SEBA Class 10 Maths Chapter 4 দ্বিঘাত সমীকৰণ Question Answer Assamese Medium As Per New Syllabus. to each chapter is provided in the list so that you can easily browse through different chapters SEBA Class 10 Maths Chapter 4 দ্বিঘাত সমীকৰণ Notes and select need one. SEBA Class 10 Maths Chapter 4 দ্বিঘাত সমীকৰণ Question Answer Download PDF. SEBA Class 10 General Mathematics Solutions in Assamese.
SEBA Class 10 Maths Chapter 4 দ্বিঘাত সমীকৰণ
Also, you can read the SEBA book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per Board of Secondary Education, Assam (SEBA) Book guidelines. SEBA Class 10 Maths Chapter 4 দ্বিঘাত সমীকৰণ are part of All Subject Solutions. Here we have given SEBA Solutions For Class 10 Mathematics in Assamese Medium for All Chapters, You can practice these here.
দশম শ্ৰেণীৰ গণিত পাঠ্যক্ৰমৰ ভিডিঅ’ উপলব্ধ
সহজ ব্যাখ্যা, অধ্যায়ভিত্তিক Video আৰু নোটসমূহ পাবলৈ তলৰ বিকল্পসমূহ বাছক
দ্বিঘাত সমীকৰণ
Chapter: 4
| অনুশীলনীঃ 4.1 |
1. তলৰবোৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ হয়নে পৰীক্ষা কৰাঃ
(i) (x + 1)² = 2(x – 3)
উত্তৰঃ (x + 1)² = 2(x – 3) [দিয়া আছে]
⇒ x² + 2x + 1 = 2x – 6
⇒ x² + 2x – 2x + 1 + 6 = 0
⇒ x² + 7 = 0; এই সমীকৰণৰ -অৰ সর্বোচ্চ x² আৰু ইয়াৰ সূচক দুই।
অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো ছি-ঘাত সমীকৰণ
(ii) x² – 2x = (- 2)(3 – x)
উত্তৰঃ x² – 2x = (-2) (3 – x) [দিয়া আছে]
⇒ x² – 2x + 6 + 2x
⇒ x² – 2x + 6 – 2x = 0
⇒ x² – 4x + 6 = 0; ইয়াত অজ্ঞাত শিৰ সূচক-দুই। অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো দ্বি-ঘাত সমীকৰণ।
(iii) (x – 2)(x + 1) = (x – 1)(x + 3)
উত্তৰঃ
(iv) (x – 3)(2x + 1) = x(x + 5)
উত্তৰঃ (x – 3)(2x + 1) = x(x + 5) [ দিয়া আছে]
⇒ 2x² – 6x – x + 3 = x² + 5x
⇒ 2x² – 7x + 3 = x² – 5x
⇒ x² – 10x – 3 = 0; ইয়াত অজ্ঞাত ৰাশিৰ সূচক দুই। অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো দ্বি-ঘাত সমীকৰণ।
(v) (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1)
উত্তৰঃ (2x – 1)(x – 3) = (x + 5)(x – 1) [দিয়া আছে]
⇒ 2x² – 6x – x + 3 = x² – x5x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3 = x² + 4x – 5
⇒ 2x² – 7x + 3x² – 4x + 5 = 0
⇒ x² – 11x + 8 = 0; ইয়াত অজ্ঞাত বাশিৰ সূচক দুই। অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো দ্বি-ঘাত সমীকৰণ।
(vi) x² + 3x + 1 = (x – 2)²
উত্তৰঃ
(vii) (x + 2)³ = 2x(x² – 1)
উত্তৰঃ (x + 2)³ = 2x(x² – 1) [দিয়া আছে]
⇒ x³ + (2)³ + 3(x)².2 + 3. (x). (2)³ = 2×3 – 2x
⇒ x³ + 8 + 6x² + 12x – 2x³ + 2x = 0
⇒ -x³ + 6x + 14x – 8 = 0; ইয়াত অজ্ঞাত বাশিৰ সর্বোচ্চ ঘাত আৰু ইয়াৰ সূচক তিনি। অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো দ্বি-ঘাত সমীকৰণ নহয়।।
(viii) x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³
উত্তৰঃ⇒x³ – 4x² – x + 1 = (x – 2)³ [দিয়া আছে]
⇒ x³ – 4x²- x + 1 = x³ + 6x² + 12x – 8
⇒ 2x² + 11x + 9 = 0
ইয়াত অজ্ঞাত বাশিৰ সূচক দুই। অর্থাৎ প্রদত্ত সমীকৰণটো দ্বি-ঘাত সমীকৰণ।
2. তলৰ পৰিস্থিতিকেইটাক দ্বিঘাত সমীকৰণৰ আৰ্হিত প্ৰদৰ্শন কৰাঃ
(i) আয়তাকাৰ মাটি এটুকুৰাৰ কালি 528 বৰ্গ মিটাৰ। মাটি টুকুৰাৰ দীঘ ইয়াৰ পথালিৰ দুগুণতকৈ 1 (মিটাৰত) বেছি। আমি মাটি টুকুৰাৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিয়াব লাগে।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, আয়তাকাৰ এটুকুৰা মাটি প্রন্থ = x মি.
আৰু দৈর্ঘ্য = (2x + 1) মি.
∴ ক্ষেত্রফল = x(2x + 1) = (2x² + 1) মি.
∴ প্রশ্নমতে, 2x² + x = 528
⇒ 2x² + x – 528 = 0
⇒ 2x² – 32x + 33x – 528 = 0
⇒ 2x(x -16) + 33(x – 16) = 0
⇒ (x – 16) (2x + 33) = 0
⇒ x – 16 = 0 অথবা 2x + 33 = 0
⇒ x = 16 অথবা x = 33/2
∴ প্রন্থ ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x = 33/2 (বৰ্জ্জিত)
∴ x = 16
∴ প্রস্থ = 16 মি. আৰু দীঘ বা দৈর্ঘ্য = (2 × 16 + 1) = 33 মি.
