগ কৰি দুডাল ৰেখা পোৱা গ’ল। এই ৰেখা দুডাল আৰু অক্ষৰ লগত ∆ABD গঠন কৰিছে। লেখচিত্র পৰা ∆ABD -ৰ শীর্ষবিন্দুৰ স্থানাংক ক্রমে A(-1,0) B (2,3) আৰু D (4,0) পোৱা গ’ল।
এতিয়া, AD = AO + OD
= 1 + 4 = 5 একক,
BF লম্ব = 3 একক পোৱা গ’ল।
∴ AABD কালি
= 1/2 × ভূমি × উন্নতি
= 1/2 × AD × BF
= (1/2 × 5 × 3) বর্গ একক
= 15/2 = 7.5 বর্গ একক
8. P ৰ কি মানৰ বাবে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰটোৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান থাকিব?
4x + py + 8 = 0
2x + 2y + 2 = 0
(a) যেতিয়া P = 4
(b) যেতিয়া P ≠ 4
(c) যেতিয়া P = -4
(d) যেতিয়া P ≠ -4
উত্তৰঃ (b) যেতিয়া P ≠ 4
9. তলৰ কোন কেইযোৰ সমীকৰণৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব?
(a) 2x + 3y = 6 আৰু 4x + 6y – 12 = 0
(b) x + y = 4 আৰু x – y – 2 = 0
(c) x – y = 3 আৰু x + y = 7
(d) x + y = 5 আৰু 2x – y = 3
উত্তৰঃ (a) 2x + 3y = 6 আৰু 4x + 6y – 12 = 0
10. এই প্ৰশ্নটোত উক্তি (A) সংক্ৰান্ত এটা বাক্যৰ পিছত যুক্তি (R) সংক্ৰান্ত আন এটা বাক্য দিয়া আছে। উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) বিবেচনা কৰি তলৰ বিকল্পসমূহৰ পৰা শুদ্ধটো বাছি উলিওৱা।
উক্তি (A) : সমীকৰণ 2x – 3y = 0 ৰ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে।
যুক্তি (R) : দুটা চলকৰ এটা ৰৈখিক সমীকৰণে স্থানাংক সমতলত এডাল সৰল ৰেখা বুজায়।
(a) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) উভয়ে সত্য আৰু যুক্তি (R) টো উক্তি (A)ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
(b) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) উভয়ে সত্য আৰু যুক্তি (R) টো উক্তি (A)ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।
(c) উক্তি (A) সত্য, কিন্তু যুক্তি (R) অসত্য।
(d) উক্তি (A) অসত্য, কিন্তু যুক্তি (R) সত্য।
উত্তৰঃ (a) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) উভয়ে সত্য আৰু যুক্তি (R) টো উক্তি (A)ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
| অনুশীলনী – 3.2 |
1. প্রতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰবোৰ সমাধা কৰাঃ
(i) x + y = 14
x – y = 4
উত্তৰঃ (i) x + y = 14 ……….. (1)
x – y = 4 ….……… (2)
∴ (1) ⇒ x = 14 – y ………… (3)
এতিয়া, x ৰ মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
14 – y – y = 4
⇒ -2y = 4 – 14
⇒ -2y = -10
⇒ y = 5
আকৌ, y = 5 (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ x = 14 – 5 = 9
∴ x = 9 আৰু 4 + y = 5 (উত্তৰ)
(ii) s – t = 3
s/3 + t/2 = 6
উত্তৰঃ s – t = 3 …………. (1)
s/3 + t/2 = 6
⇒ 2s + 3t/6 = 6
⇒ 2s + 3t = 36 ………… (2)
∴ (1) ⇒ s = 3 + t ………… (3)
এতিয়া, (2) আৰু (3) ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ–
2(3 + t) + 3t = 36
⇒ 6 + 2t + 3t = 36
⇒ 5t = 36 – 6 = 30
⇒ t = 30/5 = 6
এতিয়া, t = 6 (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
s – 6 = 3
⇒ s = 6 + 3 = 9
(iii) 3x – y = 3
9x – 3y = 9
উত্তৰঃ 3x – y = 3…………. (1)
9x – 3y = 9 ………….. (2)
∴ (1) ⇒ y = 3x – 3 …….. (3)
এতিয়া, (2) আৰু (3) ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ–
9x – 3(3x – 3) = 9
⇒ 9x – 9x + 9 = 9
⇒ 9 = 9
∴ ইয়াৰ পৰা বুজা যায় যে x আৰু y -ৰ কোনো নির্দিষ্ট মান নাই। প্রদত্ত সমীকৰণ দুটাৰ অসংখ্যা সমাধান পোৱা যাব।
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
উত্তৰঃ 2x + 0.3y = 1.3
⇒ 2/10x + 3/10y = 13/10
⇒ 2x + 3y = 13 ……….. (1)
0.4x + 0.5y = 2.3
⇒ 4/10x + 5y/10 = 23/10
এতিয়া, (1) ⇒ x = (13 – 3y)/2 ………. (3)
∴ (2) আৰু (3) ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ–
2/4(13 – 3y/2) + 5y = 23
⇒ 26 – 6y + 5y = 23
⇒ -y = 23 – 26 = -3
⇒ y = 3
