SEBA Class 10 Maths Chapter 6 ত্ৰিভুজ

SEBA Class 10 Maths Chapter 6 ত্ৰিভুজ Question Answer Assamese Medium As Per New Syllabus. to each chapter is provided in the list so that you can easily browse through different chapters SEBA Class 10 Maths Chapter 6 ত্ৰিভুজ Notes and select need one. SEBA Class 10 Maths Chapter 6 ত্ৰিভুজ Question Answer Download PDF. SEBA Class 10 General Mathematics Solutions in Assamese.

SEBA Class 10 Maths Chapter 6 ত্ৰিভুজ

Also, you can read the SEBA book online in these sections Solutions by Expert Teachers as per Board of Secondary Education, Assam (SEBA) Book guidelines. SEBA Class 10 Maths Chapter 6 ত্ৰিভুজ are part of All Subject Solutions. Here we have given SEBA Solutions For Class 10 Mathematics in Assamese Medium for All Chapters, You can practice these here.

ত্ৰিভুজ

Chapter: 6

অনুশীলনীঃ 6.1

1. কাষৰ বন্ধনীত দিয়া শুদ্ধ শব্দৰ সহায়ত খালী ঠাই পূৰ কৰা-

(i) সকলোবোৰ বৃত্তই ____________ (সর্বসম, সদৃশ)।

উত্তৰঃ সকলোবোৰ বৃত্তই সদৃশ।

(ii) সকলোবোৰ বৰ্গই ____________ (সদৃশ, সর্বসম)।

উত্তৰঃ সকলোবোৰ বৰ্গই সদৃশ।

(iii) সকলো ___________ ত্রিভুজ সদৃশ (সমদ্বিবাহু, সমবাহু)।

উত্তৰঃ সকলো সমবাহু ত্রিভুজ সদৃশ।

(iv) সমসংখ্যক বাহু থকা দুটা বহুভুজ সদৃশ হ’ব যদিহে (a) সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণবিলাক ____________ আৰু (b) সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহু বিলাক ____________(সমান, সমানুপাতিক)।

উত্তৰঃ সমসংখ্যক বাহু থকা দুটা বহুভুজ সদৃশ হ’ব যদিহে (a) সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণবিলাক সমান আৰু (b) সিহঁতৰ অনুৰূপ বাহু বিলাক সমানুপাতিক।

2. তলত উল্লেখ কৰা বিলাকৰ দুটা ভিন্ন উদাহৰণ দিয়া:

(i) এযোৰ সদৃশ চিত্ৰৰ।

উত্তৰঃ (1) সকলো সমবাহু সদৃশ চিত্র আৰু (2) দুটা বর্গ সদৃশ চিত্র।

(ii) এযোৰ অসদৃশ চিত্ৰৰ।

উত্তৰঃ (1) এটা ত্রিভুজ আৰু চতুর্ভুজ অসদৃশ চিত্র। আৰু (2) এটা বৰ্গ আৰু এটা বম্বাচ অসদৃশ চিত্র।

3. তলত দিয়া চতুর্ভুজ দুটা সদৃশ হয়নে নহয় উল্লেখ কৰা-

উত্তৰঃ চতুর্ভুজ দুটা সদৃশ নহয়। কাৰণ সিহঁতৰ অনুৰূপ কোণবোৰ সমান নহয়।

4. তলৰ কোনকেইটা নিশ্চিতভাৱে ইটো সিটোৰ সদৃশ?

(A) যিকোনো দুটা ৰম্বাছ 

(B) যিকোনো দুটা সমকোণী ত্ৰিভুজ 

(C) যিকোনো দুটা সুষম পঞ্চভুজ 

(D) যিকোনো দুটা সমদ্বিবাহু ত্ৰিভুজ

উত্তৰঃ (C) যিকোনো দুটা সুষম পঞ্চভুজ

5. তলৰ উক্তিকেইটা বিবেচনা কৰা—

উক্তি (i) যদি এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওডাল বাহু আন এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওডাল বাহুৰ সমান হয়, তেন্তে ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বসম হ’ব। 

উক্তি (ii) যদি এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা কোণ আন এটা ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা কোণৰ সমমান হয়, তেন্তে ত্ৰিভুজ দুটা সৰ্বসম হ’ব। 

শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা— 

A) (i) শুদ্ধ (ii) অশুদ্ধ 

B) (i) আৰু (ii) দুয়োটাই অশুদ্ধ 

C) (i) আৰু (ii) দুয়োটাই শুদ্ধ 

D) (i) অশুদ্ধ, (ii) শুদ্ধ

উত্তৰঃ A) (i) শুদ্ধ (ii) অশুদ্ধ

অনুশীলনী  6.2

1. চিত্ৰ 6.19ৰ (i) আৰু (ii)ত, DE || BC. এতিয়া (ⅰ) ৰ পৰা EC আৰু (ii) ৰ পৰা AD উলিওৱা।

উত্তৰঃ ∆ABC – DE BC [দিয়া আছে]

∴ AD/BD = AE/EC [সাদৃশ্য উপপাদ্য] 