(ii) দুটা ক্রমিক যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল 306। আমি সংখ্যা দুটা উলিয়াব লাগে।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, দুটা ক্রমিক যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা x দ্বয় আৰু x + 1
সংখ্যা দুটাৰ পূৰণফল = x(x + 1) = x² + x
প্রশ্নতে, x² + x = 306
⇒ x² + x – 306 = 0
⇒ x² + 18x – 17x – 306 = 0
⇒ x(x + 18) – 17(x + 18) = 0
⇒ (x + 18)(x – 17) = 0
⇒ x – 17 = 0
অথবা, x + 18 = 0
⇒ x = 17 অথবা x = -18
ইয়াত, x = -18 বজ্জিত।
∴ x = 17
∴ নির্ণেয় দুটা ক্রমিক যোগাত্মক সংখ্যা হ’ল: 17 আৰু (17 + 1) = 18।
(iii) ৰামৰ মাক তেওঁতকৈ 26 বছৰ ডাঙৰ। তেওঁলোকৰ বয়সৰ গুণফল (বছৰত) আজিৰ পৰা 3 বছৰ পিছত হ’বগৈ 360। ৰামৰ বৰ্তমান বয়স আমি উলিয়াব লাগে।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ৰোহণৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ
ৰোহণৰ মাকৰ বয়স = (x + 26) বছৰ
3 বছৰ পিছত ৰোহণৰ বয়স হ’ব (x + 3) বছৰ
আৰু ৰোহণৰ মাকৰ বয়স হ’ব (x + 26 + 3) বছৰ
= (x + 29) বছৰ
∴ সিহঁতৰ বয়সৰ গুণফল = (x + 3)(x + 29)
= x² + 32x + 87
∴ চর্তমতে, x² + 32x + 87 = 360
⇒ x² + 32x + 87 – 360 = 0
⇒ x² + 32x – 273 = 0
⇒ x(x + 39) – 7(x + 39) = 0
⇒ (x + 39)(x – 7) = 0
⇒ x + 39 = 0 অথবা x 7 = 0
⇒ x = -39 অথবা x = 7
ইয়াত, x = -39 বর্জিত হ’ব। কাৰণ বয়স ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x= 7 ধৰা হ’ব।
∴ বোহণৰ বয়স = 7 বছৰ।
(iv) এখন ৰে’লগাড়ীয়ে 480 কিলোমিটাৰ পথ এটা সমান দ্রুতিত ভ্ৰমণ কৰে। যদি এই দ্রুতি প্রতি ঘণ্টাত 8 কি.মি. কম হ’লহেঁতেন, তেন্তে একে সমান দূৰত্ব আগুৰিবলৈ 3 ঘণ্টা বেছি ল’লেহেঁতেন। আমি ৰে’লগাড়ীখনৰ দ্রুতি উলিয়াব লাগে।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ট্রেইনৰ দ্রুতি বা বেগ = u কি.মি./ঘন্টা।
ট্রেইন দ্বাৰা অতিক্রম কৰা পথ = 480 কিমি.
আৰু সময় = 480/u ঘন্টা।
যদি ট্রেইখনৰ গতি ৪ কি.মি./ঘন্টা হ্রাস কৰা হয়, তেনে হ’লে ট্রেইনখনৰ নতুন গতি হ’ব u – 8 আৰু সময় দৰকাৰ হ’ব 480/u-8 ঘন্টা।
⇒ u² – 40u + 32u – 1280 = 0
⇒ u(u – 40) + 32(u – 40) = 0
⇒ (u – 40)(u + 32) = 0
⇒ u – 40 = 0 অথবা, u + 32 = 0
⇒ u = 40 অথবা, u = – 32 ইয়াত, u = – 32 গ্রহণ কৰা নহয়।
∴ u = 40
∴ ট্রেইনখনৰ দ্রুতি = 40 কি.মি./ঘন্টা।
3. p ৰ কি মানৰ বাবে (p − 2)x2 + 3x + 5 = 0 সমীকৰণটো দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয়?
(a) 1
(b) 2
(c) -2
(d) 0
উত্তৰঃ (b) 2
4. তলৰ কোনকেইটা দ্বিঘাত সমীকৰণ
(i) (x + 1)2 = 2(x – 4)
(ii) (x – 3)(x + 1) = (x + 2)(x – 3)
(iii) (x – 2)2 + 1 = 2x – 4
(iv) x(x + 3) + 7 = (x + 2)(x – 2)
শুদ্ধটো বাছি উলিওৱা
(a) (i) আৰু (iv)
(b) (i) আৰু (ii)
(c) (i) আৰু (iii)
(d) (ii) আৰু (iv)
উত্তৰঃ (c) (i) আৰু (iii)
| অনুশীলনী 4.2 |
1. উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূলবোৰ উলিওৱা।
(i) x² – 3x – 10 = 0
উত্তৰঃ x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
⇒ (x – 5) = 0 অথবা, (x + 2) = 0
⇒ x = 544 x = – 2
∴ নির্ণেয় মূলদ্বয়: 5 আৰু -2
(ii) 2x² + x – 6 = 0
উত্তৰঃ 2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2)(2x – 3) = 0
⇒ (x + 2) = 0 অথবা, (2x – 2) = 0
⇒ x = -2 অথবা, x = 3/2
∴ নির্ণেয় মূলদ্বয়:-2 আৰু 3/2
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
উত্তৰঃ √2x² + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
⇒ x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0
⇒ (x + √2) (√2x + 5) = 0
⇒ x = -√2 or x = -5/√2
(iv) 2x2 – x + 1/8 = 0
উত্তৰঃ
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
উত্তৰঃ
(vi) 2x² – 7x + 6 = 0
উত্তৰঃ ⇒ 2x² – 4x – 3x + 6 = 0
⇒ 2x(x – 2) – 3(x – 2) = 0
⇒ (x – 2)(2x – 3) = 0
⇒ x – 2 = 0 নাইবা 2x – 3 = 0
⇒ x = 2 নাইবা x = 3/2
(vii) x² – 10x – 96 = 0
উত্তৰঃ ⇒ x² + 6x – 16x – 96 = 0
⇒ x(x + 6) – 16(x + 6) = 0