∴ y = 3, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x = 13 – 3 × 3/2 = 13 – 9/2 = 4/2 = 2
উত্তৰঃ
(vi) 3x/2 – 5y/3 = -2
x/3 + y/2 = 13/6
উত্তৰঃ 3/2x – 5/3y = -2
⇒ (9x – 10y)/6 = -2 ⇒ 9x – 10y = -12 ……….. (1)
আৰু ⇒ x/3 + y/2 = 13/6
⇒ (2x + 3y)/6 = 13/6 ⇒ 2x + 3y = 13 …………. (2)
(1) নং সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ–
9x = 10y – 12
⇒ x = (10y – 12)/9 ………… (3)
এতিয়া, x -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
2(10y – 12/9) + 3y = 13
⇒ 20y – 24 + 27y/9 = 13
⇒ 47y – 24 = 13 × 9
⇒ 47y = 117 + 24 = 141
⇒ y = 141/47 = 3
এতিয়া, y = 3 (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ x = (10 × 3 – 12)/9 = (30 – 12)/9 = 18/9 = 2
2. 2x + 3y = 11 আৰু 2x – 4y = -24ক সমাধা কৰা। ইয়াৰপৰা ‘m’ ৰ মান উলিওৱা যাতে y = mx + 3।
উত্তৰঃ 2x + 3y = 11 ……….. (1)
আৰু, 2x – 4y = -24 ……….. (2)
∴ (2) ⇒ 2x = 4y -24
⇒ x = (4y – 24)/2 = 2(24 – 12)/2 = 2y – 12 ……….. (3)
∴ x -ৰ মান (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
2(2y – 12) + 3y = 11
⇒ 4y – 24 + 3y = 11
⇒ 7y = 11 + 24 = 35
⇒ y = 5
এতিয়া, y = 5, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ x = 2 × 5 – 12 = 10 – 12 = -2
এতিয়া, x = -2, আৰু y = 5, y = mx + 3 নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
5 = m(-2) + 3
⇒ 2m = 3 – 5 = -2
⇒ m = -1
∴ x = -2, y = 5 আৰু m = -1
3. তলৰ সমস্যাবোৰৰ ক্ষেত্ৰত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ গঠন কৰা আৰু প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা।
(i) দুটা সংখ্যাৰ পাৰ্থক্য 26। এটা সংখ্যা আনটোৰ তিনিগুণ হ’লে সংখ্যা দুটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল দুটা সংখ্যা x আৰু y
প্রশ্ননুযায়ী, x – y = 26 …………… (1)
আৰু x = 3y ………………… (2)
এতিয়া, x = 3y, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
3y – y = 26
⇒ 2y = 26 ⇒ y = 13
∴ y = 13, (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x = 3 × 13 = 39
∴ নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় হ’ল 13 আৰু 39.
(ii) দুটা সম্পূৰক (supplementary) কোণৰ ডাঙৰটো সৰুটোতকৈ 18 ডিগ্রী বেছি। কোণ দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল সম্পূৰক কোণ দুটা হ’ল x আৰু y, য’ত x > y
∴ প্রশ্ননুযায়ী, x + y = 180 …………… (1)
⇒ x = y + 18 ………….. (2)
এতিয়া, (1) আৰু (2) নং ব্যৱহাৰ কৰি পাওঁ–
y + 18 + y = 180
⇒ 2y = 180 – 18 = 162
∴ y = 162/2 = 81
∴ y = 81, (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
∴ x = 81 + 18 = 99
∴ নির্ণেয় কোণ দুটাৰ পৰিমাণ 81° আৰু 99°।
(iii) এটা ক্রিকেট দলৰ প্ৰশিক্ষকজনে 7 খন বেট আৰু 6 টা বল কিনে 3800 টকাত। পিছত তেওঁ 3 খন বেট আৰু টো বল কিনে 1750 টকাত। প্রতিখন বেট আৰু প্ৰতিটো বলৰ দাম উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, বেটৰ ক্রয়মূল্য = x টকা।
আৰু এটা বলৰ ক্রয়মূল্য = y টকা।
∴ প্রশ্নমতে, 7x + 6y = 3800 …………. (1)
আৰু 3x + 5y = 1750 …………… (2)
∴ (1) ⇒ 7x = 3800 – 6y
⇒ x = 3800 – 6y/7 …………… (3)
এতিয়া, x -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
⇒ 11400 + 17y = 1750 × 7
⇒ 11400 + 17y = 12250
⇒ 17y = 12250 – 11400
⇒ 17y = 850
⇒ y = 850/17 = 50
এতিয়া, y = 50, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
(iv) এখন চহৰৰ টেক্সি ভাড়াত এটা নির্দিষ্ট ভাড়াৰ লগত অতিক্ৰম কৰা দূৰত্বৰ ভাড়াটো লগলাগি থাকে। 10 কি.মি. দূৰত্বৰ বাবে দিবলগীয়া ভাড়া 105 টকা আৰু 15 কি.মি. ভ্রমণ এটাৰ বাবে দিবলগীয়া ভাড়া 155 টকা। নির্দিষ্ট আৰু প্রতি কি.মি. ভ্রমণ এটাৰ ভাড়া কিমান? 25 কি.মি. দূৰত্ব ভ্ৰমণ কৰিবলগীয়া মানুহ এজনে ভাড়া কিমান দিবলগীয়া হ’ব?