∴ 15/3 = 1/EC

⇒ EC = 3/15

∴ EC = 20 ছে.মি.।

(i) ∆ΑΒC – DE [] BC [দিয়া আছে]

∴ AD/BD = AE/EC

⇒ AD/7.2 = 1.5/5.4

2. ΔPQR ৰ PQ আৰু PR বাহুৰ ওপৰত ক্ৰমে E আৰু F দুটা বিন্দু। তলৰ প্ৰতিটো ক্ষেত্রতে EF || QR হয়নে উল্লেখ কৰা-

(i) PE = 3.9cm EQ = 3cm PF = 3.6cm আৰু FR = 2.4cm

উত্তৰঃ E আৰু F যথাক্রমে APQR-ব PQ আৰু PR-বাহুৰ ওপৰত অবস্থিত দুটা বিন্দু।

দিয়া আছেঃ

PE = 3.9CE ., EQ = 3 ছে.মি.।

PF = 3.6 ছে মি, FR = 2.4 ছে.মি.।

∴ EF, QR-ব সমান্তৰাল নহয়।

(ii) PE = 4cm QE = 4.5cm , PF = 8cm আৰু RF = 9cm

উত্তৰঃ 

(iii) PQ = 1.28cm PR = 2.56cm , PE = 0.18 cm আৰু PF = 0.36cm

উত্তৰঃ প্রদত্তঃ

PQ = 1 ছে.মি., PR = 2 ছে.মি.।

PE = 0.18 ছে.মি., RF = 0 ছে.মি.।

∴ ER =  PR – PF = 2.56 – 0.36 = 2.20 ছে.মি.।

PE = 0.18 ছে.মি., RF = 0 ছে.মি.।

3. চিত্র 6.20ত, যদি LM || CB আৰু LN || CD, প্রমাণ কৰা যে AM/AB AN/AD

উত্তৰঃ 

4. চিত্র 6.21ত, DE || AC আৰু DF || AE. প্রমাণ কৰা যে BF/BE = FE/EC

উত্তৰঃ 

5. চিত্র 6.22ত, DE || OQ আৰু DF || OR। দেখুওৱা যে EF || QR.

উত্তৰঃ (i) প্রদত্ত: ∆PQR-ৰ DE || OQ আৰু DF || OR

(ii) প্ৰমাণ কৰিব লাগে যে –

EF || QR

(iii) প্রমাণ: ∆PQO-ৰ ED || QO (প্রদত্ত)

∴ PD/DO =  PE/EQ ………..(1) 

আকৌ, ∆POR-ৰ DF || OR (প্রদত্ত) 

∴ PD/DO =  PF/FR …………(2) 

(1) আৰু (2)-ৰ পৰা পোৱা যায় যে-

PE/EQ = PF/FR ⇒ EF || QR [প্রমাণিত]

6. চিত্র 6.23ত, A, B আৰু C বিন্দু তিনিটা ক্রমে OP, OQ আৰু OR ৰ ওপৰত আছে যাতে AB || PQ আৰু AC || PR. দেখুওৱা যে, BC || QR

উত্তৰঃ প্রদত্ত: A, B আৰু C আৰু OP, OQ আৰু OR বিদত্রয় ক্রমে আৰু বাহু তিনিটাৰ ওপৰত এনেদৰে স্থাপন কৰা হৈছে

যাতে AB || PQ আৰু AC || PR হয়।

প্রামাণ্য: BC || QR

প্রমাণ: OPQ ত্রিভুজৰ AB || PQ (প্রদত্ত)

∴ OA/AP = OB /BQ …………….. (1) 

আকৌ, OPR ত্রিভুজৰ AC || PR(প্রদত্ত)

∴ OA/AP = OC/CR …………….(2) 

এতিয়া, (1) আৰু (2) ৰ পৰা 

OB/BQ = OC/CR 

∴ BC || QR [প্রমাণিত]

7. উপপাদ্য 6.1ৰ সহায়ত প্রমাণ কৰা যে এটা ত্রিভুজৰ এটা বাহুৰ মধ্যবিন্দুৰে যোৱাকৈ টনা ৰেখাডাল যদি আন এটা বাহুৰ সমান্তৰাল হয়, তেনেহ’লে ৰেখাডালে তৃতীয় বাহুটোক দ্বিখণ্ডিত কৰিব। (মনত পোলোৱা, এইটো তোমালোকে নৱম শ্ৰেণীত প্ৰমাণ কৰিছিলা)

উত্তৰঃ

(i) বিশেষ সূত্র: D, ABC ত্রিভুজৰ AB-ৰ মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ AD = DB। এটা ৰেখা, BC-ৰ সমাদৰাল কৰি অংকন কৰাতে, ই AC-ক E বিন্দুত ছেদ কৰে। অর্থাৎ DE BC

(ii) প্রামাণ্য: E, AC-ৰ মধ্যবিন্দু।

(iii) প্রমাণ:

∴ D, AB -ৰ মধ্যবিন্দু।

∴ AD = DB (প্রদত্ত)

∴ AD/ BD ……………… (1)

আকৌ, ABC ত্রিভুজৰ DE || BC

∴ AD/DB = AE/EC ……….. (2)