⇒ (x + 6)(x – 16) = 0
⇒ x + 6 = 0 নাইবা x – 16 = 0
⇒ x = – 6 নাইবা x = 16
(viii) √3x² + 10x + 7√3 = 0
উত্তৰঃ ⇒ √3x² + 3x + 7x + 7√3 = 0
⇒ √3x (x + √3) +7(x + √3 )=0
⇒ (x + √3) (√3x + 7) = 0
⇒ x + √3 = 0 নাইবা √3x+ 7 = 0
⇒ x = – √3) নাইবা x = 7/√3
(ix) x² + 2√2x + 2 = 0
উত্তৰঃ ⇒ x² + √2x + √2x + 2 = 0
⇒ x(x + √2) + √2 (x + √2) = 0
⇒ (x + √2) (x+ √2) = 0
⇒ x + √2 = 0 নাইবা x + √2 = 0
⇒ x = -√2 নাইবা x = -√2
(x) 14x + 5 – 3x² = 0
উত্তৰঃ ⇒ 3x² – 14x – 5 = 0
⇒ 3x² – 15x + x -5: = 0
⇒ 3x(x – 5) + 1(x – 5) = 0
⇒ (x – 5)(3x + 1) = 0
⇒ x – 5 = 0 নাইবা 3x + 1 = 0
⇒ x = 5 নাইবা x = -⅓
2. উদাহৰণ 1 ত দিয়া সমস্যা দুটা সমাধান কৰা।
উত্তৰঃ (i) ধৰা হ’ল, জনৰ তাত থকা মাৰ্বেলৰ সংখ্যা = x
আৰু জিয়হীৰ তাত থকা মার্বেলৰ সংখ্যা হব: 45 – x
5 টা মার্বেল হেৰুওৱাৰ পাছত, জনৰ তাত থাকে (x – 5) টা মার্বেল
আৰু জিয়ন্হীৰ তাত থাকে 45 – x5 = (40 – x) টা মার্বেল।
সিহঁতৰ গুণফল = (x – 5)(40 – x)
= 40x – x² – 200 + 5x
∴ প্রশ্নমতে, x² + 45x – 200 = 124
⇒ -x² + 45x – 324 = 0
⇒ x² – 45x + 324 = 0
⇒ x(x – 36) – 9(x – 36) = 0
⇒ (x – 36)(x – 9) = 0
⇒ x – 36 = 0 অথবা, x 9 = 0
∴ তেওঁলোকৰ তাত আৰম্ভণিতে মাৰ্বল আছিল 36 আৰু 9 টা অথবা 6 আৰু 36 টা।
(ii) ধৰা হ’ল, দিনটোত উৎপাদন কৰা পুতলাৰ সংখ্যা = x
অর্থাৎ প্ৰতিটো পুতলাৰ উৎপাদনৰ খৰছ = 55 – x
গতিকে, সেইদিনাত উৎপাদন কৰা পুতলাৰ মুঠ উৎপাদনৰ খৰছ = x(55 – x)
প্রশ্নমতে, x(55 – x) = 750
⇒ 55x – x² = 750
⇒ -x² + 55x – 750 = 0
⇒ x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – 30x – 25x + 750 = 0
⇒ x(x – 30) – 25(x – 30) = 0
⇒ (x – 30)(x – 25) = 0
⇒ x – 30 = 0 অথবা, x 25 = 0
⇒ x = 30 অথবা, x = 25
∴ x = 20,25
গতিকে, সিদিনা উৎপাদিত পুতলাৰ সংখ্যা 30 আৰু 25 অথবা 25 আৰু 30
3. দুটা সংখ্যা উলিওৱা যাৰ সমষ্টি 27 আৰু গুণফল 182।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল প্ৰথম সংখ্যা = x
দ্বিতীয় সংখ্যা = 24-x
আৰু সিহঁতৰ গুণফল = x(27 – x)
= 27x – x²
∴ চর্তমতে, 27- x² = 182
⇒ x² + 27x – 182 = 0
⇒ x² – 27x + 182 = 0
⇒ x² – 13x – 14x + 182 = 0
⇒ x(x – 13) – 14(x – 13) = 0
⇒ (x – 13)(x – 14) = 0
⇒ x – 13 = 0 অথবা, x 14 = 0
⇒ x = 13 অথবা, x = 14
∴ নির্ণেয় সংখ্যাদ্বয় 13 আৰু 14 অথবা 14 আৰু 13
4. দুটা ক্রমিক যোগাত্মক সংখ্যা উলিওৱা যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 363।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, প্রথম যোগাত্মক পূর্ণসংখ্যা = x
আৰু দ্বিতীয় যোগাত্মক পূর্ণসংখ্যা = x + 1
∴ চর্তমতে, x² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 1 + 2x = 365
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ x² + x – 182 = 0
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14) – 13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14)(x – 13) = 0
⇒ x + 14 = 0 অথবা, x 13 = 0
⇒ x = -14 অথবা, x = 13
ইয়াত, বজ্জিত পূর্ণসংখ্যা দুটা: 13 আৰু 13 + 1 = 14
∴ নির্ণেয় ক্রমিক যোগাত্মক পূর্ণসংখ্যা দুটা হ’ল: 13 আৰু 13 + 1 = 14
5. এটা সমকোণী ত্রিভুজৰ উচ্চতা ইয়াৰ ভূমিতকৈ 7 ছো.মি. কম। যদি অতিভূজটো 13 চে.মি. অইন বাহু দুটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, সমকোণী ত্রিভুজৰ ভূমি = x ছে.মি.।
উচ্চতা আৰু উন্নতি = (x – 7) ছে.মি.।
আৰু অভিভূজ = 13 ছে.মি. (দিয়া আছে)
পীথাগোৰাছ উপপাদ্য মতে-
(ভূমি)² + (উচ্চতা)² = (অতিভুজ)²
⇒ (x)² + (x – 7)²= (13)²
⇒ x² + x² + 49 – 14x = 169
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ x(x – 12) + 5(x – 12) = 0
⇒ (x – 12)(x + 5) = 0
⇒ x – 12 = 0 অথবা, x + 5 = 0
⇒ x = 12 অথবা, x = -5
∴ ত্রিভুজৰ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে, সেয়েহে x = 5 বর্জ্জিতI
∴ x = 12
গতিকে সমকোণী ত্রিভুজৰ ভূমি = 12 ছে.মি.
আৰু সমকোণী ত্রিভুজৰ উচ্চতা= (12 – 7) ছে.মি.
= 5 ছে.মি.