উত্তৰঃ এটা টেক্সীৰ নিৰ্দ্দিষ্ট ভাড়া = x টকা।
আৰু প্ৰতি কি.মিটাৰ ভ্ৰমণৰ বাবে ভাড়া = y টকা।
∴ চর্তমতে, x + 10U = 105 ………… (1)
আৰু x + 15y = 155 ………… (2)
∴ (1) ⇒ x = 105 – 10y …………. (3)
এতিয়া, x -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
105 – 10y + 15y = 155
⇒ 105 + 5y = 155
⇒ 5y = 155 – 105
⇒ 5y = 50
⇒ y = 50/5 = 10
এতিয়া, y = 10 (3) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
x = 105 – 10 × 10 = 105 – 100 = 5
⇒ x = 5
∴ নির্ণেয় টেক্সীৰ নিৰ্দ্দিষ্ট ভাড়া = 5 টকা
আৰু প্ৰতি কি.মিটাৰৰ বাবে ভাড়া 10 টকা।
আকৌ, 25 কি.মিটাৰ দূৰত্ব ভ্ৰমণৰ বাবে ভাড়া
= {(10 × 25) + 5) টকা
= (250+5) টকা
= 255 টকা।
(v) এটা ভগ্নাংশত যদি লব আৰু হৰ উভয়তে 2 যোগ কৰা হয় তেন্তে ভগ্নাংশটো হয় 9/11। যদি লব আৰু হৰ উভয়তে 3 যোগ কৰা হয়, তেন্তে ভগ্নাংশটো হয় 5/6। ভগ্নাংশটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ভগ্নাংশটো x/y
∴ প্রথম চর্তমতে, (x + 2)/(y + 2) = 9/11
⇒ 11(x + 2) = 9(y + 2)
⇒ 11x + 22 = 9y + 18
⇒ 11x = 9y + 18 – 22
⇒ 11x = 9y – 4
⇒ x = 9y – 4/11 ………… (1)
∴ দ্বিতীয় চর্তমতে, (x + 3)/(y + 3) = 5/6
⇒ 6(x + 3) = 5(y + 3)
⇒ 6x + 18 = 5y + 15
⇒ 6x – 5y = 15 – 18
⇒ 6x – 5y = -3 ………….. (2)
এতিয়া, x -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
6(9y – 4/11) – 5y = -3
⇒ 54y – 24/11 – 5y = -3
⇒ 54y – 24 – 55y/11 – 5y = -3
⇒ -y – 24 = -3 × 11
⇒ -y = -33 + 24 = -9
⇒ y = 9
∴ y = 9, (1) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
x = 9 × 9 – 4/11 = (81 – 4)/11 = 77/11 = 7
∴ নির্ণেয় ভগ্নাংশটো হ’ব = 7/9
(vi) আজিৰপৰা পাঁচ বছৰ পিছত জেকবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্ৰতকৈ তিনিগুণ হ’ব। পাঁচ বছৰ আগতে জেকবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্ৰতকৈ সাতগুণ আছিল। তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, জেকবৰ বৰ্তমান বয়স x বছৰ
আৰু পুত্ৰৰ বৰ্তমান বয়স y বছৰ
5 বছৰ পাছত জেকবৰ বয়স হ’ব (x + 5) বছৰ
আৰু পুত্ৰৰ বয়স হ’ব (y + 5) বছৰ।
∴ প্রথম চর্তমতে, x + 5 = 3(y + 5)
⇒ x + 5 = 3y + 15
⇒ x = 3y + 15 – 5
⇒ x = 3y + 10 ………… (1)
আকৌ, 5 বছৰ আগতে জেকবৰ বয়স আছিল (x – 5) বছৰ
আৰু 5 বছৰ আগতে পুতেকৰ বয়স আছিল (y – 5) বছৰ
∴ দ্বিতীয় চর্তমতে, x – 5 = 7(y – 5)
⇒ x – 5 = 7y – 35
⇒ x = 7y – 35 + 55
⇒ 7x – 7y = -30 ……….. (2)
এতিয়া x ৰ মান (2) নং ত বহুৱাই পাওঁ–
3y + 10 – 7y = -30
⇒ -4y = -30 – 10
⇒ -4y = -40 ⇒ y = 10
∴ y = 10, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x = 3 × 10 + 10= 30 + 10 = 40
4. যদি x + 3, x³ + ax² – bx + 6 ৰ এটা উৎপাদক হয় আৰু a + b = 7, তেন্তে a আৰু b ৰ মান উলিওৱা।
উত্তৰঃ যিহেতু x + 3 বহুপদটোৰ এটা গুণনীয়ক, সেয়ে
∴ p(−3) = 0
ধৰা হ’ল, p(x) = x3 + ax2 − bx + 6
⇒ (−3)3 + a(−3)2 − b(−3) + 6 = 0
⇒ −27 + 9a + 3b + 6 = 0
⇒ 9a + 3b − 21 = 0
3 ৰে হৰণ কৰিলে আমি পাওঁ
⇒ 3a + b = 7 …(i)
দিয়া আছে, a + b = 7 …(ii)
এতিয়া, (i) সমীকৰণৰ পৰা (ii) সমীকৰণ বিয়োগ কৰিলে,
⇒ (3a + b) − (a + b) = 7 − 7
⇒ 2a = 0
⇒ a = 0
এতিয়া, a = 0-ৰ মান (ii) সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ,
⇒ 0 + b = 7
⇒ b = 7
সেয়েহে, a আৰু b-ৰ প্ৰয়োজনীয় মান ক্ৰমে 0 আৰু 7।
5. তলত উল্লেখ কৰা দুটা চলকযুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰটো বিবেচনা কৰা। এতিয়া বিকল্পবোৰৰ পৰা শুদ্ধটো বাছি উলিওৱা।
2x = y আৰু -5x + 2y – 3 = 0
(i) সমীকৰণ দুটাৰ লেখ দুটাই এটা বিন্দুত কটাকটি কৰে।
(ii) সমীকৰণ দুটাৰ লেখ দুটা পৰস্পৰ সমান্তৰাল।
(iii) সমীকৰণৰ লেখ দুটা মিলি যায়।
(iv) সমীকৰণ দুটাৰ এটা অদ্বিতীয় সমাধান আছে।
(a) (i) আৰু (ii) দুয়োটা শুদ্ধ
(b) (i) আৰু (iii) দুয়োটা শুদ্ধ
(c) (ii) আৰু (iii) দুয়োটা শুদ্ধ
(d) (i) আৰু (iv) দুয়োটা শুদ্ধ
উত্তৰঃ (d) (i) আৰু (iv) দুয়োটা শুদ্ধ
6. তলৰ স্তম্ভ A আৰু স্তম্ভ B ত দিয়াবোৰ মিলোৱা আৰু পিছত শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা।
| স্তম্ভ I | স্তম্ভ II |
| A. x − y = 0 | (i) অদ্বিতীয় সমাধান আছে |
| B. 2x − 3y = 5 and x − y = 1 | (ii) দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণ |
| C. x + 2y = 6 and 4x + 8y = 24 | (iii) কোনো সমাধান নাই |
| D. 2x + 3y = 6 and 4x + 6y = 10 | (iv) অসীম সংখ্যক সমাধান আছে আৰু লেখ মিলি যোৱা ৰেখা |