∴ (1) আৰু (2)-ৰ পৰা পাওঁ –

AE/EC = 1 

⇒ AE = EC 

∴ E, AC-ৰ মধ্যবিন্দু। [প্রমাণিত]

8. উপপাদ্য 6.2ৰ সহায়ত প্রমাণ কৰা যে এটা ত্রিভুজৰ দুটা বাহুৰ মধ্যবিন্দু সংযোগী ৰেখাডাল তৃতীয় বাহুৰ সমান্তৰাল। (মনত পেলোৱা, এইটো তোমালোকে নৱম শ্ৰেণীত প্রমাণ কৰিছা)

উত্তৰঃ 

(i) বিশেষ সূত্র: ABC ত্রিভুজৰ AB আৰু AC বাহু দুটাৰ ওপৰত D আৰু E দুটা মধ্যবিন্দু এনেদৰে স্থাপন কৰা হ’ল, যাতে AD = BD আৰু AE = EC হয়। D আৰু E সংযোগ কৰা হ’ল।

(ii) প্রামাণ্য: DE ||  BC-ৰ মধ্যবিন্দু।

(iii) প্রমাণ: D, AB -ৰ মধ্যবিন্দু।

∴ AD = DB

9. ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC আৰু ইয়াৰ কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰ O বিন্দুত ছেদিত হয়। দেখুওৱা যে AO/BO = CO/DO

উত্তৰঃ 

(i) বিশেষ সূত্র: ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC. AC আৰু BD কর্ণ দুডাল পৰস্পৰৰ্ক O বিন্দু ছেদ কৰিছে।

(ii) প্রামাণ্য: = DO/OB = OC/OA

(iii) অংকন: O বিন্দুৰ মাজেৰে, FO || DC || AB টনা হ’ল।

(iv) প্রমাণ: DAB ত্রিভুজৰ FO || AB [অংকন মতে]

10. ABCD চতুর্ভুজটোৰ কৰ্ণদুডালে পৰস্পৰক O বিন্দুত এনেভাবে ছেদ কৰে যে AO/BO = CO/DO দেখুওৱা যে ABCD এটা ট্রেপিজিয়াম।

উত্তৰঃ 

(i) বিশেষ সূত্র: ABCD এটা চতুর্ভুজ। ইয়াৰ AC আৰু BD কৰ্ণ দুডাল পৰস্পৰৰ্ক O বিন্দুত এনেদৰে ছেদ বা কটাকটি কৰে যাতে, AO/BO = CO/DO হয়। 

(ii) প্রামাণ্য: ABCD এটা ট্রেপিজিয়াম।

(iii) অংকন: O বিন্দুৰ মাজেৰে,

EO || AB টনা হ’ল আৰু ই AD বাহুক E বিন্দুত ছেদ কৰে।

(iv) প্রমাণ: ∆DAB -ৰ ΕΟ || ΑΒ

∴ ABCD চতুর্ভুজটো এটা ট্রেপিজিয়াম। [প্রমাণিত]

11. এই প্ৰশ্নটোত এটা উক্তি (A) আৰু তাৰ বিপৰীতে এটা যুক্তি (R) দিয়া আছে।

উক্তি (A) : যদি Δ ABC ৰ AB আৰু AC বাহুত D আৰু E এনে দুটা বিন্দু যাতে DE || BC হয়, তেন্তে AD/AB = AE/AC

যুক্তি (R) : যদি এডাল ৰেখা কোনো ত্ৰিভুজৰ এটা বাহুৰ সমান্তৰালকৈ টনা হয় আৰু ৰেখাডালে আন দুটা বাহুক দুটা নিৰ্দিষ্ট বিন্দুত ছেদ কৰে, তেনেহ’লে সেই বাহু দুটা একে অনুপাততে বিভক্ত হ’ব।

শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা।

(A) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য, যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

(B) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য, যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।

(C) উক্তি (A) সত্য কিন্তু যুক্তি (R) অসত্য

(D) উক্তি (A) অসত্য কিন্তু যুক্তি (R) সত্য

উত্তৰঃ (A) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য, যুক্তি (R), উক্তি (A) ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

12. চিত্ৰ 6.24 ৰ পৰা তিনিটা উক্তি দিয়া আছে, য’ত

(i) PQ/QR = PO/OC

(ii) PO/OB = BC/AB

(iii) PQ/QR = AB/BC

তলৰ কোনটো বিকল্প সত্য?