6. এটা কুটীৰ শিল্পই দৈনিক এটা নির্দিষ্ট সংখ্যক মাটিৰ বাচন তৈয়াৰ কৰে। এদিন দেখা গ’ল যে প্রতিটো বস্তুৰ উৎপাদনৰ খৰছ (টকাত) সিদিনাৰ উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যাৰ দুগুণতকৈ 3 বেছি। যদি সিদিনা উৎপাদনৰ মুঠ ব্যয় 90 টকা, উৎপাদিত বস্তু সংখ্যা আৰু প্ৰতিটো বস্তুৰ ব্যয় কিমান হ’ব উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’লঃ
দৈনিক এটা কুটীৰ শিল্প উদ্যোগত তৈয়াৰ হোৱা মাটিৰ বাচনৰ সংখ্যা = x
প্রতিটো বস্তুৰ মূল্য = (2x + 3) টকা
মুঠ উৎপাদন মূল্য = {x (2x + 3)] টকা
= (2x² + 3x) টকা
প্রশ্নমতে, 2x² + 3x = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0
⇒ 2x² – 12x + 15x – 90 = 0
⇒ 2x(x – 6) + 15(x – 6) = 0
⇒ (x – 6) (2x + 15) = 0
⇒ x – 6 = 0 অথবা, 2x + 15 = 0
⇒ x = 6 অথবা, x = -15/2
ইয়াত, ধৰা নহয়, কাৰণ বস্তুৰ সংখ্যা ঋণাত্মক নহয়।
∴ x = 6
অর্থাৎ, সিদিনা উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা = 6 আৰু উৎপাদিত বস্তুৰ উৎপাদক মূল্য = (2 × 6 + 3) টকা = 15 টকা।
7. যদি x2 − 2px + p2 = 0 তেন্তে p/x ৰ মান হ’ব
(a) 0
(b) -1
(c) 1
(d) 2
উত্তৰঃ (c) 1
8. এজন ছাত্ৰই উৎপাদক বিশ্লেষণ পদ্ধতিৰে x2 − 3x − 10 = 0 দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূল নিৰ্ণয় কৰিবলৈ তলত উল্লেখ কৰা স্তৰ মতে কৰিলে
স্তৰ 1 : x2 – 3x – 10 = 0
স্তৰ 2 : x2 – 5x – 2x – 10 = 0
স্তৰ 3 : x(x – 5) – 2(x – 5) = 0
স্তৰ 4 : (x – 5) (x – 2) = 0
স্তৰ 5 : x = 5 আৰু x = 2
ছাত্ৰজনে কোনটো স্তৰত প্ৰথমে ভুল কৰিলে
(a) স্তৰ : 2
(b) স্তৰ : 3
(c) স্তৰ : 4
(d) স্তৰ : 5
উত্তৰঃ (a) স্তৰ : 2
9. 2x2 − 9x + 4 = 0 দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূল দুটাৰ যোগফল আৰু পূৰণফল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ দ্বিঘাত সমীকৰণৰ মানক ৰূপ হ’ল: ax² + bx + c = 0
ইয়াত, a = 2, b = −9, c = 4
মূলদ্বয়ৰ যোগফল (α + β) = −b/a
⇒ α + β = −(−9)/2 = 9/2
গুণফল (αβ) = c/a
⇒ αβ = 4/2 = 2
∴ মূলদ্বয়ৰ যোগফল = 9/2, আৰু মূলদ্বয়ৰ গুণফল = 2।
10. যদি 2x2 + kx − 6 = 0 দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ এটা মূল 2 হয় তেন্তে k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা। লগতে আনটো মূল নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে, দ্বিঘাত সমীকৰণ x = 2
2 + kx − 6 = 0- ৰ এটা মূল x = 2
2(2²) + k(2) − 6 = 0
⇒ 2 × 4 + 2k − 6 = 0
⇒ 8 + 2k − 6 = 0
⇒ 2k + 2 = 0
⇒ 2k = −2
⇒ k = −1
সেয়ে, সমীকৰণটো হ’ব 2x² − x − 6 = 0
2×2−x−6=02x^2 – x – 6 = 02×2−x−6=0
মূলদ্বয়ৰ গুণফলৰ সূত্ৰ: (αβ) = c/a
⇒ −6/2
= −3
যিহেতু এটা মূল α=2, সেয়ে আনটো মূল β বুলি ধৰা হ’ল।
তেন্তে, 2.β = −3
⇒ α = −3/2
∴ k-ৰ মান = −1 আৰু আনটো মূল (β)-ৰ মান = −3/2.
11. এজন বাগিছাৰ নক্সা কৰোতাই চিত্ৰত দেখুওৱা ধৰণেৰে আয়তাকাৰ ঘাঁহনি এখনৰ পৰিকল্পনা কৰিছে যাৰ চাৰিওফালে এটা খোজকঢ়া যোৱা পথেৰে আগুৰি থাকিব।
ঘাঁহনিডৰা আৰু খোজকঢ়া পথটোৰ মুঠ কালি 360 বৰ্গমিটাৰ। ঘাঁহনিডৰাৰ চাৰিওফালে খোজকঢ়া পথটোৰ বহল একে। ঘাঁহনিডৰা জোখ 12 মিটাৰ × 10 মিটাৰ।
ওপৰত দিয়া তথ্যৰ পৰা তলৰ প্ৰশ্নকেইটাৰ উত্তৰ দিয়া।
(i) খোজকঢ়া পথটোৰ বহল ‘x’ মিটাৰ ধৰি ঘাঁহনিডৰা আৰু খোজকঢ়া পথটোৰ মুঠ কালি প্ৰতিনিধিত্ব কৰা এটা দ্বিঘাত সমীকৰণ গঠন কৰা।
(ii) খোজকঢ়া পথটোৰ বহল ‘x’ নিৰ্ণয় কৰিবলৈ দ্বিঘাত সমীকৰণটো সমাধান কৰা।
(iii) যদি প্ৰতি বৰ্গ মিটাৰত 50 টকা হাৰত খোজকঢ়া পথটোত পকীকৰণ কৰা মুঠ খৰচ 12,000 টকা হয় তেন্তে খোজকঢ়া পথটোৰ কালি নিৰ্ণয় কৰা।
(iv) ঘাঁহনিডৰাৰ পৰিসীমা নিৰ্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ (i) ধৰা হ’ল, পথটোৰ খোজকঢ়া সমান প্ৰস্থ x মিটাৰ।
তেন্তে,
বাহিৰৰ দৈৰ্ঘ্য = (12 + 2x) মিটাৰ
বাহিৰৰ প্ৰস্থ = (10 + 2x) মিটাৰ
∴ মুঠ ক্ষেত্ৰফল (ঘাঁহনিডৰা + খোজকঢ়া) = (12 + 2x) (10 + 2x)
(ii) ⇒ 360 = (12 + 2x)(10 + 2x)
⇒ 360 = 12(10 + 2x) + 2x(10 + 2x)
⇒ 360 = 120 + 24x + 20x + 4x2
⇒ 360 = 4x2 + 44x + 120
⇒ 4x2 + 44x + 120 – 360 = 0
⇒ 4x2 + 44x – 240 = 0
⇒ 4x2 4(x2 + 11x – 60) = 0
⇒ x2 + 11x – 60 = 0
∴ প্ৰয়োজনীয় দ্বিঘাত সমীকৰণটো হ’ল x2 + 11x – 60 = 0.