(a) A → (ii), B → (i), C → (iv), D → (iii)
(b) A → (ii), B → (iv), C → (i), D → (iii),
(c) A → (iv), B → (i), C → (ii), D → (iii),
(d) A → (iv), (B) → (ii), C → (i), D → (iii)
উত্তৰঃ (a) A → (ii), B → (i), C → (iv), D → (iii)
7. (x, 4) বিন্দুটোৱে 3x + y = 19 সমীকৰণটোক সিদ্ধ কৰিলে x ৰ মান হ’ব-
(a) 6
(b) 5
(c) 3
(d) 4
উত্তৰঃ (b) 5
8. দুটা সমীকৰণ 2x + 4y = 10 আৰু Kx + 8y = 20 দিয়া আছে। K ৰ কি মানৰ বাবে যোৰটোৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব?
(a) 4
(b) 3
(c) 2
(d) 1
উত্তৰঃ (a) 4
| অনুশীলনী – 3.3 |
1. তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণকেইযোৰ অপনয়ন পদ্ধতিৰে আৰু প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সমাধা কৰাঃ
(i) x + y = 5 আৰু 2x – 3y = 4
উত্তৰঃ প্রদত্ত সমীকৰণ দুটা হ’লঃ
x + y = 5 ………….. (1)
2x – 3y = 4 …………. (2)
অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method):
এতিয়া, y = 6/5, নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x + 6/5 = 5
⇒ x = 5 – 6/5
⇒ x = (25 – 6)/5 = 19/5
∴ নির্ণেয় সমাধান: x = 19/5, y = 6/5
প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method):
(1) – ৰ পৰা পাওঁ–
x = 5 – y ………….. (3) এই মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
2(5 – y) – 3y = 4
⇒ 10 – 2y – 3y = 4
⇒ -5y = 4 – 10
⇒ -5y = -6
⇒ y = 6/5
এতিয়া, y = 6/5 (3) নং সমীকৰণত স্থাপন কৰি পাওঁ–
x = 5 – 6/5 = (25 – 6)/5 = 19/5
∴ x = 19/5, y = 6/5
(ii) 3x + 4y = 10 আৰু 2x – 2y = 2
উত্তৰঃ প্রতিস্থাপন পদ্ধতি (Substitution Method):
3x + 4y = 10 …………… (1)
2x – 2y = 2 …………… (2)
∴ (1) ⇒ 3x = 10 – 4y
⇒ x = (10 – 4y)/3 …………. (3)
এই মান, অর্থাৎ x ৰ মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
2((10 – 4y)/3) – 2y = 2
⇒ (20 – 8y)/3 – 2y = 2
⇒ (20 – 8y – 6y)/3 = 2
⇒ 20 – 8y – 6y = 6
⇒ -14y = 6 – 20
⇒ -14y = -14
⇒ y = -14/-14 = 1
এতিয়া, y = 1 (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x = (10 – 4 × 1)/3 = 6/3 = 2
অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method):
3x + 4y = 10 ………….. (1)
2x – 2y = 2 ………….. (2)
(iii) 3x – 5y – 4 = 0 আৰু 9x = 2y + 7
উত্তৰঃ 3x – 5y – 4 = 0 আৰু 9x = 2y + 7
অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method):
3x – 5y = 4 ……………. (1) × 9
9x – 2y = 7 ……………. (2) × 3
(বিয়োগ কৰি) -39y = 15
⇒ y = -15/39 = -5/13
এতিয়া, x -ৰ মান (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
3x – 5y = 4
⇒ 3x – 5(-5/13) = 4
⇒ 3x + 25/13 = 4
⇒ 3x = 4 – 25/13 = (52 – 25)/13 = 27/13
প্রতিষ্ঠাপন পদ্ধতিঃ
3x – 5y = 4 …………… (1)
9x – 2y = 7 ………….. (2)
(1) ⇒ 3x = 4 + 5y
⇒ x = (4 + 5y)/3 …………. (3)
এতিয়া, x -ৰ মান (2) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
9(4 + 5y/3) – 2y = 7
⇒ (36 + 45y)/3 – 2y = 7
⇒ (36 + 45y – 6y)/3 = 7
⇒ 39y + 36 = 21
⇒ 39y = 21 – 36 = -15
⇒ y = -15/39 = -5/13
এতিয়া, y = -5/13, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
(iv) x/2 + 2y/3 = -1 আৰু x – y/3 = 3
উত্তৰঃ x/2 + (2y)/3 = -1 ………… (1)
x – y/3 = 3 ……………. (2)
অপনয়ন পদ্ধতি (Elimination Method):
এতিয়া, y = -3, (4) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
3x + 49 – 3 = -6
⇒ 3x – 12 = -6
⇒ 3x = -6 + 12
⇒ 3x = 6
⇒ x = 6/3 = 2
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিঃ
x/2 + 2y/3 = -1 ……….. (1)
x – y/3 = 3 ………… (2)
(2) ⇒ x = 3 + y/3 = (9 + y)/3
এতিয়া, x -ৰ মান (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
এতিয়া, y = -3, (3) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
(v) 3y/2 – 5x/3 = -2 আৰু y/3 + x/3 = 13/16
উত্তৰঃ নিজে কৰা।
(vi) x – y = 3 আৰু x/3 + y/2 = 6
উত্তৰঃ x – y = 3
⇒ x = 3 + y …….. (i)
x/3 + y/2 = 6
⇒ (3 + y)/3 + y/2 = 6
⇒ 1 + y/3 + y/2 = 6
⇒ 5y/6 = 6 – 1
⇒ y = 6
⇒ x = 3 + y
= 3 + 6
= 9
(vii) 8/x – 9/y = 1 আৰু 10/x + 6/y = 7
উত্তৰঃ নিজে কৰা।
2. তলৰ সমস্যাবোৰৰ ৰৈখিক সমীকৰণযোৰ গঠন কৰা আৰু সিহঁতৰ সমাধান (যদি থাকে) অপনয়ন পদ্ধতিৰে উলিওৱাঃ
(i) যদি আমি লবত 1 যোগ কৰোঁ আৰু হৰৰ পৰা 1 বিয়োগ কৰো এটা ভগ্নাংশ হয়গৈ 1। আমি যদি অকল হৰটোতহে 1 যোগ কৰো তেন্তে ই হয়গৈ 1/2। ভগ্নাংশটো কি?