(A) কেৱল (i) সত্য

(B) (i) আৰু (ii) সত্য

(C) কেৱল (iii) সত্য

(D) (i) আৰু (iii) সত্য

উত্তৰঃ (D) (i) আৰু (iii) সত্য

13. ΔABC ত AB আৰু AC ৰ ওপৰত D আৰু E দুটা বিন্দু যাতে DE || BC যদি AD = x, AE = (x + 2), BD = (x – 2) আৰু CE = (x – 1), তেন্তে x ৰ মান হ’ব

(A) 2          

(B) 3          

(C) 4          

(D) 5

উত্তৰঃ (C) 4

অনুশীলনী  6.3

1. চিত্র 6.37 ত দিয়া ত্রিভুজবিলাকৰ কোণবিলাক যোৰ সদৃশ উল্লেখ কৰা। উত্তৰটো দিয়াৰ ক্ষেত্ৰত কি সাদৃশ্য চৰ্ত ব্যৱহাৰ কৰিলা লিখা আৰু সদৃশ হোৱা ত্রিভুজবিলাক প্রতীকেৰে প্ৰকাশ কৰা।

উত্তৰঃ ∆ABC আৰু ∆PQR দুটাৰ,

∠A = ∠P [প্রতিটো কোণ = 60°] 

∠B = ∠Q [প্রতিটো কোণ = 80°] 

আৰু, ∠C = ∠R [ প্রতিটো কোণ = 40°] 

∆ABC ∠PQR [ A – A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]

(ii)

উত্তৰঃ ∆ABC আৰু ∆PQR দুটাৰ,

AB/RQ = 2/4 = 1/2 …………..(1)

AC/PQ = 3/6 = 1/2 …………..(2)

BC/PR = 2.5/5 = 1/2 …………..(3)

(1), (2) আৰু (3)-ৰ পৰা পাওঁ-

AB/RQ = AC/PQ = BC/PR = 1/2

∴ ∆ABC ~ ∆QRP  [S – S – S সাদৃশ্য উপপাদ্য]

উত্তৰঃ 

উত্তৰঃ 

উত্তৰঃ ∆DEF – ৰ পৰা-

∠D = 70°, ∠E = 80°

∴ ∠D+ ∠E + ∠F – 180°

⇒ 70° + 80° + ∠F=180° [: এটা ত্রিভুজৰ তিনিটা কোণৰ সমষ্টি = 180°]

⇒ 150° + ∠F = 180°

⇒ ∠F = 180° – 150° = 30°

আকৌ, ∆PQR-ৰ পৰা –

∠Q = 80°  ∠R = 30°

∴ ∠P + ∠Q + ∠R = 180° 

⇒ ∠P + 80° + 30° = 180°

⇒ ∠P + 180° – 110° = 70°

∆DEF আৰু ∆PQR দুটাৰত, 

∠D = ∠P = 70° 

∠E = ∠Q = 80°

∠F = ∠R = 30°

∆DEF – ∆PQR [ A – A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]।

(vi)

উত্তৰঃ ∆DEF ত,

∠D + ∠E + ∠F = 180º (ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা কোণৰ সমষ্টি 180º বা ত্ৰিভুজৰ কোণৰ সমষ্টি ধৰ্ম)

70º + 80º + ∠F = 180º

∠F = 30º

একেদৰে, ∆PQR ত,

∠P + ∠Q + ∠R = 180º (ত্ৰিভুজৰ তিনিওটা কোণৰ সমষ্টি 180º বা ত্ৰিভুজৰ কোণৰ সমষ্টি ধৰ্ম)

∠P + 80º + 30º = 180º

∠P = 70º

∆DEF আৰু ∆PQR ৰ পৰা,

∠D = ∠P (প্ৰতিটো 70°)

∠E = ∠Q (প্ৰতিটো 80°)

∠F = ∠R (প্ৰতিটো 30°)

গতিকে, ∆DEF ∼ ∆PQR

2. চিত্র 6.38 ত, ∆ODC ~ ∆ΟΒΑ, ∠BOC = 125° আৰু ∠CDO = 70° | ∠DOC, ∠DCO আৰু ∠OAB নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ প্রদত্ত: 

∠BOC = 125°, ∠CDO = 70° 

∠DOC = ?, DCO = ?, ZOAB = ? 

∴ DOB এটা সৰলৰেখা।

∴ ∠DOC + ∠COB = 180° [ৰৈখিৰ যোৰৰ স্বতঃসিদ্ধ]

⇒ ∠DOC + 125° = 180°

⇒ ∠DOC + 180° – 125° = 55°

∴ ∠DOC+ ∠AOB = 55° [বিপ্রতীপ শীর্ষক কোণ]

কিন্তু, ∆ODC ~ ∆ΟΒΑ

∴ ∠D = ∠B = 70°

∆DOC – ৰ পৰা-

∠D+ ∠O + ∠C = 180°

⇒ 70° + 55° ∠C = 180°

⇒ ∠C = 18° – 125° = 55°

3. ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB || DC আৰু AC আৰু BD কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰক O বিন্দুত ছেদ কৰে। দুটা ত্ৰিভুজৰ কোনো সাদৃশ্য চৰ্ত ব্যৱহাৰ কৰি দেখুওৱা যে OA/OC = OB/OB

উত্তৰঃ 

(i) বিশেষ সূত্র: ABCD ট্রেপিজিয়ামৰ AB | DC আৰু কৰ্ণ দুডালে পৰস্পৰৰ্ক O বিন্দুত ছেদ কৰে।

(ii) প্রামাণ্য: AO/OC = OB/OD

(iii) প্রমাণ:

∴ AB || DC, AC আৰু DB দুটা ছেদক।

∴ ∠r = ∠2 [একান্তৰ কোণ]

∠5 = ∠6 [বিপৰীত শীর্ষক কোণ]

আৰু ∠3 = ∠4 [একাহৰ কোণ]

∴ ∆DOC ~ ∆BOB [A – A – A] উপপাদ্য।

∴ DO/BO = OC/OA

⇒ DO/OC = BO/DO [প্রমাণিত]

4. চিত্র 6.39 ত, QR/QS = QT/PR আৰু ∠1 = ∠2 দেখুওৱা যে ∆PQS ~ ∆TQR

উত্তৰঃ 

5. ∆PQR ৰ PR আৰু QR বাহুৰ ওপৰত S আৰু T দুটা বিন্দু যাতে ∠P = ∠RTS. দেখুওৱা যে ∆RPQ ~ ∆RTS.