x2 + 11x – 60 = 0
⇒ x2 + 15x – 4x – 60 = 0
⇒ (x + 15)(x – 4) = 0
x=−15 অথবা x=4
কিন্তু, প্ৰস্থৰ মান ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে। সেয়ে, x = 4m
(iii) এতিয়া,
পথ পকাকৰণৰ ব্যয় = প্ৰতি বৰ্গমিটাৰত 50 টকা
মুঠ ব্যয় = 12,,000 টকা
পথটোৰ ক্ষেত্ৰফল
∴ পথটোৰ ক্ষেত্ৰফল = 240 বৰ্গমিটাৰ।
(iv) ঘাঁহনিডৰাৰ পৰিসীমা = 2(দৈৰ্ঘ্য + প্ৰস্থ)
= 2(12 + 10)
= 2 × 22
= 44 মিটাৰ
∴ ঘাঁহনিডৰাৰ পৰিসীমা = 44 মিটাৰ।
| অনুশীলনী 4.3 |
1. দ্বিঘাত সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূল উলিওৱা।
(i) 2x² – 7x + 3 = 0
উত্তৰঃ 2x² – 7x + 3 = 0
⇒ 2x² – 7x = – 3
⇒ x² – 7/4 x = – 3/2 [উভয় পক্ষক 2 দ্বাৰা হৰণ কৰি]
⇒ (x² – 2.x. 7/4 + (7/4)² = (7/4)² – 3/2
(ii) 2x² + x – 4 = 0
উত্তৰঃ
(iii) 4x² + 4√3x + 3 – 0
উত্তৰঃ
(iv) 2x2 + 5√3x + 6 = 0
উত্তৰঃ দিয়া আছে 2x² + 5√3x + 6 = 0
ইয়াত, a = 2, b = 5√3 আৰু c = 6
(D)-ৰ মান = b² − 4ac
= (5√3)² − 4 × 2 × 6
= 75 − 48
= 27 > 0
∴ দিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূলদ্বয় বাস্তৱ।
∴ নির্ণেয় মূলদ্বয় − -√3/2 আৰু -2√3
(v) x² + 4x + 1 = 0
উত্তৰঃ ⇒ 4x² + 16x + 1 = 0
⇒ (2x)² + 2.2x + 0.4 + 4² – 4² + 1 = 0
⇒ (2x + 4)² = 15
⇒ 2x + 4 = ± √15
⇒ 2x = ± √15 – 4
⇒ x = (√15 – 4)/2
নাইবা x = – √15 – 4
(vi) 4x² + x – 3 – 0
উত্তৰঃ
(vii) abx² + (b² – ac)x – bc = 0
উত্তৰঃ দিয়া আছে,
abx² + (b² − ac)x − bc = 0
ইয়াত, A = ab, B = (b² − ac), C = −bc
∴ (D)-ৰ মান = B² − 4AC
= (b² − ac)² − 4 × ab × (−bc)
= (b² − ac)² + 4ab²c
= (b² + ac)² > 0
গতিকে, দিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ দুটা পৃথকৰ বাস্তৱ মূল আছে।
দ্বিঘাত সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ-
∴ নির্ণেয় মূলদ্বয় c/a আৰু -b/a
(viii) x2 – 2ax + (a2 – b2) = 0
উত্তৰঃ দিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণটো হ’লঃ x² − 2ax + (a² − b²) = 0
ইয়াত, A = 1, B = −2a, C = a² − b²
(D) = B² − 4AC
= (−2a)² − 4 × 1 × (a² − b²)
= 4a² − 4a² + 4b²
= 4b² > 0
∴ প্ৰদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ বাস্তৱ মূল আছে।
দ্বিঘাত সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ-
অর্থাৎ
x = a + b
নাইবা, x = a − b
∴ নির্ণেয় মূলদ্বয় a + b আৰু a − b
(ix) a(x2 + 1) = x(a2 + 1)
উত্তৰঃ দিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণটো হ’লঃ a(x² + 1) = x(a² + 1)
⇒ ax² + a = x(a² + 1)
⇒ ax² − (a² + 1)x + a = 0
ইয়াত, A = a, B = −(a² + 1), C = a
∴ (D) = B² − 4AC
= [−(a² + 1)]² − 4 × a × a
= a⁴ + 2a² + 1 − 4a²
= a⁴ + 1 − 2a²
= (a² − 1)² > 0
∴ প্ৰদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ বাস্তৱ মূল আছে।
দ্বিঘাত সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ-
∴ নির্ণেয় মূলদ্বয় a আৰু 1/a
(x) 8x(2x – 1) + 1 = 0
উত্তৰঃ Tদিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণটো হ’লঃ
8x (2x − 1) + 1 = 0
⇒ 16x² − 8x + 1 = 0
ইয়াত,
a = 16, b = −8, c = 1
∴ (D) = b² − 4ac
= (−8)² − 4 × 16 × 1
= 64 − 64
= 0
∴ প্ৰদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ বাস্তৱ মূল আছে।
দ্বিঘাত সূত্ৰ ব্যৱহাৰ কৰি আমি পাওঁ-
∴ নির্ণেয় মূলদ্বয় 1/4 আৰু 1/4
2. x−2/x−3 + x−4/x−5 = 10/3 , x ≠ 3, x ≠ 5 সমীকৰণটোক আদর্শ ঠাচৰ দ্বিঘাত সমীকৰণত প্রকাশ কৰা। সমীকৰণটোৰ মূল নির্ণয় কৰা।
উত্তৰঃ দিয়া আছে,
⇒ 3(2x² − 14x + 22) = 10(x² − 8x + 15)
⇒ 6x² − 42x + 66 = 10x² − 80x + 150
⇒ 10x² − 80x + 150 − 6x² + 42x − 66 = 0
⇒ 4x² − 38x + 84 = 0
⇒ 2x² − 19x + 42 = 0
⇒ 2x² − 7x − 12x + 42 = 0
⇒ x(2x − 7) − 6(2x − 7) = 0
⇒ (x − 6)(2x − 7) = 0
অৰ্থাৎ,
x = 6
or
x = 7/2
সমীকৰণটোৰ মূল হ’লঃ 6 and 7/2.