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল ভগ্নাংশটোঃ x/y
∴ প্রথম চর্তমতে, (x + 1)/(y – 1) = 1
⇒ x + 1 = y – 1
⇒ x – y = -2 …………. (1)
∴ দ্বিতীয় চর্তমতে, x/(y + 1) = ½
⇒ 2x = y + 1
⇒ 2x – y = 1 …………. (2)
∴ +x – y = -2
+2x – y = 1
(ii) পাঁচ বছৰ আগতে নুৰৰ বয়স চুনুৰ তিনিগুণ আছিল। দহ বছৰ পিছত নুৰ চুনুৰ দুগুণ ডাঙৰ হ’ব। নুৰ আৰু চুনুৰ বৰ্তমান বয়স কিমান?
উত্তৰঃ ধৰা হ’লঃ নূৰীৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ
আৰু চুনুৰ বৰ্তমান বয়স = y বছৰ।
∴ প্রথম চর্তমতে, x – 5 = 3(y – 5)
⇒ x – 5 = 3y – 15
⇒ x – 3y = -10 …………. (1)
∴ দ্বিতীয় চর্তমতে, x + 10 = 2(y + 10)
⇒ x – 2y = 10 …………… (2)
∴ + x – 3y = -10
+ x – 2y + 10
এতিয়া, y = 20, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x – 3y + 10 = 02
⇒ x – 3 × 20 + 10 = 0
⇒ x – 60 + 10 = 0
⇒ x = 50
∴ চুনুৰৰ বৰ্তমান বয়স = 50 বছৰ
আৰু চুনুৰ বৰ্তমান বয়স = 10 বছৰ।
(iii) দুটা অংকৰ সংখ্যা এটাৰ অংক দুটাৰ সমষ্টি 9। আকৌ এই সংখ্যাটোৰ ন গুণ ল’লে সংখ্যাটোৰ অংক দুটাক সালসলনি কৰি পোৱা সংখ্যাটোৰ দুগুণৰ সমান হয়। সংখ্যাটো উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল: একক স্থানীয় অংক = x
আৰু দহক স্থানীয় অংক = y
∴ সংখ্যাটো হ’ল = 10y + x
অংক দুটা ওলোটাই লিখিলে, সংখ্যাটো হ’ব: 10x + y
∴ প্রথম চর্তমতে, x + y = 9 ………… (1)
আৰু দ্বিতীয় চৰ্তমতে, 9(10y + x) = 2(10x + y)
⇒ 90y + 9x = 20x + 2y
⇒ 90y + 9y – 20x – 2y = 0
⇒ -11x + 88y = 0
⇒ x – 8y = 0 …………. (2)
এতিয়া, (2) – (1) কৰি পাওঁ–
+x – 8y = 0
+x + y = 9
এতিয়া, y = 1, (1) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x + 1 = 9
⇒ x = 8
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটো: 10y + x
= 10 × 1 + 8 = 18.
(iv) মীনাই 2000 টকা উলিয়াবলৈ এটা বেংকলৈ গ’ল। তাই ধনভৰালীক মাত্র 50 টকীয়া আৰু 100 টকীয়া নোটহে দিবলৈ ক’লে। মীনাই মুঠতে 25 খন নোট পালে। তাই 50 টকীয়া আৰু 100 টকীয়া নোট কেইখনকৈ পালে?