উত্তৰঃ 

(i) বিশেষ সূত্র: ∆PQR-ৰ PR আৰু QR বাহুদ্বয়ৰ ওপৰত দুটা বিন্দু S আৰু T’ এনেদৰে স্থাপন কৰা আছে যাতে∠P = ∠RTS

(ii) প্রামাণ্য: ∆RPQ ~ ∆RTS

(iii) প্রমাণ: ∆RPQ আৰু ∆RTS-ৰ পৰা

∠RPQ = ∠RTS (প্রদত্ত)

∠R = ∠R (সাধাৰণ কোণ)

∴ ∆RPQ ~ ∆RTS [A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য] (প্রমাণিত)

6. চিত্র 6.40ত যদি ∆ABE ≅ ∆ACD দেখুওৱা যে ∆ADE ~ ∆ABC

উত্তৰঃ (i) বিশেষ সূত্র: ∆ABE ≅ ∆ACD

(ii) প্রামাণ্য: ∆ADE ~ ∆ABC

(iii) প্রমাণ:

∴ ∆ABE ≅ ∆ACD 

∴ AB = AC আৰু AE = AD

∴ AB/AC = ………….(1)

আৰু AE/AD 1 = ………….(2)

এতিয়া, (1) আৰু (2)-ৰ পৰা- 

AB/AC = AD/AE

∴ ∆ADE আৰু ∆ABC -ৰ পৰা- 

AD/AE = AB/AC ∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ] 

∴ ∆ADE  ~ ∆ABC | SAS সাদৃশ্য উপপাদ্য] (প্রমাণিত)

7. চিত্র 6.41ত ∆ABC ৰ AD আৰু CE উন্নতি দুডালে পৰস্পৰক P বিন্দুত ছেদ কৰে। দেখুওৱা যে-

(i) ∆AEP ~ ∆CDP

উত্তৰঃ AEP আৰু CDP ত্রিভুজ দুটাৰ পৰা

∠E = ∠D = 90° 

∠APE = ∠CPD [বিপ্রতীপ শীর্ষক কোণ]

∴ ∆AEP ~ ∆CDP [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]

(ii) ∆ABD ~ ∆CBE

উত্তৰঃ ABD আৰু CBE ত্রিভুজৰ 

∠D = ∠E = 90°

∠B = ∠B [সাধাৰণ কোণ] 

∴ ∆ABD ~ ∆CBE [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]

(iii) ∆AEP ~ ∆ADB

উত্তৰঃ ∆AEP আৰু ∆ADB ত্রিভুজৰ 

∠E = ∠D = 90°,

∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]

∴ ∆AEP ~ ∆ADB [A – A] সাদৃশ্য উপপাদ্য]

(iv) ∆PDC ~ ∆BEC

উত্তৰঃ ∆PDC আৰু ∆BEC ত্রিভুজৰ 

∠D = ∠E = 90° 

∠C = ∠C [সাধাৰণ কোণ] 

∴ ∆PDC ~ ∆BEC [A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য]

8. ABCD সামান্তৰিকৰ AD বাহুৰ বৰ্ধিত অংশত E টা বিন্দু আৰু BE ৰেখাই CD ক F বিন্দুত ছেদ কৰে। দেখুওৱা যে ∆ΑΒΕ ~ ∆CFB।

উত্তৰঃ 

বিশেষ সূত্র: ABCD এটা সামাচ্ছবিক। AD বাহুক E লৈ বর্ধিত কৰা হল। BE বাহু, DC বাহুক F বিন্দুত ছেদ কৰে

প্রমাণ: ABE আৰু CFB ত্রিভুজ দুটাৰ পৰা পোৱা যায়-

∠A = ∠C [সামাহৰিক বিপৰীত কোণ] 

আৰু ∠ABE = ∠CFB [একাস্থ কোণ] 

∴ ∆ABE ~ ∆CFB [A- A সাদৃশ্য উপপাদ্য]

9. 6.42 চিত্ৰত ABC আৰু AMP দুটা সমকোণী ত্রিভুজ। ইহঁতৰ সমকোণ দুটা ক্রমে B আৰু M। প্রমাণ কৰা যে-

(i) ∆АВС ~ ∆ΑΜΡ

উত্তৰঃ বিশেষ সূত্র: ABC আৰু AMP দুটা সমকোণী ত্রিভুজ। সিহঁতৰ ∠B = 90° আৰু ∠M = 90°