3. তলৰ সমীকৰণবোৰৰ মূল উলিওৱাঃ
(i) x – 1/x = 3,x ≠ 0
উত্তৰঃ ⇒ x² – 1/x = 3
⇒ x² – 1 = 3x
⇒ x² – 3x – 1 = 0
ইয়াত, a = 1 , b = – 3 , c = – 1
(ii) 1/x+4 – 1/x-7 = 11/30, x ≠ -4, 7
উত্তৰঃ
⇒ 11(x² + 3x – 28) = – 11 × 30
⇒ x² – 3x – 28 = – 30
⇒ x² – 3x – 28 + 30 = 0
⇒ x² – 3x + 2 = 0
ইয়াত, a = 1 b = – 3 , c = – 2
(iii) 2/3x² – 1/3 x – 1 = 0
উত্তৰঃ ⇒ 2x² – x – 3/3 = 0
⇒ 2x² – x – 3 = 0
⇒ 2x² + 2x – 3x – 3 = 0
⇒ 2x(x + 1) – 3(x + 1) = 0
⇒ (x + 1)(2x – 3) = 0
⇒ x + 1 = 0 নাইবা 2x – 3 = 0
⇒ x = – 1 নাইবা x = 3/2
(iv) 2x² + 1/2 = 2x
উত্তৰঃ ⇒ 2x² + 1/2 = 2x
⇒ 2x² + 1 = 4x
⇒ 2x² – 4x + 1 = 0
⇒ 4x² – 8x + 2 = 0
⇒ (2x)² – 2.2x.2 + 2² – 2² + 2 = 0
⇒ (2x – 2)² = 2
⇒ 2x – 2 = ±/√2
⇒ 2x – ± √2 + 2/2
⇒ x ⇒ ±√2 + 2/2
⇒ x = ±1/√2 + 1
(v) x + 1/x = 2
উত্তৰঃ ⇒ x² + 1/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² – 2x + 1 = 0
⇒ x² – x – x + 1 = 0
⇒ x(x – 1) – (x – 1) = 0
⇒ (x – 1)(x – 1) = 0
⇒ x – 1 = 0
⇒ x = 1
(vi) 5x – 6/4x – 1 = 2x + 3/3x + 2
উত্তৰঃ ⇒ (5x − 6)(3x + 2) = (4x − 1)(2x + 3)
⇒ 15x² + 10x − 18x − 12 = 8x² + 12x − 2x − 3
⇒ 15x² − 8x − 12 = 8x² + 10x − 3
⇒ 7x² − 18x − 9 = 0
⇒ 7x² − 21x + 3x − 9 = 0
⇒ 7x(x − 3) + 3(x − 3) = 0
⇒ (x − 3)(7x + 3) = 0
অৰ্থাৎ, x − 3 = 0 নাইবা, 7x + 3 = 0
⇒ x = 3 ⇒ x = −3/7
∴ x = 3, −3/7
4. আজিৰপৰা 3 বছৰ আগৰ আৰু 5 বছৰ পিছৰ ৰহমানৰ বয়সৰ প্ৰতিক্ৰমবোৰৰ যোগফল 1/3। তেওঁৰ বৰ্তমান বয়স উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ৰমেনৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ।
∴ 3 বছৰ আগত, ৰমেনৰ বয়স আছিল (x – 3) বছৰ আৰু 5 বছৰ পিছত (x – 3) বছৰ হ’ব।
প্রশ্নমতে, –
⇒ 6x + 6 = x² + 2x – 15
⇒ x² + 2x – 15 – 6x – 6 = 0
⇒ x² – 4x – 21 = 0
ইয়াত, a = 1 , b = – 4 c = – 21
∴ x = -3 বর্জিত হ’ব। কাৰণ বয়স ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x = 7 ৰমেনৰ বৰ্তমান বয়স = 7 বছৰ।
5. এটা শ্রেণী-পৰীক্ষাত শেৱালিৰ গণিতৰ নম্বৰ আৰু ইংৰাজীৰ নম্বৰ দুটাৰ যোগফল 30। তাই যদি গণিতত আৰু 2 নম্বৰ বেছি আৰু ইংৰাজীত ও নম্বৰ কম পালেহেঁতেন, এই নম্বৰ দুটাৰ পূৰণ ফল 210 হ’লহেঁতেন। তাইৰ বিষয় দুটাত পোৱা নম্বৰবোৰ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, শেৱালী গণিতত নম্বৰ পায় x
∴ শেৱালী ইংৰাজীত পায় (30 – x)
প্রথম চর্তমতে –
শেৱালী গণিতত নম্বৰ পায় (x + 2)
আৰু ইংৰাজীত পায় 30 – x – 3 = 27 – x
∴ নম্বৰ দুটাৰ গুণফল = (x + 2) (27 – x)
= 2x – x² + 54 – 2x
= 25x – x² + 54
= – x² + 25x + 54
দ্বিতীয় চর্তমতে, – x² + 25x + 54 = 210
⇒ x² + 25x + 54 – 210 = 0
⇒ x² + 25x – 156 = 0
⇒ x² – 25x + 156 = 0
ইয়াত, a = 1, b = -25, c = 156
⇒ x = 13, 2 x = 12
প্রথম ক্ষেত্রতঃ হ’লে শেৱালি গণিত বিষয়ত পায় 12, আৰু ইংৰাজীত পায় (3013) 17 নম্বৰ।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রতঃ হ’লে শেৱালি গণিত বিষয়ত পায় 12, আৰু ইংৰাজীত পায় (3012) = 18 নম্বৰ।
6. এখন আয়তাকাৰ পথাৰৰ কৰ্ণৰ দীঘ ইয়াৰ চুটি বাহুটোতকৈ 60 মিটাৰ বেছি। যদি দীঘল বাহুটো চুটি বাহুটোতকৈ 30 মিটাৰ বেছি, পথাৰখনৰ বাহু দুটাৰ দীঘ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, আয়তাকাৰ পথাৰৰ চুটি বাহু অর্থাৎ প্রস্থ AD = x মি., দীঘল বাহু অর্থাৎ দৈর্ঘ্য = AB = (x + 30) মি. আৰু কর্ণ বা অতিভুজ= DB = (x + 60) মি.।
এতিয়া, DAB সমকোণী ত্রিভুজৰ পৰা পাওঁ–
(DB)² = (AD)² + (AB)²
⇒ (x + 60)² = (x)² + (x + 30)²
⇒ x² + 120x + 3600 = x² + x² + 60x + 900
⇒ x² + 120x + 3600 – 2x² – 60x – 900 = 0
⇒ – x² + 60x + 2700 = 0
⇒ x² – 60x – 2700 = 0
∴ a = 1 , b = – 60 , c = 2700
= 90 আৰু x = 0
ইয়াত, x = -30 বৰ্জ্জিত। কাৰণ বাহুৰ জোখ ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x= = 90
∴ প্রস্থ = 90 মিটাৰ আৰু দৈর্ঘ্য = (90 + 30) মি. = 120 মি.।
7. দুটা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ পাৰ্থক্য 180। সৰু সংখ্যাটোৰ বৰ্গ ডাঙৰ সংখ্যাটোৰ ৪ গুণ। সংখ্যা দুটা উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, ডাঙৰ সংখ্যাটো = x আৰু সৰু সংখ্যাটো = y
প্রথম চর্তমতে-
x² – y² = 180……….. (1)
দ্বিতীয় চর্তমতে –
y2 = 8x ……………(2)
এতিয়া (1) আৰু (2) -ৰ পৰা পোৱা যায়-
x² – 8x = 180
⇒ x² – 8x – 180 = 0
ইয়াত, a = 1, b – 8, c = -180
x = -10 হ’লে, (2) নং সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ, y² = 8(10) = -80, ই অসম্ভব। গতিকেx = -10 বজ্জিত।
আকৌ, x = 18 হ’লে, (2) সমীকৰণৰ পৰা পাওঁ –
y² = 8(18) = 144
⇒ y = ±√144 = ±12
নির্ণেয় মূলদ্বয়ঃ 12 আক-12