উত্তৰঃ মিনায়ে পোৱা 50 টকাৰ নোটৰ সংখ্যা = x
আৰু 100 টকাৰ নোটৰ সংখ্যা = y
∴ প্রথম চর্তমতে, x + y = 25 …………… (1)
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, 50x + 100y = 2000
⇒ x + 2y = 40 …………. (2)
∴ +x + y = 25
+x + 2y = 40
এতিয়া, y = 15, (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x + 15 = 25
⇒ x = 10
∴ মিনায়ে পোৱা 50 টকীয়া নোট পায় 10 টা আৰু 100 টকীয়া নোট পায় 15 টা।
(v) কিতাপ ধাৰলৈ দিয়া এটা লাইব্ৰেৰীত প্রথম তিনিদিনৰ কাৰণে এটা নির্দিষ্ট মাচুল আৰু পিছৰ প্ৰতিটো দিনৰ কাৰণে এটা ওপৰঞ্চি মাচুল লয়। ৰিতাই এখন কিতাপ সাত দিন ৰখাৰ বাবে মাচুল দিয়ে 27 টকা আৰু শচীয়ে এখন কিতাপ পাঁচদিন ৰখাৰ বাবে মাচুল দিয়ে 21 টকা। নির্দিষ্ট মাচুল আৰু প্ৰতিদিনে দিবলগীয়া ওপৰঞ্চি মাচুলৰ নিৰিখ কিমান উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল প্ৰথম তিনি দিনৰ বাবে নির্দিষ্ট মাচুল = x টকা আৰু অতিৰিক্ত প্রতিদিনৰ বাবে ওপৰঞ্চি মাচুল = y টকা।
বিতাৰ ক্ষেত্ৰত, x + 4y = 27………….. (1)
আৰু শচীৰ ক্ষেত্ৰত, x + 2y = 21 ………… (2)
∴ +x + 4y = +27
+x + 2y + 21
(বিয়োগ কৰি) 2y = 6
এতিয়া, y = 3, (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ–
x + 4 × 3 = 27
⇒ x + 12 = 27
⇒ x = 27 – 12 = 15
∴ প্রথম তিনিদিনৰ বাবে নির্দিষ্ট মাচুল = 3 টকা।
আৰু প্ৰতিদিনৰ বাবে ওপৰঞ্চি মাচুল = 15 টকা।
3. A আৰু B ৰ মাহেকীয়া উপাৰ্জনৰ অনুপাত 9:7 আৰু সিহঁতৰ মাহেকীয়া খৰচৰ অনুপাত 4:3। যদি প্ৰতি গৰাকীয়ে মাহেকত 1600 টকা সঞ্চয় কৰে, প্ৰতিগৰাকীৰে মাহেকীয়া উপাৰ্জন নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, A-ৰ মাহেকীয়া উপাৰ্জন = ₹9x আৰু B-ৰ মাহেকীয়া উপাৰ্জন = ₹7x
ধৰা হ’ল, A-ৰ মাহেকীয়া খৰচ = ₹4y আৰু B-ৰ মাহেকীয়া খৰচ = ₹3y
আমি জানো যে সঞ্চয় = উপাৰ্জন − খৰচ
প্ৰশ্ন অনুসৰি,
9x − 4y = 1600 …(i)
7x − 3y = 1600 …(ii)
এতিয়া, (ii) সমীকৰণৰ পৰা (i) সমীকৰণ বিয়োগ কৰিলে পাওঁ
7x − 3y − (9x − 4y) = 1600 − 1600
7x − 3y − 9x + 4y = 0
⇒ −2x + y = 0
⇒ y = 2x
এতিয়া, y = 2x-ৰ মান (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ,
9x − 4 × 2x = 1600
⇒ 9x − 8x = 1600
⇒ x = 1600
A-ৰ মাহেকীয়া উপাৰ্জন = 9x
= 9 × 1600
= ₹14,400
B-ৰ মাহেকীয়া উপাৰ্জন = 7x
= 7 × 1600
= ₹11,200
4. এটা শ্ৰেণীৰ শিক্ষাৰ্থীসকলক কিছুমান শাৰীত থিয় কৰোৱা হ’ল। যদি এটা শাৰীত 3 গৰাকী শিক্ষাৰ্থী অতিৰিক্ত হয়, তেন্তে শাৰীৰ সংখ্যা 1 কম হয়। যদি এটা শাৰীত 3 গৰাকী শিক্ষাৰ্থী কম হয়, তেন্তে শাৰীৰ সংখ্যা 2 বেছি হয়। শ্ৰেণীটোত থকা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, প্ৰতিটো শাৰীত থকা শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা = x আৰু শাৰীৰ সংখ্যা = y
∴ মুঠ শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা = xy
প্ৰথম চৰ্ত অনুসৰি,
(x + 3)(y − 1) = xy
⇒ xy − x + 3y − 3 = xy
⇒ x = 3y − 3 …(i)
দ্বিতীয় চৰ্ত অনুসৰি,
(x − 3)(y + 2) = xy
⇒ xy + 2x − 3y − 6 = xy
⇒ 2x = 3y + 6 …(ii)
এতিয়া, (i) সমীকৰণৰ x = 3y − 3 -ৰ মান (ii) সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ,
2(3y − 3) = 3y + 6
⇒ 6y − 6 = 3y + 6
⇒ 3y = 12
⇒ y = 4
এতিয়া, y = 4 -ৰ মান (i) সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ,
∴ x = 3 × 4 − 3
= 12 − 3
= 9
সেয়ে, মুঠ শিক্ষাৰ্থীৰ সংখ্যা = xy
= 9 × 4
= 36
∴ শ্ৰেণীটোত মুঠ 36 জন শিক্ষাৰ্থী আছে।