প্রমাণঃ ∆ABC আৰু ∆AMP ত্রিভুজ দুটাৰ পৰা পোৱা যায় যে-

∠A = ∠A [সাধাৰণ কোণ]

∠B = ∠M = 90°

∴ ∆ABC ~ ∆AMP 

[A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]

(ii) CA/PA = BC/MP

উত্তৰঃ ∴ ∆ABC ~ ∆AMP 

∴ AC/AP = BC/MP

⇒ CA/PA = BC/MP [প্রমাণিত]

10. ∆ABC আৰু ∆EFG ৰ AB আৰু FE বাহুত ক্রমে D আৰু H দুটা বিন্দু। CD আৰু GH ক্রমে ∠ACB আৰু ∠EGF সমদ্বিখণ্ডক। যদি ∆ABC sim ∆FEG দেখুওৱা যে-

(i) CD/GH = AC/FG

(ii) ∆DCB ~ ∆HGE

(iii) ∆DCA ~ ∆HGF

উত্তৰঃ 

বিশেষ সূত্র: ABC আৰু EFG ত্রিভুজব CD আৰু GH, ∠ACB আক ∠EGF ব সমদ্বিখণ্ড কছয়। 

অর্থাৎ, ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4 আৰু ∆ABC ~ ∆FEG

(i) ∴ ∆ABC ~ ∆FEG

∴ ∠A = ∠F; ∠B = ∠E 

আৰু ∠C = ∠G 

∴ ∠C = ∠G

⇒ 1/2 ∠C = 1/2 ∠G 

⇒ ∠2 = ∠4 অথবা ∠1 = ∠3 

এতিয়া, ∆ACD আৰু ∆FGH ত্রিভুজ দুটাত 

∠A = ∠F আৰু ∠2 = 24

∆ABC ~ ∆FEG  [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]

∴ CD/GH = AG/FG [প্রমাণিত]

(ii) ∆DCB আৰু ∆HGE ত্রিভুজ দুটাত 

∠B= ∠E; ∠1 = ∠3 

∴ ∆DCB ~ ∆HGE [AA সাদৃশ্য উপপাদ্য]

(iii) ∆DCA আৰু ∆HGF ত্রিভুজ দুটাত পৰা 

∠A = ∠F; ∠2 = ∠4 

∴ ∆DCA ~ ∆HGF [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]

11. চিত্র 6.43ত, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজৰ AB = AC আৰু CB ৰ বৰ্ধিত অংশত E এটা বিন্দু। যদি AD ⏊ BC আৰু EF ⏊ AC, তেন্তে প্রমাণ কৰা যে ∆ABD ~ ∆ECF

উত্তৰঃ ∆ABD আৰু ∆CEF

∠CFE = ∠ADC সমকোণ

∠ABD = ∠ECF (সমদ্বিবাহু ত্রিভূজৰ বিপৰীত কোণ)

∴ ∆ABD ~ ∆ECF

12. ABC ত্ৰিভুজৰ দুটা বাহু AB আৰু BC আৰু মধ্যমা AD ৰ লগত PQR ত্ৰিভুজৰ ক্রমে দুটা বাহু PQ আৰু QR আৰু মধ্যমা PM সমানুপাতিক। (চিত্র 6.44 চোৱা)। দেখুওৱা যে ∆ABC ~ ∆PQR.

উত্তৰঃ দিয়া আছে:

AB/PB =  BC/QR = AD/PM …………(i)

BD = 1/2 BC

⇒ 2BD = BC

আৰু QM = 1/2 QR

⇒ 2QM = QR

(i) ⇒ AB/PQ = BC/QR = AD/PM

⇒ AB/PQ = 2BD/2QM = AD/PM

⇒ AB/PQ = BD/QM = AD/PM

∴ ∆ABC ~ ∆PQM

∴ ∠B = ∠Q

এতিয়া, AB/PQ = BC/QR

আৰু ∠B = ∠Q

∴ ∆ABC ~ ∆PQR

13. ABC ত্রিভুজৰ BC বাহুৰ ওপৰত D এটা বিন্দু আৰু ∠ADC = ∠BAC. দেখুওৱা যে CA² = CB.CD

উত্তৰঃ

বিশেষ সূত্র: ABC ত্রিভুজৰ BC বাহুৰ ওপৰত D এটা বিন্দুটো এনেদৰে স্থাপন কৰা হৈছে। 

যাতে ∠ADC = ∠BAC হয়।

প্রমাণ: ∆ABC আৰু ∆ADC ত্রিভুজ দুটাত ∠C= ∠C (সাধাৰণ) 

∠BAC = ∠ADC (প্রদত্ত)

∴ ∆ACD ~ ∆DAC [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]

∴ AC/DC = BC/AC

⇒ AC² = BC × DC [প্রমাণিত]

14. ত্রিভুজ ABC ৰ দুটা বাহু AB আৰু AC আৰু মধ্যমা AD আন এটা ত্রিভুজ PQR ৰ ক্ৰমে দুটা বাহু PQ আৰু PR আৰু মধ্যমা PM ৰ লগত সমানুপাতিক। দেখুওৱা যে ∆ABC ~ ∆PQR