8. যদি 3x² + 8x + 2 = 0, সমীকৰণটোৰ মূল α আৰু β হয় তেন্তে 1/α + 1/β –ৰ মান হ’ব।
(a) 4
(b) −4
(c) 2/3
(d) −3/8
উত্তৰঃ (b) −4
| অনুশীলনী 4.4 |
1. তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ মূলবোৰৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা। যদি বাস্তৱ মূল থাকে, তেন্তে সেইবোৰ উলিওৱা।
(i) 2x² – 3x + 5 = 0
উত্তৰঃ 2x² – 3x + 5 = 0 [দিয়া আছে]
প্রদত্ত সমীকৰণটো, ax² + bx + c = 0(a ≠ 0)
সমীকৰণটোৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ–
ইয়াত, a = 2, b = -3, c = 5
∴ D = b² – 4ac = (-3)² – 4 × 2 × 5
= 9 – 40= -31 < 0
∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্থব মূল নাথাকে।
(ii) 3x² – 4√3x + 4 = 0
উত্তৰঃ 3x² – 4√3x + 4 = 0 [দিয়া আছে]
ইয়াত, a = 3, b = 4√3, c = 4
∴ D = b² – 4ac = (-4√3)² -4 × 3 × 4
= 48 – 48 = 0
∴ প্রদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূল দুটা সমান।
(iii) 2x² – 6x + 3 = 0
উত্তৰঃ 2x² – 6x + 3 = 0 [দিয়া আছে]
ইয়াত, a = 2 b = – 6 c = 3
∴ D = b² – 4ac = (6)² – 4 × 2 × 3 = 36 – 24 = 12 > 0
∴ মূল দুটা বাস্স্থৰ আৰু অসমান হ’ব।
(iv) 9x² – 6x + 1 = 0
উত্তৰঃ ইয়াত, a = 9 b = – 6 আৰু c = 1
b² – 4ac
= (- 6)² – 4.9 .1
= 36 – 36 = 0
∴ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে।
∴ 9x² – 6x + 1 = 0
⇒ (3x)² – 2.3 .1 + 1² = 0
⇒ (3x – 1)² = 0
⇒ 3x – 1 = 0
⇒ x = 1/3
(v) 3x² – 5x + 12 = 0
উত্তৰঃ ইয়াত, a = 3 b = – 5 আৰু c = 12
∴ b² – 4ac
= (- 5)² – 4.3 .12
= 25 – 144
= – 119 < 0
∴ ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাথাকে।।
(vi) x² + x + 1 = 0
উত্তৰঃ x² + x + 1 = 0 ইয়াত,
a = 1 b = 1 আৰু c = 1
∴ b² – 4ac
= 1² – 4.1 .1 =1-4
= – 3 < 0
∴ ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই।
(vii) x² − 2√3x − 9 = 0
উত্তৰঃ ইয়াত, a = 1 , b = – 2√3 আৰু c = – 9
∴ b² – 4ac
= (- 2√3)² -4.1.(-9)
= 12 + 36
= 48 > 0
∴ ইয়াৰ দুটা স্পষ্ট ভিন্ন মূল আছে।
x² – √3x – 9 = 0
= √3 + 2 √3 আৰু √3 – 2√3
= 3√3 আৰু – √3
(viii) 2x² − 3√3x + 3 = 0
উত্তৰঃ 2x² − 3√3x + 3 = 0
ইয়াত, a = 2, b = −3√3, c = 3
∴ b² − 4ac = (−3√3)² − (4 × 2 × 3)
= 27 − 24
= 3 > 0
এতেকে, প্ৰদত্ত সমীকৰণটোৰ দুটা ভিন্ন (স্পষ্ট) বাস্তৱ মূল আছে।
এতিয়া, দ্বিঘাত সূত্ৰ প্ৰয়োগ কৰি আমি প্ৰদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ মূল নিৰ্ণয় কৰিম।
2. তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণবোৰৰ প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্ৰত ৰে মান উলিওৱা, যাতে সিহঁতৰ দুটাকৈ (সমান) বাস্তৱ মূল থাকে।
(i) 2x² + kx + 3 = 0
উত্তৰঃ 2x² + kx + 3 = 0 [দিয়া আছে]
ইয়াত, a = 2, b = k, c = 3
∴ মূলদ্বয় সমান।
∴ b² – 4ac = 0 হ’ব।
∴ (k)² – 4 × 2 × 3 = 0
⇒ k² – 24 = 0 k = ±√24 = ±2√6
(ii) kx(x – 2) + 6 = 0
উত্তৰঃ kx(x – 2) + 6 = 0 [দিয়া আছে]
⇒ kx² – 2kx + 6 = 0
ইয়াত, a = k, b = -2k, c = 6
∴ b2 – 4ac = 0
⇒ (-2k)² – 4 × k × 6 = 0
⇒ 4k² – 24k = 0
⇒ 4k(k – 6) = 0
⇒ k = 0 অথবা, k- 6 = 0
⇒ k = 0 অথবা, k = 6
∴ k = 0,6.
(iii) x² – (k + 4)x + 2k + 5 = 0
উত্তৰঃ ∴ b² – 4ac = 0
⇒ (k + 4)² – 4.1. (2k + 5) = 0
⇒ k² + 16 + 8k – 8k – 20 = 0
⇒ k² – 4 = 0
⇒ k² = 4
⇒ k = 2 নাইবা k = – 2
∴ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে।
(iv) 2x² + 8x – k³ = 0
উত্তৰঃ b² – 4ac = 0
⇒ 8² – 4.2. (- k)² = 0
⇒ 64 – 8k³ = 0
⇒ 8k³ = 64
⇒ k³ = 8
⇒ k = 2
∴ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে।
(v) (k – 3)x² + 6x + 9 = 0
উত্তৰঃ ∵ ইয়াৰ দুটা বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 – 4ac = 0
⇒ {2(k – 3)}2 – 4.(k – 3).2 = 0
⇒ 4(k2 + 9 – 6k) – 8k + 24 = 0
⇒ k2 + 9 – 6k – 2k + 6 = 0
⇒ k2 – 8k + 15 = 0
⇒ k2 – 5k – 3k + 15 = 0
⇒ k(k – 5) – 3(k – 5) = 0
⇒ (k – 5)(k – 3) = 0
⇒ k – 5 = 0 নাইবা k – 3 = 0
⇒ k = 5 নাইবা k = 3
(vi) (k – 12)x² + 2(k – 12)x + 2 = 0
উত্তৰঃ ∵ ইয়াৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে
∴ b2 – 4ac = 0
⇒ {2(k – 12)}2 – 4.(k – 12).2 = 0
⇒ 4(k2 + 144 – 24k) – 8k + 96 = 0
⇒ k2 + 144 – 24k – 2k + 24 = 0
⇒ k2 – 26k + 168 = 0
⇒ k2 – 12k – 14k + 168 = 0
⇒ k(k – 12) – 14(k – 12) = 0
⇒ (k – 12)(k – 14) = 0
⇒ K – 12 = 0 নাইবা k – 14 = 0
⇒ k = 12 নাইবা k = 14
3. প্রস্থতকৈ দীঘ দুগুণ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ চানেকি প্ৰস্তুত কৰাটো সম্ভৱ হ’বনে যাতে ইয়াৰ কালি 800 বর্গমিটাৰ হয়? যদি সম্ভৱ, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ প্ৰস্থ = x মি.