5. A আৰু B ৰ প্ৰত্যেকৰে হাতত নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক আম আছে। Aয়ে B-ক ক’লে, ‘যদি তুমি তোমাৰ পৰা 30 টা মোক দিয়া, মোৰ হাতত থকা আমৰ সংখ্যা হ’ব তোমাৰ হাতত বাকী থকা আমৰ দুগুণৰ সমান’। B য়ে উত্তৰ দিলে, ‘যদি তুমি মোক তোমাৰ 10 টা আম দিয়া, মোৰ হাতত থকা আমৰ সংখ্যা হ’ব, তোমাৰ হাতত বাকী থকা আমৰ তিনিগুণ’। প্ৰতি গৰাকীৰ হাতত থকা আমৰ পৰিমাণ নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, A -ৰ ওচৰত থকা আমৰ সংখ্যা = x আৰু B -ৰ ওচৰত থকা আমৰ সংখ্যা = y
প্ৰথম চৰ্ত অনুসৰি,
x + 30 = 2(y − 30)
⇒ x + 30 = 2y − 60
⇒ x − 2y = −90 …(i)
দ্বিতীয় চৰ্ত অনুসৰি,
y + 10 = 3(x − 10)
⇒ y + 10 = 3x − 30
⇒ 3x − y = 40 …(ii)
এতিয়া, (ii) সমীকৰণক 2 -ৰে গুণ কৰিলে, পাওঁ—
6x − 2y = 80 …(iii)
এতিয়া, (iii) সমীকৰণৰ পৰা (i) সমীকৰণ বিয়োগ কৰিলে, পাওঁ—
6x − 2y − x + 2y = 80 + 90
⇒ 5x = 170
⇒ x = 170/5
⇒ x = 34
এতিয়া, x = 34 -ৰ মান (i) সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ,
34 − 2y = −90
⇒ -2y = -90 – 34
⇒ −2y = −124
⇒ y = 124/2
⇒ y = 62
∴ A -ৰ ওচৰত 34 টা আম আৰু B -ৰ ওচৰত 62 টা আম আছে।
6. যদি x + ay = b আৰু ax + y = 1 সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে, তেন্তে তলত উল্লেখ কৰা বিকল্পবোৰৰ পৰা শুদ্ধটো বাছি উলিওৱা।
(i) a = 1, b = 1
(ii) a = -1, b = -1
(iii) a = 1, b = -1
(iv) a = -1, b = 1
(a) (i) আৰু (iii) দুয়োটা সত্য।
(b) (ii) আৰু (iv) দুয়োটা সত্য।
(c) (i) আৰু (ii) দুয়োটা সত্য।
(d) (iii) আৰু (iv) দুয়োটা সত্য।
উত্তৰঃ (c) (i) আৰু (ii) দুয়োটা সত্য।
7. k ৰ কি মানৰ বাবে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰটোৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব?
kx + 3y − (k − 3) = 0
12x + ky − k = 0
(a) k = -6
(b) k = 4
(c) k = -4
(d) k = 6
উত্তৰঃ (d) k = 6
8. দুটা চলক যুক্ত ৰৈখিক সমীকৰণৰ সহায়ত কথা সমস্যা এটাৰ সমাধানৰ ধাপসমূহ তলত উল্লেখ কৰা হৈছে। প্ৰদত্ত বিকল্পসমূহৰ পৰা শুদ্ধ ক্ৰমটো বাছি উলিওৱা।
(i) চলক ব্যৱহাৰ কৰি অজ্ঞাতবোৰক প্ৰতিনিধিত্ব কৰা।
(ii) সমীকৰণবোৰক সমাধান কৰা।
(iii) প্ৰয়োজনীয় সমীকৰণ গঠন কৰা।
(iv) ফলাফল ব্যাখ্যা কৰা।
(a) (i) → (ii) → (iii) → (iv)
(b) (i) → (iii) → (ii) → (iv)
(c) (iv) → (iii) → (ii) → (i)
(d) (ii) → (i) → (iii) → (iv)
উত্তৰঃ (b) (i) → (iii) → (ii) → (iv)
9. তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ কেইযোৰ সমাধান কৰা:
(i) 2/x + 3/y = 2
4/x – 9/y = -1
উত্তৰঃ দিয়া সমীকৰণ হ’ল—
2/x + 3/y = 2 …… (i)
4/x − 9/y = −1 …… (ii)
ধৰা হ’ল 1/x = u and 1/y = v
তেন্তে, সমীকৰণ (i) আৰু (ii) ক্ৰমে হ’ব—
2u + 3v = 2 …… (iii)
4u − 9v = −1 …… (iv)
এতিয়া, (iii) সমীকৰণক 2-ৰে গুণ কৰিলে, পাওঁ—
4u + 6v = 4 …… (v)
এতিয়া, (v) সমীকৰণৰ পৰা (iv) সমীকৰণ বিয়োগ কৰিলে, পাওঁ—
4u + 6v − (4u − 9v) = 4 − (−1)
⇒ 15v = 5
∴ v = 1/3
এতিয়া, v = 1/3 -ৰ মান (iii) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
2u + 3 × 1/3 = 2
⇒ 2u + 1 = 2
⇒ 2u = 2 − 1
∴ u = 1/2
এতিয়া, 1/x = u
⇒ 1/x = 1/2
⇒ x = 2
আৰু 1/y = v
⇒ 1/y = 1/3
⇒ y = 3
∴ দিয়া সমীকৰণযোৰৰ সমাধান হ’ল x = 2 আৰু y = 3।
(ii) 1/2x + 1/3y = 2
1/3x + 1/2y = 13/6
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, 1/x = p and 1/y = q,
তেন্তে, দিয়া সমীকৰণযোৰ হ’ব—
p/2 + q/3 = 2
এতিয়া, (i) সমীকৰণক 2 -ৰে আৰু (ii) সমীকৰণক 3 -ৰে গুণ কৰিলে, পাওঁ—
6p + 4q = 24 …… (iii)