উত্তৰঃ AD বাহুক E বিন্দুলৈ বঢ়াই দিয়া হ’ল।

এতিয়া, AD = DE আৰু CE সংযোগ কৰা হ’ল।

আকৌ, PM ক S বিন্দুলৈ বঢ়াই দিয়া হ’ল। 

এতিয়, PM = MS আৰু RS সংযোগ কৰা হ’ল।

এতিয়া,

∆ADB আৰু ∆EDC ৰ

∠ADB = ∠EDC

BD = CD

আৰু AD = DE

∴ ∆DBA ≅ ∆EDC

∴ AB = CE

আকৌ ∆PMQ আৰু ∆SMR ৰ 

∠PMQ = ∠SMR

PM = MS 

আৰু QM = MR 

∴ ∆PMQ ∆SMR 

∴ PQ = SR 

এতিয়া AB/PQ  = AC/PR = AD/PM

⇒ CE/SR = AC/PR = AD/PM

∴ ∆ACD ~ ∆PSR ∠EAC = ∠SPR …………(i)

একেদৰে এতিয়া ∠DAB = ∠MPQ………..,(ii)  

এতিয়া (i) + (ii) ⇒ ∠EAC + ∠DAB = ∠SPR + ∠MPQ 

⇒ ∠A = ∠P 

∆ABC আৰু ∆PQR ৰ পৰা 

∴ AB/PQ = AC/PR

আৰু ∠A = ∠P 

∆ABC ~ ∆PQR

15. 6 m ওখ এটা উলম্ব খুটাৰ ভূমিত হোৱা ছাঁৰ দীঘ 4 m আৰু একে সময়তে এটা টাৱাৰৰ ছাঁৰ দীঘ 28 m। টাৱাৰটোৰ উচ্চতা নিৰ্ণয় কৰা।

উত্তৰঃ 

উল্লম্ব খুটাৰ দৈর্ঘ্য = 6 মি.

খুটাৰ ছাঁৰ দৈর্ঘ্য = 4 মি.

ধৰা হ’ল টাৱাৰ উচ্চতা = H মি. 

টাৱাৰৰ ছাঁৰ দৈর্ঘ্য = 28 মি.

এতিয়া, ∆ABC আৰু ∆PNM-ৰ পৰা 

∠C = ∠N = 90°;

∠B = ∠M

∴ ∆ABC ~ ∆PNM [A – A সাদৃশ্য উপপাদ্য]

∴ AB/PM = BC/MN

⇒ 6/H = 4/2

⇒ H = 6 × 28/4 = 6 × 7 = 42

∴ টাৱাৰৰ উচ্চতা = 42 মিটাৰ

16. ABC আৰু PQR ত্রিভুজ দুটাৰ মধ্যমা ক্রমে AD আৰু PM। যদি ∆ABC ~ ∆PQR, তেন্তে প্রমাণ কৰা যে AB/PQ = AD/PM

উত্তৰঃ বিশেষ সূত্র: AD আৰু PM ক্রমে ABC আৰু PQR ত্রিভুজ দুটাৰ 

মধ্যমাদ্বয় আৰু ∆ABC ~ ∆PQR

∴ ∆ABC ~ ∆PQR

∴ AB/PQ = BC/QR = AC/PR

∴ ∠A = ∠P; ∠B = ∠Q; ∠C = ∠R

∴ D, BC-ৰ মধ্যবিন্দু 

∴ BD = DC = 1/2 BC ………….. (1)

আকৌ, ∴  M, QR -ৰ মধ্যকিদু

QM = MR = 1/2 QR ………….(2)

∴ AB/PQ = BC/QR

⇒ AB/PQ = 2BD/2QM [(1) আৰু (2) – ৰ পৰা]

⇒ AB/PQ = BD/QM

 ∠ABD ~ PQM [ প্রদত্ত ]

∆ABC ~ ∆PQM [S – A – S সাদৃশ্য উপপাদ্য ]

∴ AB/PQ = BC/QR [প্রমাণিত]

17. কাষৰ চিত্ৰ 6.45ত, PR ৰ ওপৰত Q এটা বিন্দু আৰু TR ৰ ওপৰত S এটা বিন্দু। QS আঁকা হ’ল আৰু ∠RPT = ∠RQS।

∆RSQ আৰু ∆RTP সদৃশ ক্ষেত্ৰত তলৰ কোনটো চৰ্ত ব্যৱহাৰ কৰিব পাৰি?