আৰু আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ দৈর্ঘ্য= 2x মি.
∴ কালি = দৈর্ঘ্য × প্রস্থ
= (x × 2x) মি.2
= 2x² মি.²
∴ প্রশ্নমতে, 2x² = 800
⇒ x² = 400
⇒ x = ±√400 = ±20
∴ বাহুৰ জোখ ঋণাত্মক হ’ব নোৱাৰে।
∴ x = -20 বর্জিত
∴ x = 20
∴ প্রস্থ 20 মি. আৰু দীঘ = (2 × 20) মি. = 40 মি.
4. তলৰ পৰিস্থিতিটো সম্ভৱ হয়নে? যদি হয়, তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স নির্ণয় কৰা। দুজন বন্ধুৰ বয়সৰ সমষ্টি 20 বছৰ। চাৰি বছৰ আগতে তেওঁলোকৰ বয়সৰ পূৰণফল (বছৰত) আছিল 48।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল প্ৰথম বন্ধুৰ বয়স = x বছৰ।
আৰু দ্বিতীয় বন্ধুৰ বয়স = (20 – x) বছৰ ।
4 বছৰ আগতে,
প্রথম বন্ধুৰ বয়স আছিল = x – 4 বছৰ।
আৰু দ্বিতীয় বন্ধুৰ বয়স আছিল = (20 – x – 4) বছৰ।
= (16 – x) বছৰ।
∴ তেওঁলোকৰ বয়সৰ পূৰণফল = (x – 4) (16 – x)
= 16x – x² – 64 + 4x
= -x² + 20x – 64
প্রশ্ননুযায়ী, -x² + 20x – 64 = 48
⇒ x² + 20x – 64 – 48 = 0
⇒ -x² + 20x – 112 = 0
⇒ x² + 20x – 112 = 0
এই সমীকৰণক ax² + bx + c = 0(a ≠ 0) সমীকৰণৰ লগত তুলনা কৰি পাওঁ –
∴ a = 1, b = -20, c = 112
∴ D = b² – 4ac = (-20)² – 4 × 1 × 112
= 400 – 448 – 48 > 0
∴ প্রদত্ত সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্থব সমাধান নাই। গতিকে প্রদত্ত সমস্যাটো সমাধান কৰা সম্ভৱ নহয়।
5. পৰিসীমা 80 মিটাৰ আৰু কালি 400 বর্গ মিটাৰ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ উদ্যানৰ চানেকি কৰাটো সম্ভৱনে? যদি হয়, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা।
উত্তৰঃ ধৰা হ’ল, আয়তাকাৰ উদ্যানৰ দীর্ঘ = x মি.
আৰু আয়তাকাৰ উদ্যানৰ প্ৰন্থ = y মি.
∴ পৰিসীমা = 2(x + y) মিটাৰ
আৰু ইয়াৰ কালি = xy বর্গ. মি.
∴ প্রথম চর্তমতে, 2(x + y) = 80
⇒ x + y = 40
⇒ y = 40-х………….. (1)
আৰু দ্বিতীয় চর্তমতে, xy = 400
⇒ x(40-x) = 400 [(1) নং ব্যৱহাৰ কৰি]
⇒ 40x – x² – 400 = 0
⇒ x² – 40x + 400 = 0
ইয়াত, a = 1, b = -40, c = 400
6. 9x2 − 6x − 2 = 0 সমীকৰণটোৰ
(a) কোনো বাস্তৱ মূল নাই
(b) দুটা সমান মূল আছে
(c) দুটা অদ্বিতীয় মূল আছে
(d) দুটাতকৈ বেছি বাস্তৱ মূল আছে
উত্তৰঃ (c) দুটা অদ্বিতীয় মূল আছে
7. স্তম্ভ I ত উল্লেখ কৰা সমীকৰণৰ সৈতে স্তম্ভ II ত উল্লেখ কৰা মূলৰ প্ৰকৃতি মিলোৱা।
| স্তম্ভ I | স্তম্ভ II |
|---|---|
| P. x2 – 2x + 3 = 0 | (i) Roots are real and irrational |
| Q. 3x2 – 2x + 1/3 = 0 | (ii) Roots are real and unequal |
| R. x2 – 4x + 3 = 0 | (iii) Roots are not real |
| S. 2x2 – x – 4 = 0 | (iv) Roots are real and equal |
শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা:
(a) P → (iii), Q → (ii), R → (iv), S → (i)
(b) P → (iii), Q → (iv), R → (ii), S → (i)
(c) P → (iv), Q → (iii), R → (i), S → (ii)
(d) P → (ii), Q → (iv), R → (i), S → (iii)
উত্তৰঃ (b) P → (iii), Q → (iv), R → (ii), S → (i)
8. তলৰ বিবৃতি দুটাৰ এটা উক্তি (A) আৰু এটা যুক্তি (R)
উক্তি (A) : (k − 1)x² − 10x + 3 = 0 দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ এটা মূল আনটোৰ অন্যোন্যক হ’লে k = 4 হ’ব
যুক্তি (R) : ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0) দ্বিঘাত সমীকৰণটোৰ এটা মূল আনটোৰ অন্যোন্যক হ’ব যদিহে a = c
শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা:
(a) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই শুদ্ধ আৰু যুক্তি (R) টো উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
(b) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই শুদ্ধ আৰু যুক্তি (R) টো উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।
(c) উক্তি (A) শুদ্ধ কিন্তু যুক্তি (R) অশুদ্ধ।
(d) উক্তি (A) অশুদ্ধ কিন্তু যুক্তি (R) শুদ্ধ।
উত্তৰঃ (a) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই শুদ্ধ আৰু যুক্তি (R) টো উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।
Subject Ka Complete Video Solution Dekhein
Step-by-step easy concept explanation aur full questions Answer ke liye watch karein ya app download karein:
Buy Now