6p + 9q = 39 …… (iv)
এতিয়া, (iv) সমীকৰণৰ পৰা (iii) সমীকৰণ বিয়োগ কৰিলে, পাওঁ—
6p + 9q − (6p + 4q) = 39 − 24
⇒ 9q − 4q = 15
⇒ 5q = 15
⇒ q = 15/5
⇒ q = 3
এতিয়া, q = 3 -ৰ মান (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
3p + 2(3) = 12
⇒ 3p + 6 = 12
⇒ 3p = 12 − 6
⇒ 3p = 6
⇒ p = 6/3
⇒ p = 2
এতিয়া,
1/x = p = 2 আৰু 1/y = q = 3
⇒ x = 1/2 ⇒ y = 1/3
∴ দিয়া সমীকৰণযোৰৰ সমাধান হ’ল, x = 1/2 আৰু y = 1/3
(iii) 5/x-1 + 1/y-2 = 2
6/x-1 – 3/y-2 = 1
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল 1/x−1 = a and 1/y−2 = b,
তেন্তে, দিয়া যুগ্ম ৰৈখিক সমীকৰণদ্বয় হ’ব—
5a + b = 2 …… (i)
আৰু 6a − 3b = 1 …… (ii)
(i) সমীকৰণক 3 -ৰে গুণ কৰিলে, পাওঁ—
15a + 3b = 6 …… (iii)
(ii) সমীকৰণ আৰু (iii) সমীকৰণ যোগ কৰিলে, পাওঁ—
6a − 3b + 15a + 3b = 1 + 6
⇒ 21a = 7
⇒ a = 7/21
⇒ a = 1/3
এতিয়া, a = 1/3 -ৰ মান (i) নং সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
5(1/3) + b = 2
⇒ b = 2 − 5/3
⇒ b = 6− 5/3
⇒ b = 1/3
এতিয়া,
আৰু
∴ সেয়েহে, দিয়া সমীকৰণযোৰৰ সমাধান হ’ল, x = 4 আৰু y = 5।
10. দুটা অংক বিশিষ্ট সংখ্যা এটাৰ অংক দুটাৰ সমষ্টি 9। যদি অংক দুটাৰ স্থান সালসলনি কৰা হয়, তেন্তে সংখ্যাটো 9 বাঢ়ে। সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, দশকৰ স্থানৰ অংক = x আৰু এককৰ স্থানৰ অংক = y
তেন্তে, মূল সংখ্যাটো = 10x + y আৰু অংক দুটা ওলোটাই পোৱা সংখ্যাটো = 10y + x
প্ৰশ্ন অনুসৰি,
x + y = 9 …(i)
Also, 10y + x = 10x + y + 9
⇒ 10y + x − 10x − y = 9
⇒ 9y − 9x = 9
⇒ y − x = 1 …(ii)
এতিয়া, (i) আৰু (ii) নং সমীকৰণ যোগ কৰিলে, পাওঁ—
x + y + y − x = 9 + 1
⇒ 2y = 10
⇒ y = 5
এতিয়া, y = 5-ৰ মান (i) সমীকৰণত বহুৱাই পাওঁ—
x + 5 = 9
⇒ x = 4
নির্ণেয় সংখ্যাটো = 10x + y
= (10 × 4) + 5 = 40 + 5 = 45
গতিকে, নির্ণেয় সংখ্যাটো হ’ল 45
11. দুটা অংকবিশিষ্ট সংখ্যা এটাৰ অংক দুটাৰ সমষ্টি 15। যদি সংখ্যাটোৰ অংক দুটাৰ স্থান সালসলনি কৰা হয়, তেন্তে সংখ্যাটো 27 হ্ৰাস হয়। সংখ্যাটো নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল দহকৰ অংকটো x আৰু এককৰ অংকটো y
গতিকে, মূল সংখ্যাটো = 10x + y
আৰু অংক দুটা সালসলনি কৰি পোৱা সংখ্যাটো = 10y + x
দিয়া চৰ্ত অনুসৰি:
x + y = 15 …(i)
আকৌ, 10y + x = 10x + y − 27
⇒ 10y + x − 10x − y = −27
⇒ 9y − 9x = −27
⇒ y − x = −3 …(ii)
(i) আৰু (ii) সমীকৰণ যোগ কৰি আমি পাওঁ-
x + y + y − x = 15 + (−3)
⇒ 2y = 12
⇒ y = 6
সমীকৰণ (i)-ত y = 6 বহুৱাই আমি পাওঁ
x + 6 = 15
⇒ x = 9
∴ নিৰ্ণেয় সংখ্যাটো = 10x + y
= (10 × 9) + 6
= 90 + 6
= 96
এতেকে, নিৰ্ণেয় সংখ্যাটো হ’ল 96
12. দুটা সংখ্যাৰ অন্তৰ 4। সৰু সংখ্যাটোৰ দুগুণৰ লগত ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ তিনি গুণ যোগ দিলে 82 হয়। সংখ্যা দুটা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল সৰু সংখ্যাটো x আৰু ডাঙৰ সংখ্যাটো y
দিয়া চৰ্ত অনুসৰি,
y − x = 4 …(i)
আকৌ,
2x + 3y = 82 …(ii)
সমীকৰণ (i)-ৰ পৰা আমি পাওঁ,
y = x + 4
সমীকৰণ (ii)-ত y = x + 4 বহুৱাই আমি পাওঁ, 2x + 3(x + 4) = 82
⇒ 2x + 3x + 12 = 82
⇒ 5x = 70
⇒ x = 14
এতিয়া সমীকৰণ (i)-ত x = 14 বহুৱাই আমি পাওঁ,
y − x = 4
⇒ y = x + 4
⇒ y = 14 + 4
⇒ y = 18
গতিকে, সংখ্যা দুটা হ’ল 14 আৰু 18
Subject Ka Complete Video Solution Dekhein
Step-by-step easy concept explanation aur full questions Answer ke liye watch karein ya app download karein:
Buy Now