(A) কোণ-কোণ-কোণ সদৃশ চৰ্ত

(B) বাহু-কোণ-বাহু সদৃশ চৰ্ত

(C) বাহু-বাহু-বাহু সদৃশ চৰ্ত

(D) সমকোণ-অতিভুজ-বাহু সদৃশ চৰ্ত

উত্তৰঃ (A) কোণ-কোণ-কোণ সদৃশ চৰ্ত

18. এই প্ৰশ্নটোত এটা উক্তি (A) আৰু তাৰ বিপৰীতে এটা যুক্তি (R) দিয়া হৈছে।

উক্তি (A): যদি ∆ABC আৰু ∆PQR সমবাহু ত্ৰিভুজ, তেন্তে ত্ৰিভুজকেইটা সদৃশ।

যুক্তি (R): সকলো সৰ্বসম ত্ৰিভুজ সদৃশ কিন্তু সকলো সদৃশ ত্ৰিভুজ সৰ্বসম নহ’বও পাৰে।

শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা—

(A) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য আৰু যুক্তি (R) উক্তি (A)-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

(B) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য কিন্তু যুক্তি (R) উক্তি (A)-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।

(C) উক্তি (A) সত্য কিন্তু যুক্তি (R) অসত্য।

(D) উক্তি (A) অসত্য কিন্তু যুক্তি (R) সত্য।

উত্তৰঃ (A) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য আৰু যুক্তি (R) উক্তি (A)-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

19. এই প্ৰশ্নটোত এটা উক্তি (A) আৰু তাৰ বিপৰীতে এটা যুক্তি (R) দিয়া হৈছে।

উক্তি (A): যদি সমকোণী ∆ABC আৰু ∆PQR ৰ C আৰু R সমকোণ হয় যাতে AB/PQ = AC/PR তেন্তে ∠B = ∠Q

যুক্তি (R): যদি দুটা সমকোণী ত্ৰিভুজৰ এটা ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ আৰু এটা বাহু আনটো ত্ৰিভুজৰ অতিভুজ আৰু এটা বাহুৰ সমানুপাতিক, তেন্তে ত্ৰিভুজ দুটা S-A-S সদৃশ চৰ্ত মতে সদৃশ হয়।

(A) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য আৰু যুক্তি (R) উক্তি (A)-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

(B) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য কিন্তু যুক্তি (R) উক্তি (A)-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা নহয়।

(C) উক্তি (A) সত্য কিন্তু যুক্তি (R) অসত্য।

(D) উক্তি (A) অসত্য কিন্তু যুক্তি (R) সত্য।

উত্তৰঃ (A) উক্তি (A) আৰু যুক্তি (R) দুয়োটাই সত্য আৰু যুক্তি (R) উক্তি (A)-ৰ শুদ্ধ ব্যাখ্যা।

20. স্তম্ভ মিলোৱা

স্তম্ভ I	স্তম্ভ II
(P) ∆ABC ~ ∆DEF	1. ∠C = ∠D
(Q) ∆АВС ~ ∆EFD	2. ∠A = ∠F
(R) ΔΑΒC ~ ∆FDE	3. ∠B = ∠F
(S) ∆АВС ~ ∆DFE	4. ∠D = ∠A

শুদ্ধ বিকল্পটো বাছি উলিওৱা—

      P    Q    R   S

(A) 3  1  4   2

(B) 1  2  3   4

(C) 4  1  2   3

(D) 2  4  1  3

উত্তৰঃ P-4, Q-1, R-2, S-3

21. এটা কোঠাৰ চিলিঙত থকা এটা বিন্দু O ত এটা বাল্ব স্থাপন কৰা হৈছে। চিত্ৰ 6.46 ত দেখুওৱা দৰে বাল্বটোৰ ঠিক তলত এখন ডাঙৰ টেবুল ৰখা হৈছে। এখন কার্ডবোর্ড চতুর্ভুজ ABCD আকাৰত কাটি বাল্ব আৰু টেবুলৰ মাজত অনুভূমিকভাৱে স্থাপন কৰা হৈছে। বাল্বটো অন কৰিলে টেবুলত ওপৰৰ কাৰ্ডবৰ্ড ABCD ৰ ছাঁ A’ B’C’D’ গঠন হয় যাতে A’ B’C’D’ চতুর্ভুজটো ABCD চতুর্ভুজৰ বৰ্দ্ধিতৰূপ বা বিবর্ধন, য’ত বৃদ্ধিৰ স্কেল 1:2

যদি

AB = 1.5 cm, BC = 2.5 cm, CD = 2.4 cm, AD = 2.1 cm, ∠A = 105°, ∠B = 100°, ∠C = 70° আৰু ∠D = 85°, তেন্তে তলৰ প্ৰশ্নসমূহৰ উত্তৰ দিয়া।

(i) A′B′C′D′ চতুৰ্ভুজটোৰ A′B′ বাহুৰ দৈৰ্ঘ্য

(A) 1.5 cm

(B) 2.5 cm

(C) 3 cm

(D) 5 cm

উত্তৰঃ (C) 3 cm

(ii) A′B′C′D′ চতুৰ্ভুজটোৰ পৰিসীমা

(A) 8.5 cm

(B) 5 cm

(C) 10 cm

(D) 17 cm

উত্তৰঃ (D) 17 cm

(iii) ∠B′ ৰ জোখ

(A) 105°

(B) 100°

(C) 80°

(D) 70°

উত্তৰঃ (B) 100°

(iv) চতুৰ্ভুজ A′B′C′D′ ৰ ∠A′ আৰু ∠C′ ৰ জোখৰ সমষ্টি

(A) 205°

(B) 185°

(C) 175°

(D) 155°

উত্তৰঃ (C) 175°